Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(A') में (U) के वे सदस्य आते हैं जो (A) में नहीं हैं। परीक्षा में (1) को अभाज्य न मानें। / (A') contains the elements of (U) that are not in (A). In exams remember that (1) is not prime.
(4) या (6) से विभाज्य संख्याएं (12+8-4=16) हैं। इसलिए पूरक में (48-16=32) सदस्य होंगे। / Numbers divisible by (4) or (6) are (12+8-4=16). So the complement has (48-16=32) elements.
\(x^2<10\) के लिए \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) होगा। इसलिए (U) से इनको हटाने पर (A') मिलता है। / For \(x^2<10\), \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\). Removing these from (U) gives (A').
\(x^2-2x-15\le 0\) से \(-3\le x\le 5\) मिलता है, इसलिए (A) में (9) पूर्णांक हैं। (U) में (17) सदस्य हैं, पर यहां पूरक (8) नहीं बल्कि (-8) से (-4) और (6) से (8) मिलाकर (8) होना चाहिए। / The inequality \(x^2-2x-15\le 0\) gives \(-3\le x\le 5\), so (A) has (9) integers. Since (U) has (17) elements, the complement has (17-9=8) elements.
(-2) समुच्चय (A) में नहीं है, इसलिए पूरक में आएगा। (3) और (7) (A) में हैं, इसलिए पूरक में (3) नहीं और (7) के बाद के मान आएंगे। / The point (-2) is not in (A), so it is included in the complement. The points (3) and (7) are in (A), so (3) is excluded and values after (7) are included.
(2) समुच्चय (A) में है और (5) समुच्चय (A) में नहीं है। इसलिए पूरक (A'=(2,5]) है। / The point (2) is in (A), while (5) is not in (A). Therefore the complement is (A'=(2,5]).
\(A'\cap B\) का अर्थ (B-A) है क्योंकि \(A\subseteq B\)। इसलिए (n\(A'\cap B\)=54-31=23) है। / \(A'\cap B\) means (B-A) because \(A\subseteq B\). Therefore (n\(A'\cap B\)=54-31=23).
(2) या (3) से विभाज्य संख्याएं (20) हैं, इसलिए पूरक में (30-20=10) सदस्य हैं। समावेशन-बहिष्करण जल्दी लगाएं। / There are (20) numbers divisible by (2) or (3), so the complement has (30-20=10) elements. Use inclusion-exclusion quickly.
(A') विषम संख्याओं का समुच्चय है और (B) अभाज्य संख्याओं का। इसलिए \(A'\cap B\) में (2) को छोड़कर सभी विषम अभाज्य आएंगे। / (A') is the set of odd numbers and (B) is the set of primes. Thus \(A'\cap B\) contains all odd primes except (2).
(n\(A \cup B\)=35+42-18=59), इसलिए पूरक (80-59=21) है। पहले संघ निकालें फिर पूरक लें। / (n\(A \cup B\)=35+42-18=59), so the complement is (80-59=21). Find the union first, then take the complement.
पूरक हमेशा दिए गए (U) के अंदर ही लिया जाता है। इसलिए यहाँ (A') प्राकृतिक सम संख्याओं का समुच्चय है। / The complement is always taken inside the given (U). Thus (A') is the set of natural even numbers here.
समीकरण से (x=2) और (x=3) मिलते हैं। इन्हें (U) से हटाने पर पूरक मिलता है। / The equation gives (x=2) and (x=3). Removing them from (U) gives the complement.
(A) और (A') मिलकर (U) बनाते हैं और अलग-अलग रहते हैं। इसलिए (U) से (A') हटाएं। / (A) and (A') together form (U) and are disjoint. So subtract (A') from (U).
\(x^2 \ge 9\) का अर्थ \(x \le -3\) या \(x \ge 3\) है। इसका पूरक (-3<x<3) यानी ((-3,3)) है। / \(x^2 \ge 9\) means \(x \le -3\) or \(x \ge 3\). Its complement is (-3<x<3), that is ((-3,3)).
