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सार्वत्रिक समुच्चय \\(\\mathbb{R}\\) के सापेक्ष \\(A'= (0,\\infty)\\) और \\(B'=(-\\infty,2)\\) होंगे। इसलिए \\(A'\\cap B'=(0,\\infty)\\cap(-\\infty,2)=(0,2)\\)। 0, समुच्चय \\(A\\) में शामिल है, इसलिए वह \\(A'\\) में नहीं आ सकता; इसी प्रकार 2, \\(B\\) में शामिल है, इसलिए वह \\(B'\\) में नहीं आ सकता। परीक्षा में पूरक लेते समय समापन बिंदुओं पर खुले और बंद कोष्ठकों पर विशेष ध्यान दें। / With respect to the universal set \\(\\mathbb{R}\\), \\(A'=(0,\\infty)\\) and \\(B'=(-\\infty,2)\\). Hence, \\(A'\\cap B'=(0,\\infty)\\cap(-\\infty,2)=(0,2)\\). The point 0 belongs to \\(A\\), so it cannot belong to \\(A'\\); similarly, 2 belongs to \\(B\\), so it cannot belong to \\(B'\\). Exam tip: carefully check whether each endpoint is included or excluded when taking complements.
पहले \(n(A)=n(U)-n(A')=80-35=45\) और \(n(B)=80-42=38\)। अब \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=45+38-25=58\)। निर्देशानुसार \(A'\cap B'=(A\cup B)'\) (De Morgan), अतः \(n(A'\cap B')=n(U)-n(A\cup B)=80-58=22\)। विकल्प (B)\,18 आम गलत परिकलन से आता है (किसी गणना में 4 कम करना), विकल्प (C)\,25 वास्तविक अभिलाभ (intersection) है न कि बाहर का भाग, और (D)\,12 साधारण अंकगणित त्रुटि है। परीक्षा-टिप: तुरंत \(n(A)=n(U)-n(A')\) और De Morgan का प्रयोग याद रखें ताकि बाह्य भाग = \(n(U)-n(A\cup B)\) से सीधे मिले। / Compute \(n(A)=n(U)-n(A')=80-35=45\) and \(n(B)=80-42=38\). Then \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=45+38-25=58\). By De Morgan \(A'\cap B'=(A\cup B)'\), so \(n(A'\cap B')=n(U)-n(A\cup B)=80-58=22\). Choice B (18) would result from a miscalculation, C (25) is the intersection size not the outside region, and D (12) is an arithmetic error. Exam tip: convert complements with \(n(A')=n(U)-n(A)\) immediately and use De Morgan to find complement regions quickly.
कुल मूल नियम: \(n((A\cup B)^c)=n(U)-n(A\cup B)\)। दिये अनुसार \(n(A\cup B)=125-24=101\)। फिर संघ–कटाव सूत्र लगाते हैं: \(n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)=62+55-101=16\)। विकल्प B (20) अक्सर तब आता है जब \(n(A\cup B)\) गलत माना गया हो; यहाँ संघ का सही मान 101 है, इसलिए 20 गलत है। परीक्षा टिप: पहले पूरक से \(n(A\cup B)\) निकालें, फिर \(n(A)+n(B)-n(A\cup B)\) का प्रयोग करें। / Use the complement relation \(n((A\cup B)^c)=n(U)-n(A\cup B)\). So \(n(A\cup B)=125-24=101\). Then apply the union formula rearranged for intersection: \(n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)=62+55-101=16\). Option B (20) is a common arithmetic/union-mistake if one computes \(n(A\cup B)\) incorrectly; with the correct union 101, 20 is not possible. Exam tip: compute the union from the complement first, then use \(n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)\) to avoid sign errors.
