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\(A\cap B={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}\) है और (C) के सम तत्व हटते हैं। इसलिए विषम तत्व ({-3,-1,1,3}) बचते हैं। / \(A\cap B={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}\), and the even elements of (C) are removed. Hence the remaining odd elements are ({-3,-1,1,3}).
\(B=\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\) है, इसलिए (A-B={-7,-6,-5,5,6,7}) होगा। इनमें (3) से विभाज्य तत्व ({-6,6}) हैं। / \(B=\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\), so (A-B={-7,-6,-5,5,6,7}). The elements divisible by (3) are ({-6,6}).
संघ तीन अलग भागों (A-B), \(A\cap B\) और (B-A) से बनता है। दिए गए केवल वाले भाग हटाने पर ({4,8,12}) बचता है। / The union is made of three disjoint parts (A-B), \(A\cap B\), and (B-A). Removing the given only-parts leaves ({4,8,12}).
यदि \(A=\{x\in\mathbb{R}\mid -3\le x<5\}\), \(B=\{x\in\mathbb{R}\mid 1<x\le 8\}\) और \(C=\{x\in\mathbb{R}\mid x\le 2\}\) हैं, तो \((A\cup B)\cap C\) का मान क्या है?
सेट \(A\) का अन्तराल \([-3,5)\) और सेट \(B\) का अन्तराल \((1,8]\) है। इनका संघ \(A\cup B=[-3,8]\) होगा, क्योंकि दोनों अन्तराल आपस में जुड़ते हैं। अब \(C=(-\infty,2]\) के साथ प्रतिच्छेद लेने पर \([-3,2]\) प्राप्त होता है। विकल्प B में \(-3\) को गलत रूप से हटाया गया है, जबकि विकल्प C में \(C\) की ऊपरी सीमा लागू नहीं की गई है। परीक्षा-युक्ति: संघ में जुड़े हुए अन्तरालों को पहले मिलाएँ, फिर प्रतिच्छेद की सीमा लगाएँ। / Set \(A\) corresponds to \([-3,5)\), and set \(B\) corresponds to \((1,8]\). Since these intervals overlap, their union is \(A\cup B=[-3,8]\). Intersecting this with \(C=(-\infty,2]\) restricts the upper endpoint to \(2\), giving \([-3,2]\). Option B incorrectly excludes \(-3\), while option C does not apply the upper bound from \(C\). Exam tip: combine overlapping intervals first for the union, then apply the bounds of the intersecting set.
दिया है कि केवल समुच्चय \(A\) में स्थित अवयवों की संख्या \(n(A\setminus B)=23\) है। इसलिए \(A\) और \(B\) के उभयनिष्ठ अवयवों की संख्या \(n(A\cap B)=n(A)-n(A\setminus B)=58-23=35\) होगी। अतः \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=58+44-35=67\)। विकल्प 102 में उभयनिष्ठ अवयवों को घटाया नहीं गया है। परीक्षा-युक्ति: संघ की गणना में \(n(A\cap B)\) एक बार अवश्य घटाएँ। / The elements belonging only to \(A\) are counted by \(n(A\setminus B)=23\). Hence, \(n(A\cap B)=n(A)-n(A\setminus B)=58-23=35\). Therefore, \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=58+44-35=67\). Option 102 is incorrect because it adds the two set sizes without removing the common elements. Exam tip: for a union, subtract the intersection once.
समावेशन-बहिष्करण सूत्र से \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=64+57-29=92\)। चूँकि \((A\cup B)'\), सार्वत्रिक समुच्चय में \(A\cup B\) के बाहर के अवयवों का समुच्चय है, इसलिए \(n((A\cup B)')=n(U)-n(A\cup B)=110-92=18\)। विकल्प 92 केवल \(A\cup B\) की संख्या है, उसके पूरक की नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक की संख्या निकालने के लिए हमेशा \(n(U)\) में से मूल समुच्चय की संख्या घटाएँ। / By the inclusion–exclusion formula, \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=64+57-29=92\). The complement \((A\cup B)'\) contains the elements of \(U\) that are not in \(A\cup B\), so \(n((A\cup B)')=n(U)-n(A\cup B)=110-92=18\). The value 92 represents the union, not its complement. Exam tip: For a complement, subtract the cardinality of the set from the cardinality of the universal set.
