Level 19 • 50/50 questions • 25 seconds per question.
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A. (A'={1,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20})
(A') में (U) के वे सदस्य आते हैं जो (A) में नहीं हैं। परीक्षा में (1) को अभाज्य न मानें। / (A') contains the elements of (U) that are not in (A). In exams remember that (1) is not prime.
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A. 32
समुच्चय \(U\) में 48 संख्याएँ हैं। \(A\) में 4 के 12 गुणज और \(B\) में 6 के 8 गुणज हैं। दोनों में समान संख्याएँ 12 के गुणज हैं, जिनकी संख्या 4 है। अतः समावेश-बहिष्करण सिद्धांत से \(n(A\cup B)=12+8-4=16\)। इसलिए \(n((A\cup B)')=48-16=32\)। विकल्प 16 केवल \(A\cup B\) की cardinality है, उसके पूरक की नहीं। परीक्षा-सूत्र: \(n(S')=n(U)-n(S)\)। / The universal set \(U\) contains 48 natural numbers. Set \(A\) has 12 multiples of 4, and set \(B\) has 8 multiples of 6. Their common elements are the multiples of 12, of which there are 4. By inclusion–exclusion, \(n(A\cup B)=12+8-4=16\). Therefore, \(n((A\cup B)')=48-16=32\). The value 16 represents the cardinality of \(A\cup B\), not its complement. Exam tip: use \(n(S')=n(U)-n(S)\).
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A. \(A'=\{-5,-4,4,5\}\)
समुच्चय A के लिए शर्त \(x^2<10\) है, अर्थात \(-\sqrt{10}<x<\sqrt{10}\)। चूँकि \(3<\sqrt{10}<4\) और x पूर्णांक है, इसलिए \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\)। सार्वत्रिक समुच्चय U में -5 से 5 तक के सभी पूर्णांक हैं; अतः A में न आने वाले तत्व \(A'=U\setminus A=\{-5,-4,4,5\}\) हैं। परीक्षा-युक्ति: पूर्णांकों में \(x^2<10\) को जाँचते समय \(|x|\le3\) लें, जबकि \(|x|=4\) पर \(x^2=16\) हो जाता है। / For set A, the condition \(x^2<10\) is equivalent to \(-\sqrt{10}<x<\sqrt{10}\). Since \(3<\sqrt{10}<4\) and x is an integer, \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\). The universal set U contains all integers from -5 to 5, so the elements of U not in A are \(A'=U\setminus A=\{-5,-4,4,5\}\). Exam tip: for integer x, \(x^2<10\) gives \(|x|\le3\); the next integers, \(\pm4\), have square 16 and are excluded from A.
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A. (7)
\(x^2-2x-15\le 0\) से \(-3\le x\le 5\) मिलता है, इसलिए (A) में (9) पूर्णांक हैं। (U) में (17) सदस्य हैं, पर यहां पूरक (8) नहीं बल्कि (-8) से (-4) और (6) से (8) मिलाकर (8) होना चाहिए। / The inequality \(x^2-2x-15\le 0\) gives \(-3\le x\le 5\), so (A) has (9) integers. Since (U) has (17) elements, the complement has (17-9=8) elements.
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If \(U=\mathbb{R}\) and (A=\(-\infty,-2\)\cup[3,7]), what is (A')?
A. ([-2,3)\cup\(7,\infty\))
(-2) समुच्चय (A) में नहीं है, इसलिए पूरक में आएगा। (3) और (7) (A) में हैं, इसलिए पूरक में (3) नहीं और (7) के बाद के मान आएंगे। / The point (-2) is not in (A), so it is included in the complement. The points (3) and (7) are in (A), so (3) is excluded and values after (7) are included.
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A. \((2,5]\)
समुच्चय \(A\) में \(2\) शामिल है, इसलिए उसका पूरक \(2\) को शामिल नहीं करेगा। दूसरी ओर, \(5\) \(A\) में शामिल नहीं है क्योंकि अंतराल \((5,\infty)\) में \(5\) नहीं आता; अतः पूरक में \(5\) शामिल होगा। इसलिए \(A'=(2,5]\)। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय शामिल सिरों को अनिवार्यतः बाहर और बाहर किए गए सिरों को अंदर करें। / The set \(A\) contains \(2\), so its complement must exclude \(2\). However, \(5\) is not included in \((5,\infty)\), so \(5\) belongs to the complement. Hence, \(A'=(2,5]\). Exam tip: when taking the complement of an interval, reverse the inclusion status of each endpoint.
