Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
Each natural number (n) forms an ordered pair ((n,n+1)).
Step 2
Why this answer is correct
Substituting \(n=1,2,3,\ldots\) keeps producing new pairs.
Step 3
Exam Tip
Since natural numbers do not end, this set is infinite. चरण 1: प्रत्येक प्राकृतिक संख्या (n) से एक क्रमित युग्म ((n,n+1)) बनता है। चरण 2: \(n=1,2,3,\ldots\) रखने पर नए-नए युग्म मिलते रहते हैं। चरण 3: प्राकृतिक संख्याएँ समाप्त नहीं होतीं, इसलिए यह समुच्चय अनंत है।
There is no upper limit on (n), so the list does not end.
Step 3
Exam Tip
In rule-based sets, carefully check the range of the variable. चरण 1: \(n=1,2,3,\ldots\) रखने पर \(4,7,10,\ldots\) मिलते हैं। चरण 2: (n) पर कोई ऊपरी सीमा नहीं है, इसलिए सूची समाप्त नहीं होती। चरण 3: नियम से बने समुच्चय में चल राशि की सीमा ध्यान से देखें।
(x=2n) gives even natural numbers such as \(2,4,6,8,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
Since (n) runs through natural numbers, the list does not end.
Step 3
Exam Tip
When a variable has no upper bound, the set is often infinite. चरण 1: (x=2n) से \(2,4,6,8,\ldots\) जैसी सम प्राकृतिक संख्याएँ मिलती हैं। चरण 2: (n) प्राकृतिक संख्याओं में चलता रहता है, इसलिए (C) की सूची समाप्त नहीं होती। चरण 3: जब चल राशि पर ऊपरी सीमा न हो, तो अपरिमित समुच्चय की संभावना अधिक होती है।
Learn to compare roster form and set-builder form. चरण 1: (N) में (5) से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ हैं। चरण 2: वे (1,2,3,4) हैं, जो (M) के अवयवों के समान हैं। चरण 3: सूची रूप और नियम रूप को मिलाकर देखना सीखें।
For natural numbers satisfying \(x^2<20\), the values are (1,2,3,4) because \(5^2=25\).
Step 2
Why this answer is correct
The elements of (B) are exactly the same as the elements of (A) so the sets are equal.
Step 3
Exam Tip
To check equality convert set-builder form into roster form. चरण 1: प्राकृतिक संख्याओं में \(x^2<20\) के लिए (1,2,3,4) मान मिलते हैं क्योंकि \(5^2=25\) हो जाता है। चरण 2: (B) के तत्व ठीक (A) जैसे हैं इसलिए दोनों समान समुच्चय हैं। चरण 3: समानता जाँचते समय वर्णन रूप को सूची रूप में बदलना आसान रहता है।
This matches the list in (A) exactly so the sets are equal.
Step 3
Exam Tip
To check equality write the list formed by the condition. चरण 1: (8) से छोटी धनात्मक सम संख्याएँ (2,4,6) हैं। चरण 2: यह (A) की सूची से पूरी तरह मिलती है इसलिए दोनों समान हैं। चरण 3: समानता जाँचने के लिए शर्त से बनी सूची लिखें।
Convert algebraic form into roster form to check equality. चरण 1: (x=1,2,3) रखने पर \(x^2\) के मान (1,4,9) मिलते हैं। चरण 2: ये (A) के सभी तत्वों के समान हैं इसलिए (A=B)। चरण 3: बीजगणितीय रूप को सूची में बदलकर समानता जाँचें।
Convert set-builder form to roster form for easy comparison. चरण 1: (10) से छोटी अभाज्य संख्याएँ (2,3,5,7) हैं। चरण 2: यही सभी तत्व (A) में हैं इसलिए (A=B) है। चरण 3: वर्णन रूप को सूची रूप में बदलकर तुलना करना आसान होता है।
Positive multiples of (5) less than (20) are (5,10,15).
Step 2
Why this answer is correct
(20) is not included because the condition says less than (20).
Step 3
Exam Tip
Note the difference between less than and less than or equal to. चरण 1: (20) से छोटी धनात्मक (5) की गुणज संख्याएँ (5,10,15) हैं। चरण 2: (20) शामिल नहीं होगा क्योंकि शर्त (20) से छोटी है। चरण 3: छोटी और छोटी या बराबर में अंतर ध्यान रखें।
A. हाँ क्योंकि दोनों में वही स्वर हैं/Yes because both contain the same vowels
Step 1
Concept
To check equality compare the elements of both sets.
Step 2
Why this answer is correct
(A) contains the same five vowels listed in (B) so they are equal.
