Remember the difference between the number of distinct bases and the count with repetition. चरण 1: दोहराव सहित गिनती में घातों को जोड़ा जाता है। चरण 2: (6+4+3+2=15)। चरण 3: अलग-अलग आधारों की संख्या और दोहराव सहित संख्या में अंतर याद रखें।
While counting distinct prime factors, do not add exponents.
Step 2
Why this answer is correct
The prime bases are 2, 3, 11, and 13.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the number of distinct prime factors is 4. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड गिनते समय घात नहीं जोड़ते। चरण 2: अभाज्य आधार 2, 3, 11 और 13 हैं। चरण 3: इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों की संख्या 4 है।
Keep the difference between distinct prime count and repeated prime count clear. चरण 1: दोहराव सहित गिनने के लिए घातों को जोड़ते हैं। चरण 2: (4+2+2+2=10)। चरण 3: अलग-अलग अभाज्य गिनने और दोहराव सहित गिनने में अंतर रखें।
While counting distinct primes, only bases are counted.
Step 2
Why this answer is correct
The bases are 2, 3, 5, 7, 11, and 13.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the number of distinct prime factors is 6. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गिनते समय केवल आधार गिने जाते हैं। चरण 2: आधार 2, 3, 5, 7, 11 और 13 हैं। चरण 3: इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों की संख्या 6 है।
Counting only bases and counting with repetition are different. चरण 1: दोहराव सहित गिनती में घातों को जोड़ा जाता है। चरण 2: (8+6+4+3+2=23)। चरण 3: केवल आधार गिनना और दोहराव सहित गिनना अलग बातें हैं।
While counting distinct primes, only bases are counted.
Step 2
Why this answer is correct
The bases are 2, 3, 7, 11, and 13.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the number of distinct prime factors is 5. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गिनते समय केवल आधार गिने जाते हैं। चरण 2: आधार 2, 3, 7, 11 और 13 हैं। चरण 3: इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों की संख्या 5 है।
Keep the number of bases and the total count with repetition separate. चरण 1: दोहराव सहित गिनती में घातों को जोड़ा जाता है। चरण 2: (9+7+4+3+2=25)। चरण 3: आधारों की संख्या और दोहराव सहित कुल संख्या को अलग रखें।
Add (1) to each exponent and multiply to get total factors.
Step 2
Why this answer is correct
In option A, ((4+1)(2+1)(3+1)=5\times3\times4=60).
Step 3
Exam Tip
In option-based questions, test the exponents of each option. चरण 1: कुल गुणनखंडों के लिए घातों में (1) जोड़कर गुणा करते हैं। चरण 2: विकल्प A में ((4+1)(2+1)(3+1)=5\times3\times4=60)। चरण 3: विकल्प आधारित प्रश्नों में हर विकल्प की घातों पर यह नियम लगाएं।
While counting distinct primes, only bases are counted.
Step 2
Why this answer is correct
The bases are 2, 3, 11, and 13.
Step 3
Exam Tip
Therefore, there are 4 distinct prime factors. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गिनते समय केवल आधार गिने जाते हैं। चरण 2: आधार 2, 3, 11 और 13 हैं। चरण 3: इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड 4 हैं।
\(126=2 \times 3^2 \times 7\) and \(10=2 \times 5\), so \(1260=2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7\). It does not include (11).
Step 3
Exam Tip
Match the options with the prime factorisation. चरण 1: \(1260=126 \times 10\) लिखें। चरण 2: \(126=2 \times 3^2 \times 7\) और \(10=2 \times 5\), इसलिए \(1260=2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7\)। इसमें (11) नहीं है। चरण 3: विकल्पों को अभाज्य गुणनखंडन से मिलाएं।
A. क्योंकि 1 अभाज्य संख्या नहीं है/Because 1 is not a prime number
Step 1
Concept
A prime number has exactly two factors.
Step 2
Why this answer is correct
1 has only one factor, so 1 is not prime.
Step 3
Exam Tip
Do not write 1 as a final factor in prime factorisation. चरण 1: अभाज्य संख्या के ठीक दो गुणनखंड होते हैं। चरण 2: 1 का केवल एक ही गुणनखंड है, इसलिए 1 अभाज्य नहीं है। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन में 1 को अंतिम गुणनखंड न लिखें।
Multiply completely before selecting the option. चरण 1: दी गई घात का मान निकालें। चरण 2: \(2^2 \times 3 \times 5=4 \times 3 \times 5=60\)। चरण 3: विकल्प चुनने से पहले पूरा गुणा अवश्य करें।
A divisor's prime exponents must not exceed the given number's exponents.
Step 2
Why this answer is correct
\(144=2^4 \times 3^2\), which is fully contained in \(2^4 \times 3^3\).
