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Subjects
Class 11 Mathematics Sets Complement of a Set and its properties Expert Level 19

मान लें कि \(A\) और \(B\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के उपसमुच्चय हैं और \(A \cup B = U\) है। तब \(A'\) के बारे में कौन-सा कथन सदैव सत्य है?

Let \(A\) and \(B\) be subsets of the universal set \(U\), with \(A \cup B = U\). Which statement about \(A'\) is always true?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(A' \subseteq B\)

Explanation

Simple Explanation

\(A \cup B=U\) का अर्थ है कि \(U\) का प्रत्येक अवयव या तो \(A\) में है या \(B\) में। इसलिए जो अवयव \(A\) में नहीं हैं, वे अनिवार्य रूप से \(B\) में होंगे; अतः \(A' \subseteq B\)। समानता आवश्यक नहीं है, क्योंकि \(B\) में ऐसे अवयव भी हो सकते हैं जो \(A\) में हों। इसलिए विकल्प C निश्चित रूप से सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(A \cup B=U\) से पूरक लेने पर \(A' \cap B'=\varnothing\) मिलता है, जिससे सीधे \(A' \subseteq B\) निष्कर्षित किया जा सकता है। / The condition \(A \cup B=U\) means that every element of \(U\) belongs to at least one of \(A\) or \(B\). Hence, every element not in \(A\) must belong to \(B\), giving \(A' \subseteq B\). Equality is not necessary because \(B\) may also contain elements that are already in \(A\), so option C is not always true. Exam tip: Taking complements in \(A \cup B=U\) gives \(A' \cap B'=\varnothing\), which is equivalent to \(A' \subseteq B\).

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मान लें कि \(A\) और \(B\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के उपसमुच्चय हैं और \(A \cup B = U\) है। तब \(A'\) के बारे में कौन-सा कथन सदैव सत्य है? / Let \(A\) and \(B\) be subsets of the universal set \(U\), with \(A \cup B = U\). Which statement about \(A'\) is always true?

Correct Answer: A. \(A' \subseteq B\). Explanation: \(A \cup B=U\) का अर्थ है कि \(U\) का प्रत्येक अवयव या तो \(A\) में है या \(B\) में। इसलिए जो अवयव \(A\) में नहीं हैं, वे अनिवार्य रूप से \(B\) में होंगे; अतः \(A' \subseteq B\)। समानता आवश्यक नहीं है, क्योंकि \(B\) में ऐसे अवयव भी हो सकते हैं जो \(A\) में हों। इसलिए विकल्प C निश्चित रूप से सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(A \cup B=U\) से पूरक लेने पर \(A' \cap B'=\varnothing\) मिलता है, जिससे सीधे \(A' \subseteq B\) निष्कर्षित किया जा सकता है। / The condition \(A \cup B=U\) means that every element of \(U\) belongs to at least one of \(A\) or \(B\). Hence, every element not in \(A\) must belong to \(B\), giving \(A' \subseteq B\). Equality is not necessary because \(B\) may also contain elements that are already in \(A\), so option C is not always true. Exam tip: Taking complements in \(A \cup B=U\) gives \(A' \cap B'=\varnothing\), which is equivalent to \(A' \subseteq B\).