Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(1) से (10) तक संख्याएं जांचें। / Check the numbers from (1) to (10).
Step 2
Why this answer is correct
(2) से विभाज्य संख्याएं (2,4,6,8,10) हटेंगी और (3) से विभाज्य (3,6,9) हटेंगी। बची संख्याएं (1,5,7) हैं। / Remove multiples of (2), namely (2,4,6,8,10), and multiples of (3), namely (3,6,9). The remaining numbers are (1,5,7).
Step 3
Exam Tip
नहीं वाली शर्तों में जिन संख्याओं को हटाना है, उन्हें पहले चिन्हित करें। / In negative conditions, first mark the numbers that must be removed.
(36) के भाजक (1,2,3,4,6,9,12,18,36) हैं। / The divisors of (36) are (1,2,3,4,6,9,12,18,36).
Step 2
Why this answer is correct
इनमें पूर्ण वर्ग (1,4,9,36) हैं। इसलिए \(R=\{1,4,9,36\}\)। / Among these, the perfect squares are (1,4,9,36). Hence \(R=\{1,4,9,36\}\).
Step 3
Exam Tip
दो गुणों वाले समुच्चय में हर सदस्य दोनों शर्तें पूरी करे, यह जांचना जरूरी है। / In a set with two properties, each element must satisfy both conditions.
समुच्चय में दोहराए गए अक्षर केवल एक बार लिखे जाते हैं। / In a set, repeated letters are written only once.
Step 2
Why this answer is correct
शब्द में अलग-अलग अक्षर (m,a,t,h,e,i,c,s) हैं, इसलिए पहला विकल्प सही है। / The distinct letters of the word are (m,a,t,h,e,i,c,s), so the first option is correct.
Step 3
Exam Tip
अक्षर वाले समुच्चय में क्रम और दोहराव दोनों का महत्व नहीं होता। / In letter-based sets, both order and repetition do not matter.
दिए गए सदस्य (4) के पहले पांच धन गुणज हैं। / The given elements are the first five positive multiples of (4).
Step 2
Why this answer is correct
(4n) जहां (n=1,2,3,4,5), ठीक (4,8,12,16,20) देता है। बाकी विकल्पों में अतिरिक्त सदस्य आ जाते हैं। / (4n), where (n=1,2,3,4,5), gives exactly (4,8,12,16,20). Other options include extra elements.
Step 3
Exam Tip
सबसे सही रूप वही होता है जो केवल दिए गए सदस्यों को बनाए। / The most accurate form is the one that creates only the given elements.
दो अंकों की संख्या में दहाई अंक शून्य नहीं हो सकता। / In a two-digit number, the tens digit cannot be zero.
Step 2
Why this answer is correct
अंकों का योग (3) होने पर संभावित संख्याएं (12,21,30) हैं। (03) दो अंकों की संख्या नहीं मानी जाती। / If the sum of digits is (3), the possible numbers are (12,21,30). (03) is not considered a two-digit number.
Step 3
Exam Tip
अंक-आधारित समुच्चयों में संख्या की अंकों वाली शर्त को अलग से जांचें। / In digit-based sets, check the digit condition separately from the number condition.
समान समुच्चयों में सदस्य बिल्कुल वही होते हैं, क्रम और दोहराव का कोई महत्व नहीं होता। / Equal sets have exactly the same elements; order and repetition do not matter.
Step 2
Why this answer is correct
पहले विकल्प में दोनों समुच्चयों के अलग-अलग सदस्य (1,2,3) ही हैं। इसलिए वे समान हैं। / In the first option, the distinct elements of both sets are (1,2,3). So they are equal.
Step 3
Exam Tip
रोस्टर रूप में दोहराए सदस्य देखकर भ्रमित न हों। / Do not get confused by repeated elements in roster form.
गुणनखंड वे संख्याएं हैं जिनसे (20) पूरा विभाजित हो जाए। / Factors are numbers that divide (20) exactly.
Step 2
Why this answer is correct
(20) के प्राकृतिक गुणनखंड (1,2,4,5,10,20) हैं। इसलिए पहला विकल्प सही है। / The natural factors of (20) are (1,2,4,5,10,20), so the first option is correct.
Step 3
Exam Tip
गुणनखंड लिखते समय (1) और स्वयं संख्या को शामिल करना न भूलें। / While listing factors, do not forget (1) and the number itself.
