Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(|A|=12), (|B|=7) और \(|A\cap B|=1\), इसलिए \(|A\cup B|=18\) है। ऐसे प्रश्नों में सामान्य गुणज के लिए लघुत्तम समापवर्त्य लें। / Here (|A|=12), (|B|=7) and \(|A\cap B|=1\), so \(|A\cup B|=18\). In such questions, use the least common multiple for common multiples.
(A) में (15) तत्व हैं और \(A\cap B\) में (12) से विभाज्य (5) तत्व हैं। इसलिए \(|A\setminus B|=15-5=10\) है। / The set (A) has (15) elements and \(A\cap B\) has (5) elements divisible by (12). So \(|A\setminus B|=15-5=10\).
(B) में (-1) शामिल नहीं है, इसलिए (A) का (-1) तक का भाग बचता है। अंतर निकालते समय खुले और बंद सिरों को अलग से जाँचें। / The point (-1) is not included in (B), so the part of (A) up to (-1) remains. Check open and closed endpoints separately in interval difference.
सममित अंतर में सामान्य भाग शामिल नहीं होता। इसलिए संघ के बराबर होने के लिए \(A\cap B=\varnothing\) होना चाहिए। / The symmetric difference does not include the common part. Therefore it can equal the union only when \(A\cap B=\varnothing\).
क्योंकि \(A\cap B=C\), इसलिए (A) से (B) हटाने का अर्थ (A) से उसका सामान्य भाग (C) हटाना है। सेट अंतर में पहले प्रतिच्छेद पहचानें। / Since \(A\cap B=C\), removing (B) from (A) means removing the common part (C) from (A). In set difference, identify the intersection first.
पहले \(B\setminus C=(-1,2)\) है क्योंकि (2) (C) में शामिल है। इसका (A) से प्रतिच्छेद भी ((-1,2)) है। / First \(B\setminus C=(-1,2)\) because (2) is included in (C). Its intersection with (A) is also ((-1,2)).
संघ तीन अलग भागों का योग है: (17+23+14=54)। वेन आरेख में अलग क्षेत्रों को सीधे जोड़ें। / The union is the sum of three disjoint parts: (17+23+14=54). In a Venn diagram, add the separate regions directly.
\(A\setminus B\) में (B) का कोई तत्व नहीं हो सकता, इसलिए उसके (B) के बराबर होने पर (B) खाली होगा। ऐसे प्रश्नों में असंयुक्तता का उपयोग करें। / The set \(A\setminus B\) cannot contain any element of (B), so if it equals (B), then (B) must be empty. Use disjointness in such questions.
किसी सेट (A) का किसी सेट से प्रतिच्छेद फिर (A) ही हो, तो (A) उस सेट का उपसमुच्चय होता है। यहाँ वह सेट \(B\cup C\) है। / If the intersection of (A) with a set is (A) itself, then (A) is a subset of that set. Here the set is \(B\cup C\).
\(A\cup B\) में (6) और (12) दोनों हैं, पर (18) नहीं है। इसलिए (C) के साथ प्रतिच्छेद ({6,12}) है। / The set \(A\cup B\) contains (6) and (12), but not (18). Hence the intersection with (C) is ({6,12}).
\(|A\cap B|=41-19=22\), इसलिए \(|A\cup B|=41+36-22=55\)। पहले सामान्य भाग निकालना आवश्यक है। / Here \(|A\cap B|=41-19=22\), so \(|A\cup B|=41+36-22=55\). Finding the common part first is essential.
संघ सममित अंतर और सामान्य भाग से बनता है, इसलिए \(|A\cap B|=51-34=17\)। वेन आरेख में क्षेत्रों को अलग रखें। / The union is made of the symmetric difference and the common part, so \(|A\cap B|=51-34=17\). Keep Venn regions separate.
(A) का हर तत्व (B) में और (C) का हर तत्व (D) में है। इसलिए उनके संघ में भी समावेशन बना रहता है। / Every element of (A) is in (B), and every element of (C) is in (D). Therefore inclusion is preserved under union.
पहली शर्त से \(B\subseteq A\) और दूसरी से \(A\subseteq B\) मिलता है। दोनों मिलकर (A=B) देते हैं। / The first condition gives \(B\subseteq A\), and the second gives \(A\subseteq B\). Together they imply (A=B).