Step 3
Exam Tip
For divisibility, match each prime exponent separately. चरण 1: भाजक की अभाज्य घातें दी गई संख्या की घातों से अधिक नहीं होनी चाहिए। चरण 2: \(144=2^4 \times 3^2\), जो \(2^4 \times 3^3\) में पूरा मौजूद है। चरण 3: विभाज्यता में हर अभाज्य की घात अलग-अलग मिलाएं।
For a divisor, its prime exponents must not exceed the available exponents.
Step 2
Why this answer is correct
\(72=2^3 \times 3^2\), which is fully present in the given number.
Step 3
Exam Tip
To test divisibility, match each prime exponent separately. चरण 1: किसी भाजक के लिए उसकी अभाज्य घातें उपलब्ध घातों से अधिक नहीं होनी चाहिए। चरण 2: \(72=2^3 \times 3^2\), जो पूरी तरह दी गई संख्या में मौजूद है। चरण 3: विभाज्यता जांचने में हर अभाज्य की घात अलग से मिलाएं।
A divisor must not need prime exponents greater than those available.
Step 2
Why this answer is correct
\(72=2^3 \times 3^2\), which is fully present in \(2^4 \times 3^2\).
Step 3
Exam Tip
For divisibility, match the exponent of each prime separately. चरण 1: भाजक के अभाज्य गुणनखंड उपलब्ध घातों से अधिक नहीं होने चाहिए। चरण 2: \(72=2^3 \times 3^2\), जो \(2^4 \times 3^2\) में पूरी तरह मौजूद है। चरण 3: विभाज्यता में हर अभाज्य की घात अलग-अलग मिलाएं।
Do not ignore powers while reading factorisation. चरण 1: पहले \(2^2=4\) लिखें। चरण 2: संख्या \(4\times3\times11=132\) होगी। चरण 3: गुणनखंडन पढ़ते समय घातों को अनदेखा न करें।
A divisor must not require prime exponents higher than those available.
Step 2
Why this answer is correct
\(45=3^2 \times 5\), which is fully contained in \(3^2 \times 5^3\).
Step 3
Exam Tip
Compare exponents to test divisibility. चरण 1: कोई संख्या तभी अवश्य विभाज्य होगी जब उसके अभाज्य गुणनखंड उपलब्ध घातों से अधिक न हों। चरण 2: \(45=3^2 \times 5\), जो \(3^2 \times 5^3\) में पूरा मौजूद है। चरण 3: विभाज्यता जांचते समय घातों की तुलना करें।
In long multiplication, pair easy numbers first, such as \(16\times25=400\). चरण 1: \(2^4=16\) और \(5^2=25\)। चरण 2: संख्या \(16\times3\times25=1200\) होगी। चरण 3: लंबे गुणन में पहले आसान जोड़ी \(16\times25=400\) बना सकते हैं।
First evaluate the powers: \(2^3=8\) and \(3^2=9\).
Step 2
Why this answer is correct
Now \(8\times9\times5=360\).
Step 3
Exam Tip
While forming a number from factorisation, simplify powers first and then multiply. चरण 1: पहले घातों का मान निकालें: \(2^3=8\) और \(3^2=9\)। चरण 2: अब \(8\times9\times5=360\)। चरण 3: गुणनखंडन से संख्या बनाते समय पहले घात, फिर गुणा करें।
Always simplify powers first and then multiply. चरण 1: \(2^3=8\) और \(5^2=25\)। चरण 2: दोनों मानों का गुणा करने पर \(8\times25=200\) मिलता है। चरण 3: घातों को पहले हल करें, फिर गुणा करें।
Since \(2^2=4\), the number is \(4\times3\times7=84\).
Step 3
Exam Tip
Reading prime factorisation correctly helps in HCF and LCM questions. चरण 1: दी गई अभाज्य घातों को पहले सरल करें। चरण 2: \(2^2=4\), इसलिए संख्या \(4\times3\times7=84\) है। चरण 3: महत्तम समापवर्तक या लघुत्तम समापवर्त्य से पहले गुणनखंडन को सही पढ़ना जरूरी है।
When counting distinct prime factors, do not add exponents.
Step 2
Why this answer is correct
The prime factors here are 2, 3, and 11.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the number of distinct prime factors is 3. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड गिनते समय घातों को नहीं जोड़ते। चरण 2: यहां अभाज्य गुणनखंड 2, 3 और 11 हैं। चरण 3: इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों की संख्या 3 है।
When counting distinct prime factors, do not add exponents.
Step 2
Why this answer is correct
The prime factors here are 2, 3, and 7.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the number of distinct prime factors is 3. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड गिनते समय घातों को नहीं जोड़ते। चरण 2: यहां अभाज्य गुणनखंड 2, 3 और 7 हैं। चरण 3: इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों की संख्या 3 है।
Since \(63=3^2 \times 7\), \(126=2 \times 3^2 \times 7\).
