Substituting these values in \(n^2-1\) gives (0,3,8,15,24).
Step 3
Exam Tip
In roster form, write only the obtained elements and do not add the rule or extra values. चरण 1: यहाँ (n) के मान (1,2,3,4,5) लिए जाएँगे। चरण 2: \(n^2-1\) में ये मान रखने पर (0,3,8,15,24) मिलते हैं। चरण 3: सूची विधि में केवल प्राप्त अवयव लिखें, नियम या अतिरिक्त मान न जोड़ें।
From \(x^2\le 16\), the integer values run from (-4) to (4).
Step 2
Why this answer is correct
The prime numbers in this range are only (2) and (3), so removing them leaves (-4,-3,-2,-1,0,1,4).
Step 3
Exam Tip
In exams, remember that negative integers are not prime because a prime number is a natural number greater than (1). चरण 1: \(x^2\le 16\) से पूर्णांक मान (-4) से (4) तक मिलते हैं। चरण 2: अभाज्य संख्याएं केवल (2) और (3) हैं, इसलिए उन्हें हटाने पर (-4,-3,-2,-1,0,1,4) बचते हैं। चरण 3: परीक्षा में ऋणात्मक संख्याओं को अभाज्य न मानें, क्योंकि अभाज्य संख्या (1) से बड़ी प्राकृतिक संख्या होती है।
The set (P) contains natural numbers that divide both (18) and (24).
Step 2
Why this answer is correct
The divisors of (18) are (1,2,3,6,9,18), and the divisors of (24) are (1,2,3,4,6,8,12,24). The common divisors are (1,2,3,6).
Step 3
Exam Tip
For such questions, list both divisor sets first and then pick the common elements. चरण 1: यहां (P) में वे प्राकृतिक संख्याएं आएंगी जो (18) और (24) दोनों की भाजक हों। चरण 2: (18) के भाजक (1,2,3,6,9,18) हैं और (24) के भाजक (1,2,3,4,6,8,12,24) हैं। समान भाजक (1,2,3,6) हैं। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले दोनों सूचियां अलग लिखें, फिर समान सदस्य चुनें।
The elements (1,4,9,16,25) are \(1^2,2^2,3^2,4^2,5^2\).
Step 2
Why this answer is correct
So they can be written as \(n^2\), where (n) is a natural number and \(1\le n\le 5\).
Step 3
Exam Tip
When converting roster form to set-builder form, identify the pattern behind the elements. चरण 1: दिए गए सदस्य (1,4,9,16,25) क्रमशः \(1^2,2^2,3^2,4^2,5^2\) हैं। चरण 2: इसलिए इन्हें \(n^2\) के रूप में लिखा जाएगा जहां (n) प्राकृतिक संख्या है और \(1\le n\le 5\)। चरण 3: रोस्टर रूप से समुच्चय-निर्माण रूप बनाते समय सदस्यों में छिपा पैटर्न पहचानें।
The multiples of (6) below (40) are (6,12,18,24,30,36).
Step 2
Why this answer is correct
The multiples of (9) below (40) are (9,18,27,36). Counting repeated values (18) and (36) only once gives (6,9,12,18,24,27,30,36).
Step 3
Exam Tip
A set does not count repeated elements, so always write common elements only once. चरण 1: (40) से छोटी (6) की गुणज संख्याएं (6,12,18,24,30,36) हैं। चरण 2: (9) की गुणज संख्याएं (9,18,27,36) हैं। दोहराए गए (18) और (36) को एक बार गिनने पर सदस्य (6,9,12,18,24,27,30,36) बनते हैं। चरण 3: समुच्चय में दोहराव नहीं गिना जाता, इसलिए गिनते समय समान सदस्य एक बार ही लिखें।
Among these, the odd elements are only (1) and (3), so \(C=\{1,3\}\).