यदि \(A=\{x\mid x\in\mathbb{N},\ x\le 40 और\ x\text{ एक पूर्ण वर्ग है}\}\) तथा \(B=\{x\mid x\in\mathbb{N},\ x\le 40 और\ x\text{ सम है}\}\), जहाँ \(\mathbb{N}\) धनात्मक प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है, तो \(A\cap B\) क्या होगा?
40 तक की धनात्मक वर्ग संख्याएँ \(1,4,9,16,25,36\) हैं। इनमें से सम संख्याएँ \(4,16,36\) हैं, इसलिए दोनों समुच्चयों के उभयनिष्ठ अवयवों का समुच्चय \(A\cap B=\{4,16,36\}\) होगा। विकल्प C में सभी वर्ग संख्याएँ हैं, जबकि उनमें \(1,9,25\) विषम हैं। परीक्षा-युक्ति: प्रतिच्छेद के लिए केवल वे अवयव चुनें जो दोनों समुच्चयों में हों। / The positive perfect squares not exceeding 40 are \(1,4,9,16,25,36\). The even ones among them are \(4,16,36\); hence \(A\cap B=\{4,16,36\}\). Option C lists all the square numbers, including the odd squares \(1,9,25\), so it is not the intersection. Exam tip: For an intersection, retain only the elements common to both sets.
तीनों सेट परस्पर असंयुक्त हैं, इसलिए संघ की संख्या (9+11+13=33) है। असंयुक्त सेटों में कोई घटाव नहीं होता। / The three sets are pairwise disjoint, so the union has (9+11+13=33) elements. No subtraction is needed for disjoint sets.
(A) से \(B\cap C\) हटाने पर कुछ नहीं बचा, इसका अर्थ है (A) पूरा \(B\cap C\) में है। शून्य अंतर से उपसमुच्चय पहचानें। / Nothing remains after removing \(B\cap C\) from (A), so all of (A) lies inside \(B\cap C\). Identify subset relations from empty difference.
पहले \(B\cap C\) ज्ञात करें। दोनों समुच्चयों में समान अवयव 4 और 6 हैं, इसलिए \(B\cap C=\{4,6\}\)। अब \(A\) में से 4 और 6 हटाने पर \(A\setminus(B\cap C)=\{1,2,3,5\}\) प्राप्त होता है। ध्यान रखें कि समुच्चय अंतर में पहले समुच्चय के वे अवयव रखे जाते हैं जो दूसरे समुच्चय में नहीं होते। / First find \(B\cap C\). The common elements of \(B\) and \(C\) are 4 and 6, so \(B\cap C=\{4,6\}\). Removing 4 and 6 from \(A\) gives \(A\setminus(B\cap C)=\{1,2,3,5\}\). Exam tip: in a set difference, retain the elements of the first set that are not present in the second set.
\(A\setminus B\) में (B) के बाहर वाले तत्व हैं और \(A\cap B\) में (B) के अंदर वाले तत्व हैं। इसलिए दोनों में कोई सामान्य तत्व नहीं होता। / The set \(A\setminus B\) has elements of (A) outside (B), while \(A\cap B\) has elements of (A) inside (B). So they have no common element.
समान संघ और समान प्रतिच्छेद में (B) के अंदर तथा बाहर दोनों जगह (A) और (C) की सदस्यता समान होती है। इसलिए (A=C) है। / Equal union and equal intersection make membership of (A) and (C) the same both inside and outside (B). Hence (A=C).
\(A\setminus B\) की संख्या (39-18=21) है। संघ से (A) का यह भाग और सामान्य भाग हटाने पर (65-39=26) मिलता है। / The number in \(A\setminus B\) is (39-18=21). Since the part outside (A) in the union is (65-39=26), \(|B\setminus A|=26\).
