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When all elements are listed separately inside braces, it is called roster form.
Step 2
Why this answer is correct
Here (2,4,6,8) are written directly, so it is roster form.
Step 3
Exam Tip
In exams, identify roster form by braces and listed elements. चरण 1: जब सभी अवयवों को घुमावदार कोष्ठक में अलग-अलग लिखा जाता है, तो उसे सूची रूप कहते हैं। चरण 2: यहाँ (2,4,6,8) सभी अवयव सीधे लिखे हैं, इसलिए यह सूची रूप है। चरण 3: परीक्षा में घुमावदार कोष्ठक और अलग-अलग लिखे अवयव देखकर सूची रूप पहचानें।
The odd natural numbers less than (10) are (1,3,5,7,9).
Step 3
Exam Tip
While changing set-builder form to roster form, apply the given condition carefully. चरण 1: विषम प्राकृतिक संख्याएँ \(1,3,5,\dots\) होती हैं। चरण 2: (10) से छोटी विषम प्राकृतिक संख्याएँ (1,3,5,7,9) हैं। चरण 3: नियम रूप को सूची रूप में बदलते समय दी गई शर्त को ध्यान से लागू करें।
A. अंग्रेजी वर्णमाला के स्वर/Vowels of the English alphabet
Step 1
Concept
The given elements are (a,e,i,o,u).
Step 2
Why this answer is correct
These are the vowels of the English alphabet, so the description is about vowels.
Step 3
Exam Tip
In descriptive form, identify the common property of the elements. चरण 1: दिए गए अवयव (a,e,i,o,u) हैं। चरण 2: ये अंग्रेजी वर्णमाला के स्वर माने जाते हैं, इसलिए वर्णन स्वर वाला होगा। चरण 3: वर्णन रूप लिखते समय अवयवों की सामान्य विशेषता पहचानें।
(3) is present in the given set, so \(3 \in D\) is true.
Step 3
Exam Tip
In membership questions, first check the listed elements. चरण 1: \(x \in D\) का अर्थ है कि (x), (D) का अवयव है। चरण 2: (3) दिए गए समुच्चय में मौजूद है, इसलिए \(3 \in D\) सत्य है। चरण 3: सदस्यता के प्रश्न में पहले दिए गए अवयवों की सूची देखें।
(5) is not among these elements, so \(5 \in E\) is false.
Step 3
Exam Tip
When a false statement is asked, check each option separately. चरण 1: समुच्चय (E) में (2,4,6,8) हैं। चरण 2: (5) इन अवयवों में नहीं है, इसलिए \(5 \in E\) असत्य है। चरण 3: असत्य कथन पूछे जाने पर हर विकल्प को अलग-अलग जाँचें।
Natural numbers are generally taken to start from (1).
Step 2
Why this answer is correct
The natural numbers up to (4) are (1,2,3,4).
Step 3
Exam Tip
The symbol \(\leq\) means the given number is included. चरण 1: प्राकृतिक संख्याएँ सामान्यतः (1) से शुरू मानी जाती हैं। चरण 2: (4) तक की प्राकृतिक संख्याएँ (1,2,3,4) हैं। चरण 3: \(\leq\) का अर्थ है दी गई संख्या भी शामिल होगी।
A. ( {x:x is a natural number and \(x<1} )\)/Natural numbers less than (1)
Step 1
Concept
An empty set has no element.
Step 2
Why this answer is correct
There is no natural number less than (1), so this set is empty.
Step 3
Exam Tip
To identify an empty set, check whether any element satisfies the condition. चरण 1: रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता। चरण 2: (1) से छोटी कोई प्राकृतिक संख्या नहीं होती, इसलिए यह समुच्चय रिक्त है। चरण 3: रिक्त समुच्चय पहचानने के लिए देखें कि शर्त पूरी करने वाला कोई अवयव है या नहीं।
A. (10) से छोटी अभाज्य प्राकृतिक संख्याएँ/Prime natural numbers less than (10)
Step 1
Concept
(2,3,5,7) are all prime numbers.
Step 2
Why this answer is correct
They are also natural numbers less than (10).
