Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पहले \(U=\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\) होते हैं। शर्त \(x^2<4\) से केवल \(-1,0,1\) तत्व सच में आते हैं, इसलिए \(A=\{-1,0,1\}\) और \(n(A)=3\)। समष्टि में कुल \(n(U)=8\) हैं, अतः \(n(A')=n(U)-n(A)=8-3=5\)। विकल्प B (4) अक्सर गलत गिनती का परिणाम है — किसी एक तत्व को छोड़ देना या शून्य को निकाल देना—इसलिए वह गलत है। परीक्षा-सूत्र: पहले सेटों के तत्व लिख लें या सीधे \(n(A')=n(U)-n(A)\) उपयोग करें। / List elements: \(U=\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\). The condition \(x^2<4\) holds only for \(-1,0,1\), so \(A=\{-1,0,1\}\) and \(n(A)=3\). Since \(n(U)=8\), the complement has \(n(A')=n(U)-n(A)=8-3=5\). Option B (4) is a common miscount — typically one element is mistakenly omitted (often 0 or an end-point). Exam tip: explicitly list small finite sets or use the formula \(n(A')=n(U)-n(A)\).
चूँकि \(A=\{a,c,e\}\) और \(B=\{b,c,d\}\), इसलिए \(A\cup B=\{a,b,c,d,e\}\), जो कि दिया गया यूनिवर्सल सेट \(U\) के बराबर है। किसी समुच्चय का पूरक (कॉम्प्लीमेंट) यूनिवर्सल सेट के सन्दर्भ में उस समुच्चय को हटाने पर बचा हुआ भाग होता है: \((A\cup B)'=U\setminus(A\cup B)=U\setminus U=\emptyset\)। सबसे निकट भ्रामक विकल्प \(\{a,b,d,e\}\) इसलिए गलत है क्योंकि वह \(c\) को छोड़ देता है, जबकि \(A\cup B\) में \(c\) भी शामिल है। परीक्षात्मक टिप: पहले Union निकालकर जाँचें कि क्या वह यूनिवर्सल सेट के बराबर हो; अगर हाँ, तो पूरक हमेशा खाली समुच्चय होगा। / Since \(A=\{a,c,e\}\) and \(B=\{b,c,d\}\), we have \(A\cup B=\{a,b,c,d,e\}\), which equals the universal set \(U\). The complement is taken relative to \(U\): \((A\cup B)'=U\setminus(A\cup B)=U\setminus U=\emptyset\). The closest distractor \(\{a,b,d,e\}\) is incorrect because it omits \(c\), but \(c\) is present in \(A\cup B\). Exam tip: compute the union first and check whether it equals the universal set—if so, the complement is \(\emptyset\).
प्रमुख सूत्र: \( |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \). अतः \( |A \cup B| = 12 + 9 - 5 = 16 \). सार्वभौमिक समुच्चय का पूरक होगा \( |(A \cup B)'| = |U| - |A \cup B| = 20 - 16 = 4 \), इसलिए विकल्प B सही है। नज़दीकी भ्रामक विकल्प C (5) तब बन सकता है जब कोई छात्र ओवरलैप की गिनती गलत कर दे और यूनियन को 15 मान ले — जिससे 20−15 = 5 आ जाता है। परीक्सा सुझाव: प्रश्न देखते ही एक साधारण वेन आरेख बनाएं और inclusion–exclusion सूत्र लागू कर के गिनती की पुष्टि करें। / Use the inclusion–exclusion formula: \( |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \). So \( |A \cup B| = 12 + 9 - 5 = 16 \). The complement has size \( |(A \cup B)'| = |U| - |A \cup B| = 20 - 16 = 4 \), hence option B is correct. The closest distractor C (5) typically arises from miscounting the overlap and getting the union as 15, then computing 20−15 = 5. Exam tip: draw a quick Venn diagram and apply inclusion–exclusion to avoid overlap-counting mistakes.