Step 3
Exam Tip
Description form and roster form can represent the same set. चरण 1: समानता के लिए दोनों समुच्चयों के तत्वों की तुलना करें। चरण 2: (A) में वही पाँच स्वर हैं जो (B) में लिखे हैं इसलिए दोनों समान हैं। चरण 3: वर्णन रूप और सूची रूप एक ही समुच्चय दिखा सकते हैं।
So the form is \(n^3\), where (n) is a natural number and \(1\le n\le 4\).
Step 3
Exam Tip
It is important to distinguish square and cube patterns. चरण 1: (1,8,27,64) क्रमशः \(1^3,2^3,3^3,4^3\) हैं। चरण 2: इसलिए रूप \(n^3\) होगा जहां (n) प्राकृतिक संख्या है और \(1\le n\le 4\)। चरण 3: वर्ग और घन के पैटर्न को अलग-अलग पहचानना जरूरी है।
The set is made of multiples of (3), ending at (30).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(30=3\times 10\), the range of (n) is \(1\le n\le 10\).
Step 3
Exam Tip
In sets with dots, use the last element to identify the boundary. चरण 1: समुच्चय (3) के गुणजों से बना है और अंतिम सदस्य (30) है। चरण 2: \(30=3\times 10\), इसलिए (n) की सीमा \(1\le n\le 10\) होगी। चरण 3: दीर्घवृत्त वाले समुच्चय में अंतिम सदस्य से सीमा पहचानें।
(x+2) must be one of these. From (x+2=5), (x=3), and from (x+2=10), (x=8). The divisors (1) and (2) do not give natural (x).
Step 3
Exam Tip
Treat the expression (x+2) as a separate value first. चरण 1: (10) के धन भाजक (1,2,5,10) हैं। चरण 2: (x+2) इनमें से कोई होना चाहिए। (x+2=5) से (x=3) और (x+2=10) से (x=8) मिलता है। (1) और (2) से (x) प्राकृतिक नहीं बनता। चरण 3: बदले हुए रूप (x+2) को पहले अलग मात्रा मानकर हल करें।
This set contains even integers below (10), including zero.
Step 2
Why this answer is correct
(2n), where (n=0,1,2,3,4), gives exactly (0,2,4,6,8). So the first option based on integers is safest.
Step 3
Exam Tip
When zero is included, read the number system in the options carefully. चरण 1: इस समुच्चय में शून्य सहित (10) से छोटे सम पूर्णांक हैं। चरण 2: (2n), जहां (n=0,1,2,3,4), ठीक (0,2,4,6,8) देता है। इसलिए पूर्णांक पर आधारित पहला विकल्प अधिक सुरक्षित है। चरण 3: जब शून्य शामिल हो, तो प्राकृतिक संख्या की परिभाषा से भ्रम हो सकता है, इसलिए दिए गए विकल्प ध्यान से पढ़ें।
A. \(({x\in \mathbb{Z}: x^2=4\) और \(x>0})\)/\(({x\in \mathbb{Z}: x^2=4\) and \(x>0})\)
Step 1
Concept
A singleton set has exactly one element.
Step 2
Why this answer is correct
In the first option, \(x^2=4\) gives (x=-2,2), but (x>0) keeps only (2). So it is a singleton set.
Step 3
Exam Tip
Distinguish singleton and empty sets by counting their elements. चरण 1: एकल समुच्चय में ठीक एक सदस्य होता है। चरण 2: पहले विकल्प में \(x^2=4\) से (x=-2,2) मिलते हैं, लेकिन (x>0) के कारण केवल (2) बचेगा। इसलिए यह एकल समुच्चय है। चरण 3: एकल और खाली समुच्चय में अंतर गिनती से साफ करें।
(7,14,21,28,35) are the first five positive multiples of (7).
Step 2
Why this answer is correct
They can be written as (7n), where (n=1,2,3,4,5). So the first option is correct.
Step 3
Exam Tip
For a set of multiples, mention both the common multiple pattern and the range. चरण 1: (7,14,21,28,35) सात के पहले पांच धन गुणज हैं। चरण 2: इन्हें (7n) से लिखा जा सकता है जहां (n=1,2,3,4,5)। इसलिए पहला विकल्प ठीक है। चरण 3: गुणजों के समुच्चय में सामान्य गुणज और सीमा दोनों लिखना चाहिए।
Remove multiples of (2), namely (2,4,6,8,10), and multiples of (3), namely (3,6,9). The remaining numbers are (1,5,7).
