Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(P(A)) में (8) अवयव हैं और \(\varnothing\) तथा (A) हटाने पर (8-2=6) बचते हैं। ये गैर-रिक्त उचित उपसमुच्चय हैं। / (P(A)) has (8) elements, and removing \(\varnothing\) and (A) leaves (8-2=6). These are non-empty proper subsets.
कुल उपसमुच्चय \(2^3=8\) हैं। \(\emptyset\) और (A) हटाने पर (6) अरिक्त उचित उपसमुच्चय बचते हैं। / There are \(2^3=8\) total subsets. Removing \(\emptyset\) and (A) leaves (6) non-empty proper subsets.
किसी समुच्चय के कुल उपसमुच्चय की संख्या 2^n होती है जहाँ n तत्वों की संख्या है. यहाँ 2^n = 1024, इसलिए n = 10. किसी समुच्चय के उचित उपसमुच्चयों में पूरा समुच्चय शामिल नहीं होता, अतः उनकी संख्या कुल उपसमुच्चयों में से 1 घटाकर मिलेगी: 1024 − 1 = 1023. विकल्प 1024 गलत है क्योंकि वह पूरा समुच्चय भी गिनता है; 512 गलत है क्योंकि वह 29 है; 10 स्पष्टतः असंगत है। परीक्षा टिप: पहले 2^n = 1024 से n निकालें (यहाँ n=10), फिर उचित उपसमुच्चय = 2^n − 1 करें। / The number of all subsets of a set with n elements is 2^n. Given 2^n = 1024, we get n = 10. A proper subset excludes the set itself, so the count is total subsets minus one: 1024 − 1 = 1023. Option 1024 is incorrect because it counts the whole set as well; 512 corresponds to 29 and is therefore wrong; 10 is not relevant. Exam tip: identify n by recognizing 1024 = 210 (or use log2), then compute proper subsets as 2^n − 1.
कुल उपसमुच्चय \(2^3=8\) हैं। अरिक्त उचित उपसमुच्चयों के लिए \(\varnothing\) और (A) हटाने पर (6) बचते हैं। / Total subsets are \(2^3=8\). Removing \(\varnothing\) and (A) gives (6) non-empty proper subsets.
कुल उपसमुच्चय (128) हैं और उचित उपसमुच्चय में पूरा समुच्चय नहीं गिना जाता। इसलिए संख्या (128-1=127) होगी। / There are (128) total subsets, and a proper subset does not include the whole set itself. So the number is (128-1=127).
तीन तत्व चुनने के तरीके \({}^4C_3=4\) हैं और ये सभी उचित उपसमुच्चय हैं। परीक्षा में आकार (n) से छोटा हो तो उपसमुच्चय उचित होता है। / The number of ways to choose three elements is \({}^4C_3=4\) and all are proper subsets. In exams a subset with size less than (n) is proper.
कुल उपसमुच्चय \(2^n=32\) हैं इसलिए उचित उपसमुच्चय (32-1=31) होंगे। परीक्षा में मूल समुच्चय को उचित उपसमुच्चय में न गिनें। / Total subsets are \(2^n=32\) so proper subsets are (32-1=31). In exams do not count the original set as a proper subset.
बराबर नहीं होने वाले उपसमुच्चय ही उचित उपसमुच्चय हैं और उनकी संख्या \(2^5-1=31\) है। पूरा समुच्चय केवल एक बार हटता है। / Subsets not equal to (A) are proper subsets, and their number is \(2^5-1=31\). Only the whole set is removed once.
यदि किसी समुच्चय में n अवयव हैं तो उसके पावर समुच्चय में कुल अवयवों की संख्या \\(2^n\\) होती है और उचित उपसमुच्चयों की संख्या \\(2^n-1\\) होती है। प्रश्न के अनुसार \\(2^n-1=15\\) है, अतः \\(2^n=16\\)। इसलिए पावर समुच्चय में \\(16\\) अवयव होंगे।
गलत विकल्पों का संक्षेप: 15 वह संख्या है जो प्रश्न में पहले से दी गई है (यह केवल उचित उपसमुच्चयों की संख्या है, पावर सेट का नहीं)। 31 उस स्थिति के लिए सही होता यदि \\(2^n-1=31\\) अर्थात् \\(n=5\\) होता — लेकिन यहाँ दिया 15 है। 30 असंभव है क्योंकि \\(2^n\\) कभी 30 नहीं हो सकता (30 किसी भी पूर्णांक n के लिए शक्ति-2 नहीं है)।
परीक्षा टिप: पावर सेट = \\(2^n\\), उचित उपसमुच्चय = \\(2^n-1\\)। यह फार्मूला तुरंत याद रखें। / For a set with n elements the power set size is \(2^n\) and the number of proper subsets is \(2^n-1\). Given \(2^n-1=15\), so \(2^n=16\). Therefore the power set contains 16 elements.
