Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(A=\{-2,-1,0,1,2,3,4\}\) और \(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) है, इसलिए केवल (4) बचता है। परीक्षा में अंतर निकालते समय पहले दोनों समुच्चय स्पष्ट लिखें। / \(A=\{-2,-1,0,1,2,3,4\}\) and \(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\), so only (4) remains. In exams, list both sets clearly before taking difference.
पहले (n\(A\cup B\cup C\)=73) मिलता है, फिर (C) के (28) तत्व हटाने पर (45) बचते हैं। ऐसे प्रश्न में पहले पूरा संघ निकालें। / First (n\(A\cup B\cup C\)=73), then removing (28) elements of (C) leaves (45). In such questions, find the complete union first.
\(A\cup B\) को तीन भागों (A-B), \(A\cap B\) और (B-A) में बांटा जाता है। बचे हुए तत्व (3) और (6) हैं। / \(A\cup B\) is split into (A-B), \(A\cap B\), and (B-A). The remaining elements are (3) and (6).
\(A\cup C=(-2,10]) है और (B=[1,8)\) हटाने पर \((-2,1)\cup[8,10]\) मिलता है। सिरों के खुले-बंद होने पर ध्यान दें। / \(A\cup C=(-2,10]), and removing (B=[1,8)\) gives \((-2,1)\cup[8,10]\). Watch open and closed endpoints carefully.
सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) से (63=45+38-x), इसलिए (x=20)। परीक्षा में अधिक गिनती को घटाना न भूलें। / Using (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)), (63=45+38-x), so (x=20). In exams, remember to subtract the double count.
(B-C) में वे तत्व हैं जो (B) में हैं और (C) में नहीं हैं। (A) से प्रतिच्छेद करने पर यही (\(A\cap B\)-C) बनता है। / (B-C) contains elements in (B) and not in (C). Intersecting with (A) gives exactly (\(A\cap B\)-C).
जब \(A\subseteq B\), तब \(A\cup B=B\) और \(A\cap B=A\) होता है। इसलिए परिणाम (B-A) है। / When \(A\subseteq B\), \(A\cup B=B\) and \(A\cap B=A\). Hence the result is (B-A).
\(A\cup B={2,3,4,6,8,9,10,12}\) है। (U) में इसके बाहर के तत्व (1,5,7,11) हैं। / \(A\cup B={2,3,4,6,8,9,10,12}\). The elements outside it in (U) are (1,5,7,11).
पहले \(B\cup C={1,2,4,6,7,8}\) मिलता है। इसके साथ (A) का प्रतिच्छेद ({1,2,4}) है। / First \(B\cup C={1,2,4,6,7,8}\). Its intersection with (A) is ({1,2,4}).
\(A-B=\varnothing\) बताता है कि (A) का हर तत्व (B) में है। \(B-A\ne\varnothing\) बताता है कि (B) में कुछ अतिरिक्त तत्व हैं। / \(A-B=\varnothing\) means every element of (A) lies in (B). \(B-A\ne\varnothing\) means (B) has at least one extra element.
समान तत्व (b,d) हट जाते हैं। केवल वे तत्व लिए जाते हैं जो ठीक एक समुच्चय में हों। / Common elements (b,d) are removed. Only elements that belong to exactly one set are taken.
हर तत्व के लिए (A) के अंदर और बाहर दोनों स्थितियां (B) और (C) को समान बनाती हैं। इसलिए (B=C) है। / For every element, the conditions inside and outside (A) force (B) and (C) to match. Hence (B=C).
दोनों अंतराल ओवरलैप करते हैं, इसलिए उनका संघ (0) से (5) तक पूरा है। दोनों सिरों (0) और (5) शामिल हैं। / The intervals overlap, so their union covers all points from (0) to (5). Both endpoints (0) and (5) are included.
(B) में (-1) शामिल नहीं है, इसलिए (-1) बचता है। (A) से (B) हटाने पर ([-3,-1]) मिलता है। / (B) does not include (-1), so (-1) remains. Removing (B) from (A) gives ([-3,-1]).
संघ तीन अलग भागों (A-B), (B-A) और \(A\cap B\) का योग है। इसलिए (12+9+7=28)। / The union is the sum of three disjoint parts (A-B), (B-A), and \(A\cap B\). Thus (12+9+7=28).
केवल गणित (=n(M)-n\(M\cap P\)=34-12=22)। ऐसे प्रश्न में दोनों पढ़ने वालों को केवल वाले भाग से घटाएं। / Only Mathematics (=n(M)-n\(M\cap P\)=34-12=22). In such questions, subtract the common part from the only part.
