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डी मॉर्गन से (A'\cap B'=\(A\cup B\)') है। (n\(A\cup B\)=12+8-4=16), इसलिए पूरक में (96-16=80) सदस्य हैं। / By De Morgan's law, (A'\cap B'=\(A\cup B\)'). Since (n\(A\cup B\)=12+8-4=16), the complement has (96-16=80) elements.
समावेशन-बहिष्करण से (n\(A\cup B\cup C\)=15+8+6-1-3-2+1=24) है। इसलिए पूरक में (120-24=96) सदस्य होंगे। / By inclusion-exclusion, (n\(A\cup B\cup C\)=15+8+6-1-3-2+1=24). Therefore the complement has (120-24=96) elements.
असमानता से \(3\le x\le 6\) मिलता है, इसलिए (A) में (4) सदस्य हैं। (U) में (25) सदस्य हैं, अतः (n(A')=25-4=21) नहीं बल्कि (21) होता है। / The inequality gives \(3\le x\le 6\), so (A) has (4) elements. Since (U) has (25) elements, (n(A')=25-4=21).
यहाँ (A=[-5,2]) और (B=(-2,4)) है, इसलिए \(A'\cap B=(2,4)\) होगा। इसका पूरक (\(-\infty,2]\cup[4,\infty\)) है। / Here (A=[-5,2]) and (B=(-2,4)), so \(A'\cap B=(2,4)\). Its complement is (\(-\infty,2]\cup[4,\infty\)).
(-5) (A) में नहीं है, (1) और (4) (A) में हैं, और (9) (A) में नहीं है। सिरों को देखकर पूरक ([-5,1)\cup(4,9]) होगा। / The point (-5) is not in (A), (1) and (4) are in (A), and (9) is not in (A). Checking endpoints gives ([-5,1)\cup(4,9]).
पूरक लेने पर समावेशन की दिशा उलट जाती है। इसलिए \(A\subseteq B\subseteq C\) से \(C'\subseteq B'\subseteq A'\) मिलता है। / Taking complements reverses inclusion. Hence \(A\subseteq B\subseteq C\) gives \(C'\subseteq B'\subseteq A'\).
(A-B) में (3) के वे गुणज हैं जो (7) से विभाज्य नहीं हैं, उनकी संख्या (14-2=12) है। इसलिए (n((A-B)')=42-12=30) नहीं बल्कि (30) होता है। / (A-B) contains multiples of (3) that are not divisible by (7), and their count is (14-2=12). Therefore (n((A-B)')=42-12=30).
\(A\cap B\) में (\operatorname{lcm}(5,8)=40) के गुणज आएंगे। (40) तक केवल (1) ऐसा सदस्य है, इसलिए पूरक (39) है। / \(A\cap B\) contains multiples of (\operatorname{lcm}(5,8)=40). Up to (40), there is only (1) such element, so the complement is (39).
पहले \(A\cup B={a,b,c,e,f,i}\) बनाएं। इसे (U) से हटाने पर ({d,g}) मिलता है। / First form \(A\cup B={a,b,c,e,f,i}\). Removing it from (U) gives ({d,g}).
\(|x+1|\ge 4\) का हल \(x\le -5\) या \(x\ge 3\) है। इसलिए इसका पूरक (-5<x<3) है। / The solution of \(|x+1|\ge 4\) is \(x\le -5\) or \(x\ge 3\). Hence its complement is (-5<x<3).
(B) की सम संख्याओं में से पूर्ण वर्ग (4) और (16) हटेंगे। इसलिए \(A'\cap B\) में बाकी सम संख्याएं आएंगी। / From the even numbers in (B), the perfect squares (4) and (16) are removed. Therefore \(A'\cap B\) contains the remaining even numbers.
(B) और (B') असंयुक्त होते हैं, इसलिए \(A\cap B\) और \(A\cap B'\) भी असंयुक्त हैं। दो असंयुक्त समान समुच्चय केवल \(\varnothing\) हो सकते हैं, इसलिए \(A=\varnothing\) आवश्यक है। / (B) and (B') are disjoint, so \(A\cap B\) and \(A\cap B'\) are also disjoint. Two equal disjoint sets must be \(\varnothing\), so \(A=\varnothing\) is necessary.
समावेशन-बहिष्करण से (n\(A\cup B\cup C\)=18+12+8-6-2-4+2=28) है। इसलिए पूरक (72-28=44) नहीं बल्कि (44) है। / By inclusion-exclusion, (n\(A\cup B\cup C\)=18+12+8-6-2-4+2=28). Therefore the complement is (72-28=44).