दिया गया द्विघात \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\) है। इसलिए \(x^2-5x+6\le0\) के लिए \(A=[2,3]\)। इस अंतराल का प्रत्येक तत्व \(4\) से छोटा है, अतः \(A\subset B\)। इसलिए \(A-B\) में कोई तत्व नहीं बचता और \(A-B=\varnothing\)। ध्यान रखें: \([2,3]\) स्वयं \(A\) है, जबकि पूछा गया है \(A-B\)। / Factor the quadratic as \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\). Thus, \(x^2-5x+6\le0\) gives \(A=[2,3]\). Every element of this interval is less than \(4\), so \(A\subset B\). Hence no element remains in \(A-B\), and \(A-B=\varnothing\). Exam tip: \([2,3]\) is the set \(A\), not the difference \(A-B\).
\(A\subseteq B\) होने से (A) का पूरा भाग (B) में रहता है और (C) का (B) से कोई सामान्य तत्व नहीं है। इसलिए प्रतिच्छेद में केवल (A) बचेगा। / Since \(A\subseteq B\), all of (A) lies in (B), and (C) has no common element with (B). Hence only (A) remains in the intersection.
पहले \(|x-2|\le 3\) से \(-3\le x-2\le 3\), अतः \(-1\le x\le 5\) और \(A=[-1,5]\)। इसी प्रकार, \(x^2\le 4\) से \(-2\le x\le 2\), इसलिए \(B=[-2,2]\)। दोनों अंतरालों का साझा भाग \([-1,2]\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें \([-2,-1)\) के वे मान भी शामिल हैं जो \(A\) में नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: प्रतिच्छेद ज्ञात करने के लिए दोनों समुच्चयों में समान साझा अंतराल लें। / From \(|x-2|\le 3\), we get \(-3\le x-2\le 3\), so \(A=[-1,5]\). Also, \(x^2\le 4\) gives \(-2\le x\le 2\), hence \(B=[-2,2]\). Their common interval is \([-1,2]\). Option B is incorrect because it includes the values in \([-2,-1)\), which are not in \(A\). Exam tip: For an intersection, retain only the interval common to both sets.
समुच्चय \(A\) को दो असंयुक्त भागों में बाँटा जा सकता है: \(A-B\), जिसमें \(A\) के वे अवयव हैं जो \(B\) में नहीं हैं, और \(A\cap B\), जिसमें \(A\) के वे अवयव हैं जो \(B\) में भी हैं। इसलिए \((A-B)\cup(A\cap B)=A\)। विकल्प \(C\) \(A\cup B\) होगा, जिसमें केवल \(B\) के अवयव भी शामिल हो सकते हैं, इसलिए वह आवश्यक रूप से सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(A\) को \((A-B)\cup(A\cap B)\) के रूप में याद रखें। / The set \(A\) is partitioned into two disjoint parts: \(A-B\), containing elements of \(A\) that are not in \(B\), and \(A\cap B\), containing elements common to \(A\) and \(B\). Hence, \((A-B)\cup(A\cap B)=A\). Option \(C\), \(A\cup B\), may also include elements belonging only to \(B\), so it is not necessarily equal to the given expression. Exam tip: remember the identity \(A=(A-B)\cup(A\cap B)\).
पहले \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) प्राप्त होता है। इस संघ में \(C\) के सभी तत्व \(1,4,7,8\) मौजूद हैं, इसलिए \((A\cup B)\cap C=\{1,4,7,8\}\)। विकल्प B में तत्व \(8\) को अनजाने में छोड़ दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: पहले संघ बनाइए, फिर दिए गए तीसरे समुच्चय के साथ सामान्य तत्व चुनिए। / First, \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\). Every element of \(C\), namely \(1,4,7,8\), belongs to this union, so \((A\cup B)\cap C=\{1,4,7,8\}\). Option B incorrectly omits the element \(8\). Exam tip: form the union first, then select the elements common to it and the third set.