Step 3
Exam Tip
When two conditions are given, first make the larger list and then filter it using the second condition. चरण 1: (12) के धन भाजक (1,2,3,4,6,12) हैं। चरण 2: इनमें से विषम सदस्य केवल (1) और (3) हैं, इसलिए \(C=\{1,3\}\)। चरण 3: जब दो शर्तें दी हों, तो पहले बड़ी सूची बनाएं और फिर दूसरी शर्त लगाकर छांटें।
Natural numbers are usually taken as \(1,2,3,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
There is no natural number less than (1), so the first set is empty. The other options contain (0), (1), and (0) respectively.
Step 3
Exam Tip
Before identifying an empty set, check the given number system carefully. चरण 1: प्राकृतिक संख्याएं \(1,2,3,\ldots\) से शुरू मानी जाती हैं। चरण 2: (x<1) वाली कोई प्राकृतिक संख्या नहीं है, इसलिए पहला समुच्चय खाली है। बाकी विकल्पों में क्रमशः (0), (1), और (0) सदस्य मिलते हैं। चरण 3: खाली समुच्चय पहचानने से पहले दिए गए संख्या-समुच्चय को ध्यान से देखें।
\(|x-2|\le 3\) means (x) is at most (3) units away from (2).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore \(-1\le x\le 5\), and since (x) is an integer, the elements are (-1,0,1,2,3,4,5).
Step 3
Exam Tip
In modulus-based set questions, thinking in terms of distance makes the roster form easier. चरण 1: \(|x-2|\le 3\) का अर्थ है कि (x), (2) से अधिकतम (3) दूरी पर है। चरण 2: इसलिए \(-1\le x\le 5\) और (x) पूर्णांक है, तो सदस्य (-1,0,1,2,3,4,5) होंगे। चरण 3: मापांक वाले प्रश्नों में दूरी की सोच लगाने से रोस्टर रूप जल्दी बनता है।
The equation \(x^2-5x+6=0\) can be written as ((x-2)(x-3)=0).
Step 2
Why this answer is correct
This gives (x=2) or (x=3), and both are natural numbers, so \(T=\{2,3\}\).
Step 3
Exam Tip
In equation-based sets, always check whether the solutions belong to the given number system. चरण 1: \(x^2-5x+6=0\) को ((x-2)(x-3)=0) लिखा जा सकता है। चरण 2: इससे (x=2) या (x=3) मिलता है, और दोनों प्राकृतिक संख्याएं हैं। इसलिए \(T=\{2,3\}\)। चरण 3: समीकरण वाले समुच्चय में हल निकालने के बाद यह जरूर जांचें कि हल दिए गए संख्या-समुच्चय में है या नहीं।
From \(x^2=16\), we get (x=-4,4). Hence \(E=\{-4,-3,3,4\}\), which has (4) elements.
Step 3
Exam Tip
In square-based questions, do not forget both positive and negative roots. चरण 1: \(x^2=9\) से (x=-3,3) मिलते हैं। चरण 2: \(x^2=16\) से (x=-4,4) मिलते हैं। इसलिए \(E=\{-4,-3,3,4\}\) और इसमें (4) सदस्य हैं। चरण 3: वर्ग वाले प्रश्नों में धन और ऋण दोनों मूलों को गिनना न भूलें।
A. \((F={x:x\) is a vowel in the English alphabet})
Step 1
Concept
The elements (a,e,i,o,u) are vowels in the English alphabet.
Step 2
Why this answer is correct
So the correct description must include all and only these five vowels. Other options either take consonants or include too many letters.
Step 3
Exam Tip
A description is correct only when it neither adds extra elements nor misses given elements. चरण 1: दिए गए सदस्य (a,e,i,o,u) अंग्रेजी वर्णमाला के स्वर हैं। चरण 2: इसलिए सही वर्णन वही होगा जो सभी और केवल इन्हीं पांच स्वरों को शामिल करे। अन्य विकल्प या तो व्यंजन लेते हैं या बहुत अधिक अक्षर जोड़ देते हैं। चरण 3: किसी वर्णन को सही तभी मानें जब उससे न कोई अतिरिक्त सदस्य आए और न कोई दिया गया सदस्य छूटे।
Since (x) is a natural number, the elements are (1,2,3,4).