असंबद्ध समुच्चयों में कोई सामान्य तत्व नहीं होता। इसलिए (n\(A\cup B\)=15+19=34)। / Disjoint sets have no common element. Hence (n\(A\cup B\)=15+19=34).
संघ में (B) जोड़ने पर (A) नहीं बदलता, इसलिए (B) का हर तत्व (A) में है। अतः \(B\subseteq A\)। / Adding (B) to (A) by union does not change (A), so every element of (B) is in (A). Thus \(B\subseteq A\).
प्रतिच्छेद (B) के बराबर तभी होगा जब (B) का हर तत्व (A) में हो। इसलिए \(B\subseteq A\) है। / The intersection equals (B) only when every element of (B) lies in (A). Hence \(B\subseteq A\).
तीनों समुच्चयों में सामान्य तत्व (3,5,9) हैं। तीन समुच्चयों के प्रतिच्छेद में हर तत्व तीनों में होना चाहिए। / The common elements in all three sets are (3,5,9). In a three-set intersection, each element must be in all three sets.
(A) के सभी विषम अभाज्य (B) में चले जाते हैं, केवल (2) बचता है। (19) भी (B) में है क्योंकि वह विषम और (20) से छोटा है। / All odd primes in (A) are in (B), so only (2) remains. (19) is also in (B) because it is odd and less than (20).
दोनों शब्दों में आने वाले अलग-अलग अक्षर (A,I,M,S,T) हैं। समुच्चय में दोहराए गए अक्षर नहीं गिने जाते। / The distinct letters common to both words are (A,I,M,S,T). Repeated letters are not counted in a set.
A. (A) का कोई भी तत्व ऐसा नहीं है जो (B) में हो और (C) में न हो/No element of (A) is in (B) but not in (C)
Explanation
Simple Explanation
(B-C) वे तत्व हैं जो (B) में हैं पर (C) में नहीं। (A) के साथ प्रतिच्छेद खाली होने का यही अर्थ है। / (B-C) contains elements in (B) but not in (C). Empty intersection with (A) means none of these lies in (A).
खाली समुच्चय संघ में कुछ नहीं जोड़ता, प्रतिच्छेद में कुछ सामान्य नहीं देता और अंतर में कुछ नहीं हटाता। इसलिए उत्तर \(A,\varnothing,A\) है। / The empty set adds nothing in union, gives nothing in intersection, and removes nothing in difference. Hence the answer is \(A,\varnothing,A\).
(B) में ठीक वे तत्व हैं जो (A) में नहीं हैं और दोनों मिलकर (U) बनाते हैं। अतः (B=A')। / (B) contains exactly the elements not in (A), and together they form (U). Thus (B=A').
(B), (A) का उपसमुच्चय है जिसमें (5) से बड़े तत्व हैं। इसलिए \(A\cap B=B={7,11,13}\)। / (B) is a subset of (A) containing elements greater than (5). Therefore \(A\cap B=B={7,11,13}\).
\(x^2-2x\le0\) से \(0\le x\le2\) मिलता है। पूर्णांकों में \(B=\{0,1,2\}\), जो (A) में भी है। / \(x^2-2x\le0\) gives \(0\le x\le2\). In integers, \(B=\{0,1,2\}\), which is also in (A).
सामान्य भाजक (36) और (48) के (\gcd(36,48)=12) के भाजक होते हैं। इसलिए ({1,2,3,4,6,12}) मिलेगा। / Common divisors of (36) and (48) are divisors of (\gcd(36,48)=12). Hence the set is ({1,2,3,4,6,12}).
(18) के भाजक ({1,2,3,6,9,18}) और (24) के भाजक ({1,2,3,4,6,8,12,24}) हैं। दोनों को बिना दोहराव मिलाने पर सही संघ मिलता है। / Divisors of (18) are ({1,2,3,6,9,18}), and divisors of (24) are ({1,2,3,4,6,8,12,24}). Combining without repetition gives the union.
(A=(-3,3)) है और (B) में (1) तथा उससे बड़े सभी वास्तविक संख्याएं हैं। इसलिए (A-B=(-3,1)) है। / (A=(-3,3)), and (B) contains (1) and all greater real numbers. Therefore (A-B=(-3,1)).
(B=[-2,2]) और (A) सभी ऋणात्मक संख्याएं देता है। मिलाकर (\(-\infty,2]\) मिलता है। / (B=[-2,2]), and (A) gives all negative numbers. Together they form (\(-\infty,2]\).
