Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. प्रांत ( [-3,3] ), परिसर ( [0,3] )/Domain ( [-3,3] ), range ( [0,3] )
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{9-x^2}\) वास्तविक होने के लिए \(9-x^2\ge 0\), इसलिए \(x\in[-3,3]\) और \(f(x)\in[0,3]\)। परीक्षा में वर्गमूल वाले फलन में अंदर की राशि को हमेशा \(\ge 0\) रखें। / For \(\sqrt{9-x^2}\) to be real, \(9-x^2\ge 0\), so \(x\in[-3,3]\) and \(f(x)\in[0,3]\). In exams, always keep the expression inside a square root \(\ge 0\).
\(2x-1\le 9\) से \(2x\le 10\), इसलिए \(x\le 5\) मिलता है। / From \(2x-1\le 9\), we get \(2x\le 10\), so \(x\le 5\).
Step 2
Why this answer is correct
(x) प्राकृतिक संख्या है, इसलिए सदस्य (1,2,3,4,5) होंगे। / Since (x) is a natural number, the elements are (1,2,3,4,5).
Step 3
Exam Tip
असमानता हल करते समय अंतिम सीमा को शामिल करना है या नहीं, यह चिन्ह देखकर तय करें। / While solving inequalities, use the inequality sign to decide whether the boundary is included.
प्राकृतिक संख्या के रूप में (6) के धन गुणज \(6,12,18,\ldots\) होते हैं। / As natural numbers, the positive multiples of (6) are \(6,12,18,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\le 36\) के कारण अंतिम सदस्य (36) होगा। इसलिए सूची (6,12,18,24,30,36) है। / Since \(x\le 36\), the last element is (36). So the list is (6,12,18,24,30,36).
Step 3
Exam Tip
प्राकृतिक संख्या में शून्य शामिल है या नहीं, यह प्रश्न की परंपरा पर निर्भर हो सकता है, पर यहां धन गुणज साफ दिख रहे हैं। / Whether zero is included in natural numbers can vary by convention, but here the positive multiples are clearly intended.
\(x^2\le 9\) से (x=-3,-2,-1,0,1,2,3) संभव हैं। / From \(x^2\le 9\), possible integer values are (-3,-2,-1,0,1,2,3).
Step 2
Why this answer is correct
(x+1>0) से (x>-1), इसलिए (-1) और उससे छोटे मान हटेंगे। बचा समुच्चय ({0,1,2,3}) है। / From (x+1>0), we get (x>-1), so (-1) and smaller values are removed. The remaining set is ({0,1,2,3}).
Step 3
Exam Tip
दो असमानताओं में दोनों का समान भाग लेना होता है। / With two inequalities, take the common part of both conditions.
(2,3,5,7) (10) से छोटी अभाज्य संख्याएं हैं। / (2,3,5,7) are the prime numbers less than (10).
Step 2
Why this answer is correct
दूसरा विकल्प (2) को छोड़ देगा क्योंकि (2) विषम नहीं है। इसलिए पहला विकल्प ही पूरे समुच्चय को ठीक बताता है। / The second option would miss (2) because (2) is not odd. So the first option describes the whole set correctly.
Step 3
Exam Tip
अभाज्य संख्याओं में (2) को अलग से याद रखें, यह एकमात्र सम अभाज्य संख्या है। / Remember (2) separately; it is the only even prime number.
(100) के भाजक (1,2,4,5,10,20,25,50,100) हैं। / The divisors of (100) are (1,2,4,5,10,20,25,50,100).
Step 2
Why this answer is correct
इनमें दो अंकों वाले भाजक (10,20,25,50) हैं। इसलिए \(V=\{10,20,25,50\}\)। / The two-digit divisors among them are (10,20,25,50). Hence \(V=\{10,20,25,50\}\).
Step 3
Exam Tip
संख्या की प्रकृति और अंकों की संख्या दोनों शर्तों को अलग-अलग जांचें। / Check both the divisor condition and the number-of-digits condition separately.
(48) के छोटे धन भाजक (1,2,3,4,6,8) हैं। / The small positive divisors of (48) are (1,2,3,4,6,8).
Step 2
Why this answer is correct
(12) भी भाजक है, पर (x<10) की शर्त से वह शामिल नहीं होगा। इसलिए \(T=\{1,2,3,4,6,8\}\)। / (12) is also a divisor, but it is not included because of (x<10). Hence \(T=\{1,2,3,4,6,8\}\).
Step 3
Exam Tip
सीमा की शर्त लगाने के बाद ही अंतिम रोस्टर रूप लिखें। / Apply the boundary condition before writing the final roster form.
\(|x|\le 2\) का अर्थ है कि (x) की शून्य से दूरी अधिकतम (2) है। / \(|x|\le 2\) means the distance of (x) from zero is at most (2).
Step 2
Why this answer is correct
पूर्णांक मान (-2,-1,0,1,2) होंगे। / The integer values are (-2,-1,0,1,2).
Step 3
Exam Tip
मापांक में ऋणात्मक और धनात्मक दोनों मान आते हैं, इसलिए दोनों ओर की संख्या रेखा देखें। / In modulus, both negative and positive values can appear, so look at both sides of the number line.
\(x^2<2x+8\) को \(x^2-2x-8<0\) में बदलें। / Convert \(x^2<2x+8\) into \(x^2-2x-8<0\).