Step 3
Exam Tip
While counting distinct prime factors, do not count exponents as separate numbers. चरण 1: (126) को \(2 \times 63\) लिखें। चरण 2: \(63=3^2 \times 7\), इसलिए \(126=2 \times 3^2 \times 7\)। चरण 3: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड गिनते समय घातों को अलग संख्या न मानें।
Finding all three powers separately is safer. चरण 1: \(2^4=16\), \(5^2=25\) और \(7^2=49\) निकालें। चरण 2: \(16\times25\times49=19600\)। चरण 3: तीनों घातों का मान अलग-अलग निकालना सुरक्षित रहता है।
Do multiplication in small steps to avoid mistakes. चरण 1: \(2^4=16\) निकालें। चरण 2: \(16\times3\times5\times11=2640\)। चरण 3: गुणन को छोटे चरणों में करें ताकि गलती न हो।
Simplifying the higher power first is the right method. चरण 1: \(2^2=4\) और \(3^4=81\) निकालें। चरण 2: \(4\times81\times7=2268\)। चरण 3: बड़ी घात को पहले सरल करना सही तरीका है।
Simplify the two powers first and multiply. चरण 1: \(3^2=9\) और \(7^2=49\) निकालें। चरण 2: \(9\times5\times49=2205\)। चरण 3: दो घातों को पहले सरल करके गुणा करें।
Move step by step while multiplying. चरण 1: \(2^2=4\) और \(3^2=9\) निकालें। चरण 2: \(4\times9\times7\times11=2772\)। चरण 3: गुणा करते समय चरणों में आगे बढ़ें।
Simplifying the two powers first makes multiplication easy. चरण 1: \(3^3=27\) और \(5^2=25\) निकालें। चरण 2: \(2\times27\times25=1350\)। चरण 3: दो घातों को पहले सरल करने से गुणा आसान होता है।
Finding the value of powers first is the right method. चरण 1: \(2^2=4\) और \(3^3=27\) निकालें। चरण 2: \(4\times27\times11=1188\)। चरण 3: पहले घातों का मान निकालना ठीक तरीका है।
Finding the higher power first makes the answer easier. चरण 1: \(2^2=4\) और \(5^4=625\) निकालें। चरण 2: \(4\times625=2500\)। चरण 3: बड़ी घात को पहले निकालने से उत्तर आसान बनता है।
In such calculations, simplifying powers first is safer. चरण 1: \(2^4=16\) और \(3^4=81\) हैं। चरण 2: \(16\times81=1296\)। चरण 3: ऐसी गणना में घातों को पहले सरल करना सुरक्षित रहता है।
Find each power separately and then multiply. चरण 1: \(2^3=8\), \(3^2=9\) और \(5^2=25\) निकालें। चरण 2: \(8\times9\times25=1800\)। चरण 3: तीनों घातों का मान अलग-अलग निकालकर गुणा करें।
Evaluate prime powers and then multiply. चरण 1: \(2^4=16\) और \(3^4=81\) निकालें। चरण 2: \(16\times81=1296\)। चरण 3: अभाज्य घातों का मान निकालकर गुणा करें।
Both powers are 2 in this square form, so multiply carefully. चरण 1: \(5^2=25\) और \(7^2=49\) हैं। चरण 2: \(25\times49=1225\)। चरण 3: वर्ग रूप में दोनों घातें 2 हैं, इसलिए गुणा साफ करें।
Evaluating powers first makes calculation easier. चरण 1: \(2^3=8\) और \(7^2=49\) निकालें। चरण 2: \(8\times3\times49=1176\)। चरण 3: घातों का मान पहले निकालना गणना को आसान बनाता है।
Finding powers first makes the calculation easier. चरण 1: \(2^4=16\) और \(5^2=25\) निकालें। चरण 2: \(16\times25=400\)। चरण 3: घातों का मान पहले निकालना आसान रहता है।
Simplify powers first and then multiply. चरण 1: \(3^2=9\) और \(5^2=25\) निकालें। चरण 2: \(9\times25=225\)। चरण 3: घातों को पहले सरल करें, फिर गुणा करें।
Multiply all factors to get the number from prime factorisation. चरण 1: \(2^2=4\) निकालें। चरण 2: \(4\times3\times11=132\)। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन से संख्या पाने के लिए सभी गुणनखंडों का गुणा करें।
It is easier to find the value of prime powers first. चरण 1: \(2^4=16\) निकालें। चरण 2: \(16\times3=48\)। चरण 3: अभाज्य घात का मान पहले निकालना आसान रहता है।
Multiply to get the number from prime factorisation. चरण 1: \(2^2=4\) और \(3^2=9\) निकालें। चरण 2: \(4\times9=36\)। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन से संख्या पाने के लिए गुणा करें।
An even number must contain (2) in its prime factorisation.
