Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पहले प्रतिच्छेद ज्ञात करें: \(A\cap C=\{1,2,4\}\), इसलिए इसमें 3 तत्व हैं; तथा \(B\cap C=\{2,4\}\), इसलिए इसमें 2 तत्व हैं। कार्तीय गुणनफल में क्रमित युग्मों की संख्या \(|X\times Y|=|X|\times|Y|\) होती है। अतः \(3\times2=6\)। परीक्षा टिप: कार्तीय गुणनफल की संख्या निकालने के लिए दोनों समुच्चयों की संख्याएँ गुणा करें, उन्हें जोड़ें नहीं। / First find the intersections: \(A\cap C=\{1,2,4\}\), which has 3 elements, and \(B\cap C=\{2,4\}\), which has 2 elements. The number of ordered pairs in a Cartesian product is \(|X\times Y|=|X|\times|Y|\). Hence, \(3\times2=6\). Exam tip: multiply the cardinalities of the two sets for a Cartesian product; do not add them.
पहले प्रतिच्छेद ज्ञात करें: \(A\cap C=\{2,3\}\) और \(B\cap C=\{3,4\}\)। दोनों समुच्चयों में 2-2 अवयव हैं। इसलिए कार्तीय गुणनफल में अवयवों की संख्या \(|A\cap C|\times|B\cap C|=2\times2=4\) होगी। 6 या 8 जैसे विकल्प प्रतिच्छेदों के आकारों का गलत गुणन या अनावश्यक जोड़ दर्शाते हैं। परीक्षा-युक्ति: \(|X\times Y|=|X|\,|Y|\) सूत्र याद रखें। / First find the intersections: \(A\cap C=\{2,3\}\) and \(B\cap C=\{3,4\}\). Each intersection has 2 elements, so the Cartesian product has \(|A\cap C|\times|B\cap C|=2\times2=4\) elements. The options 6 and 8 result from incorrectly combining the set sizes rather than multiplying them. Exam tip: remember \(|X\times Y|=|X|\,|Y|\).
यदि \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{1,2,3,4\}\) और \(C=\{2,3,5\}\) हैं, तो \(\lvert A\times(B\setminus C)\rvert+\lvert(A\times B)\cap(A\times C)\rvert\) का मान क्या है?
पहले, \(B\setminus C=\{1,4\}\), इसलिए \(\lvert A\times(B\setminus C)\rvert=3\times2=6\)। साथ ही, \((A\times B)\cap(A\times C)=A\times(B\cap C)\) और \(B\cap C=\{2,3\}\), इसलिए इस समुच्चय में भी \(3\times2=6\) युग्म हैं। अतः कुल मान \(6+6=12\) है। परीक्षा-युक्ति: \((A\times B)\cap(A\times C)\) को \(A\times(B\cap C)\) के रूप में सरल करें। / First, \(B\setminus C=\{1,4\}\), so \(\lvert A\times(B\setminus C)\rvert=3\times2=6\). Also, \((A\times B)\cap(A\times C)=A\times(B\cap C)\), and \(B\cap C=\{2,3\}\), so this intersection also contains \(3\times2=6\) ordered pairs. Therefore, the total is \(6+6=12\). Exam tip: simplify \((A\times B)\cap(A\times C)\) as \(A\times(B\cap C)\) before counting elements.
शर्त \(x=y\) के कारण दोनों समुच्चयों में समान अवयवों से ही युग्म बनेंगे। \(A\cap B=\{3,4\}\), इसलिए मान्य युग्म \((3,3)\) और \((4,4)\) हैं। अतः कुल 2 युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: \(x=y\) वाले कार्तीय गुणनफल के युग्मों की संख्या हमेशा \(|A\cap B|\) के बराबर होती है। / The condition \(x=y\) means that the common elements of both sets must be used. Since \(A\cap B=\{3,4\}\), the valid ordered pairs are \((3,3)\) and \((4,4)\). Therefore, there are 2 pairs. Exam tip: the number of pairs in \(A\times B\) with equal coordinates is \(|A\cap B|\).
\(A\) में सार्वत्रिक समुच्चय के वे सदस्य हैं जो 12 से छोटे या बराबर हैं, इसलिए \(A'=\{13,14,15,16,17,18,19,20\}\)। अब \(A'\cap B\) में इसी समुच्चय के केवल विषम सदस्य लिए जाएंगे, जो \(\{13,15,17,19\}\) हैं। विकल्प B में सम संख्याएं हैं और विकल्प D केवल \(A'\) है। परीक्षा-युक्ति: पहले पूरक समुच्चय निकालें, फिर दिए गए समुच्चय से प्रतिच्छेद करें। / The set \(A\) contains all elements of the universal set that are less than or equal to 12, so \(A'=\{13,14,15,16,17,18,19,20\}\). Intersecting this with \(B\) retains only the odd elements, giving \(\{13,15,17,19\}\). Option B contains the even elements, while option D is just \(A'\), not its intersection with \(B\). Exam tip: find the complement first, then take the intersection with the other set.
