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B. \(A=\varnothing\), रिक्त तथा परिमित/\(A=\varnothing\), empty and finite
Step 1
Concept
In the usual school convention, natural numbers start from (1).
Step 2
Why this answer is correct
No natural number satisfies (x<1), so (A) has no element.
Step 3
Exam Tip
Remember that the empty set is also finite. चरण 1: \(\mathbb{N}\) में (1) से शुरू होने वाली संख्याएँ ली जाती हैं। चरण 2: (x<1) को कोई प्राकृतिक संख्या पूरा नहीं करती, इसलिए (A) में कोई अवयव नहीं है। चरण 3: रिक्त समुच्चय को भी परिमित माना जाता है।
A. (A=B), क्योंकि दोनों में वास्तविक अवयव केवल (3) है/(A=B), because the only actual element in both is (3)
Step 1
Concept
(x-2-6x+9=(x-3)2), so the solution is (x=3).
Step 2
Why this answer is correct
Repeating the same element does not create new elements in a set, so \(B=\{3\}\).
Step 3
Exam Tip
Count a repeated root or repeated element only once in set questions. चरण 1: (x-2-6x+9=(x-3)2), इसलिए हल (x=3) है। चरण 2: समुच्चय में समान अवयव बार-बार लिखने से नया अवयव नहीं बनता, इसलिए \(B=\{3\}\) माना जाएगा। चरण 3: दोहराए हुए मूल या दोहराए हुए अवयव को समुच्चय में एक बार ही गिनें।
A. (A=B), क्योंकि दोनों में वही चार अवयव हैं/(A=B), because both have the same four elements
Step 1
Concept
List the integers from (-5) to (5) and choose those that leave remainder (1) on division by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The values (-5,-2,1,4) all satisfy \(x \equiv 1 \pmod{3}\), so (A) and (B) have the same elements.
Step 3
Exam Tip
For equal sets, compare elements, not their order. चरण 1: (-5) से (5) तक के पूर्णांक लिखकर (3) से भाग देने पर शेष (1) वाले मान चुनते हैं। चरण 2: (-5,-2,1,4) सभी \(x \equiv 1 \pmod{3}\) को पूरा करते हैं, इसलिए (A) और (B) के अवयव समान हैं। चरण 3: बराबर समुच्चय में क्रम नहीं, केवल अवयवों की समानता देखी जाती है।
When the domain is real numbers, do not count imaginary roots. चरण 1: वास्तविक संख्या के लिए \(x^2\ge 0\) होता है। चरण 2: इसलिए \(x^2+4=0\) वास्तविक संख्याओं में संभव नहीं है। चरण 3: वास्तविक क्षेत्र दिया हो तो काल्पनिक मूलों को न गिनें।
There are many rational numbers between (0) and (1), such as \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
Such numbers can be formed endlessly, so the number of elements is not limited.
Step 3
Exam Tip
Even a small interval can contain infinitely many rational numbers. चरण 1: (0) और (1) के बीच कई परिमेय संख्याएँ होती हैं, जैसे \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3}\)। चरण 2: ऐसी संख्याएँ बिना अंत के बनाई जा सकती हैं, इसलिए अवयवों की संख्या सीमित नहीं है। चरण 3: छोटे अंतराल में भी परिमेय संख्याओं का समुच्चय अपरिमित हो सकता है।
C. (A=B), क्योंकि अवयव समान हैं/(A=B), because the elements are the same
Step 1
Concept
In a set, order and repetition do not matter.
Step 2
Why this answer is correct
Both sets contain exactly (2,3,5).
Step 3
Exam Tip
For equal sets, compare actual elements only. चरण 1: समुच्चय में किसी अवयव की पुनरावृत्ति और क्रम का महत्व नहीं होता। चरण 2: दोनों में वास्तविक अवयव (2,3,5) ही हैं। चरण 3: बराबर समुच्चय में केवल अवयवों की समानता जाँचें।
The prime numbers among them are only (2) and (3), because (1) is not prime.