समुच्चय \(A\) को दो असंयुक्त भागों में बाँटा जा सकता है: \(A-B\) और \(A\cap B\)। यहाँ \(A-B\) में 2 तथा \(A\cap B\) में 3 तत्व हैं। इसलिए \(n(A)=2+3=5\)। \(B-A\) के तत्व केवल \(B\) में होते हैं, इसलिए उन्हें \(A\) की कार्डिनैलिटी में नहीं गिना जाता। परीक्षा-युक्ति: \(n(A)=n(A-B)+n(A\cap B)\) का सूत्र याद रखें। / Set \(A\) is the disjoint union of \(A-B\) and \(A\cap B\). The set \(A-B\) has 2 elements, while \(A\cap B\) has 3 elements. Therefore, \(n(A)=2+3=5\). The element in \(B-A\) belongs only to \(B\), so it is not counted in \(A\). Exam tip: remember \(n(A)=n(A-B)+n(A\cap B)\).
यदि \(A\cap C=\varnothing\), तो संघ की समानता में (A) से बाहर वाला भाग समान होना चाहिए। इसलिए \(B\subseteq C\) मिलता है। / If \(A\cap C=\varnothing\), then the part outside (A) must match in the equal unions. Hence \(B\subseteq C\).
जो संख्या (4) और (6) दोनों से विभाज्य है, वह (\operatorname{lcm}(4,6)=12) से विभाज्य होगी। (40) तक ऐसे गुणज ({12,24,36}) हैं। / A number divisible by both (4) and (6) is divisible by (\operatorname{lcm}(4,6)=12). Up to (40), the multiples are ({12,24,36}).
समुच्चय \(A\cap B\) में वे प्राकृतिक संख्याएँ होंगी जो 72 और 90 दोनों को विभाजित करती हैं। इसलिए ये \(\gcd(72,90)=18\) के सभी धनात्मक भाजक हैं: \(1,2,3,6,9,18\)। ध्यान रखें कि केवल 18 लिखना पर्याप्त नहीं है; 18 के सभी भाजक लेने होते हैं। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले महत्तम समापवर्तक निकालकर उसके सभी भाजक सूचीबद्ध करें। / The set \(A\cap B\) contains the natural numbers that divide both 72 and 90. These are precisely the positive divisors of \(\gcd(72,90)=18\): \(1,2,3,6,9,18\). Writing only 18 is incorrect because every divisor of 18 must be included. Exam tip: For intersections of divisor sets, first find the GCD and then list all its divisors.
A − B में वे तत्व होंगे जो A में हैं, लेकिन B में नहीं हैं; इसलिए A − B = {1, 2}। इसी प्रकार B − C = {3, 4}, क्योंकि 5 और 6, C में भी उपस्थित हैं। अतः इन दोनों समुच्चयों का संघ {1, 2} ∪ {3, 4} = {1, 2, 3, 4} है। विकल्प B या C केवल एक अंतर समुच्चय दर्शाते हैं, पूरा संघ नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले प्रत्येक अंतर समुच्चय अलग-अलग निकालें, फिर संघ लें। / A − B contains the elements that are in A but not in B, so A − B = {1, 2}. Similarly, B − C = {3, 4}, since 5 and 6 are also present in C. Therefore, (A − B) ∪ (B − C) = {1, 2} ∪ {3, 4} = {1, 2, 3, 4}. Options B and C represent only one of the two difference sets, not their union. Exam tip: calculate each difference set separately before taking their union.
संघ से (A) हटाने पर केवल वे तत्व बचते हैं जो (B) में हैं पर (A) में नहीं। इसलिए परिणाम (B-A) है। / Removing (A) from the union leaves only the elements that are in (B) but not in (A). Hence the result is (B-A).
दोनों शर्तों से वही समुच्चय ({-1,1}) मिलता है। समान समुच्चयों का अंतर खाली समुच्चय होता है। / Both conditions give the same set ({-1,1}). The difference of equal sets is the empty set.
समुच्चय A और B को तीन असंबद्ध भागों में बाँटा जा सकता है: A-B, A∩B और B-A। इसलिए n(B-A)=n(A∪B)-n(A-B)-n(A∩B)=96-41-18=37। अब n(B)=n(B-A)+n(A∩B)=37+18=55। परीक्षा-टिप: n(A∪B) में दोनों समुच्चयों के साझा तत्व केवल एक बार गिने जाते हैं। / The union A∪B consists of the three disjoint parts A-B, A∩B, and B-A. Hence, n(B-A)=n(A∪B)-n(A-B)-n(A∩B)=96-41-18=37. Therefore, n(B)=n(B-A)+n(A∩B)=37+18=55. Exam tip: In n(A∪B), common elements are counted only once.