किसी समुह का पूरक \(A^c\) वे तत्व होते हैं जो सार्वभौमिक समुह \(U\) में हैं पर समुह \(A\) में नहीं। यहाँ \(U=\{m,n,o,p,q,r,s,t\}\) और \(A=\{m,o,q,s\}\) है, अतः जो तत्व बचते हैं वे \(n,p,r,t\) हैं। इसलिए \(A^c=\{n,p,r,t\}\)। विकल्प A केवल \(A\) ही है इसलिए गलत; विकल्प C पूरी तरह \(U\) है और विकल्प D शून्य-समुह है — दोनों भी असंगत हैं। परीक्षा टिप: पूरक निकालते समय सीधे \(U\) से \(A\) के तत्व घटाएँ और गुणा-गणना से जांचें (\(|U|=8,|A|=4\) तो \(|A^c|=4\))। / The complement \(A^c\) consists of elements that belong to the universal set \(U\) but not to \(A\). Given \(U=\{m,n,o,p,q,r,s,t\}\) and \(A=\{m,o,q,s\}\), the remaining elements are \(n,p,r,t\). Hence \(A^c=\{n,p,r,t\}\). Option A is just \(A\) itself (not its complement), option C is the whole \(U\) and option D is the empty set — all incorrect. Exam tip: subtract elements of \(A\) from \(U\) and verify by counting (here \(|U|=8,|A|=4\) so \(|A^c|=4\)).
पहले \(n(A\cup B)\) निकालें: \(n(A\cup B)=n(U)-n((A\cup B)^c)=100-18=82\)। संघ का सूत्र उपयोग करें: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। अतः \(n(A\cap B)=48+46-82=12\)। विकल्प 14 गलत है क्योंकि वह मिश्रण (union) को \(80\) मानने पर मिलेगा; वास्तविक \(n(A\cup B)\) = 82 है, इसलिए अन्तर 12 होना चाहिए। परीक्षा टिप: कभी भी \(n((A\cup B)^c)\) दिया हो तो पहले कुल यूनियन निकालें फिर संघ-संबंधित सूत्र लगाएँ। / First find \(n(A\cup B)\): \(n(A\cup B)=n(U)-n((A\cup B)^c)=100-18=82\). Use the union formula \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). So \(n(A\cap B)=48+46-82=12\). Option 14 is wrong because it would correspond to assuming the union is 80 instead of the correct 82. Exam tip: when the complement of a union is given, compute the union from the universal set first, then apply the union formula to get the intersection.
\(B\cap A^c\) का अर्थ है वे तत्त्व जो समूह \(B\) में हैं और साथ ही समूह \(A\) में नहीं हैं। यही परिभाषा सेट अंतर \(B - A\) (या \(B\setminus A\)) की है, इसलिए उत्तर \(B - A\) सही है। विकल्प \(A - B\) उल्टा है (वे तत्त्व जो \(A\) में हैं पर \(B\) में नहीं) इसलिए गलत है। \(A\cap B\) केवल दोनों में होने वाले तत्त्व देता है, और \(B\cup A^c\) बहुत बड़ा सेट देगा — दोनों ही गलत भिन्नताएँ हैं। परीक्षा-टिप: वेन आरेख पर क्षेत्र को शेड करके याद करें कि "\(\cap A^c\)" का मतलब है "\(A\) के बाहर"। / \(B\cap A^c\) means the elements that are in \(B\) and not in \(A\). That is exactly the set difference \(B - A\) (also written \(B\setminus A\)), so option B is correct. Option A, \(A - B\), is the opposite (elements in \(A\) but not in \(B\)), so it is incorrect. \(A\cap B\) gives only elements common to both, and \(B\cup A^c\) is a much larger set; both do not match the required definition. Exam tip: shade the region for \(B\) then remove the overlap with \(A\) to visualize \(B\cap A^c\).
जो क्षेत्र न A में है न B में है वह \((A\cup B)'\) है। सार्वभौमिक सेट में कुल अवयव \(n(U)=92\) हैं और \(A\cup B\) में \(67\) अवयव हैं। इसलिए
\(n((A\cup B)')=n(U)-n(A\cup B)=92-67=25\).
नज़दीकी विक्षेपक (67) गलत है क्योंकि वह यूनियन का मान है, न कि यूनियन के बहिष्कृत क्षेत्र का। परीक्षा सुझाव: किसी भी बार आपसे "neither...nor" पूछा जाए तो उसे \((A\cup B)'\) के रूप में लिखें और कुल से यूनियन घटा दें। / The region neither in A nor in B is \((A\cup B)'\). The universal set has \(n(U)=92\) elements and \(A\cup B\) has 67 elements. Hence
\(n((A\cup B)')=n(U)-n(A\cup B)=92-67=25\).