Step 3
Exam Tip
In prime-number questions, treat (1) carefully. चरण 1: पाँच से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ (1,2,3,4) हैं। चरण 2: इनमें अभाज्य संख्याएँ केवल (2) और (3) हैं, क्योंकि (1) अभाज्य नहीं है। चरण 3: अभाज्य संख्या वाले प्रश्नों में (1) को अलग से पहचानें।
The integer solutions of \(x^2=9\) are (x=-3) and (x=3).
Step 2
Why this answer is correct
Thus (A) and (B) have exactly the same elements.
Step 3
Exam Tip
For square equations, check both positive and negative roots. चरण 1: \(x^2=9\) के पूर्णांक हल (x=-3) और (x=3) हैं। चरण 2: इसलिए (A) और (B) में ठीक वही अवयव हैं। चरण 3: वर्ग समीकरण में धन और ऋण दोनों मूल जाँचें।
On the real number line, the distance between (2) and (5) is (3).
Step 2
Why this answer is correct
For any (x), (|x-2|+|x-5|) is at least (3), so it cannot be (2).
Step 3
Exam Tip
In absolute-value distance questions, think about the minimum possible distance first. चरण 1: वास्तविक संख्या रेखा पर (2) और (5) के बीच की दूरी (3) है। चरण 2: किसी भी (x) के लिए (|x-2|+|x-5|) कम से कम (3) होगा, इसलिए वह (2) नहीं हो सकता। चरण 3: दूरी आधारित निरपेक्ष मान में न्यूनतम दूरी पहले सोचें।
So \(A=\{2,3\}\), which has a limited number of elements.
Step 3
Exam Tip
Factors of a fixed number always form a finite set. चरण 1: (12) के अभाज्य गुणनखंड केवल (2) और (3) हैं। चरण 2: इसलिए \(A=\{2,3\}\), जिसमें सीमित अवयव हैं। चरण 3: किसी निश्चित संख्या के गुणनखंड हमेशा परिमित होते हैं।
Multiples such as \(5,10,15,20,\ldots\) continue without ending.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore the number of elements is not fixed at a finite limit.
Step 3
Exam Tip
A set of multiples is usually infinite when no upper limit is given. चरण 1: \(5,10,15,20,\ldots\) जैसे गुणज बिना रुके मिलते रहते हैं। चरण 2: इसलिए इस समुच्चय के अवयवों की संख्या निश्चित सीमा तक नहीं रुकती। चरण 3: गुणजों के समुच्चय में सीमा न दी हो तो वह सामान्यतः अपरिमित होता है।
The natural values satisfying \(1\le x\le 4\) are (1,2,3,4).
Step 2
Why this answer is correct
Their squares are (1,4,9,16), so the first set is equal to the given set.
Step 3
Exam Tip
For a rule-based set, list the actual outputs and compare. चरण 1: \(1\le x\le 4\) के प्राकृतिक मान (1,2,3,4) हैं। चरण 2: इनके वर्ग (1,4,9,16) बनते हैं, इसलिए पहला समुच्चय बराबर है। चरण 3: नियम से बने समुच्चय में वास्तविक परिणामों की सूची बनाकर मिलान करें।
The set \({\varnothing}\) has one element, namely the empty set itself.
Step 3
Exam Tip
Never treat \(\varnothing\) and \({\varnothing}\) as equal. चरण 1: \(\varnothing\) और ({}) दोनों में कोई अवयव नहीं होता। चरण 2: \({\varnothing}\) में एक अवयव है, और वह अवयव खुद रिक्त समुच्चय है। चरण 3: \(\varnothing\) और \({\varnothing}\) को कभी समान न मानें।
Even a long list is finite when both start and end are fixed. चरण 1: दो अंकों वाली प्राकृतिक संख्याएँ (10) से (99) तक होती हैं। चरण 2: इनकी संख्या सीमित है, इसलिए समुच्चय परिमित है। चरण 3: बड़ी सूची दिखने पर भी यदि आरंभ और अंत तय हों, तो समुच्चय परिमित होता है।
The inequality (-2<x<2) does not include (-2) or (2).