Step 3
Exam Tip
After solving an inequality, list elements according to the given number system. चरण 1: असमानता (3x+1<16) से (3x<15), इसलिए (x<5) मिलता है। चरण 2: (x) प्राकृतिक संख्या है, इसलिए संभावित सदस्य (1,2,3,4) हैं। चरण 3: असमानता हल करने के बाद संख्या-समुच्चय के अनुसार ही सदस्य लिखें।
In \(-2<x\le 3\), (-2) is not included, but (3) is included.
Step 2
Why this answer is correct
The integers in this range are (-1,0,1,2,3).
Step 3
Exam Tip
Pay attention to open and closed boundary signs because they change the elements. चरण 1: शर्त \(-2<x\le 3\) में (-2) शामिल नहीं है, लेकिन (3) शामिल है। चरण 2: इस सीमा के पूर्णांक (-1,0,1,2,3) हैं। चरण 3: खुले और बंद चिन्हों पर ध्यान दें, क्योंकि एक ही सीमा में सदस्य बदल सकते हैं।
The natural factors of (20) are (1,2,4,5,10,20), so the first option is correct.
Step 3
Exam Tip
While listing factors, do not forget (1) and the number itself. चरण 1: गुणनखंड वे संख्याएं हैं जिनसे (20) पूरा विभाजित हो जाए। चरण 2: (20) के प्राकृतिक गुणनखंड (1,2,4,5,10,20) हैं। इसलिए पहला विकल्प सही है। चरण 3: गुणनखंड लिखते समय (1) और स्वयं संख्या को शामिल करना न भूलें।
Equal sets have exactly the same elements; order and repetition do not matter.
Step 2
Why this answer is correct
In the first option, the distinct elements of both sets are (1,2,3). So they are equal.
Step 3
Exam Tip
Do not get confused by repeated elements in roster form. चरण 1: समान समुच्चयों में सदस्य बिल्कुल वही होते हैं, क्रम और दोहराव का कोई महत्व नहीं होता। चरण 2: पहले विकल्प में दोनों समुच्चयों के अलग-अलग सदस्य (1,2,3) ही हैं। इसलिए वे समान हैं। चरण 3: रोस्टर रूप में दोहराए सदस्य देखकर भ्रमित न हों।
In a two-digit number, the tens digit cannot be zero.
Step 2
Why this answer is correct
If the sum of digits is (3), the possible numbers are (12,21,30). (03) is not considered a two-digit number.
Step 3
Exam Tip
In digit-based sets, check the digit condition separately from the number condition. चरण 1: दो अंकों की संख्या में दहाई अंक शून्य नहीं हो सकता। चरण 2: अंकों का योग (3) होने पर संभावित संख्याएं (12,21,30) हैं। (03) दो अंकों की संख्या नहीं मानी जाती। चरण 3: अंक-आधारित समुच्चयों में संख्या की अंकों वाली शर्त को अलग से जांचें।
This gives (x(x-1)(x+1)=0), so (x=-1,0,1), and all are integers.
Step 3
Exam Tip
Factoring the equation helps identify the elements of the set quickly. चरण 1: \(x^3=x\) को \(x^3-x=0\) लिखा जा सकता है। चरण 2: (x(x-1)(x+1)=0), इसलिए (x=-1,0,1) हैं और ये सभी पूर्णांक हैं। चरण 3: समीकरण को गुणनखंडों में बदलने से समुच्चय के सदस्य आसानी से मिलते हैं।
The given elements are the first five positive multiples of (4).
Step 2
Why this answer is correct
(4n), where (n=1,2,3,4,5), gives exactly (4,8,12,16,20). Other options include extra elements.
Step 3
Exam Tip
The most accurate form is the one that creates only the given elements. चरण 1: दिए गए सदस्य (4) के पहले पांच धन गुणज हैं। चरण 2: (4n) जहां (n=1,2,3,4,5), ठीक (4,8,12,16,20) देता है। बाकी विकल्पों में अतिरिक्त सदस्य आ जाते हैं। चरण 3: सबसे सही रूप वही होता है जो केवल दिए गए सदस्यों को बनाए।
From \(x^2<25\), possible integer values are from (-4) to (4).