Step 3
Exam Tip
Choose a description that applies to all and only the given elements. चरण 1: (2,3,5,7) सभी अभाज्य संख्याएँ हैं। चरण 2: ये सभी (10) से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ भी हैं। चरण 3: वर्णन चुनते समय ऐसी विशेषता लें जो सभी और केवल दिए गए अवयवों पर लागू हो।
The even natural numbers up to (10) are (2,4,6,8,10).
Step 2
Why this answer is correct
There are (5) such elements.
Step 3
Exam Tip
To count elements, first write the set in roster form. चरण 1: (10) तक की सम प्राकृतिक संख्याएँ (2,4,6,8,10) हैं। चरण 2: इनकी संख्या (5) है। चरण 3: अवयवों की संख्या निकालते समय पहले समुच्चय को सूची रूप में लिख लें।
Repeating an element in a set does not create a new element.
Step 2
Why this answer is correct
The distinct elements of (1,1,2,2,3) are (1,2,3).
Step 3
Exam Tip
In exams, count repeated elements only once. चरण 1: समुच्चय में किसी अवयव को बार-बार लिखने से वह नया अवयव नहीं बनता। चरण 2: (1,1,2,2,3) के अलग अवयव केवल (1,2,3) हैं। चरण 3: परीक्षा में दोहराए गए अवयवों को एक बार ही गिनें।
Both (J) and (K) contain the same three elements (1,2,3).
Step 3
Exam Tip
While checking equality, compare elements, not their order. चरण 1: समुच्चय में अवयवों का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं होता। चरण 2: (J) और (K) में वही तीन अवयव (1,2,3) हैं। चरण 3: समानता जाँचते समय क्रम नहीं, अवयव देखें।
A. \((L={x:x\) is an even natural number and \(x\leq 10})\)/Even natural numbers up to (10)
Step 1
Concept
(2,4,6,8,10) are even natural numbers.
Step 2
Why this answer is correct
They are all up to (10), so the condition \(x\leq 10\) is correct.
Step 3
Exam Tip
In set-builder form, write the common property clearly. चरण 1: (2,4,6,8,10) सम प्राकृतिक संख्याएँ हैं। चरण 2: ये सभी (10) तक आती हैं, इसलिए शर्त \(x\leq 10\) सही है। चरण 3: नियम रूप में अवयवों की साझा विशेषता साफ लिखें।
Each day name is one element of this set, so there are (7) elements.
Step 3
Exam Tip
In real-life sets, first recall the correct count of the objects. चरण 1: सप्ताह में सात दिन होते हैं। चरण 2: प्रत्येक दिन का नाम इस समुच्चय का एक अवयव होगा, इसलिए कुल (7) अवयव हैं। चरण 3: वास्तविक जीवन के समुच्चय में पहले वस्तुओं की सही संख्या याद करें।
C. ( {x:x is a month of a year} )/Set of months of a year
Step 1
Concept
A finite set has a limited number of elements.
Step 2
Why this answer is correct
A year has (12) months, so the set of months is finite.
Step 3
Exam Tip
Learn to separate limited and unlimited collections. चरण 1: परिमित समुच्चय में अवयवों की संख्या सीमित होती है। चरण 2: वर्ष में (12) महीने होते हैं, इसलिए महीनों का समुच्चय परिमित है। चरण 3: सीमित और असीमित संख्या वाले उदाहरणों को अलग करना सीखें।
C. ( {x:x is a natural number} )/Set of natural numbers
Step 1
Concept
An infinite set has no last element.
Step 2
Why this answer is correct
Natural numbers \(1,2,3,\dots\) continue without end.
Step 3
Exam Tip
If counting continues forever, treat the set as infinite. चरण 1: अपरिमित समुच्चय में अवयवों की संख्या समाप्त नहीं होती। चरण 2: प्राकृतिक संख्याएँ \(1,2,3,\dots\) लगातार चलती रहती हैं। चरण 3: जहाँ गिनती बिना अंत के चले, उसे अपरिमित समुच्चय समझें।
Remember the difference between digits and natural numbers. चरण 1: अंक (0) से (9) तक होते हैं। चरण 2: इसलिए समुच्चय में (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) सभी शामिल होंगे। चरण 3: अंक और प्राकृतिक संख्या में अंतर याद रखें।
Perfect squares less than (20) come from \(1^2,2^2,3^2,4^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Their values are (1,4,9,16).