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A. 23
चूँकि \(A\subseteq B\), इसलिए \(A'\cap B\) में वे सभी अवयव होंगे जो \(B\) में हैं लेकिन \(A\) में नहीं हैं। अतः \(A'\cap B=B-A\), इसलिए \(n(A'\cap B)=n(B)-n(A)=54-31=23\)। विकल्प 36, \(n(U)-n(B)\) है, जो \(B'\) की संख्या बताता है, न कि \(A'\cap B\) की। परीक्षा-युक्ति: जब \(A\subseteq B\) हो, तो \(n(B-A)=n(B)-n(A)\) सीधे लागू करें। / Since \(A\subseteq B\), the set \(A'\cap B\) contains the elements that are in \(B\) but not in \(A\). Thus, \(A'\cap B=B-A\), and \(n(A'\cap B)=n(B)-n(A)=54-31=23\). Option 36 represents \(n(U)-n(B)\), which is the cardinality of \(B'\), not \(A'\cap B\). Exam tip: whenever \(A\subseteq B\), use \(n(B-A)=n(B)-n(A)\) directly.
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A. (10)
(2) या (3) से विभाज्य संख्याएं (20) हैं, इसलिए पूरक में (30-20=10) सदस्य हैं। समावेशन-बहिष्करण जल्दी लगाएं। / There are (20) numbers divisible by (2) or (3), so the complement has (30-20=10) elements. Use inclusion-exclusion quickly.
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A. ({3,5,7,11,13,17,19})
(A') विषम संख्याओं का समुच्चय है और (B) अभाज्य संख्याओं का। इसलिए \(A'\cap B\) में (2) को छोड़कर सभी विषम अभाज्य आएंगे। / (A') is the set of odd numbers and (B) is the set of primes. Thus \(A'\cap B\) contains all odd primes except (2).
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A. {d}
U के सापेक्ष A′ = {b, d, f} और B′ = {a, d, e} हैं। इन दोनों समुच्चयों में समान तत्व केवल d है, इसलिए A′ ∩ B′ = {d}। विकल्प B पूरे U में से c को छोड़कर लगभग सभी तत्व दिखाता है, जबकि प्रतिच्छेद में केवल दोनों पूरकों के समान तत्व लिए जाते हैं। परीक्षा में पूरक निकालते समय सार्वत्रिक समुच्चय U को आधार अवश्य मानें। / With respect to U, A′ = {b, d, f} and B′ = {a, d, e}. The only common element is d, so A′ ∩ B′ = {d}. Option B does not represent the common elements of the two complements. As an exam tip, always use the given universal set when finding a complement; equivalently, De Morgan’s law gives A′ ∩ B′ = (A ∪ B)′.
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If (n(U)=80), (n(A)=35), (n(B)=42), and (n\(A \cap B\)=18), what is (n(\(A \cup B\)'))?
A. (21)
(n\(A \cup B\)=35+42-18=59), इसलिए पूरक (80-59=21) है। पहले संघ निकालें फिर पूरक लें। / (n\(A \cup B\)=35+42-18=59), so the complement is (80-59=21). Find the union first, then take the complement.
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A. \(\{1,3,5,6,7,9,11,12\}\)
पहले \(A-B\) ज्ञात करें। समुच्चय \(B\) में उपस्थित \(6\) और \(12\) को \(A\) से हटाने पर \(A-B=\{2,4,8,10\}\) मिलता है। अब \(U\) में इस समुच्चय के सभी शेष अवयव इसका पूरक होंगे, इसलिए \((A-B)'=\{1,3,5,6,7,9,11,12\}\)। विकल्प B केवल \(A-B\) है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के प्रत्येक अवयव की जाँच करें। / First find the difference: removing the elements 6 and 12, which belong to both \(A\) and \(B\), gives \(A-B=\{2,4,8,10\}\). The complement contains every element of \(U\) that is not in \(A-B\), so \((A-B)'=\{1,3,5,6,7,9,11,12\}\). Option B is just \(A-B\), not its complement. Exam tip: always take a complement relative to the stated universal set and check every element of \(U\).