पहले समीकरण \(x^2-9=0\) से \((x-3)(x+3)=0\), इसलिए \(A=\{-3,3\}\)। दूसरा समीकरण \(x^2-6x+9=(x-3)^2=0\) देता है, इसलिए \(B=\{3\}\)। संघ में दोनों समुच्चयों के सभी अलग-अलग अवयव लिए जाते हैं; अतः \(A\cup B=\{-3,3\}\)। परीक्षा-युक्ति: संघ में दोहराए गए अवयव को केवल एक बार लिखें। / From \(x^2-9=0\), we get \((x-3)(x+3)=0\), so \(A=\{-3,3\}\). Also, \(x^2-6x+9=(x-3)^2=0\), so \(B=\{3\}\). A union contains every distinct element from both sets; therefore, \(A\cup B=\{-3,3\}\). Exam tip: list a repeated element only once in a union.
\(C\setminus B\) में (B) के बाहर के तत्व हैं, जबकि (A) पूरा (B) के अंदर है। इसलिए दोनों का प्रतिच्छेद खाली है। / The set \(C\setminus B\) has elements outside (B), while all of (A) lies inside (B). Hence their intersection is empty.
\(A\setminus B\) और \(A\cap B\) असंयुक्त होते हैं, इसलिए बराबर होने पर दोनों खाली होंगे। इससे \(A=\varnothing\) मिलता है। / The sets \(A\setminus B\) and \(A\cap B\) are disjoint, so if they are equal, both must be empty. This gives \(A=\varnothing\).
\(A\setminus C\) में (C) का कोई तत्व नहीं होता। इसलिए \(A\cap B\) का कोई तत्व (C) में नहीं होगा। / The set \(A\setminus C\) contains no element of (C). Therefore no element of \(A\cap B\) can lie in (C).
दिए गए समुच्चय \(A\) में 10 से छोटे अवयव \(1,2,4,8\) हैं, इसलिए \(B=\{1,2,4,8\}\)। अंतर समुच्चय \(A\setminus B\) में \(A\) के वे अवयव होते हैं जो \(B\) में नहीं हैं; अतः \(A\setminus B=\{16,32\}\)। ध्यान रखें कि \(A\setminus B\) में पहले समुच्चय के अवयव लिए जाते हैं और दूसरे समुच्चय के अवयव हटाए जाते हैं। / The elements of \(A\) that are less than 10 are \(1,2,4,8\), so \(B=\{1,2,4,8\}\). The difference \(A\setminus B\) contains the elements of \(A\) that are not in \(B\); therefore, \(A\setminus B=\{16,32\}\). Exam tip: in \(A\setminus B\), remove the elements of the second set from the first set; the order matters.
A. \(B\subseteq A\) और \(A\subseteq C\)/\(B\subseteq A\) and \(A\subseteq C\)
Explanation
Simple Explanation
दायाँ पक्ष (A) का उपसमुच्चय है, इसलिए \(A\cup B\subseteq A\) से \(B\subseteq A\) मिलता है। साथ ही \(A\subseteq A\cup B=A\cap C\), इसलिए \(A\subseteq C\) है। / The right side is a subset of (A), so \(A\cup B\subseteq A\) gives \(B\subseteq A\). Also \(A\subseteq A\cup B=A\cap C\), so \(A\subseteq C\).
(A) में (25) सम संख्याएँ हैं और (10) से विभाज्य (5) संख्याएँ (B) में भी हैं। इसलिए (25-5=20) तत्व बचते हैं। / There are (25) even numbers in (A), and (5) of them are also divisible by (10). Therefore (25-5=20) elements remain.
यदि \(x\in B\setminus C\), तो \(x\in A\cup C\) होना चाहिए और \(x\notin C\), इसलिए \(x\in A\) है। सदस्यता तर्क ऐसे निष्कर्षों में सहायक है। / If \(x\in B\setminus C\), then \(x\in A\cup C\) and \(x\notin C\), so \(x\in A\). Membership reasoning helps in such conclusions.
पहले प्रतिच्छेद लें: A\cap C=\{a,d\}। फिर B\setminus A में वे अवयव होंगे जो B में हैं, लेकिन A में नहीं; इसलिए B\setminus A=\{f,g\}। अतः \{a,d\}\cup\{f,g\}=\{a,d,f,g\}, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B केवल प्रतिच्छेद बताता है और विकल्प C केवल अंतर। परीक्षा-युक्ति: अंतर निकालते समय पहले सेट के वे अवयव हटाएँ जो दूसरे सेट में भी मौजूद हों। / First find the intersection: A\cap C=\{a,d\}. Next, B\setminus A contains the elements that are in B but not in A, so B\setminus A=\{f,g\}. Therefore, \{a,d\}\cup\{f,g\}=\{a,d,f,g\}, making option A correct. Option B gives only the intersection, while option C gives only the difference. Exam tip: in a set difference, remove from the first set every element that also belongs to the second set.