Step 2
Why this answer is correct
The integers in this range are (-1,0,1).
Step 3
Exam Tip
Read open and closed boundaries carefully. चरण 1: (-2<x<2) में (-2) और (2) शामिल नहीं हैं। चरण 2: इस सीमा के पूर्णांक (-1,0,1) हैं। चरण 3: असमानता में खुली और बंद सीमा को सावधानी से पढ़ें।
The integer solutions of \(x^2=1\) are (-1) and (1), so \(A=\{-1,1\}\).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(B=\{1\}\), both sets are finite but not equal.
Step 3
Exam Tip
In square equations, check the negative solution too. चरण 1: \(x^2=1\) के पूर्णांक हल (-1) और (1) हैं, इसलिए \(A=\{-1,1\}\)। चरण 2: \(B=\{1\}\) है, इसलिए दोनों परिमित हैं लेकिन बराबर नहीं हैं। चरण 3: समान दिखने वाले हलों में ऋणात्मक मान भी जाँचें।
Always check the domain first; real and integer domains can give different answers. चरण 1: (0) और (1) के बीच कोई पूर्णांक नहीं होता। चरण 2: इसलिए दिए गए नियम को कोई अवयव पूरा नहीं करता। चरण 3: पहले क्षेत्र देखें; वास्तविक और पूर्णांक क्षेत्र में उत्तर बदल सकता है।
For natural numbers, \(1^2,2^2,3^2\) are less than (10).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(4^2=16\), (4) is not included.
Step 3
Exam Tip
In squared inequalities, test the boundary value carefully. चरण 1: प्राकृतिक संख्याओं के लिए \(1^2,2^2,3^2\) ही (10) से छोटे हैं। चरण 2: \(4^2=16\), इसलिए (4) शामिल नहीं होगा। चरण 3: असमानता के साथ वर्ग करने पर अंतिम मान अलग से जाँचें।
A. ({1,2,3}) और ({1,2,2,3,3})/({1,2,3}) and ({1,2,2,3,3})
Step 1
Concept
Equal sets must have exactly the same actual elements.
Step 2
Why this answer is correct
In the first option, removing repetitions gives ({1,2,3}) for both.
Step 3
Exam Tip
Do not treat repeated entries as new elements. चरण 1: बराबर समुच्चयों में अवयवों का वास्तविक संग्रह समान होना चाहिए। चरण 2: पहले विकल्प में दोहराव हटाने पर दोनों ({1,2,3}) बनते हैं। चरण 3: दोहराव देखकर समुच्चयों को अलग न मानें।
A number itself is also one of its factors. चरण 1: (18) के प्राकृतिक गुणनखंड (1,2,3,6,9,18) हैं। चरण 2: ये सभी (B) में ठीक से लिखे हैं। चरण 3: किसी संख्या का स्वयं भी उसका गुणनखंड होता है।
A prime number has exactly two factors, while a composite number has more than two factors.
Step 2
Why this answer is correct
No natural number satisfies both conditions together.
Step 3
Exam Tip
When conditions contradict each other, check for the empty set. चरण 1: अभाज्य संख्या के ठीक दो गुणनखंड होते हैं और भाज्य संख्या के दो से अधिक गुणनखंड होते हैं। चरण 2: कोई भी प्राकृतिक संख्या एक साथ दोनों शर्तें पूरी नहीं करती। चरण 3: विरोधी शर्तें दिखें तो रिक्त समुच्चय की संभावना जाँचें।
The set contains natural numbers from (1) to (100).
Step 2
Why this answer is correct
There are (100) elements, so it is finite.
