यदि A में 6 तत्व हैं, तो किसी निर्धारित चुने हुए तत्व को न रखने वाले A के उपसमुच्चयों की संख्या कितनी होगी?

Correct Answer: B. 32. Explanation: यदि किसी विशेष तत्व को शामिल न किया जाए तो बचे हुए तत्वों की संख्या 6−1=5 है। किसी सेट के n तत्वों के उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है, अतः यहाँ उपसमुच्चयों की संख्या \\(2^5=32\\) होगी। वैकल्पिक तर्क: कुल उपसमुच्चय \\(2^6=64\\) हैं और किसी दिए हुए तत्व को शामिल करने/नकरने के दो विकल्प होते हैं, इसलिए आधे यानी \\(2^5\\) ऐसे उपसमुच्चय होंगे जो उसे नहीं रखते। गलत विकल्पों का कारण: 64 कुल उपसमुच्चय हैं (इसलिए गलत), 63 गैर-खाली सभी उपसमुच्चयों का संख्या है (\(2^6-1\)), और 16 \(2^4\) होगा यदि सिर्फ 4 तत्व बचे होते — इसलिए वे भ्रामक हैं। परीक्षा-सुझाव: इस प्रकार के प्रश्नों के लिए सीधे सूत्र \(2^{n-1}\) याद रखें या पूरक गिनती (half of \(2^n\)) का प्रयोग करें। / If the particular element is excluded, 6−1=5 elements remain. A set with n elements has \(2^n\) subsets, so here the number is \(2^5=32\). Alternatively, of the total \(2^6=64\) subsets, exactly half will not contain the chosen element, giving \(2^5\). Why other options are wrong: 64 is the total number of subsets, 63 equals the number of non-empty subsets (\(2^6-1\)), and 16 equals \(2^4\) which would be the count if only 4 elements remained. Exam tip: use the formula \(2^{n-1}\) for “subsets not containing a given element” or reason by splitting presence/absence of that element.