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\(If (U=\mathbb{N}) and (A={x:x \in \mathbb{N}\) and x is odd}), what is (A')?
A. \(({x:x \in \mathbb{N}\) and x is even})
पूरक हमेशा दिए गए (U) के अंदर ही लिया जाता है। इसलिए यहाँ (A') प्राकृतिक सम संख्याओं का समुच्चय है। / The complement is always taken inside the given (U). Thus (A') is the set of natural even numbers here.
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A. \(\{0,1,4,5,6,7,8,9,10\}\)
दिया गया समीकरण \(x^2-5x+6=0\) को \((x-2)(x-3)=0\) के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए \(A=\{2,3\}\)। पूरक समुच्चय \(A'=U\setminus A\) होता है; अतः \(U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\) में से 2 और 3 हटाने पर \(A'=\{0,1,4,5,6,7,8,9,10\}\) मिलता है। विकल्प B स्वयं \(A\) है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक सदैव दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष लिया जाता है। / Factorising the equation gives \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0\), so \(A=\{2,3\}\). The complement is \(A'=U\setminus A\). Removing 2 and 3 from \(U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\) gives \(A'=\{0,1,4,5,6,7,8,9,10\}\). Option B is the set \(A\) itself, not its complement. Exam tip: always find the complement relative to the stated universal set.
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If �\(U=\{1,2,\ldots,15\}�\) and �(A'=\{1,5,7,11,13\}�), what is �(A�)?
A. \(\{2,3,4,6,8,9,10,12,14,15\}\)
किसी सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(A\) और उसका पूरक \(A'\) परस्पर असंयुक्त होते हैं तथा \(A\cup A'=U\)। इसलिए \(A=U\setminus A'\), अर्थात् \(1\) से \(15\) तक की संख्याओं में से \(1,5,7,11,13\) हटाने पर \(A=\{2,3,4,6,8,9,10,12,14,15\}\) मिलता है। विकल्प B केवल \(A'\) है, \(A\) नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक ज्ञात करते समय सार्वत्रिक समुच्चय के प्रत्येक अवयव को जाँचकर दिए गए पूरक के अवयव हटाएँ। / With respect to the universal set \(U\), a set and its complement are disjoint and satisfy \(A\cup A'=U\). Hence, \(A=U\setminus A'\). Removing \(1,5,7,11,13\) from the integers from \(1\) to \(15\) gives \(A=\{2,3,4,6,8,9,10,12,14,15\}\). Option B is only \(A'\), not \(A\). Exam tip: To find a complement, list all elements of the universal set and remove the elements belonging to the given set or complement.
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If \(U=\{1,2,\ldots,50\}\) and \(A=\{x\in U:5\mid x\}\), what is the value of \(n(A')\)?
A. 40
समुच्चय \(A\) में 1 से 50 तक 5 के गुणज आते हैं: \(5,10,15,\ldots,50\)। इनकी संख्या \(50/5=10\) है। चूँकि \(A'\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) में \(A\) के बाहर के अवयवों का समुच्चय है, इसलिए \(n(A')=n(U)-n(A)=50-10=40\)। विकल्प 10 केवल \(n(A)\) है, \(n(A')\) नहीं। परीक्षा-टिप: परिमित समुच्चय के लिए \(n(A')=n(U)-n(A)\) का प्रयोग करें। / Set \(A\) contains the multiples of 5 from 1 to 50: \(5,10,15,\ldots,50\). Their number is \(50/5=10\). Since \(A'\) consists of the elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\), \(n(A')=n(U)-n(A)=50-10=40\). The value 10 is \(n(A)\), not \(n(A')\). Exam tip: For a finite universal set, use \(n(A')=n(U)-n(A)\).
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If \(A'=B'\), which of the following conclusions is necessarily true?