डी मॉर्गन से (A'\cup B'=\(A\cap B\)') है। \(A\cap B=[0,6]\), इसलिए पूरक (\(-\infty,0\)\cup\(6,\infty\)) है। / By De Morgan's law, (A'\cup B'=\(A\cap B\)'). Since \(A\cap B=[0,6]\), the complement is (\(-\infty,0\)\cup\(6,\infty\)).
यदि (A) में अभाज्य नहीं संख्याएं हैं, तो (A') में अभाज्य संख्याएं होंगी। (36) तक अभाज्य संख्याएं (11) हैं। / If (A) contains non-prime numbers, then (A') contains prime numbers. There are (11) primes up to (36).
\(A=\{-3,2,7,12\}\) है, इसलिए (n(A)=4)। (U) में (21) सदस्य हैं, अतः (n(A')=17) है। / \(A=\{-3,2,7,12\}\), so (n(A)=4). Since (U) has (21) elements, (n(A')=17).
(n\(A'\cap B'\)=120+150-210=60) है। क्योंकि (\(A\cup B\)'=A'\cap B'), इसलिए (n\(A\cup B\)=300-60=240) है। / (n\(A'\cap B'\)=120+150-210=60). Since (\(A\cup B\)'=A'\cap B'), (n\(A\cup B\)=300-60=240).
(A') में (13) से (20) तक संख्याएं हैं। इनमें विषम सदस्य ({13,15,17,19}) हैं। / (A') contains numbers from (13) to (20). The odd members among them are ({13,15,17,19}).
\(A\cup B'=U\) का पूरक लेने पर \(A'\cap B=\varnothing\) मिलता है। इसलिए (B) का हर सदस्य (A) में है। / Taking the complement of \(A\cup B'=U\) gives \(A'\cap B=\varnothing\). Therefore every element of (B) is in (A).
असमानता \(x^2+2x-8<0\) का हल (-4<x<2) है। इसलिए पूरक में (\(-\infty,-4]\cup[2,\infty\)) आएगा। / The solution of \(x^2+2x-8<0\) is (-4<x<2). Hence the complement is (\(-\infty,-4]\cup[2,\infty\)).
(64) तक (4) से विभाज्य संख्याएं (16) हैं। इनमें (4,8,16,32,64) (2) की घातें हैं, इसलिए (11) नहीं बल्कि (11) बचते हैं। / There are (16) numbers divisible by (4) up to (64). Among them (4,8,16,32,64) are powers of (2), so (11) remain.
(A') विषम संख्याओं का समुच्चय है और उसमें से (B) के (1,3,5,13) हटेंगे। इसलिए ({7,9,11,15,17}) बचेगा। / (A') is the set of odd numbers, and (1,3,5,13) from (B) are removed. Thus ({7,9,11,15,17}) remains.
(A'\cup B'=\(A\cap B\)') है। \(A\cap B\) में (30) के (3) गुणज हैं, इसलिए पूरक (100-3=97) है। / (A'\cup B'=\(A\cap B\)'). \(A\cap B\) has (3) multiples of (30), so the complement is (100-3=97).
\(A\cap B'\) में विषम लेकिन अभाज्य नहीं संख्याएं आती हैं। (23) अभाज्य है, इसलिए सही समुच्चय ({1,9,15,21}) होना चाहिए। / \(A\cap B'\) contains odd numbers that are not prime. Since (23) is prime, the correct set is ({1,9,15,21}).
ऐसी संख्याएं (2,7,12,17,22,27,32,37,42,47) हैं, यानी (10) सदस्य। इसलिए (n(A')=50-10=40) है। / Such numbers are (2,7,12,17,22,27,32,37,42,47), so there are (10) elements. Hence (n(A')=50-10=40).
(A) में वे पूर्णांक हैं जिनका परिमाण (4) से अधिक है। पूरक में \(|x|\le 4\) वाले पूर्णांक आएंगे। / (A) contains integers whose absolute value is greater than (4). The complement contains integers satisfying \(|x|\le 4\).
(B') सम संख्याओं का समुच्चय है। (5) के गुणजों में सम सदस्य (10,20,30) हैं। / (B') is the set of even numbers. The even multiples of (5) are (10,20,30).
\(A\cup B={1,2,3,4,6,8,9,12,15,16}\) है। (U) से हटाने पर ({5,7,10,11,13,14}) बचता है। / \(A\cup B={1,2,3,4,6,8,9,12,15,16}\). Removing it from (U) leaves ({5,7,10,11,13,14}).
(A'=\(2,\infty\)) और (B'=\(-\infty,-1\)) हैं। इनका कोई समान वास्तविक सदस्य नहीं है। / (A'=\(2,\infty\)) and (B'=\(-\infty,-1\)). They have no common real element.