Step 3
Exam Tip
In negative conditions, first mark the numbers that must be removed. चरण 1: (1) से (10) तक संख्याएं जांचें। चरण 2: (2) से विभाज्य संख्याएं (2,4,6,8,10) हटेंगी और (3) से विभाज्य (3,6,9) हटेंगी। बची संख्याएं (1,5,7) हैं। चरण 3: नहीं वाली शर्तों में जिन संख्याओं को हटाना है, उन्हें पहले चिन्हित करें।
The given elements are the first five positive multiples of (4).
Step 2
Why this answer is correct
(4n), where (n=1,2,3,4,5), gives exactly (4,8,12,16,20). Other options include extra elements.
Step 3
Exam Tip
The most accurate form is the one that creates only the given elements. चरण 1: दिए गए सदस्य (4) के पहले पांच धन गुणज हैं। चरण 2: (4n) जहां (n=1,2,3,4,5), ठीक (4,8,12,16,20) देता है। बाकी विकल्पों में अतिरिक्त सदस्य आ जाते हैं। चरण 3: सबसे सही रूप वही होता है जो केवल दिए गए सदस्यों को बनाए।
The equation \(x^2-5x+6=0\) can be written as ((x-2)(x-3)=0).
Step 2
Why this answer is correct
This gives (x=2) or (x=3), and both are natural numbers, so \(T=\{2,3\}\).
Step 3
Exam Tip
In equation-based sets, always check whether the solutions belong to the given number system. चरण 1: \(x^2-5x+6=0\) को ((x-2)(x-3)=0) लिखा जा सकता है। चरण 2: इससे (x=2) या (x=3) मिलता है, और दोनों प्राकृतिक संख्याएं हैं। इसलिए \(T=\{2,3\}\)। चरण 3: समीकरण वाले समुच्चय में हल निकालने के बाद यह जरूर जांचें कि हल दिए गए संख्या-समुच्चय में है या नहीं।
Natural numbers are usually taken as \(1,2,3,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
There is no natural number less than (1), so the first set is empty. The other options contain (0), (1), and (0) respectively.
Step 3
Exam Tip
Before identifying an empty set, check the given number system carefully. चरण 1: प्राकृतिक संख्याएं \(1,2,3,\ldots\) से शुरू मानी जाती हैं। चरण 2: (x<1) वाली कोई प्राकृतिक संख्या नहीं है, इसलिए पहला समुच्चय खाली है। बाकी विकल्पों में क्रमशः (0), (1), और (0) सदस्य मिलते हैं। चरण 3: खाली समुच्चय पहचानने से पहले दिए गए संख्या-समुच्चय को ध्यान से देखें।
The elements (1,4,9,16,25) are \(1^2,2^2,3^2,4^2,5^2\).
Step 2
Why this answer is correct
So they can be written as \(n^2\), where (n) is a natural number and \(1\le n\le 5\).
Step 3
Exam Tip
When converting roster form to set-builder form, identify the pattern behind the elements. चरण 1: दिए गए सदस्य (1,4,9,16,25) क्रमशः \(1^2,2^2,3^2,4^2,5^2\) हैं। चरण 2: इसलिए इन्हें \(n^2\) के रूप में लिखा जाएगा जहां (n) प्राकृतिक संख्या है और \(1\le n\le 5\)। चरण 3: रोस्टर रूप से समुच्चय-निर्माण रूप बनाते समय सदस्यों में छिपा पैटर्न पहचानें।
From \(x^2\le 16\), the integer values run from (-4) to (4).
Step 2
Why this answer is correct
The prime numbers in this range are only (2) and (3), so removing them leaves (-4,-3,-2,-1,0,1,4).
Step 3
Exam Tip
In exams, remember that negative integers are not prime because a prime number is a natural number greater than (1). चरण 1: \(x^2\le 16\) से पूर्णांक मान (-4) से (4) तक मिलते हैं। चरण 2: अभाज्य संख्याएं केवल (2) और (3) हैं, इसलिए उन्हें हटाने पर (-4,-3,-2,-1,0,1,4) बचते हैं। चरण 3: परीक्षा में ऋणात्मक संख्याओं को अभाज्य न मानें, क्योंकि अभाज्य संख्या (1) से बड़ी प्राकृतिक संख्या होती है।
Here (x) is an integer, so only integer values are allowed.
Step 2
Why this answer is correct
The condition (x>-3) gives possible values \(-2,-1,0,1,2,3,\ldots\), and \(x^2<10\) keeps the suitable values between (-3) and (3). Combining both conditions gives (-2,-1,0,1,2,3).
