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यहाँ (n) के मान (1,2,3,4,5) लिए जाएँगे। / Here (n) takes the values (1,2,3,4,5).
Step 2
Why this answer is correct
\(n^2-1\) में ये मान रखने पर (0,3,8,15,24) मिलते हैं। / Substituting these values in \(n^2-1\) gives (0,3,8,15,24).
Step 3
Exam Tip
सूची विधि में केवल प्राप्त अवयव लिखें, नियम या अतिरिक्त मान न जोड़ें। / In roster form, write only the obtained elements and do not add the rule or extra values.
\(x^2\le 16\) से पूर्णांक मान (-4) से (4) तक मिलते हैं। / From \(x^2\le 16\), the integer values run from (-4) to (4).
Step 2
Why this answer is correct
अभाज्य संख्याएं केवल (2) और (3) हैं, इसलिए उन्हें हटाने पर (-4,-3,-2,-1,0,1,4) बचते हैं। / The prime numbers in this range are only (2) and (3), so removing them leaves (-4,-3,-2,-1,0,1,4).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में ऋणात्मक संख्याओं को अभाज्य न मानें, क्योंकि अभाज्य संख्या (1) से बड़ी प्राकृतिक संख्या होती है। / In exams, remember that negative integers are not prime because a prime number is a natural number greater than (1).
यहां (P) में वे प्राकृतिक संख्याएं आएंगी जो (18) और (24) दोनों की भाजक हों। / The set (P) contains natural numbers that divide both (18) and (24).
Step 2
Why this answer is correct
(18) के भाजक (1,2,3,6,9,18) हैं और (24) के भाजक (1,2,3,4,6,8,12,24) हैं। समान भाजक (1,2,3,6) हैं। / The divisors of (18) are (1,2,3,6,9,18), and the divisors of (24) are (1,2,3,4,6,8,12,24). The common divisors are (1,2,3,6).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में पहले दोनों सूचियां अलग लिखें, फिर समान सदस्य चुनें। / For such questions, list both divisor sets first and then pick the common elements.
दिए गए सदस्य (1,4,9,16,25) क्रमशः \(1^2,2^2,3^2,4^2,5^2\) हैं। / The elements (1,4,9,16,25) are \(1^2,2^2,3^2,4^2,5^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए इन्हें \(n^2\) के रूप में लिखा जाएगा जहां (n) प्राकृतिक संख्या है और \(1\le n\le 5\)। / So they can be written as \(n^2\), where (n) is a natural number and \(1\le n\le 5\).
Step 3
Exam Tip
रोस्टर रूप से समुच्चय-निर्माण रूप बनाते समय सदस्यों में छिपा पैटर्न पहचानें। / When converting roster form to set-builder form, identify the pattern behind the elements.
(40) से छोटी (6) की गुणज संख्याएं (6,12,18,24,30,36) हैं। / The multiples of (6) below (40) are (6,12,18,24,30,36).
Step 2
Why this answer is correct
(9) की गुणज संख्याएं (9,18,27,36) हैं। दोहराए गए (18) और (36) को एक बार गिनने पर सदस्य (6,9,12,18,24,27,30,36) बनते हैं। / The multiples of (9) below (40) are (9,18,27,36). Counting repeated values (18) and (36) only once gives (6,9,12,18,24,27,30,36).
Step 3
Exam Tip
समुच्चय में दोहराव नहीं गिना जाता, इसलिए गिनते समय समान सदस्य एक बार ही लिखें। / A set does not count repeated elements, so always write common elements only once.
(12) के धन भाजक (1,2,3,4,6,12) हैं। / The positive divisors of (12) are (1,2,3,4,6,12).
Step 2
Why this answer is correct
इनमें से विषम सदस्य केवल (1) और (3) हैं, इसलिए \(C=\{1,3\}\)। / Among these, the odd elements are only (1) and (3), so \(C=\{1,3\}\).
Step 3
Exam Tip
जब दो शर्तें दी हों, तो पहले बड़ी सूची बनाएं और फिर दूसरी शर्त लगाकर छांटें। / When two conditions are given, first make the larger list and then filter it using the second condition.
प्राकृतिक संख्याएं \(1,2,3,\ldots\) से शुरू मानी जाती हैं। / Natural numbers are usually taken as \(1,2,3,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
(x<1) वाली कोई प्राकृतिक संख्या नहीं है, इसलिए पहला समुच्चय खाली है। बाकी विकल्पों में क्रमशः (0), (1), और (0) सदस्य मिलते हैं। / There is no natural number less than (1), so the first set is empty. The other options contain (0), (1), and (0) respectively.