Step 3
Exam Tip
A given upper limit often makes a natural-number set finite. चरण 1: (A) में (1) से (100) तक प्राकृतिक संख्याएँ आती हैं। चरण 2: इनकी संख्या (100) है, इसलिए समुच्चय परिमित है। चरण 3: ऊपरी सीमा दी हो तो प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय प्रायः परिमित होता है।
Natural numbers \(101,102,103,\ldots\) continue without end.
Step 2
Why this answer is correct
So there are infinitely many elements satisfying (x>100).
Step 3
Exam Tip
With only a lower bound, check for infiniteness. चरण 1: \(101,102,103,\ldots\) जैसी प्राकृतिक संख्याएँ अंत तक नहीं रुकतीं। चरण 2: इसलिए (x>100) को पूरा करने वाले अवयव अपरिमित हैं। चरण 3: केवल निचली सीमा दी हो तो अपरिमितता जाँचें।
In the first three options, only order, repetition, or notation changes, not the elements.
Step 2
Why this answer is correct
The set ({0}) contains (0), while \(\varnothing\) contains nothing.
Step 3
Exam Tip
Keep zero and emptiness separate. चरण 1: पहले तीन विकल्पों में क्रम, दोहराव या संकेत अलग है, अवयव नहीं। चरण 2: ({0}) में (0) अवयव के रूप में है, जबकि \(\varnothing\) में कोई अवयव नहीं। चरण 3: शून्य और रिक्तता को अलग रखें।
The integer solutions are (2) and (3), so \(A=\{2,3\}\).
Step 3
Exam Tip
When writing roots as a set, do not count repetition. चरण 1: (x-2-5x+6=(x-2)(x-3)) है। चरण 2: पूर्णांक हल (2) और (3) हैं, इसलिए \(A=\{2,3\}\)। चरण 3: बहुपद के हलों को समुच्चय में लिखते समय दोहराव नहीं गिनते।
B. ({1}), एक अवयव वाला परिमित समुच्चय/({1}), singleton finite set
Step 1
Concept
(x-2-2x+1=(x-1)2).
Step 2
Why this answer is correct
The only solution is (x=1), and a repeated root is written once in a set.
Step 3
Exam Tip
Identical elements are not counted repeatedly in a set. चरण 1: (x-2-2x+1=(x-1)2) है। चरण 2: हल केवल (x=1) है, दोहराया मूल भी समुच्चय में एक बार ही लिखा जाता है। चरण 3: समुच्चय में समान अवयव बार-बार नहीं गिने जाते।
\(|x|\le 2\) means (x) is at most (2) units away from zero.
Step 2
Why this answer is correct
The integer elements are (-2,-1,0,1,2).
Step 3
Exam Tip
For absolute-value conditions, include values on both sides. चरण 1: \(|x|\le 2\) का अर्थ है (x) शून्य से अधिकतम (2) दूरी पर है। चरण 2: पूर्णांक अवयव (-2,-1,0,1,2) मिलते हैं। चरण 3: परिमाण वाली शर्त में दोनों ओर के मान शामिल करें।
B. ({2}), एक अवयव वाला परिमित समुच्चय/({2}), singleton finite set
Step 1
Concept
(2) is the only even prime number.
Step 2
Why this answer is correct
Hence \(A=\{2\}\), a singleton finite set.
Step 3
Exam Tip
In questions about even primes, remember the special role of (2). चरण 1: (2) ही एकमात्र सम अभाज्य संख्या है। चरण 2: इसलिए \(A=\{2\}\), जो एक अवयव वाला परिमित समुच्चय है। चरण 3: सम अभाज्य से जुड़े प्रश्नों में (2) को विशेष रूप से याद रखें।
C. \(A=\mathbb{N}\), इसलिए अपरिमित/\(A=\mathbb{N}\), so infinite
Step 1
Concept
For every natural number (n), we can write \(0=n\cdot 0\).
Step 2
Why this answer is correct
Thus every natural number divides (0).