Step 3
Exam Tip
In exams, first identify the number system, then test all conditions together. चरण 1: यहां (x) पूर्णांक है, इसलिए केवल पूर्णांक मान ही लिए जाएंगे। चरण 2: शर्त (x>-3) से संभावित मान \(-2,-1,0,1,2,3,\ldots\) मिलते हैं, और \(x^2<10\) से (-3) से (3) के बीच के उपयुक्त मान आते हैं। दोनों शर्तों को साथ रखने पर (-2,-1,0,1,2,3) मिलते हैं। चरण 3: परीक्षा में पहले संख्या-समुच्चय पहचानें, फिर सभी शर्तों को एक साथ जांचें।
\(5,10,15,20,\ldots\) are positive multiples of (5).
Step 2
Why this answer is correct
They can be written as (5n), where \(n\in \mathbb{N}\).
Step 3
Exam Tip
The dots show that the set continues infinitely. चरण 1: \(5,10,15,20,\ldots\) सभी (5) के धनात्मक गुणज हैं। चरण 2: इन्हें (5n) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ \(n\in \mathbb{N}\)। चरण 3: तीन बिंदु देखकर समझें कि समुच्चय आगे अनंत तक जा रहा है।
Include the last value because the condition says \(n\leq 5\). चरण 1: (n) के मान (1,2,3,4,5) रखे जाएँगे। चरण 2: (3n-1) से क्रमशः (2,5,8,11,14) मिलते हैं। चरण 3: सीमा में दिया आखिरी मान भी शामिल करें, क्योंकि \(n\leq 5\) लिखा है।
The corresponding values of (x+1) are (2,3,4,7,10,19).
Step 3
Exam Tip
Since (2,3,7,) and (19) are prime, the correct set is ({1,2,6,18}), so none of the listed shortened sets is fully correct. चरण 1: (18) के धनात्मक भाजक (1,2,3,6,9,18) हैं। चरण 2: इनके लिए (x+1) के मान (2,3,4,7,10,19) मिलते हैं। चरण 3: अभाज्य मानों के लिए (x=1,2,6,18) दिख सकते हैं, पर ध्यान दें (19) भी अभाज्य है; इसलिए (18) भी शामिल होगा।
A. \(B={x:x=n^2+1,,n\in \mathbb{N},,1\leq n\leq 5}\)
Step 1
Concept
The elements are obtained as \(1^2+1,2^2+1,3^2+1,4^2+1,5^2+1\).
Step 2
Why this answer is correct
So the rule is \(x=n^2+1\).
Step 3
Exam Tip
To get exactly five elements, the bound \(1\leq n\leq 5\) is necessary. चरण 1: दिए गए अवयव \(1^2+1,2^2+1,3^2+1,4^2+1,5^2+1\) के रूप में मिलते हैं। चरण 2: इसलिए नियम \(x=n^2+1\) होगा। चरण 3: ठीक पाँच अवयव पाने के लिए \(1\leq n\leq 5\) सीमा लिखना जरूरी है।
The given rule is \(x^2-4x=0\), which can be written as (x(x-4)=0).
Step 2
Why this answer is correct
This gives (x=0) or (x=4), and both are integers.
Step 3
Exam Tip
In roster form, write only the values that make the condition true. चरण 1: दिए गए नियम में \(x^2-4x=0\) है, जिसे (x(x-4)=0) लिखा जा सकता है। चरण 2: इससे (x=0) या (x=4) मिलता है और दोनों पूर्णांक हैं। चरण 3: सूची रूप लिखते समय केवल वे मान लिखें जो शर्त को सच बनाते हैं।
Substituting these values in \(n^2-1\) gives (0,3,8,15,24).
Step 3
Exam Tip
In roster form, write only the obtained elements and do not add the rule or extra values. चरण 1: यहाँ (n) के मान (1,2,3,4,5) लिए जाएँगे। चरण 2: \(n^2-1\) में ये मान रखने पर (0,3,8,15,24) मिलते हैं। चरण 3: सूची विधि में केवल प्राप्त अवयव लिखें, नियम या अतिरिक्त मान न जोड़ें।
For \(\frac{x}{2}\in \mathbb{N}\), (x) must be a positive even integer.
Step 2
Why this answer is correct
Within (-5<x<7), the positive even integers are (2,4,6).
Step 3
Exam Tip
Because of the \(\mathbb{N}\) condition, check negative values and zero carefully. चरण 1: \(\frac{x}{2}\in \mathbb{N}\) होने के लिए (x) धनात्मक सम पूर्णांक होना चाहिए। चरण 2: (-5<x<7) के अंदर धनात्मक सम पूर्णांक (2,4,6) हैं। चरण 3: \(\mathbb{N}\) की शर्त के कारण ऋणात्मक मान और शून्य को सावधानी से जाँचें।