Step 2
Why this answer is correct
Only the fourth option contains (2), so it represents an even number.
Step 3
Exam Tip
You do not need to calculate the whole number to check evenness. चरण 1: सम संख्या के अभाज्य गुणनखंडन में (2) अवश्य होता है। चरण 2: केवल चौथे विकल्प में (2) है, इसलिए वही सम संख्या दर्शाता है। चरण 3: समता जांचने के लिए पूरी संख्या निकालने की जरूरत नहीं होती।
An odd number does not contain (2) as a prime factor.
Step 2
Why this answer is correct
The second option has (3) and (5), but no (2), so it is odd.
Step 3
Exam Tip
The presence of (2) makes the number even. चरण 1: विषम संख्या में (2) अभाज्य गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: दूसरे विकल्प में (3) और (5) हैं, लेकिन (2) नहीं है, इसलिए वह विषम संख्या है। चरण 3: (2) की उपस्थिति संख्या को सम बना देती है।
Only the third option contains (2), so it represents an even number.
Step 3
Exam Tip
To check evenness, calculating the whole number is not necessary. चरण 1: सम संख्या में (2) अभाज्य गुणनखंड अवश्य होता है। चरण 2: केवल तीसरे विकल्प में (2) मौजूद है, इसलिए वही सम संख्या को दर्शाता है। चरण 3: समता जांचने के लिए पूरी संख्या निकालने की जरूरत नहीं है।
An odd number does not contain (2) in its prime factorisation.
Step 2
Why this answer is correct
The second option has (3) and (7) but no (2), so it is odd.
Step 3
Exam Tip
The presence of (2) makes a number even. चरण 1: विषम संख्या के अभाज्य गुणनखंडन में (2) नहीं होता। चरण 2: दूसरे विकल्प में (3) और (7) हैं लेकिन (2) नहीं है, इसलिए वह विषम संख्या है। चरण 3: (2) की उपस्थिति संख्या को सम बना देती है।
An odd number does not have (2) as a prime factor.
Step 2
Why this answer is correct
The third option has (3,5,7) and no (2), so it forms an odd number.
Step 3
Exam Tip
If (2) appears, the number is even. चरण 1: विषम संख्या में (2) अभाज्य गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: तीसरे विकल्प में (3,5,7) हैं और (2) नहीं है, इसलिए यह विषम संख्या बनेगी। चरण 3: (2) दिखते ही संख्या सम हो जाती है।
An even number must have (2) in its prime factorisation.
Step 2
Why this answer is correct
Only the third option contains (2), so it forms an even number.
Step 3
Exam Tip
You do not need to calculate the whole number to check even or odd. चरण 1: सम संख्या के अभाज्य गुणनखंडन में (2) अवश्य होता है। चरण 2: केवल तीसरे विकल्प में (2) है, इसलिए वही सम संख्या बनाएगा। चरण 3: सम या विषम पहचानने के लिए पूरी संख्या निकालने की जरूरत नहीं होती।
An odd number has no factor (2) in its prime factorisation.
Step 2
Why this answer is correct
The first option contains only (3,5,7), so it is odd.
Step 3
Exam Tip
The presence of (2) makes a number even. चरण 1: विषम संख्या के अभाज्य गुणनखंडन में (2) नहीं होता। चरण 2: पहले विकल्प में केवल (3,5,7) हैं, इसलिए वह विषम संख्या है। चरण 3: (2) की उपस्थिति संख्या को सम बना देती है।
A number is even if its prime factorisation contains (2).
Step 2
Why this answer is correct
Only the first option contains (2), so it represents an even number.
Step 3
Exam Tip
To check evenness, look only for the factor (2). चरण 1: कोई संख्या सम तभी होती है जब उसमें (2) अभाज्य गुणनखंड हो। चरण 2: केवल पहले विकल्प में (2) मौजूद है, इसलिए वह सम संख्या है। चरण 3: समता जांचने के लिए पूरे गुणा की जरूरत नहीं, केवल (2) देखें।
When there are many factors, multiply in small groups. चरण 1: \(2^3=8\), \(3^3=27\) और \(5^2=25\) निकालें। चरण 2: \(8\times27\times25\times7\times11=415800\)। चरण 3: कई गुणनखंड हों तो छोटे समूह बनाकर गुणा करें।
Take \(2^4=16\), \(3^5=243\), \(5^2=25\), and (7).
Step 2
Why this answer is correct
\(16\times243\times25\times7=680400\).
Step 3
Exam Tip
Solving powers first helps find the correct option quickly. चरण 1: \(2^4=16\), \(3^5=243\), \(5^2=25\) और (7) लें। चरण 2: \(16\times243\times25\times7=680400\)। चरण 3: घातों को पहले हल करने से सही विकल्प जल्दी मिलता है।
Calculate \(2^2=4\), \(3^2=9\), \(5^2=25\), and \(11^2=121\).
