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यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), \(B=\{1,2,3,4,5,6\}\) और \(R=\{(a,b):a+b=7\}\) है, तो (R) के कितने उपसमुच्चय कम से कम एक युग्म रखते हैं जिसका पहला अवयव (1) है?
(R) में (6) युग्म हैं और पहला अवयव (1) वाला केवल ((1,6)) है। उसे रखना होगा, इसलिए बाकी (5) युग्म स्वतंत्र हैं और संख्या \(2^5=32\) है। / There are (6) pairs in (R), and only ((1,6)) has first component (1). It must be included, so the other (5) pairs are free, giving \(2^5=32\).
\(|A\times B|=10\), इसलिए ठीक (5) युग्म चुनने के तरीके \(\binom{10}{5}=252\) हैं। ठीक संख्या के लिए संयोजन लगाएँ। / \(|A\times B|=10\), so choosing exactly (5) pairs gives \(\binom{10}{5}=252\). Use combinations for exact-size subsets.
समुच्चयांतर \(A-B\) में वे तत्व आते हैं जो \(A\) में हैं, पर \(B\) में नहीं हैं। अतः \(A-B=\{1,2\}\), जिसमें 2 तत्व हैं। 2 तत्वों वाले समुच्चय के घात समुच्चय में \(2^2=4\) तत्व होते हैं। विकल्प 2 केवल \(A-B\) के तत्वों की संख्या है, घात समुच्चय के तत्वों की संख्या नहीं। परीक्षा टिप: यदि किसी समुच्चय में \(n\) तत्व हों, तो उसके घात समुच्चय में \(2^n\) तत्व होते हैं। / The difference \(A-B\) contains elements that belong to \(A\) but not to \(B\). Thus, \(A-B=\{1,2\}\), which has 2 elements. The power set of a set with 2 elements has \(2^2=4\) elements. Option 2 is only the number of elements in \(A-B\), not the number of elements in its power set. Exam tip: a set with \(n\) elements has \(2^n\) subsets in its power set.
जिस subset में ({1,2}) शामिल हो, उसमें (3) और (4) वैकल्पिक हैं, इसलिए \(2^2=4\)। परीक्षा में required subset को fixed block मानें। / A subset containing ({1,2}) has (3) and (4) as optional elements, so \(2^2=4\). In exams, treat the required subset as fixed.
किसी n-तत्व सेट का पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) में \(2^n\) उपसमुच्चय होते हैं। यहाँ \(n=3\) इसलिए कुल उपसमुच्चय \(2^3=8\) हैं। यदि \(\emptyset\) और \(A\) को हटा दिया जाए तो बचते हैं \(8-2=6\) तत्व। निकटतम भ्रामक विकल्प \(8\) इसलिए गलत है क्योंकि वह हटाने का विचार नहीं करता। परीक्षा-सुझाव: किसी सेट के ‘नॉन-खाली सही’ उपसमुच्चयों की संख्या फॉर्मूला \(2^n-2\) से तुरंत मिल जाती है। / A set with n elements has \(2^n\) subsets in its power set \(\mathcal{P}(A)\). Here n=3, so \(2^3=8\). Removing \(\emptyset\) and A removes 2 subsets, leaving \(8-2=6\). The closest distractor 8 is simply the total number of subsets without removing \(\emptyset\) and A, so it is incorrect. Exam tip: use the formula \(2^n-2\) to quickly get the count of nonempty proper subsets.
कुल उपसमुच्चय \(2^6=64\) हैं और ठीक (2) तत्व वाले \(\binom{6}{2}=15\) हैं। इसलिए उत्तर (64-15=49) है। / Total subsets are \(2^6=64\), and exactly two-element subsets are \(\binom{6}{2}=15\). So the answer is (64-15=49).
कम से कम (3) तत्वों वाले उपसमुच्चय (3) या (4) तत्वों के होंगे। संख्या \(\binom{4}{3}+\binom{4}{4}=5\) है। / Subsets with at least (3) elements have (3) or (4) elements. The number is \(\binom{4}{3}+\binom{4}{4}=5\).
यदि हम 1, 2 और 3 को शामिल नहीं करना चाहते तो बचते हैं तत्व {4,5,6} — कुल 3 तत्व। किसी n‑तत्व वाले सेट के उपसमुच्चयों की संख्या पॉवर सेट के सिद्धांत के अनुसार
\(2^n\) होती है। यहाँ \(n=3\) है इसलिए उपसमुच्चयों की संख्या \(2^3=8\) होगी।
नज़दीकी भ्रामक विकल्प 16 है — वह तब सही होता अगर बचे हुए तत्व 4 होते (क्योंकि \(2^4=16\))। परीक्षा टिप: पहले उन तत्वों की गिनती करें जिन्हें आप रखने/न रखने पर विचार कर रहे हैं, फिर \(2^{\text{गिने गए तत्वों की संख्या}}\) लगाएँ। / If none of 1, 2, 3 are allowed, the remaining elements are {4,5,6} — that is 3 elements. The number of subsets of an n‑element set is given by the power set size \(2^n\). Here \(n=3\), so the number of subsets is \(2^3=8\).