Step 3
Exam Tip
In (x<20), do not include values equal to or greater than (20). चरण 1: (20) से छोटे पूर्ण वर्ग \(1^2,2^2,3^2,4^2\) से मिलते हैं। चरण 2: इनके मान (1,4,9,16) हैं। चरण 3: (x<20) में (20) से बड़े या बराबर मान शामिल न करें।
A. (Q) में केवल (1,2,3) हैं/(Q) contains only (1,2,3)
Step 1
Concept
The elements written inside braces are the members of the set.
Step 2
Why this answer is correct
Here (Q) contains only (1,2,3).
Step 3
Exam Tip
In roster form, do not add any extra element from outside. चरण 1: घुमावदार कोष्ठक में लिखे अवयव समुच्चय के सदस्य होते हैं। चरण 2: यहाँ (Q) में (1,2,3) ही दिए गए हैं। चरण 3: सूची रूप में बाहर से कोई अतिरिक्त अवयव न जोड़ें।
The number of elements is limited, so it is a finite set.
Step 3
Exam Tip
In a finite set, elements can be counted. चरण 1: (R) में केवल तीन रंग दिए गए हैं। चरण 2: अवयवों की संख्या सीमित है, इसलिए यह परिमित समुच्चय है। चरण 3: परिमित समुच्चय में अवयव गिने जा सकते हैं।
In such questions, apply both conditions like even and prime together. चरण 1: अभाज्य संख्या के ठीक दो गुणनखंड होते हैं। चरण 2: (2) ही एकमात्र सम अभाज्य संख्या है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में विशेष शब्दों जैसे सम और अभाज्य दोनों शर्तें साथ लागू करें।
\(3\leq x\leq 7\) means both (3) and (7) are included.
Step 2
Why this answer is correct
The natural numbers in this range are (3,4,5,6,7).
Step 3
Exam Tip
Do not leave out endpoints when \(\leq\) is used. चरण 1: \(3\leq x\leq 7\) का अर्थ है (3) और (7) दोनों शामिल हैं। चरण 2: इनके बीच की प्राकृतिक संख्याएँ (3,4,5,6,7) हैं। चरण 3: \(\leq\) वाले सिरों को छोड़ना नहीं चाहिए।
Choose the most accurate and complete property in description form. चरण 1: (0,2,4,6,8) सभी सम अंक हैं। चरण 2: ये (10) से छोटे हैं और अंक भी हैं। चरण 3: वर्णन में सबसे सही और पूरा गुण चुनें।
A definite and countable collection is finite. चरण 1: अंग्रेजी वर्णमाला में (26) अक्षर होते हैं। चरण 2: इसलिए (V) में अवयवों की संख्या सीमित है। चरण 3: निश्चित और गिनने योग्य संग्रह को परिमित समुच्चय मानें।
A. कक्षा के (40) छात्रों की सूची/List of (40) students in a class
Step 1
Concept
A set must be a well-defined collection.
Step 2
Why this answer is correct
A list of (40) students in a class is definite, while words like beautiful or good may vary by opinion.
Step 3
Exam Tip
Clarity is most important in identifying a set. चरण 1: समुच्चय के लिए संग्रह स्पष्ट रूप से परिभाषित होना चाहिए। चरण 2: कक्षा के (40) छात्रों की सूची निश्चित है, जबकि सुंदर या अच्छा जैसे शब्द व्यक्ति के विचार पर बदल सकते हैं। चरण 3: समुच्चय पहचानने में स्पष्टता सबसे जरूरी है।
C. स्वादिष्ट फलों का संग्रह/Collection of tasty fruits
Step 1
Concept
In a set, it must be clear which objects are included.
Step 2
Why this answer is correct
Tasty fruits may depend on personal choice, so the collection is not well-defined.