Why other choices are wrong: 15 is the given number of proper subsets (not the power set size). 31 would be the number of proper subsets when \(n=5\) because \(2^5-1=31\), which does not match the given 15. 30 is impossible because \(2^n\) cannot equal 30 for any integer n (30 is not a power of two).
Exam tip: remember power set = \(2^n\) and proper subsets = \(2^n-1\); use these to form a simple equation from the given data.
\(2^n=64\) से (n=6) है और उचित उपसमुच्चय \(2^6-1=63\) होंगे। पावर समुच्चय और उचित उपसमुच्चय के सूत्र अलग रखें। / From \(2^n=64\), (n=6), and proper subsets are \(2^6-1=63\). Keep the formulas for power set and proper subsets separate.
तीन अवयव चुनने की संख्या \(\binom{4}{3}=4\) है। ये सभी उचित हैं क्योंकि पूरा समुच्चय चार अवयवों का है। / The number of ways to choose three elements is \(\binom{4}{3}=4\). All are proper because the whole set has four elements.
समुच्चय \(A\) में 10 के धनात्मक गुणज जो 50 से कम हैं: \(A=\{10,20,30,40\}\)। इसमें कुल अवयव \(n=4\) हैं। किसी भी समुच्चय के उपसमुच्चयों की कुल संख्या \(2^n\) होती है; उचित उपसमुच्च्य वह होते हैं जो मूल समुच्चय के बराबर नहीं होते — अतः संख्या \(2^4-1=15\)। विकल्प C (16) कुल उपसमुच्चयों की संख्या है (जिसमें स्वयं समुच्चय भी शामिल है), इसलिए गलत है। परीक्षा युक्ति: पहले तत्वों की गिनती कर लें फिर हमेशा उचित उपसमुच्चयों के लिए \(2^n-1\) का नियम लागू करें। / The positive multiples of 10 less than 50 are \(A=\{10,20,30,40\}\), so \(n=4\). The total number of subsets is \(2^n\); proper subsets exclude the set itself, so the count is \(2^4-1=15\). Option C (16) gives the total number of subsets including the set itself, not just proper subsets. Quick exam tip: count elements first, then use \(2^n\) for total subsets and \(2^n-1\) for proper subsets.
तीन अवयवों के कुल उपसमुच्चय \(2^3=8\) हैं। उचित उपसमुच्चय में पूरा (A) हटाने पर (7) बचते हैं। / A three element set has \(2^3=8\) total subsets. Removing the whole set (A) gives (7) proper subsets.
किसी n-तत्व समुच्चय के सभी उपसमुच्चयों की संख्या अर्थात् power set की संख्या होती है \(2^n\)। इसलिए उचित उपसमुच्चयों (proper subsets) की संख्या \(2^n-1\) होगी। दिए गए प्रश्न में \(2^n-1=31\) से \(2^n=32\) और इसलिए \(n=5\) आता है। विकल्प C (6) गलत है क्योंकि \(2^6-1=63\) और विकल्प A (4) भी गलत है क्योंकि \(2^4-1=15\)। परीक्षा सुझाव: "उचित उपसमुच्चयों की संख्या +1 = power set की संख्या" यह सरल चेक हमेशा याद रखें। / For a set with n elements, the total number of subsets (power set) is \(2^n\), so the number of proper subsets is \(2^n-1\). Given \(2^n-1=31\), we get \(2^n=32\) and hence \(n=5\). Option C (6) is incorrect because \(2^6-1=63\), and option A (4) is incorrect because \(2^4-1=15\). Exam tip: add 1 to the given number of proper subsets to get the power set size, then solve \(2^n\).