The closest distractor 16 would be correct only if 4 elements remained (since \(2^4=16\)). Exam tip: first count how many elements remain after restrictions, then compute \(2^{\text{remaining elements}}\).
(3) और (7) को रखना तय है और बाकी (5) तत्व स्वतंत्र हैं। इसलिए संख्या \(2^5=32\) होगी। / Including (3) and (7) is fixed and the remaining (5) elements are free. So the number is \(2^5=32\).
एक तत्व को रखना तय है और बाकी (6) तत्व स्वतंत्र हैं। इसलिए उपसमुच्चयों की संख्या \(2^6=64\) होगी। / One element is fixed to be included and the remaining (6) elements are free. So the number of subsets is \(2^6=64\).
(3) को रखना निश्चित है और बाकी (1,5) चुने या छोड़े जा सकते हैं। इसलिए संख्या \(2^2=4\) होगी। / Keeping (3) is fixed and the remaining (1,5) may be chosen or not chosen. So the number is \(2^2=4\).
(2) और (5) को रखना निश्चित है, बाकी (4) तत्व स्वतंत्र हैं। इसलिए उपसमुच्चय \(2^4=16\) होंगे। / Keeping (2) and (5) is fixed, and the remaining (4) elements are free. Therefore the number of subsets is \(2^4=16\).
यदि किसी विशेष तत्व को शामिल न किया जाए तो बचे हुए तत्वों की संख्या 6−1=5 है। किसी सेट के n तत्वों के उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है, अतः यहाँ उपसमुच्चयों की संख्या \\(2^5=32\\) होगी। वैकल्पिक तर्क: कुल उपसमुच्चय \\(2^6=64\\) हैं और किसी दिए हुए तत्व को शामिल करने/नकरने के दो विकल्प होते हैं, इसलिए आधे यानी \\(2^5\\) ऐसे उपसमुच्चय होंगे जो उसे नहीं रखते। गलत विकल्पों का कारण: 64 कुल उपसमुच्चय हैं (इसलिए गलत), 63 गैर-खाली सभी उपसमुच्चयों का संख्या है (\(2^6-1\)), और 16 \(2^4\) होगा यदि सिर्फ 4 तत्व बचे होते — इसलिए वे भ्रामक हैं। परीक्षा-सुझाव: इस प्रकार के प्रश्नों के लिए सीधे सूत्र \(2^{n-1}\) याद रखें या पूरक गिनती (half of \(2^n\)) का प्रयोग करें। / If the particular element is excluded, 6−1=5 elements remain. A set with n elements has \(2^n\) subsets, so here the number is \(2^5=32\). Alternatively, of the total \(2^6=64\) subsets, exactly half will not contain the chosen element, giving \(2^5\). Why other options are wrong: 64 is the total number of subsets, 63 equals the number of non-empty subsets (\(2^6-1\)), and 16 equals \(2^4\) which would be the count if only 4 elements remained. Exam tip: use the formula \(2^{n-1}\) for “subsets not containing a given element” or reason by splitting presence/absence of that element.
सम तत्व (2,4,6) हैं और इनके सभी उपसमुच्चय \(2^3=8\) होंगे। परीक्षा में "केवल" का अर्थ है बाकी तत्वों को पूरी तरह हटाना। / The even elements are (2,4,6), and all their subsets are \(2^3=8\). In exams "only" means all other elements are excluded.
विषम संख्याएं (1,3) हैं जिनमें से एक चुनें और सम संख्याएं (2,4) स्वतंत्र हैं इसलिए \({}^2C_1\times2^2=8\)। परीक्षा में शर्त वाले तत्व और स्वतंत्र तत्व अलग करें। / The odd numbers are (1,3); choose one of them and let even numbers (2,4) be free, so \({}^2C_1\times2^2=8\). In exams separate restricted and free elements.
(1) निश्चित है और (4) हट गया है इसलिए (2,3) स्वतंत्र हैं और \(2^2=4\) उपसमुच्चय बनते हैं। परीक्षा में शामिल और निष्कासित शर्तें अलग करें। / (1) is fixed and (4) is removed, so (2,3) are free and form \(2^2=4\) subsets. In exams separate included and excluded conditions.