A. \(A=B\)
पूरक समुच्चय लेने की क्रिया उलटी करने पर मूल समुच्चय प्राप्त होता है, अर्थात् \((A')'=A\) और \((B')'=B\)। इसलिए \(A'=B'\) के दोनों पक्षों का पूरक लेने पर \(A=B\) मिलता है। विकल्प B और C क्रमशः असंयुक्तता तथा पूरे सार्वत्रिक समुच्चय को दर्शाते हैं, जो दिए गए कथन से आवश्यक रूप से नहीं निकलते। परीक्षा-युक्ति: \((X')'=X\) को हमेशा याद रखें। / Taking the complement of both sides of \(A'=B'\) gives \((A')'=(B')'\). Since the complement of a complement is the original set, \((A')'=A\) and \((B')'=B\), so \(A=B\). Options B and C describe disjointness and coverage of the universal set, neither of which necessarily follows from the given condition. Exam tip: remember the identity \((X')'=X\).
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If the universal set is \(U=\mathbb{R}\) and \(A=\{x\in\mathbb{R}:x^2\ge 9\}\), what is \(A'\)?
A. \((-3,3)\)
\(x^2\ge 9\) से \(|x|\ge 3\) मिलता है, इसलिए \(A=(-\infty,-3]\cup[3,\infty)\) है। सार्वत्रिक समुच्चय \(\mathbb{R}\) में इसका पूरक उन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है जिनके लिए \(|x|<3\), अर्थात \(-3<x<3\)। इसलिए \(A'=(-3,3)\)। ध्यान रखें कि मूल असमानता में बराबर का चिह्न होने के कारण \(-3\) और \(3\) समुच्चय \(A\) में शामिल हैं, अतः पूरक में वे शामिल नहीं होंगे। / From \(x^2\ge 9\), we get \(|x|\ge 3\), so \(A=(-\infty,-3]\cup[3,\infty)\). Since the universal set is \(\mathbb{R}\), its complement consists of the real numbers satisfying \(|x|<3\), or \(-3<x<3\). Hence, \(A'=(-3,3)\). The endpoints \(-3\) and \(3\) are excluded from the complement because they belong to \(A\). Exam tip: when taking the complement of an inequality containing \(\ge\), reverse it to a strict inequality \(<\).
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A. (92)
\(A \cap B\) में (12) के गुणज होंगे, जो (100) तक (8) हैं। इसलिए पूरक में (100-8=92) सदस्य हैं। / \(A \cap B\) contains multiples of (12), and there are (8) up to (100). So the complement has (100-8=92) elements.
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If \(A\cup A'=U\) and \(A\cap A'=\varnothing\), what is the correct meaning of \(A'\)?
A. समुच्चय \(U\) के वे सभी सदस्य जो \(A\) में नहीं हैंAll elements of \(U\) that are not in \(A\)
\(A'\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक है और इसे \(U\setminus A\) से लिखा जाता है। इसलिए इसमें \(U\) के वे सदस्य होते हैं जो \(A\) में नहीं हैं। विकल्प B गलत है, क्योंकि \(A\) के सदस्य सामान्यतः \(U\) के सदस्य होते हैं। परीक्षा-युक्ति: पूरक के लिए \(A\cup A'=U\) और \(A\cap A'=\varnothing\) दोनों शर्तें याद रखें। / \(A'\) is the complement of \(A\) with respect to the universal set \(U\), and it is written as \(U\setminus A\). Thus, it contains every element of \(U\) that does not belong to \(A\). Option B is incorrect because the elements of \(A\) generally belong to \(U\). Exam tip: For a complement, remember both conditions \(A\cup A'=U\) and \(A\cap A'=\varnothing\).
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A. (20)
(25) तक वर्ग संख्याएं (1,4,9,16,25) हैं, इसलिए (n(A)=5) है। पूरक में (25-5=20) सदस्य होंगे। / The square numbers up to (25) are (1,4,9,16,25), so (n(A)=5). The complement has (25-5=20) elements.
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If the universal set is \(U=\{1,2,\ldots,10\}\) and \(A=\{1,3,5,7,9\}\), what is \((A')'\)?
A. \(\{1,3,5,7,9\}\)
समुच्चय के द्वि-पूरक नियम के अनुसार \((A')'=A\) होता है। यहाँ \(A' = \{2,4,6,8,10\}\) है, और इसका फिर से पूरक लेने पर मूल समुच्चय \(A=\{1,3,5,7,9\}\) प्राप्त होता है। विकल्प B केवल \(A'\) है, जबकि प्रश्न में उसका भी पूरक पूछा गया है। परीक्षा-युक्ति: दो बार पूरक लेने पर सदैव मूल समुच्चय वापस मिलता है। / By the double-complement law, \((A')'=A\). Here, \(A'=\{2,4,6,8,10\}\), and taking the complement once more gives the original set \(A=\{1,3,5,7,9\}\). Option B is only \(A'\), whereas the question asks for its complement as well. Exam tip: the complement of the complement of any set is the set itself.