Step 3
Exam Tip
खाली समुच्चय पहचानने से पहले दिए गए संख्या-समुच्चय को ध्यान से देखें। / Before identifying an empty set, check the given number system carefully.
\(|x-2|\le 3\) का अर्थ है कि (x), (2) से अधिकतम (3) दूरी पर है। / \(|x-2|\le 3\) means (x) is at most (3) units away from (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(-1\le x\le 5\) और (x) पूर्णांक है, तो सदस्य (-1,0,1,2,3,4,5) होंगे। / Therefore \(-1\le x\le 5\), and since (x) is an integer, the elements are (-1,0,1,2,3,4,5).
Step 3
Exam Tip
मापांक वाले प्रश्नों में दूरी की सोच लगाने से रोस्टर रूप जल्दी बनता है। / In modulus-based set questions, thinking in terms of distance makes the roster form easier.
\(x^2-5x+6=0\) को ((x-2)(x-3)=0) लिखा जा सकता है। / The equation \(x^2-5x+6=0\) can be written as ((x-2)(x-3)=0).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (x=2) या (x=3) मिलता है, और दोनों प्राकृतिक संख्याएं हैं। इसलिए \(T=\{2,3\}\)। / This gives (x=2) or (x=3), and both are natural numbers, so \(T=\{2,3\}\).
Step 3
Exam Tip
समीकरण वाले समुच्चय में हल निकालने के बाद यह जरूर जांचें कि हल दिए गए संख्या-समुच्चय में है या नहीं। / In equation-based sets, always check whether the solutions belong to the given number system.
\(x^2=9\) से (x=-3,3) मिलते हैं। / From \(x^2=9\), we get (x=-3,3).
Step 2
Why this answer is correct
\(x^2=16\) से (x=-4,4) मिलते हैं। इसलिए \(E=\{-4,-3,3,4\}\) और इसमें (4) सदस्य हैं। / From \(x^2=16\), we get (x=-4,4). Hence \(E=\{-4,-3,3,4\}\), which has (4) elements.
Step 3
Exam Tip
वर्ग वाले प्रश्नों में धन और ऋण दोनों मूलों को गिनना न भूलें। / In square-based questions, do not forget both positive and negative roots.
A. \((F={x:x\) is a vowel in the English alphabet})
Step 1
Concept
दिए गए सदस्य (a,e,i,o,u) अंग्रेजी वर्णमाला के स्वर हैं। / The elements (a,e,i,o,u) are vowels in the English alphabet.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए सही वर्णन वही होगा जो सभी और केवल इन्हीं पांच स्वरों को शामिल करे। अन्य विकल्प या तो व्यंजन लेते हैं या बहुत अधिक अक्षर जोड़ देते हैं। / So the correct description must include all and only these five vowels. Other options either take consonants or include too many letters.
Step 3
Exam Tip
किसी वर्णन को सही तभी मानें जब उससे न कोई अतिरिक्त सदस्य आए और न कोई दिया गया सदस्य छूटे। / A description is correct only when it neither adds extra elements nor misses given elements.
शर्त \(-2<x\le 3\) में (-2) शामिल नहीं है, लेकिन (3) शामिल है। / In \(-2<x\le 3\), (-2) is not included, but (3) is included.
Step 2
Why this answer is correct
इस सीमा के पूर्णांक (-1,0,1,2,3) हैं। / The integers in this range are (-1,0,1,2,3).
Step 3
Exam Tip
खुले और बंद चिन्हों पर ध्यान दें, क्योंकि एक ही सीमा में सदस्य बदल सकते हैं। / Pay attention to open and closed boundary signs because they change the elements.
गुणनखंड वे संख्याएं हैं जिनसे (20) पूरा विभाजित हो जाए। / Factors are numbers that divide (20) exactly.
Step 2
Why this answer is correct
(20) के प्राकृतिक गुणनखंड (1,2,4,5,10,20) हैं। इसलिए पहला विकल्प सही है। / The natural factors of (20) are (1,2,4,5,10,20), so the first option is correct.
Step 3
Exam Tip
गुणनखंड लिखते समय (1) और स्वयं संख्या को शामिल करना न भूलें। / While listing factors, do not forget (1) and the number itself.
समान समुच्चयों में सदस्य बिल्कुल वही होते हैं, क्रम और दोहराव का कोई महत्व नहीं होता। / Equal sets have exactly the same elements; order and repetition do not matter.