Step 2
Why this answer is correct
The condition \(1\le x^2\) removes (x=0). So (8) elements remain.
Step 3
Exam Tip
In square inequalities, check (0) separately when a lower bound is given. चरण 1: \(x^2<25\) से (x=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4) तक संभव हैं। चरण 2: शर्त \(1\le x^2\) के कारण (x=0) हट जाएगा। इसलिए (8) सदस्य बचते हैं। चरण 3: वर्ग वाली असमानता में शून्य को अलग से जांचना जरूरी है।
The distinct letters of the word are (m,a,t,h,e,i,c,s), so the first option is correct.
Step 3
Exam Tip
In letter-based sets, both order and repetition do not matter. चरण 1: समुच्चय में दोहराए गए अक्षर केवल एक बार लिखे जाते हैं। चरण 2: शब्द में अलग-अलग अक्षर (m,a,t,h,e,i,c,s) हैं, इसलिए पहला विकल्प सही है। चरण 3: अक्षर वाले समुच्चय में क्रम और दोहराव दोनों का महत्व नहीं होता।
Among these, the perfect squares are (1,4,9,36). Hence \(R=\{1,4,9,36\}\).
Step 3
Exam Tip
In a set with two properties, each element must satisfy both conditions. चरण 1: (36) के भाजक (1,2,3,4,6,9,12,18,36) हैं। चरण 2: इनमें पूर्ण वर्ग (1,4,9,36) हैं। इसलिए \(R=\{1,4,9,36\}\)। चरण 3: दो गुणों वाले समुच्चय में हर सदस्य दोनों शर्तें पूरी करे, यह जांचना जरूरी है।
Remove multiples of (2), namely (2,4,6,8,10), and multiples of (3), namely (3,6,9). The remaining numbers are (1,5,7).
Step 3
Exam Tip
In negative conditions, first mark the numbers that must be removed. चरण 1: (1) से (10) तक संख्याएं जांचें। चरण 2: (2) से विभाज्य संख्याएं (2,4,6,8,10) हटेंगी और (3) से विभाज्य (3,6,9) हटेंगी। बची संख्याएं (1,5,7) हैं। चरण 3: नहीं वाली शर्तों में जिन संख्याओं को हटाना है, उन्हें पहले चिन्हित करें।
If a product is zero, at least one factor must be zero.
Step 2
Why this answer is correct
From (x-1=0), (x=1), and from (x+2=0), (x=-2). Hence \(Z=\{-2,1\}\).
Step 3
Exam Tip
Be careful with signs because sign errors are common in such questions. चरण 1: गुणनफल शून्य होने पर कम से कम एक गुणनखंड शून्य होता है। चरण 2: (x-1=0) से (x=1) और (x+2=0) से (x=-2) मिलता है। इसलिए \(Z=\{-2,1\}\)। चरण 3: चिन्ह बदलते समय सावधानी रखें, क्योंकि यही सबसे सामान्य गलती है।
(7,14,21,28,35) are the first five positive multiples of (7).
Step 2
Why this answer is correct
They can be written as (7n), where (n=1,2,3,4,5). So the first option is correct.
Step 3
Exam Tip
For a set of multiples, mention both the common multiple pattern and the range. चरण 1: (7,14,21,28,35) सात के पहले पांच धन गुणज हैं। चरण 2: इन्हें (7n) से लिखा जा सकता है जहां (n=1,2,3,4,5)। इसलिए पहला विकल्प ठीक है। चरण 3: गुणजों के समुच्चय में सामान्य गुणज और सीमा दोनों लिखना चाहिए।
The integers in \(-5\le x<2\) are (-5,-4,-3,-2,-1,0,1).
Step 2
Why this answer is correct
The even integers among these are (-4,-2,0). Hence \(A=\{-4,-2,0\}\).