\(A \cap B\) में (12) के गुणज होंगे, जो (100) तक (8) हैं। इसलिए पूरक में (100-8=92) सदस्य हैं। / \(A \cap B\) contains multiples of (12), and there are (8) up to (100). So the complement has (100-8=92) elements.
A. (U) के वे सदस्य जो (A) में नहीं हैं/Elements of (U) that are not in (A)
Explanation
Simple Explanation
पूरक (A') हमेशा (U-A) को दर्शाता है। सार्वत्रिक समुच्चय को पहले पहचानना जरूरी है। / The complement (A') always represents (U-A). It is important to identify the universal set first.
(25) तक वर्ग संख्याएं (1,4,9,16,25) हैं, इसलिए (n(A)=5) है। पूरक में (25-5=20) सदस्य होंगे। / The square numbers up to (25) are (1,4,9,16,25), so (n(A)=5). The complement has (25-5=20) elements.
द्वि-पूरक नियम के अनुसार ((A')'=A) होता है। इसलिए उत्तर मूल समुच्चय (A) है। / By the double complement law, ((A')'=A). Therefore the answer is the original set (A).
संघ का पूरक पूरकों के प्रतिच्छेद के बराबर होता है। यह डी मॉर्गन नियम का सीधा प्रयोग है। / The complement of a union equals the intersection of the complements. This is a direct use of De Morgan's law.
पहले \(A \cup B\) बनाएं और फिर उसे (U) से हटाएं। शेष ({6,8,10,12,14,15,18}) हैं। / First form \(A \cup B\), then remove it from (U). The remaining elements are ({6,8,10,12,14,15,18}).
(-2) समुच्चय (A) में है इसलिए पूरक में नहीं आएगा, पर (4) (A) में नहीं है इसलिए पूरक में आएगा। / (-2) is in (A), so it is not in the complement, while (4) is not in (A), so it is in the complement.
क्योंकि (A) और (A') मिलकर (U) बनाते हैं, (n(A)=120-47=73)। पूरक में दिए गए आंकड़े को सीधे घटाएं। / Since (A) and (A') together form (U), (n(A)=120-47=73). Subtract the given complement count directly.
यदि (B) का कोई सदस्य (A) में नहीं है, तो हर सदस्य (A') में होगा। इसलिए \(B \subseteq A'\) अवश्य सत्य है। / If no element of (B) lies in (A), every element of (B) lies in (A'). Hence \(B \subseteq A'\) must be true.
(A' \cap B'=\(A \cup B\)') है। (2) या (5) से विभाज्य संख्याएं (24) हैं, इसलिए पूरक (40-24=16) है। / (A' \cap B'=\(A \cup B\)'). Numbers divisible by (2) or (5) are (24), so the complement is (40-24=16).
(x+2>4) से (x>2) मिलता है, इसलिए \(A=\{3,4,5,6,7\}\) है। पूरक बाकी पूर्णांक हैं। / (x+2>4) gives (x>2), so \(A=\{3,4,5,6,7\}\). The complement contains the remaining integers.
((A-B)'=\(A \cap B'\)'=A' \cup (B')') होता है। इसलिए उत्तर \(A' \cup B\) है। / ((A-B)'=\(A \cap B'\)'=A' \cup (B')'). Therefore the answer is \(A' \cup B\).
\(A \cup B\) में (1) और (4) शामिल नहीं हैं। इसलिए पूरक में दोनों सिरों सहित ([1,4]) आएगा। / The set \(A \cup B\) does not include (1) and (4). Hence the complement includes both endpoints, giving ([1,4]).
A. (A') सार्वत्रिक समुच्चय से स्वतंत्र होता है/(A') is independent of the universal set
Explanation
Simple Explanation
पूरक सार्वत्रिक समुच्चय पर निर्भर करता है। इसलिए (A') को (U) बताए बिना निश्चित नहीं किया जा सकता। / The complement depends on the universal set. So (A') cannot be fixed without knowing (U).