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Which option gives the correct form of (\(A \cup B\)')?
A. \(A' \cap B'\)
संघ का पूरक पूरकों के प्रतिच्छेद के बराबर होता है। यह डी मॉर्गन नियम का सीधा प्रयोग है। / The complement of a union equals the intersection of the complements. This is a direct use of De Morgan's law.
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A. \(\{6,8,10,12,14,15,18\}\)
पहले दोनों समुच्चयों का संघ लें: \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,7,9,11,13,16,17\}\)। अब सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) में से संघ के सभी अवयव हटाने पर \(\{6,8,10,12,14,15,18\}\) बचते हैं। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में 15 छूट गया है, जबकि 15 न तो \(A\) में है और न \(B\) में। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष बचे हुए अवयव लिखें। / First take the union: \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,7,9,11,13,16,17\}\). Removing all these elements from the universal set \(U\) leaves \(\{6,8,10,12,14,15,18\}\). Hence, option A is correct. Option C incorrectly omits 15, even though 15 belongs to neither \(A\) nor \(B\). Exam tip: A complement is always taken with respect to the stated universal set.
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If \(U=\mathbb{R}\) and (A=[-2,4)), what is (A')?
A. (\(-\infty,-2\) \cup [4,\infty))
(-2) समुच्चय (A) में है इसलिए पूरक में नहीं आएगा, पर (4) (A) में नहीं है इसलिए पूरक में आएगा। / (-2) is in (A), so it is not in the complement, while (4) is not in (A), so it is in the complement.
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If (n(U)=120) and (n(A')=47), what is (n(A))?
A. (73)
क्योंकि (A) और (A') मिलकर (U) बनाते हैं, (n(A)=120-47=73)। पूरक में दिए गए आंकड़े को सीधे घटाएं। / Since (A) and (A') together form (U), (n(A)=120-47=73). Subtract the given complement count directly.
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If \(A \cap B=\varnothing\), which statement about (B) must be true?
A. \(B \subseteq A'\)
यदि (B) का कोई सदस्य (A) में नहीं है, तो हर सदस्य (A') में होगा। इसलिए \(B \subseteq A'\) अवश्य सत्य है। / If no element of (B) lies in (A), every element of (B) lies in (A'). Hence \(B \subseteq A'\) must be true.
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A. \(A'=B\)
समुच्चय \(A\) में \(U\) की सभी सम संख्याएँ हैं। \(U\) के सापेक्ष इसका पूरक \(A'\) उन सभी तत्वों का समुच्चय होगा जो \(U\) में हैं लेकिन \(A\) में नहीं हैं, अर्थात् सभी विषम संख्याएँ। यही समुच्चय \(B\) है, इसलिए \(A'=B\)। विकल्प B गलत है क्योंकि दोनों समुच्चय बराबर हैं, केवल उचित उपसमुच्चय नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष बचे हुए तत्व लिखें। / Set \(A\) contains all even numbers in \(U\). Its complement relative to \(U\), denoted by \(A'\), contains the elements of \(U\) that are not in \(A\), namely all the odd numbers. This is exactly set \(B\), so \(A'=B\). Option B is incorrect because the two sets are equal, not merely a proper subset. Exam tip: Find a complement relative to the stated universal set, not relative to all integers.
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A. (16)
(A' \cap B'=\(A \cup B\)') है। (2) या (5) से विभाज्य संख्याएं (24) हैं, इसलिए पूरक (40-24=16) है। / (A' \cap B'=\(A \cup B\)'). Numbers divisible by (2) or (5) are (24), so the complement is (40-24=16).