Step 2
Why this answer is correct
\(4\times9\times25\times121=108900\).
Step 3
Exam Tip
This is a square form, so observe the powers carefully. चरण 1: \(2^2=4\), \(3^2=9\), \(5^2=25\) और \(11^2=121\) निकालें। चरण 2: \(4\times9\times25\times121=108900\)। चरण 3: यह वर्ग रूप है, इसलिए घातों को ध्यान से देखें।
Solving powers first helps find the correct option quickly. चरण 1: \(2^6=64\), \(3^3=27\) और \(5^2=25\) हैं। चरण 2: \(64\times27\times25=43200\)। चरण 3: घातों को पहले हल करने से सही विकल्प जल्दी मिलता है।
Find all three powers separately. चरण 1: \(2^3=8\), \(5^2=25\) और \(7^2=49\) निकालें। चरण 2: \(8\times25\times49=9800\)। चरण 3: तीनों घातों का मान अलग-अलग निकालें।
Solving powers first helps find the correct option quickly. चरण 1: \(2^4=16\) और \(3^2=9\) निकालें। चरण 2: \(16\times9\times5\times7=5040\)। चरण 3: घातों को पहले हल करने से सही विकल्प जल्दी मिलता है।
Solving powers first helps find the correct option quickly. चरण 1: \(2^6=64\), \(3^2=9\) और \(7^2=49\) हैं। चरण 2: \(64\times9\times49=28224\)। चरण 3: घातों को पहले हल करने से सही विकल्प जल्दी मिलता है।
The common primes are (2) and (3), with smaller powers \(2^3\) and \(3^2\).
Step 3
Exam Tip
A prime appearing in only one number is not written in HCF. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड शामिल होते हैं। चरण 2: समान गुणनखंड (2) और (3) हैं, छोटी घातें \(2^3\) और \(3^2\) हैं। चरण 3: जो अभाज्य केवल एक संख्या में हो, उसे महत्तम समापवर्तक में न लिखें।
Evaluating powers first makes the calculation simple. चरण 1: \(2^2=4\) और \(3^2=9\) है। चरण 2: \(4 \times 9 \times 11=36 \times 11=396\)। चरण 3: पहले घातों को हल करना गणना को सरल बनाता है।
Calculate the number yourself before checking the options. चरण 1: \(2^4=16\) होता है। चरण 2: \(16 \times 3 \times 5=16 \times 15=240\)। चरण 3: विकल्पों में जाने से पहले स्वयं संख्या निकालें।
Remembering small powers helps you calculate faster. चरण 1: \(3^3=27\) है। चरण 2: \(27 \times 7=189\), इसलिए संख्या (189) है। चरण 3: पहले छोटी घातों को याद करके गणना तेज करें।
Solving powers first makes multiplication simple. चरण 1: \(2^3=8\) और \(5^2=25\) है। चरण 2: \(8 \times 25=200\), इसलिए संख्या (200) है। चरण 3: घातों को पहले हल करने से गुणा सरल हो जाता है।
For \(p^2q^3\), the number of factors is ((2+1)(3+1)=12).
Step 3
Exam Tip
When prime bases are distinct, factor count comes directly from exponents. चरण 1: कुल गुणनखंडों के लिए हर घात में (1) जोड़ते हैं। चरण 2: \(p^2q^3\) में कुल गुणनखंड \((2+1)(3+1)=3 \times 4=12\) होंगे। चरण 3: अलग अभाज्य आधार होने पर गुणनखंडों की संख्या सीधे घातों से मिलती है।
A trailing zero comes from a pair \(10=2 \times 5\).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) is (3) and of (5) is (1), so there is (1) pair.
Step 3
Exam Tip
For trailing zeros, take the smaller exponent of (2) and (5). चरण 1: अंतिम शून्य \(10=2 \times 5\) के जोड़े से बनता है। चरण 2: (2) की घात (3) और (5) की घात (1) है, इसलिए जोड़ों की संख्या (1) है। चरण 3: अंतिम शून्य के लिए (2) और (5) में छोटी घात लें।
\(2^4 \times 5^2=16 \times 25=400\), and it has no factor (3).
Step 3
Exam Tip
Check the exponent of every prime before choosing. चरण 1: शर्त के अनुसार संख्या \(2^4 \times 5^2\) होनी चाहिए। चरण 2: \(2^4 \times 5^2=16 \times 25=400\), इसमें (3) नहीं है। चरण 3: विकल्प चुनने से पहले हर अभाज्य की घात जांचें।
In such questions, solve powers before multiplying. चरण 1: दी गई घातों का मान निकालें। चरण 2: \(2^2 \times 3 \times 5^2=4 \times 3 \times 25=300\) होता है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले घात हल करें, फिर गुणा करें।
A factor divisible by (5) must have power of (5) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
Choices are (4) for (2), (3) for (3), and (4) for (5). Total \(=4\times3\times4=48\).