समुच्चय में दोहराए गए अक्षर एक बार ही लिखे जाते हैं। दोनों शब्दों के सभी अलग अक्षरों का संघ ({A,B,E,G,L,M,O,R,T,Y}) है। / Repeated letters are written only once in a set. The union of all distinct letters from both words is ({A,B,E,G,L,M,O,R,T,Y}).
(B) की विषम संख्याओं में से अभाज्य संख्याएं हटानी हैं। इसलिए बची हुई विषम संयुक्त संख्याएं और (1), अर्थात ({1,9,15,21,25}), मिलती हैं। / From the odd numbers in (B), remove the primes in (A). The remaining odd composites and (1) are ({1,9,15,21,25}).
(2) या (5) से विभाज्य संख्याओं को (U) से हटाते हैं। बची संख्याएं ({1,3,7,9,11,13,17,19}) हैं। / Remove numbers divisible by (2) or (5) from (U). The remaining numbers are ({1,3,7,9,11,13,17,19}).
प्रतिच्छेद में वे ही संख्याएँ आती हैं जो दोनों समुच्चयों की शर्तें पूरी करती हैं। यहाँ \(x>-2\) और \(x\le 1\), इसलिए \(-2<x\le 1\), अर्थात् \((-2,1]\)। \(-2\) शामिल नहीं है क्योंकि \(B\) में असमानता सख्त है, जबकि \(1\) शामिल है क्योंकि \(A\) में \(x\le 1\) है। परीक्षा-टिप: प्रतिच्छेद के लिए दोनों शर्तों को एक साथ लगाएँ और खुले तथा बंद सिरों पर ध्यान दें। / The intersection contains numbers satisfying both conditions simultaneously. Here, \(x>-2\) and \(x\le 1\), so \(-2<x\le 1\), which is \((-2,1]\). The point \(-2\) is excluded because the inequality in \(B\) is strict, while \(1\) is included because \(A\) allows equality. Exam tip: For an intersection, combine both conditions and check whether each endpoint is open or closed.
पहले \(A-B\) निकालते हैं। इसमें \(A\) के वे तत्व रखे जाते हैं जो \(B\) में नहीं हैं, इसलिए \(A-B=\{1,3,5\}\)। अब \(\{1,3,5\}\cap C=\{1,3,5\}\), क्योंकि यही सभी तत्व \(C\) में भी हैं। विकल्प D में \(B\) के तत्वों को हटाया नहीं गया है। परीक्षा-युक्ति: अंतर में दूसरे समुच्चय के तत्व हटाएँ और प्रतिच्छेद में केवल समान तत्व रखें। / First find \(A-B\), which contains the elements of \(A\) that are not in \(B\). Thus, \(A-B=\{1,3,5\}\). Since \(C=\{1,3,5\}\), their intersection is also \(\{1,3,5\}\). Option D is incorrect because it leaves the elements of \(B\) in the set. Exam tip: for set difference, remove the elements of the second set; for intersection, retain only common elements.
\(B\) के लिए \(x^2<10\) है। पूर्णांकों में यह \(-3\le x\le 3\) देता है, इसलिए \(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\)। \(A-B\) का अर्थ है \(A\) में वे सभी अवयव जो \(B\) में नहीं हैं; अतः \(A\) से \(-3\) से \(3\) तक के सभी अवयव हटाने पर \(\{-6,-5,-4,4,5,6\}\) मिलता है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(3^2=9<10\) और \((-3)^2=9<10\), इसलिए \(-3\) और \(3\) भी \(B\) में शामिल हैं। परीक्षा-युक्ति: समुच्चय का अंतर \(A-B\) निकालते समय पहले \(B\) को \(A\) से हटाएँ, न कि दोनों समुच्चयों का केवल असमान भाग अनुमान से लिखें। / For \(B\), the condition is \(x^2<10\). Among integers, this gives \(-3\le x\le 3\), so \(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\). The difference \(A-B\) contains the elements of \(A\) that are not in \(B\). Removing all integers from \(-3\) to \(3\) from \(A\) leaves \(\{-6,-5,-4,4,5,6\}\). Option C is incorrect because \(3^2=9<10\) and \((-3)^2=9<10\), so both \(-3\) and \(3\) belong to \(B\). Exam tip: To find \(A-B\), list the elements of \(A\) and delete only those that also belong to \(B\).