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A. c\(\{-3,-2,-1,0,1,2\}\u0005c\)
असमानता c\(x+2>4\u0005c\) से c\(x>2\u0005c\) प्राप्त होती है। इसलिए c\(A=\{3,4,5,6,7\}\u0005c\) है। सार्वत्रिक समुच्चय c\(U\u0005c\) में इसके सभी शेष अवयव c\(A'=\{-3,-2,-1,0,1,2\}\u0005c\) में होंगे। विकल्प D में 2 को c\(A\u0005c\) में शामिल किया गया है, जबकि c\(x>2\u0005c\) में 2 शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय पहले दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के भीतर मूल समुच्चय के अवयव निर्धारित करें। / The inequality c\(x+2>4\u0005c\) gives c\(x>2\u0005c\). Hence, c\(A=\{3,4,5,6,7\}\u0005c\). The elements of c\(U\u0005c\) not in c\(A\u0005c\) form c\(A'=\{-3,-2,-1,0,1,2\}\u0005c\). Option D incorrectly treats 2 as an element of c\(A\u0005c\), although c\(x>2\u0005c\) excludes 2. Exam tip: Find the original set within the stated universal set before taking its complement.
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If \(A-B=A\cap B'\), then what is \((A-B)'\) equal to?
A. \(A'\cup B\)
दिया है कि \(A-B=A\cap B'\)। अतः \((A-B)'=(A\cap B')'\)। डी मॉर्गन के नियम के अनुसार \((X\cap Y)'=X'\cup Y'\), इसलिए \((A\cap B')'=A'\cup(B')'=A'\cup B\)। अतः सही उत्तर विकल्प A है। परीक्षा में अंतर और पूरक से जुड़े प्रश्नों में पहले \(A-B=A\cap B'\) लिखकर फिर डी मॉर्गन का नियम लागू करें। / Given \(A-B=A\cap B'\), we have \((A-B)'=(A\cap B')'\). By De Morgan’s law, \((X\cap Y)'=X'\cup Y'\). Therefore, \((A\cap B')'=A'\cup(B')'=A'\cup B\), so option A is correct. Exam tip: rewrite set difference as an intersection with the complement before applying De Morgan’s laws.
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If \(U=\mathbb{R}\), (A=\(-\infty,1\)), and (B=\(4,\infty\)), what is (\(A \cup B\)')?
A. ([1,4])
\(A \cup B\) में (1) और (4) शामिल नहीं हैं। इसलिए पूरक में दोनों सिरों सहित ([1,4]) आएगा। / The set \(A \cup B\) does not include (1) and (4). Hence the complement includes both endpoints, giving ([1,4]).
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Which statement is false for the complement of (A)?
A. (A') सार्वत्रिक समुच्चय से स्वतंत्र होता है(A') is independent of the universal set
पूरक सार्वत्रिक समुच्चय पर निर्भर करता है। इसलिए (A') को (U) बताए बिना निश्चित नहीं किया जा सकता। / The complement depends on the universal set. So (A') cannot be fixed without knowing (U).
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A. {1,2,3,5,6,7,9,10,11,13,14,15}
समुच्चय A में U के वे तत्व होंगे जो 4 से विभाज्य हैं: A={4,8,12,16}। इसलिए A का पूरक उन सभी तत्वों का समुच्चय है जो U में हैं, लेकिन A में नहीं हैं, अर्थात् A′={1,2,3,5,6,7,9,10,11,13,14,15}। विकल्प B, A स्वयं है, पूरक नहीं। परीक्षा-टिप: पूरक ज्ञात करने के लिए सार्वत्रिक समुच्चय से दिए गए समुच्चय के सभी तत्व हटा दें। / The elements of U that are divisible by 4 are A={4,8,12,16}. Therefore, the complement A′ contains every element of U that is not in A, giving A′={1,2,3,5,6,7,9,10,11,13,14,15}. Option B represents A itself, not its complement. Exam tip: To find a complement, remove all elements of the given set from the universal set.
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If \(A\subseteq U\), what is \((U\setminus A)'\) equal to?
A. \(A\)
सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(U\setminus A=A'\) होता है। इसलिए \((U\setminus A)'=(A')'=A\), क्योंकि किसी समुच्चय का दो बार पूरक लेने पर मूल समुच्चय प्राप्त होता है। विकल्प \(A'\) केवल पहले पूरक को दर्शाता है, अंतिम परिणाम को नहीं। परीक्षा-टिप: \((A')'=A\) की पहचान अवश्य याद रखें। / With respect to the universal set \(U\), \(U\setminus A=A'\). Hence, \((U\setminus A)'=(A')'=A\), because taking the complement twice gives the original set. Option \(A'\) represents only the first complement, not the final result. Exam tip: remember the double-complement identity \((A')'=A\).