Step 3
Exam Tip
Do not include zero power for the required prime. चरण 1: (5) से विभाज्य गुणनखंड में (5) की घात कम से कम (1) होगी। चरण 2: (2) के लिए (4) तरीके, (3) के लिए (3) तरीके, और (5) के लिए (1,2,3,4) यानी (4) तरीके। कुल \(4\times3\times4=48\)। चरण 3: शर्त वाले अभाज्य की शून्य घात को शामिल न करें।
\(9\div3=3\), \(6\div3=2\), and \(3\div3=1\), so the cube root is \(2^3\times3^2\times7\).
Step 3
Exam Tip
In a perfect cube, all exponents are multiples of (3). चरण 1: घनमूल लेते समय हर अभाज्य घात को (3) से भाग देते हैं। चरण 2: \(9\div3=3\), \(6\div3=2\), और \(3\div3=1\), इसलिए घनमूल \(2^3\times3^2\times7\) है। चरण 3: पूर्ण घन में सभी घातें (3) की गुणज होती हैं।
\(2^6\) becomes \(2^3\), \(3^4\) becomes \(3^2\), and \(5^2\) becomes (5).
Step 3
Exam Tip
This direct method works when all exponents are even. चरण 1: वर्गमूल लेते समय हर अभाज्य गुणनखंड की घात आधी हो जाती है। चरण 2: \(2^6\) से \(2^3\), \(3^4\) से \(3^2\), और \(5^2\) से (5) मिलेगा। चरण 3: यह विधि तभी सीधे लागू होती है जब सभी घातें सम हों।
For an unknown exponent, apply the factor-count rule directly. चरण 1: कुल गुणनखंड ((a+1)(2+1)(1+1)) होंगे। चरण 2: ((a+1)\times3\times2=24), इसलिए (a+1=4) और (a=3)। चरण 3: अज्ञात घात वाले प्रश्न में गुणनखंडों का नियम सीधे लगाएं।
Multiply the prime factors according to their powers.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^2=4\) and \(7^2=49\), so \(4\times3\times49=588\).
Step 3
Exam Tip
First evaluate powers, then multiply carefully. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडों को उनकी घात के अनुसार गुणा करें। चरण 2: \(2^2=4\), \(7^2=49\), इसलिए \(4\times3\times49=588\)। चरण 3: पहले घातों का मान निकालें, फिर धीरे-धीरे गुणा करें।
When counting distinct prime factors, exponents are not added.
Step 2
Why this answer is correct
The prime bases are 2, 3, 5, 7, and 17.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the number of distinct prime factors is 5. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड गिनते समय घातें नहीं जोड़ी जातीं। चरण 2: अभाज्य आधार 2, 3, 5, 7 और 17 हैं। चरण 3: इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों की संख्या 5 है।
Total (10+8+7+2=27), so the answer is 27. चरण 1: दोहराव सहित गिनने के लिए घातों को जोड़ते हैं। चरण 2: \(2^{10}\) से 10, \(3^8\) से 8, \(5^7\) से 7 और \(19^2\) से 2 गुणनखंड मिलते हैं। चरण 3: कुल (10+8+7+2=27), इसलिए उत्तर 27 है।
When counting distinct prime factors, exponents are not added.
Step 2
Why this answer is correct
The prime bases are 2, 3, 5, 7, and 13.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the number of distinct prime factors is 5. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड गिनते समय घातें नहीं जोड़ी जातीं। चरण 2: अभाज्य आधार 2, 3, 5, 7 और 13 हैं। चरण 3: इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों की संख्या 5 है।
Total (9+7+6+2=24), so the answer is 24. चरण 1: दोहराव सहित गिनने के लिए घातों को जोड़ते हैं। चरण 2: \(2^9\) से 9, \(3^7\) से 7, \(5^6\) से 6 और \(17^2\) से 2 गुणनखंड मिलते हैं। चरण 3: कुल (9+7+6+2=24), इसलिए उत्तर 24 है।
When counting distinct prime factors, do not add exponents.
Step 2
Why this answer is correct
The prime bases are 2, 3, 5, 11, and 13.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the number of distinct prime factors is 5. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड गिनते समय घातों को नहीं जोड़ते। चरण 2: यहां अभाज्य आधार 2, 3, 5, 11 और 13 हैं। चरण 3: इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों की संख्या 5 है।
Total (8+6+5+2=21), so the answer is 21. चरण 1: दोहराव सहित गिनने के लिए घातों को जोड़ते हैं। चरण 2: \(2^8\) से 8, \(3^6\) से 6, \(5^5\) से 5 और \(13^2\) से 2 गुणनखंड मिलते हैं। चरण 3: कुल (8+6+5+2=21), इसलिए उत्तर 21 है।
When counting distinct prime factors, do not add exponents.