\(A\cup B\) सममित अंतर और प्रतिच्छेद के अलग भागों से बनता है। इसलिए (n\(A\cup B\)=26+9=35)। / \(A\cup B\) is made of the disjoint parts symmetric difference and intersection. Hence (n\(A\cup B\)=26+9=35).
\(A-B=\varnothing\) से \(A\subseteq B\) और \(B-C=\varnothing\) से \(B\subseteq C\) मिलता है। इसलिए \(A\subseteq C\)। / \(A-B=\varnothing\) gives \(A\subseteq B\), and \(B-C=\varnothing\) gives \(B\subseteq C\). Therefore \(A\subseteq C\).
\(A-B\) में वे सभी तत्व होते हैं जो \(A\) में हैं, लेकिन \(B\) में नहीं हैं। यहाँ \(B=(3,7)\) है, इसलिए \(A=[1,9]\) से खुले अंतराल \((3,7)\) को हटाने पर \([1,3]\cup[7,9]\) प्राप्त होता है। \(3\) और \(7\), \(B\) में शामिल नहीं हैं, इसलिए वे परिणाम में बने रहते हैं। परीक्षा-युक्ति: खुले सिरों वाले अंतराल के अंतिम बिंदु संबंधित समुच्चय में शामिल नहीं होते। / The set \(A-B\) contains all elements that belong to \(A\) but not to \(B\). Since \(B=(3,7)\), removing this open interval from \(A=[1,9]\) gives \([1,3]\cup[7,9]\). The endpoints \(3\) and \(7\) remain because they are not included in \(B\). Exam tip: open interval endpoints are excluded from that interval, so they remain when the interval is subtracted from a larger closed interval.
\(A\cap B=\varnothing\) होने पर \(A\) और \(B\) में कोई समान अवयव नहीं है। इसलिए \(A\cup B\) में से \(B\) के सभी अवयव हटाने पर केवल \(A\) के अवयव बचते हैं; अतः \((A\cup B)\setminus B=A\)। विकल्प \(B\) और \(\varnothing\) क्रमशः गलत हैं, क्योंकि वे बचे हुए अवयवों को नहीं दर्शाते। परीक्षा-युक्ति: असंबद्ध समुच्चयों के लिए \(A\setminus B=A\) याद रखें। / Since \(A\cap B=\varnothing\), the sets \(A\) and \(B\) have no common elements. Removing all elements of \(B\) from \(A\cup B\) therefore leaves exactly the elements of \(A\), so \((A\cup B)\setminus B=A\). The options \(B\) and \(\varnothing\) do not represent the remaining elements. Exam tip: for disjoint sets, remember that \(A\setminus B=A\).
पहले समावेशन-बहिष्करण सिद्धान्त से \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=70+65-40=95\)। डी मॉर्गन के नियम के अनुसार \(A'\cap B'=(A\cup B)'\), इसलिए \(n(A'\cap B')=n(U)-n(A\cup B)=120-95=25\)। अतः सही उत्तर 25 है। परीक्षा में याद रखें: दो समुच्चयों के पूरकों का प्रतिच्छेद उनके संघ के पूरक के बराबर होता है। / By the inclusion-exclusion principle, \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=70+65-40=95\). By De Morgan’s law, \(A'\cap B'=(A\cup B)'\). Hence, \(n(A'\cap B')=n(U)-n(A\cup B)=120-95=25\). Therefore, 25 is correct. Exam tip: the intersection of complements equals the complement of the union, not the union of the complements.
हर दो समुच्चयों का सामान्य तत्व केवल (1) है। इसलिए सभी युग्म प्रतिच्छेदों का संघ ({1}) है। / The only common element in each pair of sets is (1). Hence the union of all pairwise intersections is ({1}).
यदि \(A=\{x\in\mathbb{Z}\mid -3\le x\le 8\}\), \(B=\{x\in\mathbb{Z}\mid 0\le x\le 5\}\) और \(C=\{x\in\mathbb{Z}\mid x\text{ सम है}\}\), तो \((A\setminus B)\cap C\) का मान क्या है?