Step 3
Exam Tip
Negative even numbers are still even; only their sign is different. चरण 1: सीमा \(-5\le x<2\) में पूर्णांक (-5,-4,-3,-2,-1,0,1) आते हैं। चरण 2: इनमें सम पूर्णांक (-4,-2,0) हैं। इसलिए \(A=\{-4,-2,0\}\)। चरण 3: ऋणात्मक सम संख्याओं को भी सम ही मानें, केवल उनका चिह्न अलग होता है।
Since (x<10) and \(x\in \mathbb{N}\), (x) can be from (1) to (9).
Step 2
Why this answer is correct
\(x^2\) becomes a two-digit number when \(x^2\ge 10\), which starts from (x=4). Hence \(B=\{4,5,6,7,8,9\}\).
Step 3
Exam Tip
A two-digit condition means the value lies from (10) to (99). चरण 1: (x<10) और \(x\in \mathbb{N}\) होने से (x=1) से (9) तक हो सकता है। चरण 2: \(x^2\) दो अंकों की संख्या तब बनेगा जब \(x^2\ge 10\), जो (x=4) से शुरू होता है। इसलिए \(B=\{4,5,6,7,8,9\}\)। चरण 3: दो अंकों की शर्त का अर्थ (10) से (99) तक होता है।
A. \(({x\in \mathbb{Z}: x^2=4\) और \(x>0})\)/\(({x\in \mathbb{Z}: x^2=4\) and \(x>0})\)
Step 1
Concept
A singleton set has exactly one element.
Step 2
Why this answer is correct
In the first option, \(x^2=4\) gives (x=-2,2), but (x>0) keeps only (2). So it is a singleton set.
Step 3
Exam Tip
Distinguish singleton and empty sets by counting their elements. चरण 1: एकल समुच्चय में ठीक एक सदस्य होता है। चरण 2: पहले विकल्प में \(x^2=4\) से (x=-2,2) मिलते हैं, लेकिन (x>0) के कारण केवल (2) बचेगा। इसलिए यह एकल समुच्चय है। चरण 3: एकल और खाली समुच्चय में अंतर गिनती से साफ करें।
The factors of (25) are (1,5,25). The common factors are (1) and (5), so \(C=\{1,5\}\).
Step 3
Exam Tip
A factor of both means a common factor. चरण 1: (15) के गुणनखंड (1,3,5,15) हैं। चरण 2: (25) के गुणनखंड (1,5,25) हैं। दोनों में समान सदस्य (1) और (5) हैं, इसलिए \(C=\{1,5\}\)। चरण 3: दोनों का गुणनखंड का अर्थ समान गुणनखंड होता है।
This set contains even integers below (10), including zero.
Step 2
Why this answer is correct
(2n), where (n=0,1,2,3,4), gives exactly (0,2,4,6,8). So the first option based on integers is safest.
Step 3
Exam Tip
When zero is included, read the number system in the options carefully. चरण 1: इस समुच्चय में शून्य सहित (10) से छोटे सम पूर्णांक हैं। चरण 2: (2n), जहां (n=0,1,2,3,4), ठीक (0,2,4,6,8) देता है। इसलिए पूर्णांक पर आधारित पहला विकल्प अधिक सुरक्षित है। चरण 3: जब शून्य शामिल हो, तो प्राकृतिक संख्या की परिभाषा से भ्रम हो सकता है, इसलिए दिए गए विकल्प ध्यान से पढ़ें।
(x+2) must be one of these. From (x+2=5), (x=3), and from (x+2=10), (x=8). The divisors (1) and (2) do not give natural (x).
Step 3
Exam Tip
Treat the expression (x+2) as a separate value first. चरण 1: (10) के धन भाजक (1,2,5,10) हैं। चरण 2: (x+2) इनमें से कोई होना चाहिए। (x+2=5) से (x=3) और (x+2=10) से (x=8) मिलता है। (1) और (2) से (x) प्राकृतिक नहीं बनता। चरण 3: बदले हुए रूप (x+2) को पहले अलग मात्रा मानकर हल करें।
((x-4)(x+2)<0), so (-2<x<4), giving integer elements (-1,0,1,2,3).