Step 2
Why this answer is correct
पहले विकल्प में दोनों समुच्चयों के अलग-अलग सदस्य (1,2,3) ही हैं। इसलिए वे समान हैं। / In the first option, the distinct elements of both sets are (1,2,3). So they are equal.
Step 3
Exam Tip
रोस्टर रूप में दोहराए सदस्य देखकर भ्रमित न हों। / Do not get confused by repeated elements in roster form.
दो अंकों की संख्या में दहाई अंक शून्य नहीं हो सकता। / In a two-digit number, the tens digit cannot be zero.
Step 2
Why this answer is correct
अंकों का योग (3) होने पर संभावित संख्याएं (12,21,30) हैं। (03) दो अंकों की संख्या नहीं मानी जाती। / If the sum of digits is (3), the possible numbers are (12,21,30). (03) is not considered a two-digit number.
Step 3
Exam Tip
अंक-आधारित समुच्चयों में संख्या की अंकों वाली शर्त को अलग से जांचें। / In digit-based sets, check the digit condition separately from the number condition.
दिए गए सदस्य (4) के पहले पांच धन गुणज हैं। / The given elements are the first five positive multiples of (4).
Step 2
Why this answer is correct
(4n) जहां (n=1,2,3,4,5), ठीक (4,8,12,16,20) देता है। बाकी विकल्पों में अतिरिक्त सदस्य आ जाते हैं। / (4n), where (n=1,2,3,4,5), gives exactly (4,8,12,16,20). Other options include extra elements.
Step 3
Exam Tip
सबसे सही रूप वही होता है जो केवल दिए गए सदस्यों को बनाए। / The most accurate form is the one that creates only the given elements.
समुच्चय में दोहराए गए अक्षर केवल एक बार लिखे जाते हैं। / In a set, repeated letters are written only once.
Step 2
Why this answer is correct
शब्द में अलग-अलग अक्षर (m,a,t,h,e,i,c,s) हैं, इसलिए पहला विकल्प सही है। / The distinct letters of the word are (m,a,t,h,e,i,c,s), so the first option is correct.
Step 3
Exam Tip
अक्षर वाले समुच्चय में क्रम और दोहराव दोनों का महत्व नहीं होता। / In letter-based sets, both order and repetition do not matter.
(36) के भाजक (1,2,3,4,6,9,12,18,36) हैं। / The divisors of (36) are (1,2,3,4,6,9,12,18,36).
Step 2
Why this answer is correct
इनमें पूर्ण वर्ग (1,4,9,36) हैं। इसलिए \(R=\{1,4,9,36\}\)। / Among these, the perfect squares are (1,4,9,36). Hence \(R=\{1,4,9,36\}\).
Step 3
Exam Tip
दो गुणों वाले समुच्चय में हर सदस्य दोनों शर्तें पूरी करे, यह जांचना जरूरी है। / In a set with two properties, each element must satisfy both conditions.
(1) से (10) तक संख्याएं जांचें। / Check the numbers from (1) to (10).
Step 2
Why this answer is correct
(2) से विभाज्य संख्याएं (2,4,6,8,10) हटेंगी और (3) से विभाज्य (3,6,9) हटेंगी। बची संख्याएं (1,5,7) हैं। / Remove multiples of (2), namely (2,4,6,8,10), and multiples of (3), namely (3,6,9). The remaining numbers are (1,5,7).
Step 3
Exam Tip
नहीं वाली शर्तों में जिन संख्याओं को हटाना है, उन्हें पहले चिन्हित करें। / In negative conditions, first mark the numbers that must be removed.
(7,14,21,28,35) सात के पहले पांच धन गुणज हैं। / (7,14,21,28,35) are the first five positive multiples of (7).
Step 2
Why this answer is correct
इन्हें (7n) से लिखा जा सकता है जहां (n=1,2,3,4,5)। इसलिए पहला विकल्प ठीक है। / They can be written as (7n), where (n=1,2,3,4,5). So the first option is correct.
Step 3
Exam Tip
गुणजों के समुच्चय में सामान्य गुणज और सीमा दोनों लिखना चाहिए। / For a set of multiples, mention both the common multiple pattern and the range.
(x<10) और \(x\in \mathbb{N}\) होने से (x=1) से (9) तक हो सकता है। / Since (x<10) and \(x\in \mathbb{N}\), (x) can be from (1) to (9).
Step 2
Why this answer is correct
\(x^2\) दो अंकों की संख्या तब बनेगा जब \(x^2\ge 10\), जो (x=4) से शुरू होता है। इसलिए \(B=\{4,5,6,7,8,9\}\)। / \(x^2\) becomes a two-digit number when \(x^2\ge 10\), which starts from (x=4). Hence \(B=\{4,5,6,7,8,9\}\).