पहले \(A\setminus B\) ज्ञात करें। समुच्चय \(A\) में \(-3\) से \(8\) तक सभी पूर्णांक हैं, जबकि \(B\) में \(0\) से \(5\) तक के पूर्णांक हैं। अतः \(A\setminus B=\{-3,-2,-1,6,7,8\}\)। इनमें सम पूर्णांक केवल \(-2,6,8\) हैं, इसलिए \((A\setminus B)\cap C=\{-2,6,8\}\)। विकल्प B में विषम संख्याएँ भी रह गई हैं, इसलिए वह केवल \(A\setminus B\) है, अंतिम प्रतिच्छेद नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले difference निकालें और उसके बाद intersection की शर्त लागू करें। / First find \(A\setminus B\). Set \(A\) contains all integers from \(-3\) through \(8\), while \(B\) contains the integers from \(0\) through \(5\). Therefore, \(A\setminus B=\{-3,-2,-1,6,7,8\}\). The even elements of this set are only \(-2,6,8\), so \((A\setminus B)\cap C=\{-2,6,8\}\). Option B is only \(A\setminus B\); it incorrectly retains the odd elements as well. Exam tip: compute the difference first, then apply the intersection condition.
यदि \(A=\{x\in\mathbb{N}:x\le 10\}\), \(B=\{x\in\mathbb{N}:x\text{ विषम है}\}\) और \(C=\{x\in\mathbb{N}:x\text{ अभाज्य है}\}\), तो \(A\cap(B-C)\) का मान क्या है?
10 तक की विषम संख्याएँ \(\{1,3,5,7,9\}\) हैं। इनमें से अभाज्य संख्याएँ \(3,5,7\) हटाने पर \(B-C=\{1,9\}\) मिलता है। ये दोनों संख्याएँ \(A\) में भी हैं, इसलिए \(A\cap(B-C)=\{1,9\}\)। ध्यान रखें कि 1 अभाज्य संख्या नहीं है। / The odd numbers not exceeding 10 are \(\{1,3,5,7,9\}\). Removing the prime numbers \(3,5,7\) gives \(B-C=\{1,9\}\). Both 1 and 9 belong to \(A\), so \(A\cap(B-C)=\{1,9\}\). Exam tip: 1 is neither prime nor composite.
इन दोनों समानताओं से (A) के अंदर और बाहर (B) और (C) की सदस्यता समान हो जाती है। अतः (B=C)। / These two equalities make the membership of (B) and (C) the same both inside and outside (A). Hence (B=C).
द्विघात व्यंजक को गुणनखंडित करने पर \(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\) मिलता है। अतः \((x-1)(x-3)>0\) के लिए \(x<1\) या \(x>3\)। अब \(B\) में केवल \(x>1\) मान हैं, इसलिए दोनों समुच्चयों का सामान्य भाग \((3,\infty)\) है। 1 और 3 शामिल नहीं होंगे, क्योंकि असमानताएँ सख्त हैं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात असमानता में पहले मूल निकालकर sign intervals जाँचें। / Factoring gives \(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\). Thus, \((x-1)(x-3)>0\) when \(x<1\) or \(x>3\). Since \(B\) contains only values with \(x>1\), the common part is \((3,\infty)\). Neither 1 nor 3 is included because the inequalities are strict. Exam tip: For a quadratic inequality, find the roots first and test the sign on the resulting intervals.
\(x^2\le 9\) से \(A=[-3,3]\) और \(x^2<1\) से \(B=(-1,1)\) प्राप्त होता है। \(A-B\) में \(A\) के वे सभी तत्त्व होंगे जो \(B\) में नहीं हैं, इसलिए \((-1,1)\) हटाने पर \([-3,-1]\cup[1,3]\) मिलता है। \(-1\) और \(1\) शामिल हैं क्योंकि \(B\) में असमानता सख्त है। परीक्षा-युक्ति: \(<\) या \(>\) पर खुले सिरे और \(\le\) या \(\ge\) पर बंद सिरे लगाएँ। / From \(x^2\le 9\), we get \(A=[-3,3]\), and from \(x^2<1\), we get \(B=(-1,1)\). The difference \(A-B\) contains elements of \(A\) that are not in \(B\), so removing \((-1,1)\) gives \([-3,-1]\cup[1,3]\). The endpoints \(-1\) and \(1\) are included because the inequality defining \(B\) is strict. Exam tip: use open endpoints for \(<\) or \(>\), and closed endpoints for \(\le\) or \(\ge\).