Step 3
Exam Tip
This is a subtle question; distinguish factors of (0) from multiples of (0). चरण 1: प्रत्येक प्राकृतिक संख्या (n) के लिए \(0=n\cdot 0\) लिखा जा सकता है। चरण 2: इसलिए हर प्राकृतिक संख्या (0) को विभाजित करती है। चरण 3: यह सूक्ष्म प्रश्न है, इसमें (0) को गुणज और गुणनखंड के रूप में अलग-अलग समझें।
For every integer (k), \(0\cdot k=0\), so only (0) occurs.
Step 3
Exam Tip
Do not confuse multiples of (0) with factors of (0). चरण 1: (0) का गुणज \(0\cdot k\) के रूप में होता है। चरण 2: किसी भी पूर्णांक (k) के लिए \(0\cdot k=0\), इसलिए केवल (0) मिलता है। चरण 3: (0) के गुणज और (0) के गुणनखंड में भ्रम न करें।
A. (A) और (B) के अवयवों की संख्या समान है/(A) and (B) have the same number of elements
Step 1
Concept
Equal sets contain exactly the same elements.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore they must have the same number of elements.
Step 3
Exam Tip
Equal size alone is not sufficient, but equality always implies equal size. चरण 1: बराबर समुच्चयों में प्रत्येक अवयव समान होता है। चरण 2: इसलिए उनके अवयवों की संख्या भी समान होगी। चरण 3: समान संख्या पर्याप्त नहीं, पर बराबर समुच्चय होने पर संख्या अवश्य समान होती है।
But ({1,2}) and ({3,4}) contain different elements, so they are not equal.
Step 3
Exam Tip
Equality depends on elements, not just on count. चरण 1: दोनों समुच्चयों में (2) अवयव हैं। चरण 2: लेकिन ({1,2}) और ({3,4}) के अवयव अलग हैं, इसलिए वे बराबर नहीं हैं। चरण 3: बराबरी के लिए संख्या नहीं, अवयवों की समानता निर्णायक है।
An impossible equation gives an empty solution set. चरण 1: समीकरण (x=x+1) से (0=1) मिलेगा, जो असत्य है। चरण 2: कोई वास्तविक संख्या इसे पूरा नहीं कर सकती। चरण 3: असंभव समीकरण से रिक्त समुच्चय बनता है।
There are infinitely many real numbers between (2) and (3).
Step 2
Why this answer is correct
Hence \({x\in\mathbb{R}:2<x<3}\) is infinite.
Step 3
Exam Tip
Distinguish real intervals from integer intervals. चरण 1: (2) और (3) के बीच अनगिनत वास्तविक संख्याएँ होती हैं। चरण 2: इसलिए \({x\in\mathbb{R}:2<x<3}\) अपरिमित है। चरण 3: वास्तविक अंतराल और पूर्णांक अंतराल को अलग-अलग समझें।
D. \({x\in\mathbb{Z}:x^2=16}\) और ({4})/\({x\in\mathbb{Z}:x^2=16}\) and ({4})
Step 1
Concept
In the integer domain, \(x^2=16\) has solutions (-4) and (4).
Step 2
Why this answer is correct
So it cannot be equal to ({4}).
Step 3
Exam Tip
Check the given domain before testing equality. चरण 1: पूर्णांक क्षेत्र में \(x^2=16\) के हल (-4) और (4) हैं। चरण 2: इसलिए वह समुच्चय ({4}) के बराबर नहीं हो सकता। चरण 3: बराबरी जाँचते समय दिए गए क्षेत्र को पहले देखें।
There is no natural number strictly between (1) and (2).
Step 2
Why this answer is correct
Hence (A) has no element.
Step 3
Exam Tip
In a strict inequality, boundary numbers are not included. चरण 1: (1) और (2) के बीच कोई प्राकृतिक संख्या नहीं है। चरण 2: इसलिए (A) में कोई अवयव नहीं है। चरण 3: कठोर असमानता में सीमा के दोनों अंक शामिल नहीं होते।
The condition \(x^2\le 0\) is possible only when \(x^2=0\), so (x=0).