\(यदि सार्वत्रिक समुच्चय �(U=\{1,2,\ldots,12\})� है, �(A=\{x\in U\mid x\) सम है\(\})� और �(B=\{x\in U\mid x>8\})� है, तो �((A'\cup B')')� क्या होगा\)?
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार \((A'\cup B')'=A\cap B\)। अतः ऐसे सदस्य लेने हैं जो A में भी हों और B में भी—अर्थात् U के सम सदस्य जो 8 से बड़े हैं। ये केवल 10 और 12 हैं, इसलिए सही उत्तर \(\{10,12\}\) है। विकल्प B में 9 और 11 जैसे विषम सदस्य भी शामिल हैं। परीक्षा-युक्ति: \((A'\cup B')'=A\cap B\) और \((A'\cap B')'=A\cup B\) को अलग-अलग याद रखें। / By De Morgan’s law, \((A'\cup B')'=A\cap B\). Therefore, we need the elements that belong to both A and B: the even elements of U that are greater than 8. These are 10 and 12, so the correct answer is \(\{10,12\}\). Option B is incorrect because it also includes the odd elements 9 and 11. Exam tip: remember that \((A'\cup B')'=A\cap B\), whereas \((A'\cap B')'=A\cup B\).
\(यदि �(\(U=\{1,2,\ldots,28\}\))�, �(\(A=\{x\in U\mid x\text{ विषम है}\}\))� और �(\(B=\{x\in U\mid 7\mid x\}\))� हैं, तो �\(A'\cap B\)� का मान क्या है\)?
A का पूरक A' (U के सापेक्ष) U में स्थित सभी सम संख्याओं का समुच्चय है। B में 7 के गुणज \(\{7,14,21,28\}\) हैं। इनमें सम संख्याएँ केवल 14 और 28 हैं, इसलिए \(A'\cap B=\{14,28\}\)। विकल्प B पूरे B को दर्शाता है, जबकि विकल्प C विषम गुणजों को दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: पहले B के सदस्य लिखें और फिर A' की शर्त लागू करें। / The complement A' (with respect to U) contains all even numbers in U. The multiples of 7 in U are \(\{7,14,21,28\}\). Of these, only 14 and 28 are even, so \(A'\cap B=\{14,28\}\). Option B is the entire set B, whereas option C contains only the odd multiples of 7. Exam tip: list the elements of B first and then retain only those satisfying the complement condition.
सार्वत्रिक समुच्चय \\(\\mathbb{R}\\) के सापेक्ष \\(A'= (0,\\infty)\\) और \\(B'=(-\\infty,2)\\) होंगे। इसलिए \\(A'\\cap B'=(0,\\infty)\\cap(-\\infty,2)=(0,2)\\)। 0, समुच्चय \\(A\\) में शामिल है, इसलिए वह \\(A'\\) में नहीं आ सकता; इसी प्रकार 2, \\(B\\) में शामिल है, इसलिए वह \\(B'\\) में नहीं आ सकता। परीक्षा में पूरक लेते समय समापन बिंदुओं पर खुले और बंद कोष्ठकों पर विशेष ध्यान दें। / With respect to the universal set \\(\\mathbb{R}\\), \\(A'=(0,\\infty)\\) and \\(B'=(-\\infty,2)\\). Hence, \\(A'\\cap B'=(0,\\infty)\\cap(-\\infty,2)=(0,2)\\). The point 0 belongs to \\(A\\), so it cannot belong to \\(A'\\); similarly, 2 belongs to \\(B\\), so it cannot belong to \\(B'\\). Exam tip: carefully check whether each endpoint is included or excluded when taking complements.
पूरक समुच्चय सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष लिया जाता है। चूँकि \(C=A^c\), इसलिए द्वि-पूरक गुण के अनुसार \(C^c=(A^c)^c=A\)। अतः \(C^c\cap\{1,2,3,4\}=A\cap\{1,2,3,4\}=\{2,4\}\)। विकल्प \(B\) में \(A\) के पूरक के अवयव लिए गए हैं, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: \((A^c)^c=A\) को याद रखें। / Complements are taken with respect to the universal set \(U\). Since \(C=A^c\), the double-complement property gives \(C^c=(A^c)^c=A\). Therefore, \(C^c\cap\{1,2,3,4\}=A\cap\{1,2,3,4\}=\{2,4\}\). Option B lists elements from the complement of \(A\), so it is incorrect. Exam tip: Remember the identity \((A^c)^c=A\).