(2) और (5) निश्चित हैं और बाकी (3) तत्व स्वतंत्र हैं इसलिए \(2^3=8\)। परीक्षा में अनिवार्य तत्वों को पहले निश्चित करें। / The elements (2) and (5) are fixed and the remaining (3) elements are free, so \(2^3=8\). In exams fix compulsory elements first.
दो तत्वों वाले (3) और तीन तत्वों वाला (1) उपसमुच्चय है इसलिए कुल (4) हैं। परीक्षा में "कम से कम" में सभी बड़े आकार जोड़ें। / There are (3) subsets with two elements and (1) subset with three elements, so the total is (4). In exams add all larger sizes for "at least".
(1) को हटाने पर बचे (3) तत्वों से \(2^3=8\) उपसमुच्चय बनते हैं। परीक्षा में निषिद्ध तत्व को पहले हटाएं। / After removing (1), the remaining (3) elements form \(2^3=8\) subsets. In exams remove the forbidden element first.
(p) निश्चित है और बाकी दो तत्वों को \(2^2\) तरीकों से चुना जा सकता है। परीक्षा में निश्चित तत्व अलग रखकर बाकी पर गिनती करें। / The element (p) is fixed and the remaining two elements can be chosen in \(2^2\) ways. In exams fix the compulsory element and count the rest.
1 निश्चित है और 2 नहीं लेना है, शेष 3 अवयव स्वतंत्र हैं। इसलिए \(2^3=8\) उपसमुच्चय होंगे। / 1 is fixed and 2 is excluded, while the remaining 3 elements are optional. Thus \(2^3=8\) subsets.
कुल 16 उपसमुच्चय हैं और जिनमें न 1 है न 2, वे ({3,4}) के \(2^2=4\) उपसमुच्चय हैं। इसलिए (16-4=12)। / There are 16 total subsets, and those containing neither 1 nor 2 are the \(2^2=4\) subsets of ({3,4}). Hence (16-4=12).
2 निश्चित है और 11 निषिद्ध है, शेष 3 अवयव स्वतंत्र हैं। इसलिए \(2^3=8\) उपसमुच्चय हैं। / 2 is fixed and 11 is excluded, while the remaining 3 elements are optional. Hence \(2^3=8\) subsets.
a और b को शामिल करना अनिवार्य है, इसलिए वे 'फिक्स' हैं। शेष 3 तत्व (c, d, e) में से हर एक के लिए दो विकल्प हैं — शामिल हो या न हो — अतः कुल उपसमुच्चयों की संख्या
\(2^3=8\) है। गलत विकल्पों के बारे में: \(4\) तब होता यदि केवल 2 स्वतंत्र तत्व माने गए हों (भूल), और \(32\) पूरे सेट के सभी उपसमुच्चयों \(2^5\) का मान होगा। परीक्षा टिप: पहले अनिवार्य तत्वों को फिक्स कर लें, फिर बचे हुए \(n-k\) तत्वों के लिए \(2^{n-k}\) से गिनती करें। / Elements a and b are fixed to be included, so we only choose from the remaining 3 elements (c, d, e). Each of these 3 can either be present or absent, giving \(2^3=8\) possible subsets. About the distractors: 4 arises if one mistakenly treats only two elements as free, while 32 equals \(2^5\), the total number of subsets of A. Exam tip: fix required elements first, then count choices for the remaining \(n-k\) elements as \(2^{n-k}\).
कुल सेट में 6 अवयव हैं, इसलिए सभी उपसमुच्चयों की संख्या 26 = 64 है। यदि हम विशेष रूप से उन उपसमुच्चयों की गिनती करना चाहें जिनमें 2 मौजूद नहीं है, तो 2 को हटाने पर शेष 5 अवयवों के सभी उपसमुच्चय बनते हैं, यानी 25 = 32। इसलिए उत्तर 32 है। नोट: 16 = 24 तब मिलता यदि केवल 4 अवयव बचे होते; 64 में वे भी शामिल हैं जिनमें 2 हो (इसलिए वह सभी उपसमुच्चयों की संख्या है)। परीक्षा टिप: किसी निश्चित तत्व को शामिल न करने वाले उपसमुच्चयों की संख्या कुल उपसमुच्चयों का आधा होती है (यदि तत्व की उपस्थिति/अनुपस्थिति स्वतंत्र हो)। / The set has 6 elements, so total subsets = 26 = 64. Subsets that do not contain the element 2 are exactly the subsets of the remaining 5 elements, which number 25 = 32. Thus 32 is correct. Remarks on distractors: 16 = 24 would correspond to only 4 remaining elements; 64 counts all subsets including those with 2; 48 is not a power of two and cannot be the exact count of subsets. Exam tip: excluding one fixed element halves the total number of subsets, so use 2^(n-1).