\(|A\cup B\cup C|=30+27+25-12-10-8+4=56\)। तीन सेटों के सूत्र में अंतिम प्रतिच्छेद जोड़ना न भूलें। / Here \(|A\cup B\cup C|=30+27+25-12-10-8+4=56\). Do not forget to add the triple intersection in the three-set formula.
किसी भी सेट (A) को \(A\setminus B\) और \(A\cap B\) में बाँटा जा सकता है। दोनों भाग (C) के समान हैं, इसलिए (A=C) है। / Any set (A) can be split into \(A\setminus B\) and \(A\cap B\). Since both parts match those of (C), (A=C).
(A) से \(B\setminus C\) हटाने पर कुछ नहीं घटा, इसलिए (A\cap\(B\setminus C\)=\varnothing)। अतः \(A\cap B\) के तत्व (C) में होंगे। / Removing \(B\setminus C\) from (A) changes nothing, so (A\cap\(B\setminus C\)=\varnothing). Hence elements of \(A\cap B\) must lie in (C).
दोनों अंतरालों में सामान्य भाग (0) से (3) तक है और दोनों सिरे शामिल हैं। प्रतिच्छेद में साझा भाग ही लें। / The common part of the two intervals is from (0) to (3), and both endpoints are included. In intersection, take only the shared part.
दोनों शर्तें बताती हैं कि (A) के अंदर (B) और (C) की सदस्यता समान है। इसलिए (A) में \(B\triangle C\) का कोई तत्व नहीं है। / Both conditions show that inside (A), membership in (B) and (C) is the same. Therefore (A) contains no element of \(B\triangle C\).
केवल चाय का अर्थ \(|T\setminus C|=|T|-|T\cap C|=88-39=49\) है। केवल वाले प्रश्नों में प्रतिच्छेद घटाएँ। / Only tea means \(|T\setminus C|=|T|-|T\cap C|=88-39=49\). In only-type questions, subtract the intersection.
पहली शर्त से \(B\subseteq A\) और दूसरी से \(B\subseteq C\) है। इसलिए \(B\subseteq A\cap C\) है। / The first condition gives \(B\subseteq A\), and the second gives \(B\subseteq C\). Hence \(B\subseteq A\cap C\).
(25) तक (3) के गुणज (3,6,9,12,15,18,21,24) हैं। इनमें विषम (3,9,15,21,25) नहीं, बल्कि (3,9,15,21) और (?) नहीं; कुल (4) है। / Multiples of (3) up to (25) are (3,6,9,12,15,18,21,24). The odd ones are (3,9,15,21), so the count is (4).
A. (A\setminus\(B\cup C\)=\varnothing) और (B\setminus\(A\cup C\)=\varnothing)/(A\setminus\(B\cup C\)=\varnothing) and (B\setminus\(A\cup C\)=\varnothing)
Explanation
Simple Explanation
(C) के बाहर (A) और (B) के तत्व समान हैं। इसलिए (A) का (B) और (C) दोनों से बाहर कोई तत्व नहीं और वैसा ही (B) के लिए है। / Outside (C), the elements of (A) and (B) are the same. Hence no element of (A) lies outside both (B) and (C), and similarly for (B).
किसी सेट का पावर सेट केवल \({\varnothing}\) तभी होता है जब मूल सेट \(\varnothing\) हो। इसलिए \(A\cap B=\varnothing\) है। / The power set of a set is only \({\varnothing}\) exactly when the original set is \(\varnothing\). Therefore \(A\cap B=\varnothing\).
यदि कोई सेट \(A\cap C\) का उपसमुच्चय है, तो वह (C) का भी उपसमुच्चय होगा। इसलिए \(A\setminus B\subseteq C\) है। / If a set is a subset of \(A\cap C\), then it is also a subset of (C). Hence \(A\setminus B\subseteq C\).
