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\(A^c\cap B^c\) में वे संख्याएं हैं जो न (2) से और न (3) से विभाज्य हैं। ऐसी संख्याएं (1,5,7,11,13,17) हैं। / \(A^c\cap B^c\) contains numbers divisible by neither (2) nor (3). These numbers are (1,5,7,11,13,17).
पहले \(A\cup B={1,2,4,6,8,9,10,12,14,16}\) लिखें। (U) में बचे हुए तत्व ही पूरक हैं। / First write \(A\cup B={1,2,4,6,8,9,10,12,14,16}\). The remaining elements in (U) form the complement.
\(A^c\cap B\) में विषम लेकिन अभाज्य नहीं संख्याएं आएंगी। (1), (9) और (15) इस शर्त को पूरा करते हैं। / \(A^c\cap B\) contains odd numbers that are not prime. (1), (9), and (15) satisfy this condition.
x² < 9 का अर्थ −3 < x < 3 है। चूँकि x पूर्णांक है, इसलिए A = {−2, −1, 0, 1, 2}। सार्वत्रिक समुच्चय U में से A के तत्व हटाने पर Aᶜ = U − A = {−5, −4, −3, 3, 4, 5} मिलता है। विकल्प C में −2 से 2 तक के तत्व भी शामिल हैं, इसलिए वह Aᶜ नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पूरक समुच्चय हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष निर्धारित किया जाता है। / The inequality x² < 9 is equivalent to −3 < x < 3. Since x is an integer, A = {−2, −1, 0, 1, 2}. Removing these elements from the universal set gives Aᶜ = U − A = {−5, −4, −3, 3, 4, 5}. Option C is incorrect because it contains the elements of A as well. Exam tip: the complement of a set is always taken with respect to the specified universal set.
(-1) और (4) दोनों (A) में शामिल नहीं हैं, इसलिए वे पूरक में आएंगे। अंतरालों में खुले और बंद सिरों पर विशेष ध्यान दें। / (-1) and (4) are not included in (A), so they come in the complement. Pay special attention to open and closed endpoints in intervals.
(0) और (2) (A) में शामिल हैं, इसलिए पूरक उनसे बाहर होगा। (6) (U) में शामिल है, इसलिए अंतिम सिरा बंद रहेगा। / (0) and (2) are included in (A), so the complement stays outside them. (6) is included in (U), so the right endpoint remains closed.
पूरक लेने पर समावेशन का क्रम उलट जाता है। इसलिए सबसे बड़े (C) का पूरक सबसे छोटा होगा। / The order of inclusion reverses after taking complements. Hence the complement of the largest set (C) is the smallest.
पूरक समुच्चयों के लिए समावेशन की दिशा उलट जाती है: यदि \(X\subseteq Y\), तो \(Y^c\subseteq X^c\)। दिए गए \(B^c\subseteq A^c\) के दोनों पक्षों का पूरक लेने पर \(A\subseteq B\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B समावेशन की दिशा उलटने के नियम के विपरीत है और अन्य विकल्प आवश्यक रूप से निष्कर्षित नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: पूरक लेते समय समावेशन का चिह्न उलट दें। / For complements, the direction of inclusion is reversed: if \(X\subseteq Y\), then \(Y^c\subseteq X^c\). Taking complements on both sides of the given relation \(B^c\subseteq A^c\) gives \(A\subseteq B\). Hence, option A is correct. Option B reverses the required direction, while the other statements do not necessarily follow. Exam tip: reverse the inclusion sign whenever complements are taken on both sides.