Step 3
Exam Tip
The exact set is ({-1,0,1,2,3}), so none of the listed options is fully correct; in a well-set MCQ, options must be checked carefully. चरण 1: \(x^2<2x+8\) को \(x^2-2x-8<0\) लिखें। चरण 2: ((x-4)(x+2)<0), इसलिए (-2<x<4) और पूर्णांक सदस्य (-1,0,1,2,3) होने चाहिए। लेकिन (x=-2) पर मूल असमानता (4<4) झूठी है, इसलिए विकल्पों में सही पूर्ण सूची (-1,0,1,2,3) नहीं है। चरण 3: दिए गए विकल्पों में कोई भी पूर्ण सही नहीं दिखता, इसलिए प्रश्न में सावधानी से विकल्प जांचना चाहिए।
From ((x-4)(x+2)<0), we get (-2<x<4), so the integer elements are (-1,0,1,2,3).
Step 3
Exam Tip
In strict inequalities, boundary points are not included. चरण 1: \(x^2<2x+8\) को \(x^2-2x-8<0\) में बदलें। चरण 2: ((x-4)(x+2)<0) से (-2<x<4) मिलता है, इसलिए पूर्णांक (-1,0,1,2,3) हैं। चरण 3: सख्त असमानता में सीमा बिंदु शामिल नहीं किए जाते।
The natural numbers divisible by (5) in this range are (55,60,65).
Step 3
Exam Tip
In strict boundary questions, check the starting and ending points separately. चरण 1: सीमा (50<x<70) में (50) और (70) शामिल नहीं हैं। चरण 2: इस सीमा में (5) से विभाज्य प्राकृतिक संख्याएं (55,60,65) हैं। चरण 3: सख्त सीमा वाले प्रश्नों में आरंभ और अंत बिंदुओं को अलग से जांचें।
Because (x>5), (1,2,3,5) are removed and (6,10,15,30) remain.
Step 3
Exam Tip
It is easier to list the divisors first and then apply the inequality condition. चरण 1: (30) के भाजक (1,2,3,5,6,10,15,30) हैं। चरण 2: (x>5) के कारण (1,2,3,5) हटेंगे और (6,10,15,30) बचेंगे। चरण 3: भाजक लिखने के बाद असमानता की शर्त लगाना आसान रहता है।
\(|x|\le 2\) means the distance of (x) from zero is at most (2).
Step 2
Why this answer is correct
The integer values are (-2,-1,0,1,2).
Step 3
Exam Tip
In modulus, both negative and positive values can appear, so look at both sides of the number line. चरण 1: \(|x|\le 2\) का अर्थ है कि (x) की शून्य से दूरी अधिकतम (2) है। चरण 2: पूर्णांक मान (-2,-1,0,1,2) होंगे। चरण 3: मापांक में ऋणात्मक और धनात्मक दोनों मान आते हैं, इसलिए दोनों ओर की संख्या रेखा देखें।
The set is made of multiples of (3), ending at (30).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(30=3\times 10\), the range of (n) is \(1\le n\le 10\).
Step 3
Exam Tip
In sets with dots, use the last element to identify the boundary. चरण 1: समुच्चय (3) के गुणजों से बना है और अंतिम सदस्य (30) है। चरण 2: \(30=3\times 10\), इसलिए (n) की सीमा \(1\le n\le 10\) होगी। चरण 3: दीर्घवृत्त वाले समुच्चय में अंतिम सदस्य से सीमा पहचानें।
(11,13,17,19,23) are prime, while numbers like (15,21,25) are composite.
Step 3
Exam Tip
While checking primes, test small divisors such as (2,3,5). चरण 1: (10) और (25) के बीच प्राकृतिक संख्याओं में अभाज्य संख्याएं खोजनी हैं। चरण 2: (11,13,17,19,23) अभाज्य हैं, जबकि (15,21,25) जैसी संख्याएं भाज्य हैं। चरण 3: अभाज्य पहचानते समय (2,3,5) जैसे छोटे भाजकों से जांच करें।
The small positive divisors of (48) are (1,2,3,4,6,8).