Step 3
Exam Tip
In non-negative square questions, check zero separately. चरण 1: किसी भी पूर्णांक के लिए \(x^2\ge 0\) होता है। चरण 2: \(x^2\le 0\) तभी होगा जब \(x^2=0\), यानी (x=0)। चरण 3: गैर-ऋणात्मक वर्ग से जुड़े प्रश्नों में (0) को अलग से जाँचें।
The empty set has no element and its cardinality is (0).
Step 2
Why this answer is correct
The set ({0}) contains (0) as an element, so it is not empty.
Step 3
Exam Tip
Understand the difference between cardinality (0) and element (0). चरण 1: रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता और उसकी संख्या (0) है। चरण 2: ({0}) में (0) एक अवयव है, इसलिए वह रिक्त नहीं है। चरण 3: अवयव-संख्या (0) और अवयव (0) में अंतर समझें।
No natural factor of a positive number is greater than the number itself.
Step 2
Why this answer is correct
The greatest factor of (30) is (30).
Step 3
Exam Tip
When a factor is required to be greater than the number, check for emptiness. चरण 1: किसी धनात्मक संख्या का कोई प्राकृतिक गुणनखंड उससे बड़ा नहीं होता। चरण 2: (30) का सबसे बड़ा गुणनखंड (30) ही है। चरण 3: गुणनखंड और उससे बड़ी संख्या वाली शर्त साथ आए तो रिक्तता जाँचें।
Multiples of (4) in natural numbers are \(4,8,12,16,20,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
The condition \(x\le 20\) leaves (4,8,12,16,20).
Step 3
Exam Tip
An upper bound turns this infinite pattern into a finite set. चरण 1: प्राकृतिक संख्याओं में (4) के गुणज \(4,8,12,16,20,\ldots\) हैं। चरण 2: \(x\le 20\) होने से केवल (4,8,12,16,20) बचते हैं। चरण 3: ऊपरी सीमा गुणजों के अपरिमित समुच्चय को परिमित बना देती है।
In the school convention used here, (0) is not included in \(\mathbb{N}\).
Step 2
Why this answer is correct
The natural numbers less than (5) are (1,2,3,4).
Step 3
Exam Tip
Follow the definition of \(\mathbb{N}\) given or assumed in the question. चरण 1: विद्यालयी \(\mathbb{N}\) में (0) शामिल नहीं माना गया है। चरण 2: (x<5) वाली प्राकृतिक संख्याएँ (1,2,3,4) हैं। चरण 3: \(\mathbb{N}\) की परिभाषा प्रश्न में जैसे दी हो, उसी का पालन करें।
C. \(A={-\sqrt{2},\sqrt{2}}\), परिमित/\(A={-\sqrt{2},\sqrt{2}}\), finite
Step 1
Concept
The real solutions of \(x^2=2\) are \(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
Thus the set has two elements and is finite.
Step 3
Exam Tip
Do not miss the negative root in a square equation. चरण 1: \(x^2=2\) के वास्तविक हल \(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) हैं। चरण 2: इसलिए समुच्चय में दो अवयव हैं और वह परिमित है। चरण 3: वर्ग समीकरण में ऋणात्मक मूल को न छोड़ें।
In the integer domain, no (x) satisfies the condition.
Step 3
Exam Tip
The same equation can give different sets when the domain changes. चरण 1: \(x^2=2\) के वास्तविक हल पूर्णांक नहीं हैं। चरण 2: पूर्णांक क्षेत्र में कोई (x) यह शर्त पूरी नहीं करता। चरण 3: समान समीकरण का उत्तर क्षेत्र बदलने पर बदल सकता है।
B. \(({x\in\mathbb{N}:x\) 1000 से छोटा अभाज्य है})/primes less than (1000)
Step 1
Concept
There are only finitely many natural numbers less than (1000).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore the primes among them are also finite in number.