पहले संघ ज्ञात करें: \(A\cup B=\{1,2,3,4,5\}\), इसलिए \(|A\cup B|=5\)। यदि किसी समुच्चय में \(n\) तत्व हों, तो उसके घात समुच्चय \(\mathcal{P}(S)\) में \(2^n\) उपसमुच्चय होते हैं। अतः \(|\mathcal{P}(A\cup B)|=2^5=32\)। विकल्प 16 केवल 4 तत्व वाले समुच्चय के लिए सही होता; परीक्षा में पहले संघ के अलग-अलग तत्व गिनें, फिर \(2^n\) लगाएँ। / First find the union: \(A\cup B=\{1,2,3,4,5\}\), so \(|A\cup B|=5\). A set with \(n\) elements has \(2^n\) subsets in its power set. Therefore, \(|\mathcal{P}(A\cup B)|=2^5=32\). The value 16 would apply to a set with only 4 elements; in such questions, count the distinct elements of the union before applying \(2^n\).
पहले अंतर समुच्चय ज्ञात करें: \(A-B=\{1,3,5\}\), जिसमें 3 तत्व हैं। यदि किसी समुच्चय में \(n\) तत्व हों, तो उसके घात समुच्चय \(\mathcal{P}\) में \(2^n\) उपसमुच्चय होते हैं। अतः \(n(\mathcal{P}(A-B))=2^3=8\)। विकल्प 3 केवल \(A-B\) की cardinality बताता है, घात समुच्चय की नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले अंतर समुच्चय के तत्वों की संख्या निकालकर उसे \(2^n\) में रखें। / First find the difference set: \(A-B=\{1,3,5\}\), which contains 3 elements. A set with \(n\) elements has \(2^n\) subsets in its power set. Therefore, \(n(\mathcal{P}(A-B))=2^3=8\). The value 3 gives only the cardinality of \(A-B\), not of its power set. Exam tip: find the number of elements in the difference set first, then apply \(2^n\).
\((A-B)\cap(B-C)\) में वही (6) तत्व हैं जो (B-C) में (A) के साथ सामान्य हैं। इसलिए संघ का मान (17+22-6=33) है। / \((A-B)\cap(B-C)\) contains those (6) elements common to (B-C) and (A). Hence the union count is (17+22-6=33).
(C-A) में से (B-A) हटाने पर (B) के बाहर और (C) के अंदर वाले तत्व बचते हैं। इसलिए परिणाम (C-B) है। / Removing (B-A) from (C-A) leaves the elements inside (C) but outside (B). Hence the result is (C-B).
दिया गया है कि प्रत्येक दो समुच्चयों का प्रतिच्छेद रिक्त है, इसलिए \(A\), \(B\) और \(C\) परस्पर असंबद्ध समुच्चय हैं। अतः किसी भी अवयव की दोबारा गणना नहीं होगी और \(n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)=12+15+18=45\)। इसलिए सही उत्तर 45 है। परीक्षा-टिप: असंबद्ध समुच्चयों के संघ की संख्या उनके अवयवों की संख्याओं के योग के बराबर होती है; प्रतिच्छेद होने पर समावेशन-बहिष्करण सूत्र लगाएँ। / Each pair of sets has an empty intersection, so \(A\), \(B\), and \(C\) are pairwise disjoint. Therefore, no element is counted more than once, and \(n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)=12+15+18=45\). Hence, 45 is correct. Exam tip: For disjoint sets, add their cardinalities directly; if intersections are non-empty, use the inclusion-exclusion formula.
(30) तक पूर्ण वर्ग ({1,4,9,16,25}) हैं। इनमें (3) से विभाज्य (9) हटाने पर ({1,4,16,25}) मिलता है। / Perfect squares up to (30) are ({1,4,9,16,25}). Removing (9), which is divisible by (3), gives ({1,4,16,25}).