Step 3
Exam Tip
दो अंकों की शर्त का अर्थ (10) से (99) तक होता है। / A two-digit condition means the value lies from (10) to (99).
A. \(({x\in \mathbb{Z}: x^2=4\) और \(x>0})\)/\(({x\in \mathbb{Z}: x^2=4\) and \(x>0})\)
Step 1
Concept
एकल समुच्चय में ठीक एक सदस्य होता है। / A singleton set has exactly one element.
Step 2
Why this answer is correct
पहले विकल्प में \(x^2=4\) से (x=-2,2) मिलते हैं, लेकिन (x>0) के कारण केवल (2) बचेगा। इसलिए यह एकल समुच्चय है। / In the first option, \(x^2=4\) gives (x=-2,2), but (x>0) keeps only (2). So it is a singleton set.
Step 3
Exam Tip
एकल और खाली समुच्चय में अंतर गिनती से साफ करें। / Distinguish singleton and empty sets by counting their elements.
(15) के गुणनखंड (1,3,5,15) हैं। / The factors of (15) are (1,3,5,15).
Step 2
Why this answer is correct
(25) के गुणनखंड (1,5,25) हैं। दोनों में समान सदस्य (1) और (5) हैं, इसलिए \(C=\{1,5\}\)। / The factors of (25) are (1,5,25). The common factors are (1) and (5), so \(C=\{1,5\}\).
Step 3
Exam Tip
दोनों का गुणनखंड का अर्थ समान गुणनखंड होता है। / A factor of both means a common factor.
इस समुच्चय में शून्य सहित (10) से छोटे सम पूर्णांक हैं। / This set contains even integers below (10), including zero.
Step 2
Why this answer is correct
(2n), जहां (n=0,1,2,3,4), ठीक (0,2,4,6,8) देता है। इसलिए पूर्णांक पर आधारित पहला विकल्प अधिक सुरक्षित है। / (2n), where (n=0,1,2,3,4), gives exactly (0,2,4,6,8). So the first option based on integers is safest.
Step 3
Exam Tip
जब शून्य शामिल हो, तो प्राकृतिक संख्या की परिभाषा से भ्रम हो सकता है, इसलिए दिए गए विकल्प ध्यान से पढ़ें। / When zero is included, read the number system in the options carefully.
(10) के धन भाजक (1,2,5,10) हैं। / The positive divisors of (10) are (1,2,5,10).
Step 2
Why this answer is correct
(x+2) इनमें से कोई होना चाहिए। (x+2=5) से (x=3) और (x+2=10) से (x=8) मिलता है। (1) और (2) से (x) प्राकृतिक नहीं बनता। / (x+2) must be one of these. From (x+2=5), (x=3), and from (x+2=10), (x=8). The divisors (1) and (2) do not give natural (x).
Step 3
Exam Tip
बदले हुए रूप (x+2) को पहले अलग मात्रा मानकर हल करें। / Treat the expression (x+2) as a separate value first.
\(x^2<2x+8\) को \(x^2-2x-8<0\) लिखें। / Rewrite \(x^2<2x+8\) as \(x^2-2x-8<0\).
Step 2
Why this answer is correct
((x-4)(x+2)<0), इसलिए (-2<x<4) और पूर्णांक सदस्य (-1,0,1,2,3) होने चाहिए। लेकिन (x=-2) पर मूल असमानता (4<4) झूठी है, इसलिए विकल्पों में सही पूर्ण सूची (-1,0,1,2,3) नहीं है।
Step 3
Exam Tip
दिए गए विकल्पों में कोई भी पूर्ण सही नहीं दिखता, इसलिए प्रश्न में सावधानी से विकल्प जांचना चाहिए। / The exact set is ({-1,0,1,2,3}), so none of the listed options is fully correct; in a well-set MCQ, options must be checked carefully.
\(x^2<2x+8\) को \(x^2-2x-8<0\) में बदलें। / Convert \(x^2<2x+8\) into \(x^2-2x-8<0\).
Step 2
Why this answer is correct
((x-4)(x+2)<0) से (-2<x<4) मिलता है, इसलिए पूर्णांक (-1,0,1,2,3) हैं। / From ((x-4)(x+2)<0), we get (-2<x<4), so the integer elements are (-1,0,1,2,3).
Step 3
Exam Tip
सख्त असमानता में सीमा बिंदु शामिल नहीं किए जाते। / In strict inequalities, boundary points are not included.