Step 3
Exam Tip
A large finite set is still finite. चरण 1: (1000) से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ सीमित हैं। चरण 2: उनमें अभाज्य संख्याएँ भी सीमित संख्या में ही होंगी। चरण 3: बड़ा परिमित समुच्चय भी परिमित ही रहता है।
B. \(({x\in\mathbb{N}:x\) 3 का गुणज है})/natural multiples of (3)
Step 1
Concept
Natural multiples of (3) are \(3,6,9,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
They have no last element.
Step 3
Exam Tip
Having a simple rule does not mean the set is finite. चरण 1: (3) के प्राकृतिक गुणज \(3,6,9,\ldots\) लगातार चलते हैं। चरण 2: इनका कोई अंतिम अवयव नहीं है। चरण 3: सरल नियम होने का अर्थ परिमित होना नहीं है।
B. \(A\ne B\), पर दोनों परिमित हैं/\(A\ne B\), but both are finite
Step 1
Concept
The factors of (10) are ({1,2,5,10}).
Step 2
Why this answer is correct
The factors of (20) are ({1,2,4,5,10,20}), so the sets are not equal.
Step 3
Exam Tip
Factors of fixed numbers form finite sets. चरण 1: (10) के गुणनखंड ({1,2,5,10}) हैं। चरण 2: (20) के गुणनखंड ({1,2,4,5,10,20}) हैं, इसलिए समुच्चय बराबर नहीं हैं। चरण 3: निश्चित संख्याओं के गुणनखंडों के समुच्चय परिमित होते हैं।
Whenever a square is required to be negative, check the real domain immediately. चरण 1: किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं होता। चरण 2: इसलिए \(x^2<0\) की कोई वास्तविक पूर्ति नहीं है। चरण 3: वर्ग से बने ऋणात्मक परिणामों पर तुरंत वास्तविक क्षेत्र जाँचें।
B. \(A=\{0\}\) और \(A\ne B\)/\(A=\{0\}\) and \(A\ne B\)
Step 1
Concept
The only integer solution of \(x^2=0\) is (x=0).
Step 2
Why this answer is correct
Thus \(A=\{0\}\), which has one element.
Step 3
Exam Tip
Identify ({0}) and \(\varnothing\) separately. चरण 1: \(x^2=0\) का पूर्णांक हल केवल (x=0) है। चरण 2: इसलिए \(A=\{0\}\), जिसमें एक अवयव है। चरण 3: ({0}) और \(\varnothing\) को अलग-अलग पहचानें।
B. \(A=\{1\}\), इसलिए \(A\ne B\)/\(A=\{1\}\), so \(A\ne B\)
Step 1
Concept
\(x^2-1=0\) gives (x=-1) or (x=1).
Step 2
Why this answer is correct
But in \(\mathbb{N}\), only (1) is allowed, not (-1).
Step 3
Exam Tip
Apply the given domain before writing the solution set. चरण 1: \(x^2-1=0\) से (x=-1) या (x=1) मिलता है। चरण 2: पर \(\mathbb{N}\) में केवल (1) आता है, (-1) नहीं। चरण 3: हल लिखने से पहले दिए हुए समुच्चय-क्षेत्र को लागू करें।
Numbers divisible by both (2) and (3) are multiples of (6).
Step 2
Why this answer is correct
\(6,12,18,\ldots\) continue endlessly.
Step 3
Exam Tip
And means both conditions, but it does not always make a set finite. चरण 1: (2) और (3) दोनों से विभाज्य संख्याएँ (6) के गुणज होती हैं। चरण 2: \(6,12,18,\ldots\) अंतहीन रूप से मिलते हैं। चरण 3: और का अर्थ दोनों शर्तें है, लेकिन इससे समुच्चय हमेशा छोटा या परिमित नहीं हो जाता।