(A) में (4) के गुणज ({4,8,12,16}) हैं। बाकी सभी सदस्य (A') में होंगे। / (A) contains the multiples of (4), namely ({4,8,12,16}). All remaining elements belong to (A').
\(A \cap B\) में (12) के गुणज होंगे और (60) तक ऐसे (5) हैं। इसलिए पूरक (60-5=55) है। / \(A \cap B\) contains multiples of (12), and there are (5) up to (60). Hence the complement is (60-5=55).
डी मॉर्गन से (A' \cup B'=\(A \cap B\)') है। \(A \cap B={2}\), इसलिए पूरक ({1,3,4,5,6,7,8}) है। / By De Morgan, (A' \cup B'=\(A \cap B\)'). Since \(A \cap B={2}\), the complement is ({1,3,4,5,6,7,8}).
(-1) (A) में नहीं है इसलिए पूरक में शामिल है, जबकि (6) (A) में है इसलिए पूरक में नहीं है। / The point (-1) is not in (A), so it is included in the complement, while (6) is in (A), so it is excluded.
यदि (A) में अभाज्य नहीं संख्याएं हैं, तो (A') में अभाज्य संख्याएं होंगी। (1) अभाज्य नहीं है। / If (A) contains non-prime numbers, then (A') contains prime numbers. Remember that (1) is not prime.
जो सदस्य (A) में नहीं हैं, वे \(A \cup B=U\) के कारण (B) में होने चाहिए। इसलिए \(A' \subseteq B\) है। / Elements not in (A) must be in (B) because \(A \cup B=U\). Hence \(A' \subseteq B\).
किसी भी समुच्चय का अपने पूरक के साथ संघ पूरा (U) देता है। यह पूरक की मूल पहचान है। / The union of any set with its complement gives the whole (U). This is the basic identity of complement.
पूरक में केवल (U) के वे अक्षर आएंगे जो (A) में नहीं हैं। (f) को नहीं जोड़ना क्योंकि \(f \notin U\) है। / The complement contains only those letters of (U) that are not in (A). Do not add (f) because \(f \notin U\).
सार्वत्रिक समुच्चय (U) का पूरक \(\varnothing\) होता है। इसलिए \(A \cap U' = A \cap \varnothing=\varnothing\) है। / The complement of the universal set (U) is \(\varnothing\). Hence \(A \cap U' = A \cap \varnothing=\varnothing\).
(A) में सभी वास्तविक संख्याएं हैं लेकिन (0) नहीं है। इसलिए (A') केवल ({0}) है। / (A) contains all real numbers except (0). Therefore (A') is only ({0}).
\(A \cup B\) में (1) से (8) और (14) से (20) तक के सदस्य हैं। बीच के (9) से (13) तक पूरक में बचते हैं। / \(A \cup B\) contains elements from (1) to (8) and from (14) to (20). The middle elements from (9) to (13) remain in the complement.
(U) में (21) पूर्णांक हैं और \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) में (7) सदस्य हैं। अतः (n(A')=21-7=14) है। / There are (21) integers in (U), and \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) has (7) elements. Thus (n(A')=21-7=14).
हर (12) का गुणज (6) का भी गुणज होता है, इसलिए वह (A) में होगा। अतः (A') में (12) का कोई गुणज नहीं होगा। / Every multiple of (12) is also a multiple of (6), so it lies in (A). Hence no multiple of (12) lies in (A').
समीकरण से \(A=\{5,6\}\) मिलता है, इसलिए (A') में (5) और (6) नहीं होंगे। दिए गए समुच्चय से ({7,8}) बचता है। / The equation gives \(A=\{5,6\}\), so (5) and (6) are not in (A'). From the given set, ({7,8}) remains.