पूरक की परिभाषा के अनुसार \(A'=U\setminus A=\{2,4,6,8\}\). किसी समुच्चय का पुनः पूरक लेने पर मूल समुच्चय ही मिलता है, इसलिए \((A')'=A=\{1,3,5,7\}\। विक्षेपक: विकल्प A केवल एक बार का पूरक (\(A'\)) है, विकल्प C और D स्पष्ट रूप से गलत हैं — शून्य समुच्चय या सम्पूर्ण यूनिवर्सल सेट दोनों ही \((A')'\) के रूप में सही नहीं। परीक्षात्मक सुझाव: याद रखें कि दो बार पूरक लेने से समुच्चय वापस मिल जाता है — \((A')'=A\)। / By definition \(A'=U\setminus A=\{2,4,6,8\}\). Taking the complement again returns the original set, so \((A')'=A=\{1,3,5,7\}\). Distractors: option A is the single complement \(A'\), while C (\(\emptyset\)) and D (\(U\)) are not equal to \((A')'\). Exam tip: use the double-complement law \((A')'=A\) to answer such questions quickly.
कोर सिद्धान्त: किसी सेट का पूरक (complement) उस यूनिवर्सल सेट के वे तत्व होते हैं जो मूल सेट में नहीं हैं। यहाँ \(U\) में पूर्णांक 0 से 10 तक हैं। \(A\) उनतरों में सम संख्या हैं: \{0,2,4,6,8,10\}। अतः \(A'\) वे तत्व हैं जो \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं — यानी विषम संख्याएँ \{1,3,5,7,9\}। निकटभ्रामक विकल्प: विकल्प C में 0 शामिल है जबकि 0 \(A\) का घटक है, इसलिए वह गलत है. परीक्षा-टिप: पूरक निकालने से पहले यूनिवर्सल सेट के सभी तत्व लिख लें और फिर दिए गए सेट के तत्व हटा दें। / Core idea: The complement of a set consists of those elements of the universal set that are not in the given set. Here \(U\) contains integers 0 through 10. \(A\) is the even subset \{0,2,4,6,8,10\}. Therefore \(A'\) is the set of elements of \(U\) not in \(A\), i.e. the odd numbers \{1,3,5,7,9\}. Closest distractor: option C wrongly includes 0, but 0 belongs to \(A\), so C is incorrect. Exam tip: always list elements of the universal set first, then remove elements belonging to the given set to get the complement.
किसी समुच्चय और उसके पूरक का योग सैद्धान्तिक रूप से सार्वभौमिक समुच्चय का आकार देता है, अर्थात् \(|A| + |A'| = |U|\)। यहाँ \(|U| = 15\) और \(|A'| = 6\) हैं, अतः \(|A| = 15 - 6 = 9\)। विकल्प (6) गलत है क्योंकि वह \(A'\) का आकार है, और (15) गलत है क्योंकि वह पूरे सार्वभौमिक समुच्चय का आकार है। परीक्षा टिप: सीधे सूत्र \(|A| = |U| - |A'|\) याद रखें और डेटा को उसी में रखें। / A set and its complement partition the universal set, so \(|A| + |A'| = |U|\). Given \(|U|=15\) and \(|A'|=6\), we get \(|A| = 15-6 = 9\). Option 6 is incorrect because it is the size of the complement; option 15 is incorrect because it is the size of the whole universal set. Exam tip: use the identity \(|A| = |U| - |A'|\) to avoid sign mistakes.