(A) में (-5) से (5) तक के पूर्णांक हैं। इनमें विषम तत्व ({-5,-3,-1,1,3,5}) हैं। / (A) contains integers from (-5) to (5). The odd elements among them are ({-5,-3,-1,1,3,5}).
(B) हटाने पर (A) में कोई बदलाव नहीं हुआ, इसलिए (A) और (B) में कोई सामान्य तत्व नहीं है। अतः \(A\cap B=\varnothing\)। / Removing (B) does not change (A), so (A) and (B) have no common element. Thus \(A\cap B=\varnothing\).
यदि कोई तत्व केवल (A) में हो तो वह (A-B) में होगा पर (B-A) में नहीं। समानता के लिए ऐसे तत्व नहीं हो सकते, इसलिए (A=B)। / If an element lies only in (A), it is in (A-B) but not in (B-A). For equality, no such element can exist, so (A=B).
सदैव \(A\cap B\subseteq A\cup B\) होता है। दोनों बराबर तभी हो सकते हैं जब (A) और (B) समान हों। / Always \(A\cap B\subseteq A\cup B\). They can be equal only when (A) and (B) are the same set.
\(A\cap B={3}\) है, जिसमें (1) तत्व है। इसलिए इसके घात समुच्चय में \(2^1=2\) तत्व होंगे। / \(A\cap B={3}\), which has (1) element. Hence its power set has \(2^1=2\) elements.
(A-B={1,2}) है, जिसमें (2) तत्व हैं। घात समुच्चय में \(2^2=4\) उपसमुच्चय होंगे। / (A-B={1,2}), which has (2) elements. Its power set has \(2^2=4\) subsets.
संघ (A-B), (B-A) और \(A\cap B\) के असंबद्ध भागों से बनता है। इसलिए (75=28+31+x), अतः (x=16)। / The union is made of disjoint parts (A-B), (B-A), and \(A\cap B\). So (75=28+31+x), hence (x=16).
यह सममित अंतर है, जिसमें सामान्य तत्व हट जाते हैं। सामान्य तत्व (2,4,6,8) हटाने पर ({1,3,5,7,10}) मिलता है। / This is the symmetric difference, where common elements are removed. Removing common elements (2,4,6,8) gives ({1,3,5,7,10}).
जब \(A\cap B=\varnothing\), तब (A-B=A) होता है। इसलिए (A-(A-B)=A-A=\varnothing)। / When \(A\cap B=\varnothing\), (A-B=A). Hence (A-(A-B)=A-A=\varnothing).
प्रतिच्छेद संघ पर वितरित होता है। इसलिए (A\cap\(B\cup C\)=\(A\cap B\)\cup\(A\cap C\))। / Intersection distributes over union. Hence (A\cap\(B\cup C\)=\(A\cap B\)\cup\(A\cap C\)).
संघ प्रतिच्छेद पर वितरित होता है। इसलिए (A\cup\(B\cap C\)=\(A\cup B\)\cap\(A\cup C\))। / Union distributes over intersection. Hence (A\cup\(B\cap C\)=\(A\cup B\)\cap\(A\cup C\)).
(15) तक (3) या (5) से विभाज्य संख्याएं ली जाती हैं। वे ({3,5,6,9,10,12,15}) हैं। / Numbers up to (15) divisible by (3) or (5) are taken. They are ({3,5,6,9,10,12,15}).
जो संख्याएं (2) और (3) दोनों से विभाज्य हैं, वे (6) से विभाज्य हैं। (30) तक ऐसी संख्याएं ({6,12,18,24,30}) हैं। / Numbers divisible by both (2) and (3) are divisible by (6). Up to (30), these are ({6,12,18,24,30}).
(A) में (-4) से (4) तक पूर्णांक हैं। इनमें \(x^2\ge9\) केवल (-4,-3,3,4) के लिए सत्य है। / (A) contains integers from (-4) to (4). Among them, \(x^2\ge9\) is true only for (-4,-3,3,4).
A. (A) के अंदर (B) और (C) समान व्यवहार करते हैं/(B) and (C) behave the same inside (A)
Explanation
Simple Explanation
दिए गए दोनों भाग (A) के भीतर (B) और (C) की सदस्यता को समान बनाते हैं। (A) के बाहर (B) और (C) अलग हो सकते हैं। / The two given parts make membership of (B) and (C) the same inside (A). Outside (A), (B) and (C) may differ.