पहले समीकरण को \((x-2)(x-3)=0\) लिखने पर \(A=\{2,3\}\) मिलता है। दूसरे समीकरण से \((x-1)(x-3)=0\), अतः \(B=\{1,3\}\)। दोनों समुच्चयों में समान एकमात्र तत्व 3 है, इसलिए \(A\cap B=\{3\}\)। विकल्प B संघ को दर्शाता है, प्रतिच्छेद को नहीं। परीक्षा-युक्ति: प्रतिच्छेद में केवल वे तत्व लिखें जो दोनों समुच्चयों में हों। / Factoring the first equation as \((x-2)(x-3)=0\) gives \(A=\{2,3\}\). Factoring the second as \((x-1)(x-3)=0\) gives \(B=\{1,3\}\). The only element common to both sets is 3, so \(A\cap B=\{3\}\). Option B represents the union, not the intersection. Exam tip: for an intersection, retain only the elements present in both sets.
यदि \(A=\{x\in\mathbb{Z}\mid -3\le x\le 8\}\), \(B=\{x\in\mathbb{Z}\mid 0\le x\le 5\}\) और \(C=\{x\in\mathbb{Z}\mid x\text{ सम है}\}\), तो \((A\setminus B)\cap C\) का मान क्या है?
पहले \(A\setminus B\) ज्ञात करें। समुच्चय \(A\) में \(-3\) से \(8\) तक सभी पूर्णांक हैं, जबकि \(B\) में \(0\) से \(5\) तक के पूर्णांक हैं। अतः \(A\setminus B=\{-3,-2,-1,6,7,8\}\)। इनमें सम पूर्णांक केवल \(-2,6,8\) हैं, इसलिए \((A\setminus B)\cap C=\{-2,6,8\}\)। विकल्प B में विषम संख्याएँ भी रह गई हैं, इसलिए वह केवल \(A\setminus B\) है, अंतिम प्रतिच्छेद नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले difference निकालें और उसके बाद intersection की शर्त लागू करें। / First find \(A\setminus B\). Set \(A\) contains all integers from \(-3\) through \(8\), while \(B\) contains the integers from \(0\) through \(5\). Therefore, \(A\setminus B=\{-3,-2,-1,6,7,8\}\). The even elements of this set are only \(-2,6,8\), so \((A\setminus B)\cap C=\{-2,6,8\}\). Option B is only \(A\setminus B\); it incorrectly retains the odd elements as well. Exam tip: compute the difference first, then apply the intersection condition.
पहचान \(A-(A-B)=A\cap B\) लागू होती है, क्योंकि \(A\) के वे ही अवयव बचते हैं जो \(B\) में भी हों। दिया है कि \(A\cap B=\varnothing\), इसलिए \(A-(A-B)=\varnothing\)। \(A\) विकल्प सही नहीं है, क्योंकि \(A-B=A\) होने पर \(A-A=\varnothing\) मिलता है। परीक्षा टिप: अंतर वाले व्यंजक में पहले देखें कि कौन-से अवयव हटाए जा रहे हैं। / Use the identity \(A-(A-B)=A\cap B\): the elements left in \(A\) are exactly those that also belong to \(B\). Since \(A\cap B=\varnothing\), we get \(A-(A-B)=\varnothing\). Option \(A\) is not correct because, for disjoint sets, \(A-B=A\), so the expression becomes \(A-A=\varnothing\). Exam tip: In set-difference expressions, first identify which elements are removed.
\(A\) में \(-5\) से \(5\) तक के सभी पूर्णांक हैं, जबकि \(B\) में सभी विषम पूर्णांक हैं। अतः दोनों समुच्चयों के उभयनिष्ठ तत्व \(-5,-3,-1,1,3,5\) हैं। विकल्प B में सम संख्याएँ हैं और विकल्प D में ऋणात्मक विषम पूर्णांक छूट गए हैं। परीक्षा टिप: प्रतिच्छेद \(A\cap B\) में केवल वे तत्व लिखें जो दोनों समुच्चयों में हों। / Set \(A\) contains all integers from \(-5\) to \(5\), while \(B\) contains all odd integers. Therefore, the elements common to both sets are \(-5,-3,-1,1,3,5\). Option B contains even integers, and option D omits the negative odd integers. Exam tip: In an intersection \(A\cap B\), include only elements that belong to both sets.
\(x^2-2x\le 0\) को \(x(x-2)\le 0\) लिखते हैं। यह असमता \(0\le x\le 2\) के लिए सत्य है। चूँकि \(x\) पूर्णांक है, इसलिए \(B=\{0,1,2\}\)। ये तीनों तत्व \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) में भी हैं, अतः \(A\cap B=\{0,1,2\}\)। विकल्प C में 0 छूट गया है। परीक्षा टिप: द्विघात असमता में पहले गुणनखंड करें, फिर मूलों के बीच का अंतराल जाँचें। / Write \(x^2-2x\le 0\) as \(x(x-2)\le 0\). This inequality holds for \(0\le x\le 2\). Since \(x\) is an integer, \(B=\{0,1,2\}\). All these elements also belong to \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\), so \(A\cap B=\{0,1,2\}\). Option C incorrectly omits 0. Exam tip: factor a quadratic inequality first, then check the interval between its roots.