समावेशन-बहिष्करण सूत्र से \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=42+38-20=60\)। किसी समुच्चय के पूरक में सार्वत्रिक समुच्चय के वे तत्व होते हैं जो उसमें नहीं हैं, इसलिए \(n((A\cup B)^c)=n(U)-n(A\cup B)=75-60=15\)। विकल्प 60 संघ \(A\cup B\) की संख्या है, उसके पूरक की नहीं। परीक्षा में दो समुच्चयों के संघ की संख्या निकालते समय प्रतिच्छेद की संख्या एक बार घटाना याद रखें। / By the inclusion–exclusion formula, \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=42+38-20=60\). The complement contains the elements of the universal set that are not in \(A\cup B\), so \(n((A\cup B)^c)=n(U)-n(A\cup B)=75-60=15\). The value 60 is the cardinality of \(A\cup B\), not its complement. Exam tip: when finding the union of two sets, subtract the intersection once to avoid double-counting.
(n\(A^c\cup B^c\)=35+50-18=67) है। डी मॉर्गन से यह (n(\(A\cap B\)^c)) है, इसलिए (n\(A\cap B\)=90-67=23)। / (n\(A^c\cup B^c\)=35+50-18=67). By De Morgan, this is (n(\(A\cap B\)^c)), so (n\(A\cap B\)=90-67=23).
सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष \(A^c=\{6,7,8,9,10\}\) और \(B^c=\{1,2,3,9,10\}\) हैं। इसलिए \(A^c-B^c\) में वे अवयव होंगे जो \(A^c\) में हैं, लेकिन \(B^c\) में नहीं: \(\{6,7,8\}\)। ध्यान रखें कि \(A^c-B^c=A^c\cap B\), इसलिए विकल्प B, जो केवल \(A^c\) के कुछ अवयवों से संबंधित है, सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पहले दोनों पूरकों को लिखकर अंतर ज्ञात करें। / Relative to the universal set, \(A^c=\{6,7,8,9,10\}\) and \(B^c=\{1,2,3,9,10\}\). Thus, \(A^c-B^c\) contains the elements that belong to \(A^c\) but not to \(B^c\), namely \(\{6,7,8\}\). Equivalently, \(A^c-B^c=A^c\cap B\). Option B is not correct because it does not represent the elements common to \(A^c\) and \(B\). Exam tip: find both complements with respect to \(U\) before taking the difference.
B − A में वे अवयव होंगे जो B में हैं लेकिन A में नहीं हैं, इसलिए B − A = {1,4}। U के सापेक्ष इसका पूरक U में मौजूद उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो {1,4} में नहीं हैं; अतः (B − A)ᶜ = {2,3,5,6,7,8,9}। विकल्प B केवल अंतर समुच्चय है, पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय पहले अंतर समुच्चय ज्ञात करके उसे U से घटाएँ। / The set B − A contains elements that are in B but not in A, so B − A = {1,4}. Its complement with respect to U contains every element of U that is not in {1,4}; hence (B − A)ᶜ = {2,3,5,6,7,8,9}. Option B is only the difference set, not its complement. Exam tip: Find the difference first, then remove its elements from the universal set.
(4) के (10) और (5) के (8) गुणज हैं, साझा (20) के (2) गुणज हैं। इसलिए (n(A)=10+8-2=16) और (n\(A^c\)=24)। / There are (10) multiples of (4) and (8) multiples of (5), with (2) common multiples of (20). Thus (n(A)=10+8-2=16), so (n\(A^c\)=24).
समुच्चय \(A\) में 60 तक 6 के गुणज हैं: \(6,12,18,\ldots,60\)। इनकी संख्या \(60\div 6=10\) है। पूरक समुच्चय \(A^c\) में \(U\) के वे सभी तत्व होंगे जो 6 से विभाज्य नहीं हैं, इसलिए \(n(A^c)=n(U)-n(A)=60-10=50\)। विकल्प B केवल \(A\) के तत्वों की संख्या बताता है, पूरक की नहीं। परीक्षा-युक्ति: परिमित सार्वत्रिक समुच्चय के लिए \(n(A^c)=n(U)-n(A)\) का प्रयोग करें। / Set \(A\) contains the multiples of 6 up to 60: \(6,12,18,\ldots,60\). Their number is \(60\div 6=10\). The complement \(A^c\) contains all elements of \(U\) that are not divisible by 6, so \(n(A^c)=n(U)-n(A)=60-10=50\). Option B gives the number of elements in \(A\), not in its complement. Exam tip: For a finite universal set, use \(n(A^c)=n(U)-n(A)\).
