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Subjects
Class 11 Mathematics Sets Power Set and Universal Set Hard Level 10

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\), तो \(\mathcal{P}(A)\) के कितने तत्वों में (1) नहीं होगा और (4) होगा?

If \(A=\{1,2,3,4\}\), how many elements of \(\mathcal{P}(A)\) do not contain 1 and do contain 4?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

C. 4

Explanation

Simple Explanation

हमें ऐसे उपसमुच्चय गिनने हैं जिनमें 1 शामिल नहीं है और 4 शामिल है। 4 को शामिल मानने पर बचते हैं केवल तत्व 2 और 3 — हर एक के लिए शामिल/न शामिल के दो विकल्प हैं। अत: कुल उपसमुच्चय = \(2^{2}=4\)। विकल्प D (8) गलत है क्योंकि वह मानता है कि तीन तत्व स्वतंत्र हैं (\(2^{3}=8\)), जो यहाँ लागू नहीं होता; विकल्प A और B अवकलन हैं। परीक्षा सुझाव: जब कोई तत्व "शामिल" या "शामिल नहीं" बताता हो, तो स्वतंत्र तत्वों की संख्या गिनें और उत्तर \(2^{\text{(स्वतंत्र तत्वों की संख्या)}}\) द्वारा पाएँ। / We count subsets that exclude 1 and include 4. With 4 fixed in and 1 fixed out, the only free elements are 2 and 3. Each free element can be present or absent, giving \(2^{2}=4\) subsets. Option D (8) is incorrect because it assumes three free choices (\(2^{3}\)); A and B are undercounts. Exam tip: when elements are fixed in/out, count the remaining free elements and compute \(2^{\text{(number of free elements)}}\).

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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\), तो \(\mathcal{P}(A)\) के कितने तत्वों में (1) नहीं होगा और (4) होगा? / If \(A=\{1,2,3,4\}\), how many elements of \(\mathcal{P}(A)\) do not contain 1 and do contain 4?

Correct Answer: C. 4. Explanation: हमें ऐसे उपसमुच्चय गिनने हैं जिनमें 1 शामिल नहीं है और 4 शामिल है। 4 को शामिल मानने पर बचते हैं केवल तत्व 2 और 3 — हर एक के लिए शामिल/न शामिल के दो विकल्प हैं। अत: कुल उपसमुच्चय = \(2^{2}=4\)। विकल्प D (8) गलत है क्योंकि वह मानता है कि तीन तत्व स्वतंत्र हैं (\(2^{3}=8\)), जो यहाँ लागू नहीं होता; विकल्प A और B अवकलन हैं। परीक्षा सुझाव: जब कोई तत्व "शामिल" या "शामिल नहीं" बताता हो, तो स्वतंत्र तत्वों की संख्या गिनें और उत्तर \(2^{\text{(स्वतंत्र तत्वों की संख्या)}}\) द्वारा पाएँ। / We count subsets that exclude 1 and include 4. With 4 fixed in and 1 fixed out, the only free elements are 2 and 3. Each free element can be present or absent, giving \(2^{2}=4\) subsets. Option D (8) is incorrect because it assumes three free choices (\(2^{3}\)); A and B are undercounts. Exam tip: when elements are fixed in/out, count the remaining free elements and compute \(2^{\text{(number of free elements)}}\).