A. \(p^2\) (5) से विभाज्य होने पर (p) (5) से विभाज्य कहने में/In saying (p) is divisible by (5) when \(p^2\) is divisible by (5)
Step 1
Concept
From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, (p) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
The prime-number rule is the backbone of the proof. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: अभाज्य संख्या वाला नियम प्रमाण की रीढ़ है।
A. इससे \(p^2\) (5) से विभाज्य होने पर (p) (5) से विभाज्य मिलता है/It lets us conclude that if \(p^2\) is divisible by (5), then (p) is divisible by (5)
Step 1
Concept
If a prime factor divides a square, it also divides the original number.
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, \(p^2\) divisible by (5) implies (p) divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
This is the main logic of the proof. चरण 1: अभाज्य संख्या का गुणनखंड वर्ग में आने पर मूल संख्या में भी आता है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए \(p^2\) (5) से विभाज्य होने पर (p) (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: यही प्रमाण का मुख्य तर्क है।
A prime number is not a perfect square, so \(\sqrt{11}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
For the square root of a prime, use the non-perfect-square idea directly. चरण 1: (11) अभाज्य संख्या है। चरण 2: कोई अभाज्य संख्या पूर्ण वर्ग नहीं होती, इसलिए \(\sqrt{11}\) अपरिमेय है। चरण 3: अभाज्य संख्या के वर्गमूल पर सीधे अपूर्ण वर्ग का विचार लगाएँ।
A. 1 न अभाज्य है और न संयुक्त/1 is neither prime nor composite
Step 1
Concept
A prime number must have exactly two positive factors.
Step 2
Why this answer is correct
1 has only one positive factor, so it is not prime.
Step 3
Exam Tip
A composite number needs more than two factors, so 1 is not composite either. चरण 1: अभाज्य संख्या के ठीक दो धनात्मक भाजक होने चाहिए। चरण 2: 1 का केवल एक धनात्मक भाजक है, इसलिए वह अभाज्य नहीं है। चरण 3: संयुक्त संख्या के लिए दो से अधिक भाजक चाहिए, इसलिए 1 संयुक्त भी नहीं है।
A. 1 न अभाज्य है और न संयुक्त/1 is neither prime nor composite
Step 1
Concept
A prime number must have exactly two positive factors.
Step 2
Why this answer is correct
1 has only one positive factor, so it is not prime.
Step 3
Exam Tip
A composite number needs more than two factors, so 1 is not composite either. चरण 1: अभाज्य संख्या के ठीक दो धनात्मक भाजक होने चाहिए। चरण 2: 1 का केवल एक धनात्मक भाजक है, इसलिए वह अभाज्य नहीं है। चरण 3: संयुक्त संख्या के भी दो से अधिक भाजक चाहिए, इसलिए 1 संयुक्त भी नहीं है।
A. क्योंकि उसके ठीक दो धनात्मक भाजक नहीं होते/Because it does not have exactly two positive factors
Step 1
Concept
A prime number has exactly two positive factors.
Step 2
Why this answer is correct
1 has only one positive factor, 1.
Step 3
Exam Tip
Therefore, 1 is neither prime nor composite. चरण 1: अभाज्य संख्या के ठीक दो धनात्मक भाजक होते हैं। चरण 2: 1 का केवल एक धनात्मक भाजक 1 है। चरण 3: इसलिए 1 न अभाज्य है और न संयुक्त।
47 is divisible only by 1 and 47, while 51, 57, and 63 are composite.
Step 3
Exam Tip
Check small numbers by 2, 3, 5, and 7. चरण 1: अभाज्य संख्या के केवल दो धनात्मक भाजक होते हैं। चरण 2: 47 केवल 1 और 47 से विभाजित होती है, जबकि 51, 57 और 63 संयुक्त हैं। चरण 3: छोटी संख्याओं को 2, 3, 5 और 7 से जांचें।
A. 1 न अभाज्य है न संयुक्त/1 is neither prime nor composite
Step 1
Concept
A prime number must have exactly two positive factors.
Step 2
Why this answer is correct
1 has only one positive factor, 1, so it is neither prime nor composite.
Step 3
Exam Tip
Treating 1 as prime is a common exam mistake. चरण 1: अभाज्य संख्या के ठीक दो धनात्मक भाजक होने चाहिए। चरण 2: 1 का केवल एक धनात्मक भाजक 1 है, इसलिए वह न अभाज्य है न संयुक्त। चरण 3: 1 को अभाज्य मानना परीक्षा में आम गलती है।
31 is divisible only by 1 and 31, while 27, 35, and 45 are composite.
Step 3
Exam Tip
For small numbers, checking divisibility by 2, 3, 5, and 7 is useful. चरण 1: अभाज्य संख्या के केवल दो धनात्मक भाजक होते हैं। चरण 2: 31 केवल 1 और 31 से विभाजित होती है, जबकि 27, 35 और 45 संयुक्त हैं। चरण 3: छोटी संख्याओं में 2, 3, 5 और 7 से जांच करना उपयोगी है।
A. 1 न तो अभाज्य है और न संयुक्त/1 is neither prime nor composite
Step 1
Concept
A prime number must have exactly two positive factors.
Step 2
Why this answer is correct
1 has only one positive factor, 1, so it is neither prime nor composite.
Step 3
Exam Tip
Treating 1 as prime is a common mistake. चरण 1: अभाज्य संख्या के ठीक दो धनात्मक भाजक होने चाहिए। चरण 2: 1 का केवल एक धनात्मक भाजक 1 है, इसलिए वह न अभाज्य है और न संयुक्त। चरण 3: 1 को अभाज्य मानना आम गलती है।
A prime number has exactly two positive factors, 1 and itself.
Step 2
Why this answer is correct
29 is divisible only by 1 and 29, while the other numbers are composite.
Step 3
Exam Tip
For small numbers, checking divisibility by 2, 3, 5, and 7 is useful. चरण 1: अभाज्य संख्या के केवल दो धनात्मक भाजक होते हैं, 1 और स्वयं संख्या। चरण 2: 29 केवल 1 और 29 से विभाजित होती है, जबकि बाकी संख्याएं संयुक्त हैं। चरण 3: छोटी संख्याओं में 2, 3, 5, 7 से जांच करना उपयोगी है।