दिया गया बहुपद \(x^2-7x+12\) इस प्रकार गुणनखंडित होता है: \((x-3)(x-4)=0\)। इसलिए \(A=\{3,4\}\)। किसी समुच्चय का पूरक सार्वत्रिक समुच्चय में मौजूद उन तत्वों का समुच्चय होता है जो \(A\) में नहीं हैं। अतः \(A^c=U\setminus A=\{1,2,5,6,7,8,9,10,11,12\}\)। विकल्प B, \(A\) स्वयं है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय पहले दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष \(A\) के तत्व हटाएँ। / Factor the polynomial as \(x^2-7x+12=(x-3)(x-4)\). Hence, \(A=\{3,4\}\). The complement of a set contains the elements of the universal set that are not in that set. Therefore, \(A^c=U\setminus A=\{1,2,5,6,7,8,9,10,11,12\}\). Option B gives \(A\) itself, not its complement. Exam tip: Always find the complement relative to the stated universal set and remove the elements of \(A\) from it.
\(U\) में \(-6\) से \(6\) तक कुल \(13\) पूर्णांक हैं। \(x^2=16\) के हल \(x=-4,4\) हैं, इसलिए \(A=\{-4,4\}\) और \(n(A)=2\)। अतः \(n(A^c)=n(U)-n(A)=13-2=11\)। परीक्षा-टिप: किसी समुच्चय के पूरक की cardinality निकालने के लिए सार्वत्रिक समुच्चय की cardinality में मूल समुच्चय की cardinality घटाएँ। / The set \(U\) contains all integers from \(-6\) to \(6\), so \(n(U)=13\). The solutions of \(x^2=16\) are \(x=-4\) and \(x=4\); hence, \(A=\{-4,4\}\) and \(n(A)=2\). Therefore, \(n(A^c)=n(U)-n(A)=13-2=11\). Exam tip: For a finite set, find the cardinality of its complement by subtracting the cardinality of the set from that of the universal set.
एक सर्वे में (150) लोगों में से (85) चाय पसंद करते हैं, (70) कॉफी पसंद करते हैं और (40) दोनों पसंद करते हैं। न चाय न कॉफी पसंद करने वाले लोगों की संख्या कितनी है?
चाय या कॉफी पसंद करने वाले (85+70-40=115) हैं। इसलिए पूरक में (150-115=35) लोग होंगे। / People who like tea or coffee are (85+70-40=115). Therefore the complement has (150-115=35) people.
पहले \(n(A^c)=\frac{1}{3}\times 96=32\) प्राप्त होता है। चूँकि किसी समुच्चय और उसके पूरक की शक्तियों का योग सार्वत्रिक समुच्चय की शक्ति के बराबर होता है, \(n(A)+n(A^c)=n(U)\)। अतः \(n(A)=96-32=64\)। विकल्प 32 पूरक समुच्चय \(A^c\) की शक्ति है, न कि \(A\) की। परीक्षा-युक्ति: पूरक वाले प्रश्नों में हमेशा \(n(A)+n(A^c)=n(U)\) का प्रयोग करें। / First, \(n(A^c)=\frac{1}{3}\times 96=32\). The cardinalities of a set and its complement add up to the cardinality of the universal set: \(n(A)+n(A^c)=n(U)\). Therefore, \(n(A)=96-32=64\). The value 32 is the cardinality of the complement \(A^c\), not of \(A\). Exam tip: For complement questions, use \(n(A)+n(A^c)=n(U)\).