(A) में (3) के गुणज हैं और (B) में (9) के गुणज हैं। इसलिए \(A\cap B'\) में (3) के वे गुणज हैं जो (9) के गुणज नहीं हैं। / (A) contains multiples of (3) and (B) contains multiples of (9). Thus \(A\cap B'\) contains multiples of (3) that are not multiples of (9).
(A) का कोई सदस्य (B') में नहीं है, इसलिए (A) का हर सदस्य (B) में होगा। अतः \(A\subseteq B\) है। / No element of (A) is in (B'), so every element of (A) must be in (B). Hence \(A\subseteq B\).
(7) के गुणज (7,14,21,28,35,42,49) हैं। इनमें केवल (49) पूर्ण वर्ग है, इसलिए (6) नहीं बल्कि (6) सदस्य (A') में हैं। / The multiples of (7) are (7,14,21,28,35,42,49). Only (49) is a perfect square, so (6) elements are in (A').
(3) (A) में नहीं है और (8) (A) में है। इसलिए पूरक ([3,8)) होगा। / The point (3) is not in (A), while (8) is in (A). Therefore the complement is ([3,8)).
\(A'\cap B'\) वे संख्याएं हैं जो (2) और (3) दोनों से विभाज्य नहीं हैं। (2) या (3) से विभाज्य संख्याएं (40) हैं, इसलिए पूरक (20) है। / \(A'\cap B'\) contains numbers divisible by neither (2) nor (3). Numbers divisible by (2) or (3) are (40), so the complement is (20).
\(A=\{3,4,5,6,7,8\}\) और \(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5\}\) हैं। इसलिए \(A'\cup B'\) में (3,4,5) को छोड़कर सभी सदस्य हैं। / \(A=\{3,4,5,6,7,8\}\) and \(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5\}\). Thus \(A'\cup B'\) contains all elements except (3,4,5).
(45) तक (3) के (15) गुणज हैं। इनमें (9) के (5) गुणज (A) में हैं, इसलिए (15-5=10) बचते हैं। / There are (15) multiples of (3) up to (45). Among them (5) multiples of (9) are in (A), so (15-5=10) remain.
(4) से विभाज्य सभी सदस्य (A') में दिए गए हैं। इसलिए (A) में (4) से विभाज्य कोई सदस्य नहीं है। / All elements divisible by (4) are listed in (A'). Therefore (A) has no element divisible by (4).
तीनों का संघ \({1,2,\ldots,10}\) है। (U) से हटाने पर ({11,12,13,14,15}) बचता है। / The union of the three sets is \({1,2,\ldots,10}\). Removing it from (U) leaves ({11,12,13,14,15}).
(B) में (9,18,27,36,45,54) हैं। इनमें (18,36,54) (6) से विभाज्य हैं, इसलिए \(A'\cap B\) में (9,27,45) यानी (3) सदस्य हैं। / (B) contains (9,18,27,36,45,54). Among them (18,36,54) are divisible by (6), so \(A'\cap B\) has (9,27,45), that is (3) elements.
\(x^2=4\) से (x=-2) या (x=2) मिलता है। इसलिए पूरक \(\mathbb{R}-{-2,2}\) है। / \(x^2=4\) gives (x=-2) or (x=2). Therefore the complement is \(\mathbb{R}-{-2,2}\).
डी मॉर्गन से (A'\cap B'=\(A\cup B\)') है। इसलिए (\(A'\cap B'\)'=A\cup B), जिसकी संख्या (50) है। / By De Morgan's law, (A'\cap B'=\(A\cup B\)'). Hence (\(A'\cap B'\)'=A\cup B), whose cardinality is (50).
A. ({1,2,3,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,17,18,19,20,21,22})
Explanation
Simple Explanation
\(A\cap B\) में सम पूर्ण वर्ग (4) और (16) हैं। इन्हें (U) से हटाने पर पूरक मिलता है। / \(A\cap B\) contains even perfect squares (4) and (16). Removing them from (U) gives the complement.
(A) में (3) के (27) गुणज हैं और (B) में (27) के (3) गुणज हैं। इसलिए \(B'\cap A\) में (27-3=24) सदस्य हैं। / (A) has (27) multiples of (3), and (B) has (3) multiples of (27). Hence \(B'\cap A\) has (27-3=24) elements.
द्वि-पूरक नियम के अनुसार ((A')'=A) होता है। इसलिए उत्तर वही मूल समुच्चय है। / By the double complement law, ((A')'=A). Therefore the answer is the original set itself.
(A'\cap B'=\(A\cup B\)') है। (n\(A\cup B\)=9+5-1=13), इसलिए पूरक (90-13=77) है। / (A'\cap B'=\(A\cup B\)'). Since (n\(A\cup B\)=9+5-1=13), the complement is (90-13=77).