Step 2
Why this answer is correct
The prime factors here are 2, 3, 5, and 11.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the number of distinct prime factors is 4. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड गिनते समय घातों को नहीं जोड़ते। चरण 2: यहां अभाज्य गुणनखंड 2, 3, 5 और 11 हैं। चरण 3: इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों की संख्या 4 है।
Total (7+5+4+1=17), so the answer is 17. चरण 1: दोहराव सहित गिनने के लिए घातों को जोड़ते हैं। चरण 2: \(2^7\) से 7, \(3^5\) से 5, \(5^4\) से 4 और 11 से 1 गुणनखंड मिलता है। चरण 3: कुल (7+5+4+1=17), इसलिए उत्तर 17 है।
Total (6+4+3+1=14), so the answer is 14. चरण 1: दोहराव सहित गिनने के लिए घातों को जोड़ते हैं। चरण 2: \(2^6\) से 6, \(3^4\) से 4, \(5^3\) से 3 और 7 से 1 गुणनखंड मिलता है। चरण 3: कुल (6+4+3+1=14), इसलिए उत्तर 14 है।
Total (4+3+2=9), so the answer is 9. चरण 1: दोहराव सहित गिनने के लिए घातों को जोड़ते हैं। चरण 2: \(2^4\) से 4, \(3^3\) से 3 और \(5^2\) से 2 गुणनखंड मिलते हैं। चरण 3: कुल (4+3+2=9), इसलिए उत्तर 9 है।
Total (3+2+2=7), so the answer is 7. चरण 1: दोहराव सहित कुल संख्या के लिए घातों को जोड़ें। चरण 2: \(2^3\) से 3, \(3^2\) से 2 और \(7^2\) से 2 गुणनखंड मिलते हैं। चरण 3: कुल (3+2+2=7), इसलिए उत्तर 7 है।
Total (2+3+1=6), so the answer is 6. चरण 1: दोहराव सहित कुल संख्या के लिए घातों को जोड़ें। चरण 2: \(2^2\) से 2, \(3^3\) से 3 और (5) से 1 गुणनखंड मिलते हैं। चरण 3: कुल (2+3+1=6), इसलिए उत्तर 6 है।
A. उनका महत्तम समापवर्तक (1) होगा/Their HCF will be (1)
Step 1
Concept
HCF contains only common prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
If there is no common prime factor, the only common divisor is (1).
Step 3
Exam Tip
Treat such numbers as coprime to solve quickly. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य गुणनखंड ही आते हैं। चरण 2: यदि कोई समान अभाज्य गुणनखंड नहीं है, तो केवल (1) साझा भाजक बचता है। चरण 3: ऐसी संख्याओं को सहाभाज्य समझकर प्रश्न जल्दी हल करें।
The bases of the second number are (2,3,7), so the common primes are (2) and (3).
Step 3
Exam Tip
For common factors, choose bases present in both numbers. चरण 1: पहली संख्या के आधार (2,3,5) हैं। चरण 2: दूसरी संख्या के आधार (2,3,7) हैं, इसलिए समान अभाज्य (2) और (3) हैं। चरण 3: समान गुणनखंडों में वही आधार लें जो दोनों में हों।
The prime bases here are (2,3,11), and the greatest is (11).
Step 3
Exam Tip
Do not treat a composite value like (9) as a prime factor. चरण 1: अभाज्य गुणनखंड आधार संख्याएं होती हैं। चरण 2: यहां अभाज्य आधार (2,3,11) हैं, जिनमें सबसे बड़ा (11) है। चरण 3: (9) जैसे संयुक्त मान को अभाज्य गुणनखंड न मानें।
Distinct prime factors are counted from the prime bases.
Step 2
Why this answer is correct
The bases are (2,3,5), so there are (3) distinct prime factors.
Step 3
Exam Tip
Exponents are not counted as separate prime factors. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड आधार संख्याओं से गिने जाते हैं। चरण 2: यहां आधार (2,3,5) हैं, इसलिए कुल (3) अलग अभाज्य गुणनखंड हैं। चरण 3: घातों को अलग अभाज्य गुणनखंड नहीं माना जाता।
The bases of the second number are (2,3,7), so the common primes are (2) and (3).
Step 3
Exam Tip
For common factors, choose only bases present in both numbers. चरण 1: पहली संख्या के आधार (2,3,5) हैं। चरण 2: दूसरी संख्या के आधार (2,3,7) हैं, इसलिए समान अभाज्य (2) और (3) हैं। चरण 3: समान गुणनखंडों में केवल दोनों में मौजूद आधार चुनें।
The prime bases here are (2,3,5), and the greatest is (5).