Step 2
Why this answer is correct
(12) is also a divisor, but it is not included because of (x<10). Hence \(T=\{1,2,3,4,6,8\}\).
Step 3
Exam Tip
Apply the boundary condition before writing the final roster form. चरण 1: (48) के छोटे धन भाजक (1,2,3,4,6,8) हैं। चरण 2: (12) भी भाजक है, पर (x<10) की शर्त से वह शामिल नहीं होगा। इसलिए \(T=\{1,2,3,4,6,8\}\)। चरण 3: सीमा की शर्त लगाने के बाद ही अंतिम रोस्टर रूप लिखें।
This gives (x=1) or (x=-1), and both are integers.
Step 3
Exam Tip
In square equations, do not ignore the negative solution. चरण 1: \(x^2-1=0\) को ((x-1)(x+1)=0) लिखा जाता है। चरण 2: इससे (x=1) या (x=-1) मिलता है, और दोनों पूर्णांक हैं। चरण 3: वर्ग समीकरण में ऋणात्मक हल को नजरअंदाज न करें।
The divisors of (100) are (1,2,4,5,10,20,25,50,100).
Step 2
Why this answer is correct
The two-digit divisors among them are (10,20,25,50). Hence \(V=\{10,20,25,50\}\).
Step 3
Exam Tip
Check both the divisor condition and the number-of-digits condition separately. चरण 1: (100) के भाजक (1,2,4,5,10,20,25,50,100) हैं। चरण 2: इनमें दो अंकों वाले भाजक (10,20,25,50) हैं। इसलिए \(V=\{10,20,25,50\}\)। चरण 3: संख्या की प्रकृति और अंकों की संख्या दोनों शर्तों को अलग-अलग जांचें।
The integers from (-3) to (3) are (-3,-2,-1,0,1,2,3).
Step 2
Why this answer is correct
\(x^2\) is even when (x) is even. So the elements are (-2,0,2).
Step 3
Exam Tip
Evenness and oddness are preserved when squaring an integer. चरण 1: (-3) से (3) तक पूर्णांक (-3,-2,-1,0,1,2,3) हैं। चरण 2: \(x^2\) सम तब होगा जब (x) सम हो। इसलिए सदस्य (-2,0,2) हैं। चरण 3: सम-विषम का गुण वर्ग लेने पर भी बना रहता है।
The second option would miss (2) because (2) is not odd. So the first option describes the whole set correctly.
Step 3
Exam Tip
Remember (2) separately; it is the only even prime number. चरण 1: (2,3,5,7) (10) से छोटी अभाज्य संख्याएं हैं। चरण 2: दूसरा विकल्प (2) को छोड़ देगा क्योंकि (2) विषम नहीं है। इसलिए पहला विकल्प ही पूरे समुच्चय को ठीक बताता है। चरण 3: अभाज्य संख्याओं में (2) को अलग से याद रखें, यह एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।
((x+4)(x-3)=0), so (x=-4) or (x=3). Only (3) is a natural number.
Step 3
Exam Tip
After solving, always filter the solutions according to the given number system. चरण 1: \(x^2+x=12\) को \(x^2+x-12=0\) लिखें। चरण 2: ((x+4)(x-3)=0), इसलिए (x=-4) या (x=3) मिलता है। प्राकृतिक संख्या केवल (3) है। चरण 3: हल निकालने के बाद दिए गए संख्या-समुच्चय के अनुसार छंटाई जरूर करें।
From \(x^2\le 9\), possible integer values are (-3,-2,-1,0,1,2,3).
Step 2
Why this answer is correct
From (x+1>0), we get (x>-1), so (-1) and smaller values are removed. The remaining set is ({0,1,2,3}).
Step 3
Exam Tip
With two inequalities, take the common part of both conditions. चरण 1: \(x^2\le 9\) से (x=-3,-2,-1,0,1,2,3) संभव हैं। चरण 2: (x+1>0) से (x>-1), इसलिए (-1) और उससे छोटे मान हटेंगे। बचा समुच्चय ({0,1,2,3}) है। चरण 3: दो असमानताओं में दोनों का समान भाग लेना होता है।
As natural numbers, the positive multiples of (6) are \(6,12,18,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(x\le 36\), the last element is (36). So the list is (6,12,18,24,30,36).