समुच्चय \(U\) में 1 से 36 तक कुल 36 संख्याएँ हैं। इस सीमा में पूर्ण वर्ग \(1,4,9,16,25,36\) हैं, इसलिए \(n(A)=6\)। पूरक समुच्चय के लिए \(n(A^c)=n(U)-n(A)=36-6=30\)। परीक्षा-युक्ति: पहले दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय में संबंधित गुण वाली संख्याओं की गिनती करें, फिर कुल संख्या में से घटाएँ। / The universal set \(U\) contains 36 numbers. The perfect squares from 1 through 36 are \(1,4,9,16,25,36\), so \(n(A)=6\). Using \(n(A^c)=n(U)-n(A)\), we get \(36-6=30\). Thus, 6 is the size of \(A\), not its complement. Exam tip: For a complement, count the elements in the universal set that do not belong to the given set.
यह सम संख्याओं में से (4) से विभाज्य संख्याएं हटाने जैसा है। इसलिए उत्तर (2,6,10,14,18) है। / This is like removing the multiples of (4) from the even numbers. Therefore the answer is (2,6,10,14,18).
यदि सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\), \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) और \(A^c\subseteq B\subseteq U\) है, तो \(B\) का न्यूनतम संभव समुच्चय कौन-सा है?
\(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो \(U\) में हैं लेकिन \(A\) में नहीं हैं। इसलिए \(A^c=\{7,8,9,10\}\)। चूँकि \(A^c\subseteq B\), इसलिए \(B\) में ये सभी अवयव होना आवश्यक है। सबसे छोटा संभव \(B\), \(A^c\) के बराबर होगा; अतः उत्तर \(\{7,8,9,10\}\) है। परीक्षा-युक्ति: \(X\subseteq B\) होने पर न्यूनतम संभव \(B\), \(X\) ही होता है। / The complement of \(A\) with respect to \(U\) contains the elements that are in \(U\) but not in \(A\). Thus, \(A^c=\{7,8,9,10\}\). Since \(A^c\subseteq B\), all these elements must belong to \(B\). The smallest possible choice for \(B\) is therefore exactly \(A^c\), namely \(\{7,8,9,10\}\). Exam tip: If \(X\subseteq B\), the smallest possible set \(B\) is \(X\) itself.
सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(B^c=A\) का अर्थ है कि \(B\), \(A\) का पूरक है। इसलिए \(B=A^c=U\setminus A\)। \(U\) में से \(2,4,6\) हटाने पर \(B=\{1,3,5,7\}\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B स्वयं \(A\) है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: यदि \(B^c=A\) दिया हो, तो सीधे \(B=A^c\) लिखें। / With respect to the universal set \(U\), the statement \(B^c=A\) means that \(B\) is the complement of \(A\). Thus, \(B=A^c=U\setminus A\). Removing \(2,4,6\) from \(U\) gives \(B=\{1,3,5,7\}\), so option A is correct. Option B is \(A\) itself, not its complement. Exam tip: whenever \(B^c=A\) is given, write \(B=A^c\) first.
(A) और (B) में कोई साझा तत्व नहीं है और दोनों मिलकर (U) बनाते हैं। इसलिए (B), (A) का पूरक है। / (A) and (B) have no common element and together form (U). Therefore (B) is the complement of (A).
दिया है कि \(P\) और \(Q\) असंबद्ध हैं तथा उनका संघ सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) है। इसलिए \(Q\), \(P\) में न होने वाले सभी अवयवों का समुच्चय है, अर्थात \(Q = P^c\)। विकल्प \(P\) सही नहीं है, क्योंकि वह स्वयं मूल समुच्चय है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: यदि \(P \cap Q = \varnothing\) और \(P \cup Q = U\), तो सीधे \(P^c = Q\) तथा \(Q^c = P\) लिखें। / The sets \(P\) and \(Q\) are disjoint, and their union is the universal set \(U\). Therefore, \(Q\) contains exactly those elements of \(U\) that are not in \(P\), so \(P^c = Q\). Option \(P\) is incorrect because it is the original set, not its complement. Exam tip: From \(P \cap Q = \varnothing\) and \(P \cup Q = U\), conclude directly that \(P^c = Q\) and \(Q^c = P\).