शर्त \(-2<x\le 3\) में (-2) शामिल नहीं है, लेकिन (3) शामिल है। / In \(-2<x\le 3\), (-2) is not included, but (3) is included.
Step 2
Why this answer is correct
इस सीमा के पूर्णांक (-1,0,1,2,3) हैं। / The integers in this range are (-1,0,1,2,3).
Step 3
Exam Tip
खुले और बंद चिन्हों पर ध्यान दें, क्योंकि एक ही सीमा में सदस्य बदल सकते हैं। / Pay attention to open and closed boundary signs because they change the elements.
A. \((F={x:x\) is a vowel in the English alphabet})
Step 1
Concept
दिए गए सदस्य (a,e,i,o,u) अंग्रेजी वर्णमाला के स्वर हैं। / The elements (a,e,i,o,u) are vowels in the English alphabet.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए सही वर्णन वही होगा जो सभी और केवल इन्हीं पांच स्वरों को शामिल करे। अन्य विकल्प या तो व्यंजन लेते हैं या बहुत अधिक अक्षर जोड़ देते हैं। / So the correct description must include all and only these five vowels. Other options either take consonants or include too many letters.
Step 3
Exam Tip
किसी वर्णन को सही तभी मानें जब उससे न कोई अतिरिक्त सदस्य आए और न कोई दिया गया सदस्य छूटे। / A description is correct only when it neither adds extra elements nor misses given elements.
\(x^2=9\) से (x=-3,3) मिलते हैं। / From \(x^2=9\), we get (x=-3,3).
Step 2
Why this answer is correct
\(x^2=16\) से (x=-4,4) मिलते हैं। इसलिए \(E=\{-4,-3,3,4\}\) और इसमें (4) सदस्य हैं। / From \(x^2=16\), we get (x=-4,4). Hence \(E=\{-4,-3,3,4\}\), which has (4) elements.
Step 3
Exam Tip
वर्ग वाले प्रश्नों में धन और ऋण दोनों मूलों को गिनना न भूलें। / In square-based questions, do not forget both positive and negative roots.
\(x^2-5x+6=0\) को ((x-2)(x-3)=0) लिखा जा सकता है। / The equation \(x^2-5x+6=0\) can be written as ((x-2)(x-3)=0).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (x=2) या (x=3) मिलता है, और दोनों प्राकृतिक संख्याएं हैं। इसलिए \(T=\{2,3\}\)। / This gives (x=2) or (x=3), and both are natural numbers, so \(T=\{2,3\}\).
Step 3
Exam Tip
समीकरण वाले समुच्चय में हल निकालने के बाद यह जरूर जांचें कि हल दिए गए संख्या-समुच्चय में है या नहीं। / In equation-based sets, always check whether the solutions belong to the given number system.
\(|x-2|\le 3\) का अर्थ है कि (x), (2) से अधिकतम (3) दूरी पर है। / \(|x-2|\le 3\) means (x) is at most (3) units away from (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(-1\le x\le 5\) और (x) पूर्णांक है, तो सदस्य (-1,0,1,2,3,4,5) होंगे। / Therefore \(-1\le x\le 5\), and since (x) is an integer, the elements are (-1,0,1,2,3,4,5).
Step 3
Exam Tip
मापांक वाले प्रश्नों में दूरी की सोच लगाने से रोस्टर रूप जल्दी बनता है। / In modulus-based set questions, thinking in terms of distance makes the roster form easier.
प्राकृतिक संख्याएं \(1,2,3,\ldots\) से शुरू मानी जाती हैं। / Natural numbers are usually taken as \(1,2,3,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
(x<1) वाली कोई प्राकृतिक संख्या नहीं है, इसलिए पहला समुच्चय खाली है। बाकी विकल्पों में क्रमशः (0), (1), और (0) सदस्य मिलते हैं। / There is no natural number less than (1), so the first set is empty. The other options contain (0), (1), and (0) respectively.
Step 3
Exam Tip
खाली समुच्चय पहचानने से पहले दिए गए संख्या-समुच्चय को ध्यान से देखें। / Before identifying an empty set, check the given number system carefully.
(12) के धन भाजक (1,2,3,4,6,12) हैं। / The positive divisors of (12) are (1,2,3,4,6,12).
Step 2
Why this answer is correct
इनमें से विषम सदस्य केवल (1) और (3) हैं, इसलिए \(C=\{1,3\}\)। / Among these, the odd elements are only (1) and (3), so \(C=\{1,3\}\).