Step 3
Exam Tip
Whether zero is included in natural numbers can vary by convention, but here the positive multiples are clearly intended. चरण 1: प्राकृतिक संख्या के रूप में (6) के धन गुणज \(6,12,18,\ldots\) होते हैं। चरण 2: \(x\le 36\) के कारण अंतिम सदस्य (36) होगा। इसलिए सूची (6,12,18,24,30,36) है। चरण 3: प्राकृतिक संख्या में शून्य शामिल है या नहीं, यह प्रश्न की परंपरा पर निर्भर हो सकता है, पर यहां धन गुणज साफ दिख रहे हैं।
When (x) is a common factor, do not forget the solution (x=0). चरण 1: \(x^2=2x\) को \(x^2-2x=0\) लिखें। चरण 2: (x(x-2)=0), इसलिए (x=0) या (x=2) मिलता है। दोनों पूर्णांक हैं। चरण 3: जब समीकरण में (x) सामान्य गुणनखंड हो, तो (x=0) को भूलना नहीं चाहिए।
The even divisors among them are (2,6,18). Hence \(C=\{2,6,18\}\).
Step 3
Exam Tip
First list all divisors, then check evenness or oddness. चरण 1: (18) के भाजक (1,2,3,6,9,18) हैं। चरण 2: इनमें सम भाजक (2,6,18) हैं। इसलिए \(C=\{2,6,18\}\)। चरण 3: पहले सभी भाजक लिखें और फिर सम-विषम की जांच करें।
So the form is \(n^3\), where (n) is a natural number and \(1\le n\le 4\).
Step 3
Exam Tip
It is important to distinguish square and cube patterns. चरण 1: (1,8,27,64) क्रमशः \(1^3,2^3,3^3,4^3\) हैं। चरण 2: इसलिए रूप \(n^3\) होगा जहां (n) प्राकृतिक संख्या है और \(1\le n\le 4\)। चरण 3: वर्ग और घन के पैटर्न को अलग-अलग पहचानना जरूरी है।
From \(2x-1\le 9\), we get \(2x\le 10\), so \(x\le 5\).
Step 2
Why this answer is correct
Since (x) is a natural number, the elements are (1,2,3,4,5).
Step 3
Exam Tip
While solving inequalities, use the inequality sign to decide whether the boundary is included. चरण 1: \(2x-1\le 9\) से \(2x\le 10\), इसलिए \(x\le 5\) मिलता है। चरण 2: (x) प्राकृतिक संख्या है, इसलिए सदस्य (1,2,3,4,5) होंगे। चरण 3: असमानता हल करते समय अंतिम सीमा को शामिल करना है या नहीं, यह चिन्ह देखकर तय करें।
Since \(x\ne 0\), remove (0). Hence \(F=\{-3,-2,-1,1,2,3\}\).
Step 3
Exam Tip
Always apply an additional exclusion condition at the end. चरण 1: (-4<x<4) में पूर्णांक (-3,-2,-1,0,1,2,3) आते हैं। चरण 2: \(x\ne 0\) होने से (0) हट जाएगा। इसलिए \(F=\{-3,-2,-1,1,2,3\}\)। चरण 3: अलग से दी गई असमानता या निषेध शर्त को अंत में जरूर लगाएं।
The prime divisors among these are only (2,3,7). Hence \(G=\{2,3,7\}\).
Step 3
Exam Tip
Prime divisors do not include (1) or composite numbers. चरण 1: (42) के भाजक (1,2,3,6,7,14,21,42) हैं। चरण 2: इनमें अभाज्य भाजक केवल (2,3,7) हैं। इसलिए \(G=\{2,3,7\}\)। चरण 3: अभाज्य भाजक में (1) और भाज्य संख्याएं शामिल नहीं होतीं।