\(|x|\le 2\) का अर्थ है कि (x) की शून्य से दूरी अधिकतम (2) है। / \(|x|\le 2\) means the distance of (x) from zero is at most (2).
Step 2
Why this answer is correct
पूर्णांक मान (-2,-1,0,1,2) होंगे। / The integer values are (-2,-1,0,1,2).
Step 3
Exam Tip
मापांक में ऋणात्मक और धनात्मक दोनों मान आते हैं, इसलिए दोनों ओर की संख्या रेखा देखें। / In modulus, both negative and positive values can appear, so look at both sides of the number line.
(48) के छोटे धन भाजक (1,2,3,4,6,8) हैं। / The small positive divisors of (48) are (1,2,3,4,6,8).
Step 2
Why this answer is correct
(12) भी भाजक है, पर (x<10) की शर्त से वह शामिल नहीं होगा। इसलिए \(T=\{1,2,3,4,6,8\}\)। / (12) is also a divisor, but it is not included because of (x<10). Hence \(T=\{1,2,3,4,6,8\}\).
Step 3
Exam Tip
सीमा की शर्त लगाने के बाद ही अंतिम रोस्टर रूप लिखें। / Apply the boundary condition before writing the final roster form.
(100) के भाजक (1,2,4,5,10,20,25,50,100) हैं। / The divisors of (100) are (1,2,4,5,10,20,25,50,100).
Step 2
Why this answer is correct
इनमें दो अंकों वाले भाजक (10,20,25,50) हैं। इसलिए \(V=\{10,20,25,50\}\)। / The two-digit divisors among them are (10,20,25,50). Hence \(V=\{10,20,25,50\}\).
Step 3
Exam Tip
संख्या की प्रकृति और अंकों की संख्या दोनों शर्तों को अलग-अलग जांचें। / Check both the divisor condition and the number-of-digits condition separately.
(2,3,5,7) (10) से छोटी अभाज्य संख्याएं हैं। / (2,3,5,7) are the prime numbers less than (10).
Step 2
Why this answer is correct
दूसरा विकल्प (2) को छोड़ देगा क्योंकि (2) विषम नहीं है। इसलिए पहला विकल्प ही पूरे समुच्चय को ठीक बताता है। / The second option would miss (2) because (2) is not odd. So the first option describes the whole set correctly.
Step 3
Exam Tip
अभाज्य संख्याओं में (2) को अलग से याद रखें, यह एकमात्र सम अभाज्य संख्या है। / Remember (2) separately; it is the only even prime number.
\(x^2\le 9\) से (x=-3,-2,-1,0,1,2,3) संभव हैं। / From \(x^2\le 9\), possible integer values are (-3,-2,-1,0,1,2,3).
Step 2
Why this answer is correct
(x+1>0) से (x>-1), इसलिए (-1) और उससे छोटे मान हटेंगे। बचा समुच्चय ({0,1,2,3}) है। / From (x+1>0), we get (x>-1), so (-1) and smaller values are removed. The remaining set is ({0,1,2,3}).
Step 3
Exam Tip
दो असमानताओं में दोनों का समान भाग लेना होता है। / With two inequalities, take the common part of both conditions.
प्राकृतिक संख्या के रूप में (6) के धन गुणज \(6,12,18,\ldots\) होते हैं। / As natural numbers, the positive multiples of (6) are \(6,12,18,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\le 36\) के कारण अंतिम सदस्य (36) होगा। इसलिए सूची (6,12,18,24,30,36) है। / Since \(x\le 36\), the last element is (36). So the list is (6,12,18,24,30,36).
Step 3
Exam Tip
प्राकृतिक संख्या में शून्य शामिल है या नहीं, यह प्रश्न की परंपरा पर निर्भर हो सकता है, पर यहां धन गुणज साफ दिख रहे हैं। / Whether zero is included in natural numbers can vary by convention, but here the positive multiples are clearly intended.
\(2x-1\le 9\) से \(2x\le 10\), इसलिए \(x\le 5\) मिलता है। / From \(2x-1\le 9\), we get \(2x\le 10\), so \(x\le 5\).
Step 2
Why this answer is correct
(x) प्राकृतिक संख्या है, इसलिए सदस्य (1,2,3,4,5) होंगे। / Since (x) is a natural number, the elements are (1,2,3,4,5).
Step 3
Exam Tip
असमानता हल करते समय अंतिम सीमा को शामिल करना है या नहीं, यह चिन्ह देखकर तय करें। / While solving inequalities, use the inequality sign to decide whether the boundary is included.