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A. (55)
\(A \cap B\) में (12) के गुणज होंगे और (60) तक ऐसे (5) हैं। इसलिए पूरक (60-5=55) है। / \(A \cap B\) contains multiples of (12), and there are (5) up to (60). Hence the complement is (60-5=55).
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If \(U={1,2,\ldots,8}\), \(A=\{1,2,5\}\), and \(B=\{2,4,6\}\), what is \(A' \cup B'\)?
A. ({1,3,4,5,6,7,8})
डी मॉर्गन से (A' \cup B'=\(A \cap B\)') है। \(A \cap B={2}\), इसलिए पूरक ({1,3,4,5,6,7,8}) है। / By De Morgan, (A' \cup B'=\(A \cap B\)'). Since \(A \cap B={2}\), the complement is ({1,3,4,5,6,7,8}).
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If \(U=\mathbb{R}\) and \(A={x:x \in \mathbb{R}, -1<x\le 6}\), what is (A')?
A. ((-\infty,-1] \cup \(6,\infty\))
(-1) (A) में नहीं है इसलिए पूरक में शामिल है, जबकि (6) (A) में है इसलिए पूरक में नहीं है। / The point (-1) is not in (A), so it is included in the complement, while (6) is in (A), so it is excluded.
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\(If (U={1,2,\ldots,25}), (A={x:x \in U\) and x is not prime}), what is (A')?
A. ({2,3,5,7,11,13,17,19,23})
यदि (A) में अभाज्य नहीं संख्याएं हैं, तो (A') में अभाज्य संख्याएं होंगी। (1) अभाज्य नहीं है। / If (A) contains non-prime numbers, then (A') contains prime numbers. Remember that (1) is not prime.
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A. \(A' \subseteq B\)
\(A \cup B=U\) का अर्थ है कि \(U\) का प्रत्येक अवयव या तो \(A\) में है या \(B\) में। इसलिए जो अवयव \(A\) में नहीं हैं, वे अनिवार्य रूप से \(B\) में होंगे; अतः \(A' \subseteq B\)। समानता आवश्यक नहीं है, क्योंकि \(B\) में ऐसे अवयव भी हो सकते हैं जो \(A\) में हों। इसलिए विकल्प C निश्चित रूप से सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(A \cup B=U\) से पूरक लेने पर \(A' \cap B'=\varnothing\) मिलता है, जिससे सीधे \(A' \subseteq B\) निष्कर्षित किया जा सकता है। / The condition \(A \cup B=U\) means that every element of \(U\) belongs to at least one of \(A\) or \(B\). Hence, every element not in \(A\) must belong to \(B\), giving \(A' \subseteq B\). Equality is not necessary because \(B\) may also contain elements that are already in \(A\), so option C is not always true. Exam tip: Taking complements in \(A \cup B=U\) gives \(A' \cap B'=\varnothing\), which is equivalent to \(A' \subseteq B\).
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If \(U={1,2,\ldots,12}\), \(A=\{1,2,3,4,5\}\), what is \(A' \cup A\)?
A. (U)
किसी भी समुच्चय का अपने पूरक के साथ संघ पूरा (U) देता है। यह पूरक की मूल पहचान है। / The union of any set with its complement gives the whole (U). This is the basic identity of complement.
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If \(U=\{a,b,c,d,e,g,h\}\) and \(A=\{a,e,h\}\), what is (A')?
A. ({b,c,d,g})
पूरक में केवल (U) के वे अक्षर आएंगे जो (A) में नहीं हैं। (f) को नहीं जोड़ना क्योंकि \(f \notin U\) है। / The complement contains only those letters of (U) that are not in (A). Do not add (f) because \(f \notin U\).
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A. 24
समुच्चय \(A\) में अंतिम अंक 0 या 5 वाले सदस्य \(\{5,10,15,20,25,30\}\) हैं, इसलिए \(n(A)=6\)। चूँकि \(A'\), \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक है, अतः \(n(A')=n(U)-n(A)=30-6=24\)। परीक्षा में पूरक समुच्चय की संख्या निकालने के लिए सूत्र \(n(A')=n(U)-n(A)\) याद रखें। / The elements of \(A\) whose last digit is 0 or 5 are \(\{5,10,15,20,25,30\}\), so \(n(A)=6\). Since \(A'\) is the complement of \(A\) in \(U\), \(n(A')=n(U)-n(A)=30-6=24\). Exam tip: for a finite universal set, use \(n(A')=n(U)-n(A)\).