The closest distractor 67 is incorrect because it gives the size of \(A\cup B\), not its complement. Exam tip: translate "neither...nor" to \((A\cup B)'\) and subtract from the universal total.
'केवल \(B\)' का अर्थ है वह भाग जो \(B\) में है पर \(A\) में नहीं है। इसे सेट-समिकरण में लिखने का मानक रूप \(A' \cap B\) है (यह वही है जो \(B - A\) भी दर्शाता है)। इसलिए विकल्प C सही है।
नज़दीकी चुनौतियाँ: विकल्प A (\(A - B\)) केवल \(A\) का वह भाग दर्शाता है जो \(B\) में नहीं है — यह 'केवल A' है, इसलिए गलत। विकल्प B (\(A \cap B\)) दोनों सेटों का साझा भाग है, न कि केवल \(B\)। विकल्प D (\(A \cup B\)) दोनों में से किसी में भी आने वाले तत्व हैं, जो भी बढ़ा-चढ़ाकर दिखाता है।
परीक्षा टिप: वेंन आरेख पर छायांकन करके देखें — 'केवल B' वह हिस्सा है जो B के अंदर है और A के ओवरलैप के बाहर। इससे तुरंत \(A' \cap B\) पहचान में आ जाता है। / 'Only B' means elements are in \(B\) and not in \(A\). The standard set expression for this is \(A' \cap B\), which is equivalent to \(B - A\). Hence option C is correct.
Why other options are wrong: Option A (\(A - B\)) represents elements only in \(A\), not in \(B\). Option B (\(A \cap B\)) is the common part of both sets, not 'only B'. Option D (\(A \cup B\)) includes elements of either set, so it is too large.
Exam tip: Shade the Venn diagram — the region inside \(B\) but outside \(A\) clearly shows \(A' \cap B\).
A और B के सम्मिलन का गुणा-फल नियम उपयोग करें: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=20+16-6=30\). यूनिवर्स में कुल \(50\) तत्व हैं, अतः जो न A में हों और न B में हों = \(n(U)-n(A\cup B)=50-30=20\). इसलिए उत्तर 20 है। विकल्प C (30) अक्सर भ्रम पैदा करता है क्योंकि वह A∪B की संख्या है — प्रश्न ने 'neither' (दोनों में नहीं) पूछा है, न कि A∪B. परीक्षा-सुझाव: पहले \(A\cup B\) निकालें, फिर उसे \(U\) से घटाएँ। / Use the inclusion-exclusion formula: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=20+16-6=30\). Since the universal set has 50 elements, the number in neither A nor B = \(n(U)-n(A\cup B)=50-30=20\). Thus 20 is correct. Option C (30) is a common distractor — it equals the size of A∪B, not the size of the complement. Exam tip: compute A∪B first, then subtract from n(U) to get neither.
\((A'\cap B')\) का अर्थ है तत्व जो न तो A में हैं और न ही B में हैं — यानी दोनों सेटों के बाहर का भाग। डी मोर्गन के नियम से यह \((A\cup B)'\) के बराबर है। निकटतम ग़लत विकल्प \((A\cap B)\) उस क्षेत्र को दर्शाता है जहाँ तत्व दोनों A और B में मौजूद होते हैं, जो बिल्कुल विपरीत है। परीक्षा टिप: आरेख पर दोनों वृत्तों के बाहर का भाग शेड करके दिखाएँ — इससे गलती की संभावना कम होती है। / \((A'\cap B')\) denotes elements that are not in A and not in B, i.e. the region outside both circles. By De Morgan's law it equals \((A\cup B)'.\) The closest distractor, \((A\cap B)\), represents elements common to A and B (inside both circles), which is the opposite region. Exam tip: shade the outside area of both circles on the Venn diagram to identify this region quickly.
पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) में तत्वों की संख्या \(2^n\) होती है यदि A में n तत्व हों। A का पूरक A' में कुल तत्व \(|U|-n = 12-n\) होंगे, अतः \(|\mathcal{P}(A')| = 2^{12-n}\). दिया गया है \(2^n = 2^{12-n}\)। आधार समान होने पर सूचक बराबर होते हैं, इसलिए \(n = 12 - n\) और \(n = 6\)। निकटतम भ्रमित विकल्प: B (5) पर विचार करने से पता चलता है कि \(2^5=32\) जबकि \(2^{12-5}=2^7=128\), अतः वह सही नहीं है। परीक्षा-सुझाव: पूरक का आकार \(|U|-n\) और पावर-सेट का आकार \(2^{(\cdot)}\) याद रखें — समान आधार मिलने पर सीधे एक्सपोनेंट बराबर करें। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) has \(2^n\) elements when A has n elements. The complement A' has \(|U|-n = 12-n\) elements, so \(|\mathcal{P}(A')| = 2^{12-n}\). Given \(2^n = 2^{12-n}\), with equal bases the exponents must be equal, hence \(n = 12 - n\) and \(n = 6\). Closest distractor check: option B (5) fails because \(2^5=32\) while \(2^{12-5}=2^7=128\). Exam tip: compute complement size as \(|U|-n\) first and then equate exponents when the bases are identical.
कोर विचार: सेटों के पूरक और दे-मॉर्गन नियम का उपयोग करें। \(A=U\setminus A'\) और \(B=U\setminus B'\) होने से \(A\cap B=(A'\cup B')'\)। यहां \(A'\cup B'=\{1,2,4,7,8\}\) और उसका पूरक (यूनिवर्सल सेट के सन्दर्भ में) \(\{3,5,6\}\) होता है। इसलिए सही उत्तर \(\{3,5,6\}\) है। निकटतम भ्रामक विकल्प: विकल्प D \(\{2,3,5,6,8\}\) असल में सिर्फ \(A\) है (कहा गया \(A'=\{1,4,7\}\) से निकला), पर \(A\cap B\) में वे सदस्य नहीं आते जो केवल \(A\) में हों जैसे 2 और 8 — इसलिए D गलत है। परीक्षा टिप: जब पूरक दिए हों तो सीधे दोनों पूरकों का संघ लेकर उसका पूरक लेना अक्सर तेज और कम त्रुटिपूर्ण होता है। / Core idea: use complements and De Morgan's law. Since \(A=U\setminus A'\) and \(B=U\setminus B'\), we have \(A\cap B=(A'\cup B')'\). Here \(A'\cup B'=\{1,2,4,7,8\}\), and its complement (w.r.t. \(U\)) is \(\{3,5,6\}\). Thus the correct answer is \(\{3,5,6\}\). Closest distractor: option D \(\{2,3,5,6,8\}\) equals \(A\), not the intersection — elements 2 and 8 are not in \(B\), so they must be excluded. Exam tip: convert complements to original sets or apply De Morgan's law directly to avoid element-by-element checking.
सबसे पहले पूरक निकालें (पूरक सन्दर्भ सार्वभौमिक सेट \(U\) के सापेक्ष होते हैं)। \(A'=U\setminus A=\{5,6,7,8\}\) और \(B'=U\setminus B=\{1,2,7,8\}\). अब उनका संघ लें: \(A'\cup B'=\{1,2,5,6,7,8\}\). नोट: विकल्प (D) actually \(A\cup B\) है, विकल्प (B) \(A\cap B\) है और (C) केवल \(U\setminus(A\cup B)\) है. परीक्षा टिप: पूरक पहले निकालें, फिर आवश्यक संचिय क्रिया (संघ/छेद/भिन्न) लागू करें — यह गलतियाँ कम करता है। / Compute complements with respect to the universal set first. \(A'=U\setminus A=\{5,6,7,8\}\) and \(B'=U\setminus B=\{1,2,7,8\}\). Their union is \(A'\cup B'=\{1,2,5,6,7,8\}\), so option A is correct. For clarity, option D equals \(A\cup B\), option B equals \(A\cap B\), and option C equals \(U\setminus(A\cup B)\). Exam tip: when complements are involved, find each complement first, then apply union/intersection to avoid sign errors.
