Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(A) और (A') मिलकर पूरा (U) बनाते हैं तथा उनका साझा भाग रिक्त होता है। यह पूरक की जोड़ी पहचान है। / (A) and (A') together make the whole (U), and their common part is empty. This is the paired identity of complement.
यह प्रतिच्छेद का संघ पर वितरण है। पहचान वाले प्रश्नों में प्रतीकों की स्थिति ध्यान से देखें। / This is the distributive law of intersection over union. In identity questions, observe the position of symbols carefully.
केवल गणित पढ़ने वाले = कुल गणित वाले − दोनों वाले = \(40-18=22\)। विकल्प B (16) गलत है क्योंकि वह केवल विज्ञान का गणित है: \(34-18=16\)। विकल्प C (56) गलत है; यह दोनों विषयों को मिलाकर कम से कम एक विषय पढ़ने वालों की संख्या है: \(40+34-18=56\)। विकल्प D (74) भी गलत है; यह बिना ओवरलैप घटाए दोनों समूहों का सीधा योग है: \(40+34=74\)। परीक्षा टिप: “केवल” पूछे जाने पर हमेशा उस समूह से दोनों (intersection) को घटाएँ; यूनियन के लिए नियम है \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)。 / Only mathematics = total mathematics − both = \(40-18=22\). Option B (16) is incorrect because it equals only science: \(34-18=16\). Option C (56) is incorrect; it gives the number studying at least one subject: \(40+34-18=56\). Option D (74) is simply the sum without removing overlap: \(40+34=74\). Exam tip: For “only” questions subtract the intersection; for union use \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\).
पहला कदम \(B\cup C\) निकालना है: \(B\cup C=\{s,u,v,w\}\). अब \(A\) का इस यूनियन के साथ समापवर्त् (intersection) लें: \(A\cap(B\cup C)=\{r,s,t,u\}\cap\{s,u,v,w\}=\{s,u\}\). विकल्प C गलत है क्योंकि \(v\) \(A\) में नहीं है; विकल्प B गलत है क्योंकि \(r\) और \(t\) \(B\cup C\) में नहीं हैं; विकल्प D सभी तत्वों का यूनियन है, पर यह दोनों में सामान्य नहीं है. परीक्षा टिप: पहले \(\cup\) (union) कर लें और फिर \(\cap\) (intersection) करें — यह क्रम अक्सर त्रुटियाँ कम करता है। / Compute \(B\cup C\) first: \(B\cup C=\{s,u,v,w\}\). Then intersect with \(A\): \(A\cap(B\cup C)=\{r,s,t,u\}\cap\{s,u,v,w\}=\{s,u\}\). Option C is wrong because \(v\) is not in \(A\); option B is wrong because \(r\) and \(t\) are not in \(B\cup C\); option D is the full union, not the intersection. Exam tip: do union first, then intersection or use a Venn diagram to avoid missing common elements.
दोनों स्थितियां बताती हैं कि (B) के सभी अवयव (A) में हैं। इसलिए \(B\subseteq A\) सही है। / Both conditions show that every element of (B) is in (A). Therefore \(B\subseteq A\) is correct.
केवल चाय = कुल चाय पसंद करने वालों − दोनों पसंद करने वालों। इसलिए केवल चाय = 45 − 20 = 25। विकल्प B (18) केवल कॉफी (38−20) का मान है, इसलिए गलत है। विकल्प C (63) उन लोगों की संख्या है जो कम-से-कम एक पेय पसंद करते हैं (45+38−20), और D (83) मात्र 45+38 है जिसका यहाँ अर्थ नहीं बनता। परीक्षा टिप: Venn आरेख बनाकर 'केवल' क्षेत्र स्पष्ट करें और सिर्फ संबंधित सेट से संयुक्त हिस्से घटाएँ। / Only tea = number who like tea − number who like both. So only tea = 45 − 20 = 25. Option B (18) equals only-coffee (38−20), so it's not the answer. Option C (63) gives those who like at least one beverage (45+38−20), and D (83) is simply 45+38 which is not meaningful here. Exam tip: draw a Venn diagram and subtract the intersection from the relevant set to find the "only" region quickly.
एक पुस्तकालय में 35 विद्यार्थी कहानी की किताबें पढ़ते हैं, 20 विद्यार्थी कविता की किताबें पढ़ते हैं और 45 विद्यार्थी कम से कम एक प्रकार की किताब पढ़ते हैं। दोनों प्रकार की किताबें पढ़ने वाले कितने विद्यार्थी हैं?
सेट के मूल सूत्र से \(n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)\)। यहाँ \(n(A)=35,\; n(B)=20,\; n(A\cup B)=45\)। अत: \(n(A\cap B)=35+20-45=10\)। विकल्प 5 और 15 गलत हैं क्योंकि वे उपर्युक्त सूत्र के भिन्न (गलत) मान दर्शाते; 55 भी संभव नहीं क्योंकि वह केवल तब होगा जब कोई ओवरलैप न हो (लेकिन.union दी गई है)। परीक्षा सुझाव: "कम से कम एक" को हमेशा \(n(A\cup B)\) समझें और ऊपर का सूत्र याद रखें। / Use the set formula \(n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)\). Here \(n(A)=35, n(B)=20, n(A\cup B)=45\), so \(n(A\cap B)=35+20-45=10\). Options 5 and 15 are incorrect because they correspond to wrong arithmetic for the union value; 55 is impossible unless there is no overlap (which contradicts the given union of 45). Exam tip: interpret "at least one" as \(n(A\cup B)\) and apply the formula directly.