Step 3
Exam Tip
Be careful with opinion-based words in collections. चरण 1: समुच्चय में यह स्पष्ट होना चाहिए कि कौन-सी वस्तु शामिल है। चरण 2: स्वादिष्ट फल व्यक्ति की पसंद पर निर्भर कर सकते हैं, इसलिए संग्रह स्पष्ट नहीं है। चरण 3: मत-आधारित शब्दों वाले संग्रहों से सावधान रहें।
Since (x) is a natural number, only (3) is allowed.
Step 3
Exam Tip
Always check the number system condition along with the equation. चरण 1: \(x^2=9\) के मान (x=3) और (x=-3) हो सकते हैं। चरण 2: शर्त में (x) प्राकृतिक संख्या है, इसलिए केवल (3) लिया जाएगा। चरण 3: समीकरण के साथ दी गई संख्या-प्रणाली की शर्त जरूर देखें।
Integers include negative numbers, (0), and positive numbers.
Step 2
Why this answer is correct
The integers from (-2) to (2) are (-2,-1,0,1,2).
Step 3
Exam Tip
Include both endpoints when \(\leq\) is used. चरण 1: पूर्णांकों में ऋणात्मक संख्याएँ, (0), और धनात्मक संख्याएँ शामिल होती हैं। चरण 2: (-2) से (2) तक के पूर्णांक (-2,-1,0,1,2) हैं। चरण 3: सीमा में दिए दोनों सिरों को \(\leq\) होने पर शामिल करें।
(3) is a natural number, so it belongs to the set.
Step 3
Exam Tip
In set-builder form, first solve the condition and then check membership. चरण 1: समीकरण (x+2=5) को हल करने पर (x=3) मिलता है। चरण 2: (3) प्राकृतिक संख्या है, इसलिए यह समुच्चय में शामिल होगा। चरण 3: नियम रूप में पहले शर्त हल करें, फिर सदस्यता जाँचें।
A. \((Z={x:x\) is a multiple of 5 and \(5\leq x\leq 20})\)/Multiples of (5) from (5) to (20)
Step 1
Concept
(5,10,15,20) are all multiples of (5).
Step 2
Why this answer is correct
They lie from (5) to (20), so this rule is correct.
Step 3
Exam Tip
In set-builder form, both the property and the range should be correct. चरण 1: (5,10,15,20) सभी (5) के गुणज हैं। चरण 2: ये (5) से (20) तक आते हैं, इसलिए यह नियम सही है। चरण 3: नियम रूप में सीमा और गुण दोनों सही होने चाहिए।
(1,2,4,8) all divide (8), so they are its positive factors.
Step 3
Exam Tip
Understand the difference between factors and multiples carefully. चरण 1: (8) के धनात्मक गुणनखंड वे संख्याएँ हैं जो (8) को पूरा विभाजित करती हैं। चरण 2: (1,2,4,8) सभी (8) के गुणनखंड हैं। चरण 3: गुणनखंड और गुणज के अंतर को ध्यान से समझें।
\(A \subseteq B\) means every element of (A) is in (B).
Step 2
Why this answer is correct
(1,2,3) are all present in (B), so \(A \subseteq B\) is true.
Step 3
Exam Tip
To check a subset, test every element of the smaller set in the larger set. चरण 1: \(A \subseteq B\) का अर्थ है (A) का हर अवयव (B) में हो। चरण 2: (1,2,3) सभी (B) में मौजूद हैं, इसलिए \(A \subseteq B\) सत्य है। चरण 3: उपसमुच्चय जाँचते समय छोटे समुच्चय के हर अवयव को बड़े में देखें।
While finding (n(A)), count distinct elements only. चरण 1: (n(A)) समुच्चय (A) के अवयवों की संख्या बताता है। चरण 2: (A) में (2,4,6) तीन अलग अवयव हैं। चरण 3: (n(A)) निकालते समय दोहराव नहीं, अलग अवयव गिनें।
Repeated elements in a set are not counted separately.
Step 2
Why this answer is correct
The distinct elements of (B) are (2,4,6), so (n(B)=3).
Step 3
Exam Tip
It is a good habit to remove repetition before counting. चरण 1: समुच्चय में दोहराए गए अवयव अलग से नहीं गिने जाते। चरण 2: (B) के अलग अवयव (2,4,6) हैं, इसलिए (n(B)=3)। चरण 3: गिनती से पहले दोहराव हटाना अच्छी आदत है।
\(\varnothing\) is the standard symbol for the empty set, while ({0}) contains (0) as an element.