\(x^2\le25\) से \(-5\le x\le5\) मिलता है, इसलिए \(A=\{-5,-4,\ldots,5\}\)। अब \(B\) के लिए केवल अशून्य या धनात्मक नहीं, बल्कि \(x\ge0\) वाले पूर्णांक और \(C\) के लिए \(x<4\) वाले पूर्णांक लेने पर सामान्य तत्व \(\{0,1,2,3\}\) हैं। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(B\) की शर्त का उल्लंघन करने वाले ऋणात्मक पूर्णांक हैं, जबकि विकल्प D में \(4\) और \(5\) शामिल हैं, जो \(C\) में नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: प्रतिच्छेद में सभी समुच्चयों की शर्तें एक साथ पूरी होनी चाहिए। / From \(x^2\le25\), we get \(-5\le x\le5\), so \(A=\{-5,-4,\ldots,5\}\). Applying \(x\ge0\) from \(B\) and \(x<4\) from \(C\), the common elements are \(\{0,1,2,3\}\). Hence, option A is correct. Option B contains negative integers that are not in \(B\), while option D includes \(4\) and \(5\), which are not in \(C\). Exam tip: In an intersection, every selected element must satisfy the condition of every set involved.
वास्तविक संख्याओं में \(x^2>0\) ठीक तब होता है जब \(x\ne0\)। इसलिए (A=B) और सममित अंतर \(\varnothing\) है। / For real numbers, \(x^2>0\) exactly when \(x\ne0\). Thus (A=B), and the symmetric difference is \(\varnothing\).
सामान्य सूत्र में (n\(A\cap B\)) घटता है। योग बराबर तभी होगा जब (n\(A\cap B\)=0), यानी \(A\cap B=\varnothing\)। / In the general formula, (n\(A\cap B\)) is subtracted. The equality holds only when (n\(A\cap B\)=0), that is \(A\cap B=\varnothing\).
A. \((A\cap B=\varnothing)\land(B\cap C=\varnothing)\)
Explanation
Simple Explanation
\(A-B=A\) का अर्थ है कि समुच्चय \(A\) से \(B\) के सभी अवयव हटाने पर भी \(A\) अपरिवर्तित रहता है। इसलिए \(A\) और \(B\) में कोई उभयनिष्ठ अवयव नहीं होगा, अर्थात् \(A\cap B=\varnothing\)। इसी प्रकार, \(B-C=B\) से \(B\cap C=\varnothing\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A अनिवार्य रूप से सत्य है। विकल्प B में समावेशन की दिशा गलत है और विकल्प C तथा D के लिए पर्याप्त जानकारी नहीं दी गई है। परीक्षा-युक्ति: \(X-Y=X\) को तुरंत \(X\cap Y=\varnothing\) के रूप में पहचानें। / The equation \(A-B=A\) means that removing all elements of \(B\) from \(A\) does not change \(A\). Hence, \(A\) and \(B\) have no common element, so \(A\cap B=\varnothing\). Similarly, \(B-C=B\) implies \(B\cap C=\varnothing\). Therefore, option A must be true. Option B gives an unsupported inclusion relation, while options C and D require information that is not provided. Exam tip: Recognize \(X-Y=X\) immediately as the condition \(X\cap Y=\varnothing\).
\(A\) में 2 सहित उससे बड़ी सभी वास्तविक संख्याएँ हैं और \(B\) में 6 से छोटी संख्याएँ हैं, इसलिए \(A\cap B=[2,6)\)। अब \(C=\{4\}\) में से 4 को हटाने पर \([2,4)\cup(4,6)\) प्राप्त होता है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें 4 अभी भी शामिल है। परीक्षा-युक्ति: अंतर \(X-Y\) में \(Y\) के सभी तत्व \(X\) से हटा दिए जाते हैं। / Set \(A\) contains all real numbers greater than or equal to 2, while set \(B\) contains all real numbers less than 6; hence, \(A\cap B=[2,6)\). Since \(C=\{4\}\), removing 4 gives \([2,4)\cup(4,6)\). Option B is incorrect because it still includes 4. Exam tip: in the difference \(X-Y\), every element of \(Y\) is removed from \(X\).
यदि (n\(A\cup B\cup C\)=88), (n(A-B)=19), (n(B-A)=24), (n\(A\cap B\)=13) और (C-\(A\cup B\)) में (32) तत्व हैं, तो (n(\(A\cup B\)-C)) क्या है यदि (C) में \(A\cup B\) का कोई तत्व नहीं है?
क्योंकि (C) और \(A\cup B\) असंबद्ध हैं, इसलिए (\(A\cup B\)-C=A\cup B)। इसका मान (19+24+13=56) है। / Since (C) and \(A\cup B\) are disjoint, (\(A\cup B\)-C=A\cup B). Its value is (19+24+13=56).