जब \(A\subseteq B\), तब मिलाकर (B) और साझा भाग (A) होता है। उपसमुच्चय वाले वेन आरेख में यह तुरंत दिखता है। / When \(A\subseteq B\), the union is (B) and the common part is (A). This is immediate from the subset Venn diagram.
कुल मूल नियम: \(n((A\cup B)^c)=n(U)-n(A\cup B)\)। दिये अनुसार \(n(A\cup B)=125-24=101\)। फिर संघ–कटाव सूत्र लगाते हैं: \(n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)=62+55-101=16\)। विकल्प B (20) अक्सर तब आता है जब \(n(A\cup B)\) गलत माना गया हो; यहाँ संघ का सही मान 101 है, इसलिए 20 गलत है। परीक्षा टिप: पहले पूरक से \(n(A\cup B)\) निकालें, फिर \(n(A)+n(B)-n(A\cup B)\) का प्रयोग करें। / Use the complement relation \(n((A\cup B)^c)=n(U)-n(A\cup B)\). So \(n(A\cup B)=125-24=101\). Then apply the union formula rearranged for intersection: \(n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)=62+55-101=16\). Option B (20) is a common arithmetic/union-mistake if one computes \(n(A\cup B)\) incorrectly; with the correct union 101, 20 is not possible. Exam tip: compute the union from the complement first, then use \(n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)\) to avoid sign errors.
सूट सिद्धांत से \(n(A\cup B)\) के अंदर तीन क्षेत्र होते हैं: \(A-B,\; A\cap B\) और \(B-A\)। इसलिए \(n(A\cup B)=n(A-B)+n(A\cap B)+n(B-A)\)। अब \(n(B-A)=92-35-24=33\)। विकल्प B (59) गलत है क्योंकि वह केवल \(n(A-B)+n(A\cap B)=35+24\) का योग है — यानी union में B−A को शामिल नहीं किया गया। परीक्षा टिप: वैन डायग्राम बनाकर तीन अंतःक्षेत्रों पर संख्या लिखें; फिर कुल संघ से ज्ञात दो भाग घटाएं। / For two sets the union splits into three regions: \(A-B,\; A\cap B\) and \(B-A\). So \(n(A\cup B)=n(A-B)+n(A\cap B)+n(B-A)\). Hence \(n(B-A)=92-35-24=33\). Option B (59) is incorrect because it equals only \(n(A-B)+n(A\cap B)=35+24\), omitting the \(B-A\) part. Exam tip: draw a Venn diagram, label the three regions, and use the union formula to solve quickly.
यह सेट-डिफरेंस की समस्या है: केवल A वाले तत्व खोजने के लिए A से B के सामान्य तत्व हटा दें। A और B के सामान्य तत्व 5 और 7 हैं, उन्हें निकालने पर बचता है {1,3,9}। विकल्प B ({5,7}) A∩B है — यह केवल A नहीं है; विकल्प C और D क्रमशः केवल B का तत्व और A∪B हैं, इसलिए गलत हैं। परीक्षा टिप: केवल A के लिए हमेशा A−B लें यानी A में से B के सभी तत्व हटाएँ। / This is a set-difference question: to get elements only in A remove the common elements of B from A. The common elements are 5 and 7; removing them leaves {1,3,9}. Option B ({5,7}) is A∩B (the intersection), not A−B; option C is an element only of B, and option D is A∪B (the union). Exam tip: compute A−B directly — cross out elements that appear in B from A.
समूहों का संघ-इकाई सूत्र है \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। दिया गया है \(69=n(A\cup B)=42+n(B)-18\)। इसे हल करने पर \(n(B)=69-42+18=45\) मिलता है। विकल्प A (27) तब आता है जब कोई \(n(A\cap B)\) को भूलकर सिर्फ \(69-42\) कर दे। विकल्प C और D स्पष्ट रूप से गलत हैं क्योंकि वे सूत्र का गलत उपयोग दर्शाते हैं। परीक्षा टिप: संघ के सूत्र को याद रखें और अज्ञात को अलग करते समय अंक सही चिन्हों के साथ जोड़ें/घटाएँ। / Use the union formula \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Substitute the given values: \(69=42+n(B)-18\). Solving gives \(n(B)=69-42+18=45\). Option A (27) is a common mistake from doing \(69-42\) and forgetting to add back the intersection. Options C and D result from incorrect application of the formula. Exam tip: always write the union formula first and then isolate the unknown, taking care with the signs for the intersection term.
\((A'\cap B')\) का अर्थ है तत्व जो न तो A में हैं और न ही B में हैं — यानी दोनों सेटों के बाहर का भाग। डी मोर्गन के नियम से यह \((A\cup B)'\) के बराबर है। निकटतम ग़लत विकल्प \((A\cap B)\) उस क्षेत्र को दर्शाता है जहाँ तत्व दोनों A और B में मौजूद होते हैं, जो बिल्कुल विपरीत है। परीक्षा टिप: आरेख पर दोनों वृत्तों के बाहर का भाग शेड करके दिखाएँ — इससे गलती की संभावना कम होती है। / \((A'\cap B')\) denotes elements that are not in A and not in B, i.e. the region outside both circles. By De Morgan's law it equals \((A\cup B)'.\) The closest distractor, \((A\cap B)\), represents elements common to A and B (inside both circles), which is the opposite region. Exam tip: shade the outside area of both circles on the Venn diagram to identify this region quickly.