Step 3
Exam Tip
Do not treat a number like (9) as a prime factor. चरण 1: अभाज्य गुणनखंड आधार संख्याएं होती हैं। चरण 2: यहां अभाज्य आधार (2,3,5) हैं, जिनमें सबसे बड़ा (5) है। चरण 3: (9) जैसी संख्या को अभाज्य गुणनखंड न मानें।
Distinct prime factors are counted from the prime bases.
Step 2
Why this answer is correct
The bases are (2,3,7), so there are (3) distinct prime factors.
Step 3
Exam Tip
Do not count exponents as separate prime factors. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड आधार संख्याओं से गिने जाते हैं। चरण 2: यहां आधार (2,3,7) हैं, इसलिए कुल (3) अलग अभाज्य गुणनखंड हैं। चरण 3: घातों को अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड न गिनें।
Here (2,3,5) are prime factors, and the greatest is (5).
Step 3
Exam Tip
When the greatest prime factor is asked, do not choose a composite number. चरण 1: अभाज्य गुणनखंड आधार संख्याएं हैं। चरण 2: यहां (2,3,5) अभाज्य गुणनखंड हैं, इनमें सबसे बड़ा (5) है। चरण 3: सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड पूछे जाने पर संयुक्त संख्या को विकल्प न चुनें।
The bases in prime factorisation are the prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
Here the bases are (2) and (3), and the smallest is (2).
Step 3
Exam Tip
To find the smallest prime factor, do not focus on exponents. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन में आधार संख्याएं अभाज्य गुणनखंड होती हैं। चरण 2: यहां आधार (2) और (3) हैं, इनमें सबसे छोटा (2) है। चरण 3: सबसे छोटा अभाज्य गुणनखंड खोजते समय घातों को न देखें।
\(9=3^2\) and \(35=5 \times 7\), so \(315=3^2 \times 5 \times 7\). It does not include (2).
Step 3
Exam Tip
A prime not appearing in the factorisation is not a prime factor of the number. चरण 1: \(315=9 \times 35\) लिखें। चरण 2: \(9=3^2\) और \(35=5 \times 7\), इसलिए \(315=3^2 \times 5 \times 7\)। इसमें (2) शामिल नहीं है। चरण 3: जो अभाज्य गुणनखंडन में नहीं आता, वह उस संख्या का अभाज्य गुणनखंड नहीं है।
(9) is not prime because \(9=3^2\), so the first option is not prime factorisation.
Step 3
Exam Tip
Every base must be prime; writing powers alone is not enough. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन में सभी आधार अभाज्य होने चाहिए। चरण 2: (9) अभाज्य नहीं है क्योंकि \(9=3^2\), इसलिए पहला विकल्प अभाज्य गुणनखंडन नहीं है। चरण 3: हर आधार को अभाज्य होना चाहिए, केवल घात लिखना काफी नहीं।
The prime factors of the first number are (2,3,5).
Step 2
Why this answer is correct
The second number has (2,3,7), so (5) is not common.
Step 3
Exam Tip
To check common factors, compare the prime bases. चरण 1: पहली संख्या के अभाज्य गुणनखंड (2,3,5) हैं। चरण 2: दूसरी संख्या के अभाज्य गुणनखंड (2,3,7) हैं, इसलिए (5) समान नहीं है। चरण 3: समानता देखते समय केवल मौजूद अभाज्य आधारों की तुलना करें।
Distinct prime factors are counted by their prime bases.
Step 2
Why this answer is correct
The bases are (2,3,5), so there are (3) distinct prime factors.
Step 3
Exam Tip
Do not count exponents as separate factors. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों में आधार संख्याएं गिनी जाती हैं। चरण 2: यहां आधार (2,3,5) हैं, इसलिए संख्या (3) है। चरण 3: घातों को अलग गुणनखंड मानकर गलती न करें।
The bases in prime factorisation are the prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
Among (2,3,7), the smallest prime number is (2).
Step 3
Exam Tip
For the smallest prime factor, look at the base, not the exponent. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन में लिखी सभी संख्याएं अभाज्य गुणनखंड होती हैं। चरण 2: (2,3,7) में सबसे छोटी अभाज्य संख्या (2) है। चरण 3: सबसे छोटे गुणनखंड के लिए घात नहीं, आधार संख्या देखें।
For distinct prime factors, exponents are not added.
Step 2
Why this answer is correct
The bases are 2, 3, 5, 7, and 11.
Step 3
Exam Tip
Therefore, there are 5 distinct prime factors. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों में घातों को नहीं जोड़ा जाता। चरण 2: आधार 2, 3, 5, 7 और 11 हैं। चरण 3: इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड 5 हैं।