पहले \(A\setminus B\) निकालते हैं। इसका अर्थ है \(A\) के वे तत्व जो \(B\) में नहीं हैं, इसलिए \(A\setminus B=\{1,5,7,11\}\)। अब इसका \(C=\{5,9,13\}\) के साथ प्रतिच्छेद लेने पर केवल 5 समान तत्व मिलता है, अतः उत्तर \(\{5\}\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि 9, \(B\) में होने के कारण \(A\setminus B\) में शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: \(A\setminus B\) में पहले \(B\) के सभी तत्वों को \(A\) से हटाएँ, फिर प्रतिच्छेद लें। / First find \(A\setminus B\), which contains the elements of \(A\) that are not in \(B\): \(A\setminus B=\{1,5,7,11\}\). Intersecting this set with \(C=\{5,9,13\}\) leaves only 5, so the answer is \(\{5\}\). Option B is incorrect because 9 belongs to \(B\), so it is removed from \(A\setminus B\). Exam tip: For \(A\setminus B\), remove every element of \(B\) from \(A\) before taking the intersection.
किसी सेट को (A) से जोड़ने पर परिणाम (A) ही रहे, तो वह सेट (A) का उपसमुच्चय होता है। यहाँ वह \(B\cap C\) है। / If adding a set to (A) by union still gives (A), that set is a subset of (A). Here that set is \(B\cap C\).
पहले \(B\cup C=[3,12)\) प्राप्त होता है, क्योंकि \(B\) में 3 शामिल है और \(C\), 5 से 12 तक के खुले अंतराल में है। अब \(A=[1,10]\) में से \([3,12)\) के तत्व हटाने पर \([1,3)\) बचता है। 3 को शामिल नहीं किया जाएगा, क्योंकि 3, \(B\cup C\) का सदस्य है। परीक्षा-युक्ति: अंतराल घटाते समय शामिल और बहिष्कृत सिरों के कोष्ठकों पर विशेष ध्यान दें। / First, \(B\cup C=[3,12)\), since 3 is included in \(B\), while \(C\) extends from just above 5 to just below 12. Removing this union from \(A=[1,10]\) leaves \([1,3)\). The endpoint 3 is excluded because 3 belongs to \(B\cup C\). Exam tip: carefully track whether each interval endpoint is included or excluded when performing set difference.
संघ में \(A\setminus B\), \(A\cap B\) और \(B\setminus A\) हैं। \(B\setminus A=92-31-27=34\), इसलिए (|B|=34+27=61)। / The union has \(A\setminus B\), \(A\cap B\), and \(B\setminus A\). Here \(B\setminus A=92-31-27=34\), so (|B|=34+27=61).
(A) के अंदर (B) से बाहर और (C) से बाहर भाग समान हैं। इसलिए (A\cap\(C\setminus B\)) खाली है, जो दिए गए समावेशन के बराबर है। / Inside (A), the parts outside (B) and outside (C) are equal. Thus (A\cap\(C\setminus B\)) is empty, which is equivalent to the given inclusion.
\(A\setminus B\) का हर तत्व (A) में है, इसलिए वह \(A\cup B\) में भी है। अतः प्रतिच्छेद वही \(A\setminus B\) रहेगा। / Every element of \(A\setminus B\) lies in (A), so it also lies in \(A\cup B\). Therefore the intersection remains \(A\setminus B\).
तीन सेटों के सूत्र में अंत में \(|A\cap B\cap C|\) जोड़ा जाता है, पर यहाँ वह (0) है। इसलिए केवल युग्म प्रतिच्छेद घटते हैं। / In the three-set formula, \(|A\cap B\cap C|\) is added at the end, but here it is (0). So only pairwise intersections are subtracted.
\(B\setminus A=\varnothing\) से \(B\subseteq A\) है और \(A\setminus B\ne\varnothing\) से \(A\ne B\)। इसलिए \(B\subset A\) है। / From \(B\setminus A=\varnothing\), \(B\subseteq A\), and from \(A\setminus B\ne\varnothing\), \(A\ne B\). Hence \(B\subset A\).
बाएँ पक्ष में (C) के तत्व नहीं हो सकते, फिर भी वह \(A\cap B\) के बराबर है। इसलिए \(A\cap B\) का कोई तत्व (C) में नहीं है। / The left side cannot contain elements of (C), yet it equals \(A\cap B\). Therefore no element of \(A\cap B\) lies in (C).