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If \(A \subseteq U\), what is \(A \cap U'\) equal to?
A. \(\varnothing\)
सार्वत्रिक समुच्चय (U) का पूरक \(\varnothing\) होता है। इसलिए \(A \cap U' = A \cap \varnothing=\varnothing\) है। / The complement of the universal set (U) is \(\varnothing\). Hence \(A \cap U' = A \cap \varnothing=\varnothing\).
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A. \{0\}
समुच्चय A में सार्वत्रिक समुच्चय \(\mathbb{R}\) की सभी वास्तविक संख्याएँ, 0 को छोड़कर, शामिल हैं। इसलिए A में जो एकमात्र वास्तविक संख्या नहीं है, वह 0 है; अतः \(A'=\{0\}\)। विकल्प B पूरे सार्वत्रिक समुच्चय को दर्शाता है, जबकि विकल्प C तब सही होता जब A=U होता। परीक्षा-युक्ति: किसी समुच्चय का पूरक हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष लिया जाता है। / Set A contains every real number except 0. Since the universal set is \(\mathbb{R}\), the only element of U that is not in A is 0; hence \(A'=\{0\}\). Option B is the universal set itself, and option C would be correct only if A were equal to U. Exam tip: Always find a complement relative to the specified universal set.
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A. ({9,10,11,12,13})
\(A \cup B\) में (1) से (8) और (14) से (20) तक के सदस्य हैं। बीच के (9) से (13) तक पूरक में बचते हैं। / \(A \cup B\) contains elements from (1) to (8) and from (14) to (20). The middle elements from (9) to (13) remain in the complement.
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A. (14)
(U) में (21) पूर्णांक हैं और \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) में (7) सदस्य हैं। अतः (n(A')=21-7=14) है। / There are (21) integers in (U), and \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) has (7) elements. Thus (n(A')=21-7=14).
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A. (0)
हर (12) का गुणज (6) का भी गुणज होता है, इसलिए वह (A) में होगा। अतः (A') में (12) का कोई गुणज नहीं होगा। / Every multiple of (12) is also a multiple of (6), so it lies in (A). Hence no multiple of (12) lies in (A').
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A. \\((0,2)\\)
सार्वत्रिक समुच्चय \\(\\mathbb{R}\\) के सापेक्ष \\(A'= (0,\\infty)\\) और \\(B'=(-\\infty,2)\\) होंगे। इसलिए \\(A'\\cap B'=(0,\\infty)\\cap(-\\infty,2)=(0,2)\\)। 0, समुच्चय \\(A\\) में शामिल है, इसलिए वह \\(A'\\) में नहीं आ सकता; इसी प्रकार 2, \\(B\\) में शामिल है, इसलिए वह \\(B'\\) में नहीं आ सकता। परीक्षा में पूरक लेते समय समापन बिंदुओं पर खुले और बंद कोष्ठकों पर विशेष ध्यान दें। / With respect to the universal set \\(\\mathbb{R}\\), \\(A'=(0,\\infty)\\) and \\(B'=(-\\infty,2)\\). Hence, \\(A'\\cap B'=(0,\\infty)\\cap(-\\infty,2)=(0,2)\\). The point 0 belongs to \\(A\\), so it cannot belong to \\(A'\\); similarly, 2 belongs to \\(B\\), so it cannot belong to \\(B'\\). Exam tip: carefully check whether each endpoint is included or excluded when taking complements.
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\(If (U={1,2,\ldots,10}) and (A={x:x \in U\) and \(x^2-11x+30=0}), what is (A' \cap {5,6,7,8})\)?
A. ({7,8})
समीकरण से \(A=\{5,6\}\) मिलता है, इसलिए (A') में (5) और (6) नहीं होंगे। दिए गए समुच्चय से ({7,8}) बचता है। / The equation gives \(A=\{5,6\}\), so (5) and (6) are not in (A'). From the given set, ({7,8}) remains.
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