यहाँ \(A'\) यूनिवर्सल सेट \(U\) का पूरक नहीं है, बल्कि \(A'\) वही उपसमुच्चय है जो \(A\) में नहीं है। इसलिए \(A\) को खोजने के लिए हम \(U\) में से \(A'\) के तत्व निकाल देंगे: \(A=U\setminus A'=\{a,b,c,d,e,f\}\setminus\{b,d,f\}=\{a,c,e\}\)। विकल्प B केवल \(A'\) है (गलत), C पूरा यूनिवर्सल सेट है (गलत), D खाली सेट असंगत है क्योंकि \(U\) में कुछ तत्व \(A\) में होंगे। परीक्षा टिप: किसी भी सेट के पूरक के लिए हमेशा यूनिवर्सल सेट से दिए गए उपसमुच्चय के तत्व घटाएँ। / Here \(A'\) denotes the complement of \(A\) relative to the universal set \(U\), so \(A\) is the set of elements in \(U\) that are not in \(A'\). Compute \(A=U\setminus A' = \{a,b,c,d,e,f\}\setminus\{b,d,f\} = \{a,c,e\}\). Option B is just \(A'\) itself (wrong), C is the whole universal set (wrong), and D is empty (impossible here since some elements remain). Exam tip: To find a complement, remove the complement-set's elements from the universal set; list elements to avoid mistakes.
पहला तरीका — समुच्चयों को जोड़ें: \(A\cup B=\{2,3,4,6,8,9,10,12\}\) जिसमें 8 तत्व हैं। सार्वभौमिक समुच्चय में कुल 12 तत्व हैं, अतः पूरक में \(12-8=4\) तत्व होंगे: \(\{1,5,7,11\}\). वैकल्पिक रूप से, समावेशन–अपवर्जन से: \(n(A)=6,\;n(B)=4,\;n(A\cap B)=2\Rightarrow n(A\cup B)=6+4-2=8\). नज़दीकी विकर्षक (5) तब गलत होता है जब गणना में संघ की संख्या 7 मान ली जाए — यह समान्य गणना गलती है। परीक्षा संकेत: तेज़ी से सूची बना लें या inclusion–exclusion सूत्र लगाएँ ताकि गिनती में त्रुटि न हो। / Compute the union and subtract from the universal set: \(A\cup B=\{2,3,4,6,8,9,10,12\}\) has 8 elements, so its complement in \(U\) has \(12-8=4\) elements, namely \(\{1,5,7,11\}\). Using inclusion–exclusion: \(n(A)=6,\;n(B)=4,\;n(A\cap B)=2\Rightarrow n(A\cup B)=6+4-2=8\). The closest wrong option (5) would result from miscounting the union as 7. Exam tip: either list the union explicitly or use inclusion–exclusion to avoid off-by-one mistakes.
B = A' है, अतः B' = (A')' होता है। किसी सेट का दो बार संबंधित पूर्णपूरक (double complement) मूल सेट देता है: (A')' = A। इसलिए B' = A = {2,5,7}। सबसे भ्रमित करने वाला विकल्प {1,3,4,6} वास्तव में A का पूर्णपूरक (यानी B) है, न कि B'। परीक्षा टिप: पूर्णपूरक का दोहरा लागू करने पर मूल सेट ही मिलता है — यह अक्सर त्वरित उत्तर के लिए उपयोगी है। / Since B = A', we have B' = (A')'. By the double-complement law (the complement of the complement is the original set), (A')' = A. Therefore B' = A = {2,5,7}. The tempting distractor {1,3,4,6} is A's complement (B itself), not B'. Exam tip: use (A')' = A to find complements quickly under a given universal set.
किसी समुच्चय का पूरक उसके सार्वभौमिक समुच्चय के सापेक्ष लिया जाता है। यहाँ \(A'=U\setminus A=\{4,6,8\}\)। फिर \((A')'=U\setminus(A')=U\setminus\{4,6,8\}=\{2,10\}\), जो मूल समुच्चय \(A\) के बराबर है। ध्यान दें कि विकल्प B केवल \(A'\) है न कि \((A')'\), और विकल्प C पूरा सार्वभौमिक समुच्चय है जो गलत होगा। परीक्षा टिप: दोहरी पूरक का नियम याद रखें: \((A')'=A\) या चरण-दर-चरण पूरक निकालकर जाँच करें। / Complement is taken with respect to the universal set. Here \(A'=U\setminus A=\{4,6,8\}\). Then \((A')'=U\setminus(A')=U\setminus\{4,6,8\}=\{2,10\}\), which equals the original set \(A\). Note that option B equals \(A'\) (the single complement), not the double complement, and option C is the entire universal set which is incorrect. Exam tip: use the identity \((A')'=A\) or compute complements stepwise to avoid mistakes.