पहले \(A\cap B\) निकालें: \(A\cap B=\{2,4\}\). प्रश्न का मतलब है इसका उपस्थानी परिशेष (complement) सतही यूनिवर्सल सेट \(U\) के सापेक्ष; अतः \((A\cap B)'=U\setminus (A\cap B)=\{1,2,3,4,5,6,7\}\setminus\{2,4\\}=\{1,3,5,6,7\}\). विकल्प D (\(\{3,5,7\}\)) निकटतम भ्रांतिदायक है क्योंकि वह \(1\) और \(6\) को छोड़ देता है जो \( (A\cap B)' \) में होने चाहिए। परीक्षा सुझाव: क्रमबद्ध तरीके से पहले जोड़ या छंटनी (यहाँ intersection) निकालें, फिर यूनिवर्सल सेट के सापेक्ष complement लें। / Compute \(A\cap B\) first: \(A\cap B=\{2,4\}\). The complement is taken with respect to the universal set \(U\), so \((A\cap B)'=U\setminus(A\cap B)=\{1,3,5,6,7\}\). Option B (\(\{2,4\}\)) is just the intersection itself, not the complement. The closest distractor is D (\(\{3,5,7\}\)) because it omits \(1\) and \(6\) which belong in the complement. Exam tip: always evaluate intersection/union first, then apply complement relative to the given universal set.
पहला तरीका — समुच्चयों को जोड़ें: \(A\cup B=\{2,3,4,6,8,9,10,12\}\) जिसमें 8 तत्व हैं। सार्वभौमिक समुच्चय में कुल 12 तत्व हैं, अतः पूरक में \(12-8=4\) तत्व होंगे: \(\{1,5,7,11\}\). वैकल्पिक रूप से, समावेशन–अपवर्जन से: \(n(A)=6,\;n(B)=4,\;n(A\cap B)=2\Rightarrow n(A\cup B)=6+4-2=8\). नज़दीकी विकर्षक (5) तब गलत होता है जब गणना में संघ की संख्या 7 मान ली जाए — यह समान्य गणना गलती है। परीक्षा संकेत: तेज़ी से सूची बना लें या inclusion–exclusion सूत्र लगाएँ ताकि गिनती में त्रुटि न हो। / Compute the union and subtract from the universal set: \(A\cup B=\{2,3,4,6,8,9,10,12\}\) has 8 elements, so its complement in \(U\) has \(12-8=4\) elements, namely \(\{1,5,7,11\}\). Using inclusion–exclusion: \(n(A)=6,\;n(B)=4,\;n(A\cap B)=2\Rightarrow n(A\cup B)=6+4-2=8\). The closest wrong option (5) would result from miscounting the union as 7. Exam tip: either list the union explicitly or use inclusion–exclusion to avoid off-by-one mistakes.
पूरक की परिभाषा है \(A'=U\setminus A=\{x\in U:\;x\notin A\}\)। यदि \(A=\emptyset\) है तो कोई भी तत्व \(A\) में नहीं है, अतः सभी तत्व जो \(U\) में हैं वे ही \(A'\) में होंगे। इसलिए \(A'=U=\{1,2,3,4,5\}\)। विकल्प A (\(\emptyset\)) गलत है क्योंकि वह शून्य तत्व वाला समुच्चय है — यह \(A\) है न कि \(A'\)। विकल्प C (\(\{\emptyset\}\)) अलग समुच्चय है जिसका एक तत्व ही है: खाली समुच्चय; यह \(U\) नहीं है। विकल्प D (\(\{0\}\)) में 0 सार्वत्रिक समुच्चय का सदस्य नहीं है, इसलिए वह भी गलत है। परीक्षा सलाह: हमेशा याद रखें \(A'=\{x\in U:x\notin A\}\) — खाली सेट के लिए पूरा सार्वत्रिक सेट ही पूरक होता है। / By definition the complement is \(A'=U\setminus A=\{x\in U:\;x\notin A\}\). If \(A=\emptyset\), no element of \(U\) is excluded, so every element of \(U\) belongs to \(A'\). Thus \(A'=U=\{1,2,3,4,5\}\). Option A (\(\emptyset\)) is wrong because that denotes the empty set itself, not its complement. Option C (\(\{\emptyset\}\)) is the set whose single element is the empty set and is not equal to \(U\). Option D (\(\{0\}\)) is incorrect since 0 is not an element of the given universal set. Exam tip: use \(A'=\{x\in U:x\notin A\}\) to decide complements — for \(A=\emptyset\) you always get \(A'=U\).