Step 3
Exam Tip
Never treat \(\varnothing\) and ({0}) as the same. चरण 1: खाली समुच्चय में कोई भी अवयव नहीं होता। चरण 2: \(\varnothing\) खाली समुच्चय का मानक चिह्न है, जबकि ({0}) में (0) अवयव के रूप में मौजूद है। चरण 3: \(\varnothing\) और ({0}) को कभी एक जैसा न मानें।
An empty set has no element, so the number is (0).
Step 3
Exam Tip
The cardinality of the empty set is always (0). चरण 1: (n(C)) अवयवों की संख्या बताता है। चरण 2: खाली समुच्चय में कोई अवयव नहीं है, इसलिए संख्या (0) है। चरण 3: खाली समुच्चय की अवयव संख्या हमेशा (0) होती है।
Only distinct letters occurring in the word become elements of the set.
Step 2
Why this answer is correct
(M,A,T,H,E,I,C,S) are the distinct letters; repeated letters are not written again.
Step 3
Exam Tip
In letter sets, remove repetition. चरण 1: शब्द में आने वाले अलग-अलग अक्षर ही समुच्चय के अवयव बनेंगे। चरण 2: (M,A,T,H,E,I,C,S) अलग अक्षर हैं; दोहराए गए अक्षर फिर से नहीं लिखे जाते। चरण 3: अक्षरों के समुच्चय में दोहराव हटाना जरूरी है।
Carefully note the difference between (<) and \(\leq\). चरण 1: (x<6) का अर्थ है (6) से छोटी संख्या। चरण 2: \(E=\{1,2,3,4,5\}\), इसलिए (6) इसमें शामिल नहीं है। चरण 3: (<) और \(\leq\) के अंतर को ध्यान से देखें।
A. \((F={x:x\) is a whole number and \(x<5})\)/Whole numbers less than (5)
Step 1
Concept
Whole numbers are \(0,1,2,3,\dots\).
Step 2
Why this answer is correct
Whole numbers less than (5) are (0,1,2,3,4).
Step 3
Exam Tip
When (0) is included, note the difference between natural and whole numbers. चरण 1: पूर्ण संख्याएँ \(0,1,2,3,\dots\) होती हैं। चरण 2: (5) से छोटी पूर्ण संख्याएँ (0,1,2,3,4) हैं। चरण 3: (0) शामिल हो तो प्राकृतिक और पूर्ण संख्या का अंतर ध्यान रखें।
Therefore, this set is finite and also well-defined.
Step 3
Exam Tip
In real-life examples, if the count is limited, think of a finite set. चरण 1: (31) दिनों वाले महीनों की संख्या सीमित है। चरण 2: इसलिए ऐसे महीनों का समुच्चय परिमित है और स्पष्ट रूप से परिभाषित भी है। चरण 3: वास्तविक उदाहरणों में संख्या सीमित हो तो परिमित समुच्चय सोचें।
Factors of (12) are natural numbers that divide (12) exactly.
Step 2
Why this answer is correct
They are (1,2,3,4,6,12).
Step 3
Exam Tip
While finding factors, check divisibility and do not list multiples. चरण 1: (12) के गुणनखंड वे प्राकृतिक संख्याएँ हैं जो (12) को पूरा विभाजित करती हैं। चरण 2: ये (1,2,3,4,6,12) हैं। चरण 3: गुणनखंड निकालते समय विभाज्यता जाँचें, गुणज न लिखें।
Negative integers greater than (-4) are (-3,-2,-1).
Step 3
Exam Tip
In (x>-4), (-4) is not included. चरण 1: ऋणात्मक पूर्णांक (0) से छोटे पूर्णांक होते हैं। चरण 2: (-4) से बड़े ऋणात्मक पूर्णांक (-3,-2,-1) हैं। चरण 3: (x>-4) में (-4) शामिल नहीं होता।
A. क्योंकि (2) प्राकृतिक संख्या है और \(2\leq 3\)/Because (2) is natural and \(2\leq 3\)
Step 1
Concept
(J) contains numbers that are natural and not greater than (3).