Step 2
Why this answer is correct
((x-4)(x+2)<0) से (-2<x<4) मिलता है, इसलिए पूर्णांक (-1,0,1,2,3) हैं। / From ((x-4)(x+2)<0), we get (-2<x<4), so the integer elements are (-1,0,1,2,3).
Step 3
Exam Tip
सख्त असमानता में सीमा बिंदु शामिल नहीं किए जाते। / In strict inequalities, boundary points are not included.
\(x^2<2x+8\) को \(x^2-2x-8<0\) लिखें। / Rewrite \(x^2<2x+8\) as \(x^2-2x-8<0\).
Step 2
Why this answer is correct
((x-4)(x+2)<0), इसलिए (-2<x<4) और पूर्णांक सदस्य (-1,0,1,2,3) होने चाहिए। लेकिन (x=-2) पर मूल असमानता (4<4) झूठी है, इसलिए विकल्पों में सही पूर्ण सूची (-1,0,1,2,3) नहीं है।
Step 3
Exam Tip
दिए गए विकल्पों में कोई भी पूर्ण सही नहीं दिखता, इसलिए प्रश्न में सावधानी से विकल्प जांचना चाहिए। / The exact set is ({-1,0,1,2,3}), so none of the listed options is fully correct; in a well-set MCQ, options must be checked carefully.
(10) के धन भाजक (1,2,5,10) हैं। / The positive divisors of (10) are (1,2,5,10).
Step 2
Why this answer is correct
(x+2) इनमें से कोई होना चाहिए। (x+2=5) से (x=3) और (x+2=10) से (x=8) मिलता है। (1) और (2) से (x) प्राकृतिक नहीं बनता। / (x+2) must be one of these. From (x+2=5), (x=3), and from (x+2=10), (x=8). The divisors (1) and (2) do not give natural (x).
Step 3
Exam Tip
बदले हुए रूप (x+2) को पहले अलग मात्रा मानकर हल करें। / Treat the expression (x+2) as a separate value first.
इस समुच्चय में शून्य सहित (10) से छोटे सम पूर्णांक हैं। / This set contains even integers below (10), including zero.
Step 2
Why this answer is correct
(2n), जहां (n=0,1,2,3,4), ठीक (0,2,4,6,8) देता है। इसलिए पूर्णांक पर आधारित पहला विकल्प अधिक सुरक्षित है। / (2n), where (n=0,1,2,3,4), gives exactly (0,2,4,6,8). So the first option based on integers is safest.
Step 3
Exam Tip
जब शून्य शामिल हो, तो प्राकृतिक संख्या की परिभाषा से भ्रम हो सकता है, इसलिए दिए गए विकल्प ध्यान से पढ़ें। / When zero is included, read the number system in the options carefully.
(15) के गुणनखंड (1,3,5,15) हैं। / The factors of (15) are (1,3,5,15).
Step 2
Why this answer is correct
(25) के गुणनखंड (1,5,25) हैं। दोनों में समान सदस्य (1) और (5) हैं, इसलिए \(C=\{1,5\}\)। / The factors of (25) are (1,5,25). The common factors are (1) and (5), so \(C=\{1,5\}\).
Step 3
Exam Tip
दोनों का गुणनखंड का अर्थ समान गुणनखंड होता है। / A factor of both means a common factor.
A. \(({x\in \mathbb{Z}: x^2=4\) और \(x>0})\)/\(({x\in \mathbb{Z}: x^2=4\) and \(x>0})\)
Step 1
Concept
एकल समुच्चय में ठीक एक सदस्य होता है। / A singleton set has exactly one element.
Step 2
Why this answer is correct
पहले विकल्प में \(x^2=4\) से (x=-2,2) मिलते हैं, लेकिन (x>0) के कारण केवल (2) बचेगा। इसलिए यह एकल समुच्चय है। / In the first option, \(x^2=4\) gives (x=-2,2), but (x>0) keeps only (2). So it is a singleton set.
Step 3
Exam Tip
एकल और खाली समुच्चय में अंतर गिनती से साफ करें। / Distinguish singleton and empty sets by counting their elements.
(x<10) और \(x\in \mathbb{N}\) होने से (x=1) से (9) तक हो सकता है। / Since (x<10) and \(x\in \mathbb{N}\), (x) can be from (1) to (9).
Step 2
Why this answer is correct
\(x^2\) दो अंकों की संख्या तब बनेगा जब \(x^2\ge 10\), जो (x=4) से शुरू होता है। इसलिए \(B=\{4,5,6,7,8,9\}\)। / \(x^2\) becomes a two-digit number when \(x^2\ge 10\), which starts from (x=4). Hence \(B=\{4,5,6,7,8,9\}\).
Step 3
Exam Tip
दो अंकों की शर्त का अर्थ (10) से (99) तक होता है। / A two-digit condition means the value lies from (10) to (99).
(7,14,21,28,35) सात के पहले पांच धन गुणज हैं। / (7,14,21,28,35) are the first five positive multiples of (7).
Step 2
Why this answer is correct
इन्हें (7n) से लिखा जा सकता है जहां (n=1,2,3,4,5)। इसलिए पहला विकल्प ठीक है। / They can be written as (7n), where (n=1,2,3,4,5). So the first option is correct.
Step 3
Exam Tip
गुणजों के समुच्चय में सामान्य गुणज और सीमा दोनों लिखना चाहिए। / For a set of multiples, mention both the common multiple pattern and the range.