Step 3
Exam Tip
जब दो शर्तें दी हों, तो पहले बड़ी सूची बनाएं और फिर दूसरी शर्त लगाकर छांटें। / When two conditions are given, first make the larger list and then filter it using the second condition.
(40) से छोटी (6) की गुणज संख्याएं (6,12,18,24,30,36) हैं। / The multiples of (6) below (40) are (6,12,18,24,30,36).
Step 2
Why this answer is correct
(9) की गुणज संख्याएं (9,18,27,36) हैं। दोहराए गए (18) और (36) को एक बार गिनने पर सदस्य (6,9,12,18,24,27,30,36) बनते हैं। / The multiples of (9) below (40) are (9,18,27,36). Counting repeated values (18) and (36) only once gives (6,9,12,18,24,27,30,36).
Step 3
Exam Tip
समुच्चय में दोहराव नहीं गिना जाता, इसलिए गिनते समय समान सदस्य एक बार ही लिखें। / A set does not count repeated elements, so always write common elements only once.
दिए गए सदस्य (1,4,9,16,25) क्रमशः \(1^2,2^2,3^2,4^2,5^2\) हैं। / The elements (1,4,9,16,25) are \(1^2,2^2,3^2,4^2,5^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए इन्हें \(n^2\) के रूप में लिखा जाएगा जहां (n) प्राकृतिक संख्या है और \(1\le n\le 5\)। / So they can be written as \(n^2\), where (n) is a natural number and \(1\le n\le 5\).
Step 3
Exam Tip
रोस्टर रूप से समुच्चय-निर्माण रूप बनाते समय सदस्यों में छिपा पैटर्न पहचानें। / When converting roster form to set-builder form, identify the pattern behind the elements.
यहां (P) में वे प्राकृतिक संख्याएं आएंगी जो (18) और (24) दोनों की भाजक हों। / The set (P) contains natural numbers that divide both (18) and (24).
Step 2
Why this answer is correct
(18) के भाजक (1,2,3,6,9,18) हैं और (24) के भाजक (1,2,3,4,6,8,12,24) हैं। समान भाजक (1,2,3,6) हैं। / The divisors of (18) are (1,2,3,6,9,18), and the divisors of (24) are (1,2,3,4,6,8,12,24). The common divisors are (1,2,3,6).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में पहले दोनों सूचियां अलग लिखें, फिर समान सदस्य चुनें। / For such questions, list both divisor sets first and then pick the common elements.
A. \((B={x:x\) सम धन पूर्णांक है और \(2\le x\le 10})\)/\((B={x:x\) is an even positive integer and \(2\le x\le 10})\)
Step 1
Concept
दिए गए समुच्चय में केवल (2) से (10) तक की सम धन पूर्णांक संख्याएं हैं। / The given set contains only even positive integers from (2) to (10).
Step 2
Why this answer is correct
विकल्प A में सम, धन पूर्णांक और सीमा \(2\le x\le 10\) तीनों बातें साफ हैं, इसलिए वही ठीक रूप है। बाकी विकल्पों में या तो अतिरिक्त संख्याएं आ जाती हैं या जरूरी शर्त छूट जाती है। / Option A clearly includes evenness, positivity, and the boundary \(2\le x\le 10\), so it is the exact form. Other options either include extra numbers or miss an important condition.
Step 3
Exam Tip
समुच्चय-निर्माण रूप लिखते समय सदस्यता और सीमा दोनों साफ लिखें। / While writing set-builder form, mention both the type of elements and their range clearly.
यहां (x) पूर्णांक है, इसलिए केवल पूर्णांक मान ही लिए जाएंगे। / Here (x) is an integer, so only integer values are allowed.
Step 2
Why this answer is correct
शर्त (x>-3) से संभावित मान \(-2,-1,0,1,2,3,\ldots\) मिलते हैं, और \(x^2<10\) से (-3) से (3) के बीच के उपयुक्त मान आते हैं। दोनों शर्तों को साथ रखने पर (-2,-1,0,1,2,3) मिलते हैं। / The condition (x>-3) gives possible values \(-2,-1,0,1,2,3,\ldots\), and \(x^2<10\) keeps the suitable values between (-3) and (3). Combining both conditions gives (-2,-1,0,1,2,3).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में पहले संख्या-समुच्चय पहचानें, फिर सभी शर्तों को एक साथ जांचें। / In exams, first identify the number system, then test all conditions together.