Step 2
Why this answer is correct
(2) is a natural number and \(2\leq 3\) is true.
Step 3
Exam Tip
To prove membership, show that all given conditions are satisfied. चरण 1: (J) में वही संख्या आएगी जो प्राकृतिक हो और (3) से बड़ी न हो। चरण 2: (2) प्राकृतिक संख्या है और \(2\leq 3\) भी सत्य है। चरण 3: सदस्यता सिद्ध करने के लिए सभी दी गई शर्तें पूरी दिखाएँ।
In (x<4), (4) is not included. चरण 1: प्राकृतिक संख्याएँ (1) से शुरू होती हैं। चरण 2: (4) से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ (1,2,3) हैं। चरण 3: (x<4) में (4) शामिल नहीं होगा।
A. (12) से छोटी अभाज्य संख्याएँ/Prime numbers less than (12)
Step 1
Concept
(2,3,5,7,11) are all prime numbers.
Step 2
Why this answer is correct
They are all less than (12), and all primes in this range are included.
Step 3
Exam Tip
While describing a set, no correct element should be missed. चरण 1: (2,3,5,7,11) सभी अभाज्य संख्याएँ हैं। चरण 2: ये सभी (12) से छोटी हैं और इस सीमा में सभी अभाज्य संख्याएँ शामिल हैं। चरण 3: वर्णन करते समय कोई सही अवयव छूटना नहीं चाहिए।
(0<x<5) means a number greater than (0) and less than (5).
Step 2
Why this answer is correct
The integer values are (1,2,3,4).
Step 3
Exam Tip
With strict inequality (<), endpoints are not included. चरण 1: (0<x<5) का अर्थ है (0) से बड़ी और (5) से छोटी संख्या। चरण 2: ऐसी पूर्णांक संख्याएँ (1,2,3,4) हैं। चरण 3: कड़े असमानता चिह्न (<) में किनारे शामिल नहीं होते।
Since \(\leq 24\) is used, include (24). चरण 1: (6) के गुणज \(6,12,18,24,\dots\) होते हैं। चरण 2: (24) तक के गुणज (6,12,18,24) हैं। चरण 3: \(\leq 24\) होने पर (24) को शामिल करें।
In digit-based questions, do not include numbers beyond (9). चरण 1: अंक (0) से (9) तक होते हैं। चरण 2: इन अंकों में विषम अंक (1,3,5,7,9) हैं। चरण 3: अंक वाले प्रश्न में (9) से आगे की संख्या शामिल न करें।
Therefore, \(a \in P\) is correct and (d) is not in it.
Step 3
Exam Tip
Use the membership symbol between an element and a set. चरण 1: (a,b,c) समुच्चय (P) के अवयव हैं। चरण 2: इसलिए \(a \in P\) सही है और (d) इसमें नहीं है। चरण 3: सदस्यता चिह्न का प्रयोग अवयव और समुच्चय के बीच करें।
\(1^2=1\), \(2^2=4\), \(3^2=9\), and \(4^2=16\); so \(x^2<10\) gives (1,2,3).
Step 3
Exam Tip
In square conditions, test the square, not only the number. चरण 1: प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग देखें। चरण 2: \(1^2=1\), \(2^2=4\), \(3^2=9\), और \(4^2=16\); इसलिए \(x^2<10\) के लिए (1,2,3) मिलते हैं। चरण 3: वर्ग वाली शर्त में संख्या नहीं, उसका वर्ग जाँचें।
The integer solutions of \(x^2=4\) are (x=2) and (x=-2).
Step 2
Why this answer is correct
Both are integers, so both are included in the set.
Step 3
Exam Tip
In square equations, check both positive and negative possibilities. चरण 1: \(x^2=4\) के दो पूर्णांक हल (x=2) और (x=-2) हैं। चरण 2: दोनों पूर्णांक हैं, इसलिए दोनों समुच्चय में आएँगे। चरण 3: वर्ग समीकरण में धनात्मक और ऋणात्मक दोनों संभावनाएँ जाँचें।