किसी समुच्चय \(A\) और उसके पूरक \(A^c\) का प्रतिच्छेद रिक्त होता है और दोनों मिलकर सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) बनाते हैं। इसलिए \(n(U)=n(A)+n(A^c)=27+33=60\)। विकल्प 33 और 27 केवल अलग-अलग समुच्चयों की संख्याएँ हैं, जबकि 6 घटाने से प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: पूरक समुच्चय वाले प्रश्नों में \(n(A\cup A^c)=n(A)+n(A^c)\) का उपयोग करें। / A set \(A\) and its complement \(A^c\) are disjoint, and together they form the universal set \(U\). Therefore, \(n(U)=n(A)+n(A^c)=27+33=60\). The values 33 and 27 are the cardinalities of the individual sets, while 6 is obtained by subtraction. Exam tip: For a set and its complement, use \(n(A\cup A^c)=n(A)+n(A^c)\).
दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष समुच्चय के पूरक का पूरक मूल समुच्चय के बराबर होता है, अर्थात् \((A^c)^c=A\)। इसलिए \((A^c)^c\cap\{3,6,9\}=A\cap\{3,6,9\}=\{3,6\}\), क्योंकि 3 और 6, \(A\) में हैं, जबकि 9 उसमें नहीं है। परीक्षा-युक्ति: दो बार पूरक लेने पर समुच्चय वापस मूल रूप में आ जाता है। / With respect to the given universal set, taking the complement twice returns the original set: \((A^c)^c=A\). Hence, \((A^c)^c\cap\{3,6,9\}=A\cap\{3,6,9\}=\{3,6\}\), since 3 and 6 belong to \(A\), whereas 9 does not. Exam tip: the complement of the complement of a set is the set itself.
\(A^c\) में (8) तत्व हैं और (6,12) इसमें नहीं हैं। इसलिए दो नए तत्व जोड़ने पर कुल (10) तत्व होंगे। / \(A^c\) has (8) elements, and (6,12) are not in it. Adding these two new elements gives (10) elements.
सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष \(A^c=U-A=\{2,3,4,6,7,8,9\}\) होगा। अब समुच्चय अंतर \(A^c-\{2,3,4\}\) में से \(2,3,4\) हटाने पर \(\{6,7,8,9\}\) प्राप्त होता है। विकल्प B केवल \(A^c\) है और उसमें से दिए गए तत्व हटाए नहीं गए हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले पूरक समुच्चय ज्ञात करें, फिर समुच्चय अंतर में केवल निर्दिष्ट तत्व हटाएँ। / The complement of \(A\) with respect to the universal set is \(A^c=U-A=\{2,3,4,6,7,8,9\}\). Taking the set difference \(A^c-\{2,3,4\}\) removes 2, 3, and 4, leaving \(\{6,7,8,9\}\). Option B is only \(A^c\), before removing the specified elements. Exam tip: find the complement first, then remove the elements indicated by the set difference.
अंकों में अभाज्य अंक (2,3,5,7) हैं। कुल (10) अंक हैं, इसलिए पूरक में (10-4=6) अंक होंगे। / The prime digits are (2,3,5,7). There are (10) digits in all, so the complement has (10-4=6) digits.
दोनों से विभाज्य होने का अर्थ (10) से विभाज्य होना है। (1) से (18) तक केवल (10) ऐसा है, इसलिए बाकी सभी \(A^c\) में हैं। / Divisible by both means divisible by (10). From (1) to (18), only (10) satisfies this, so all others are in \(A^c\).
पूरक समुच्चय सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष लिया जाता है। चूँकि \(C=A^c\), इसलिए द्वि-पूरक गुण के अनुसार \(C^c=(A^c)^c=A\)। अतः \(C^c\cap\{1,2,3,4\}=A\cap\{1,2,3,4\}=\{2,4\}\)। विकल्प \(B\) में \(A\) के पूरक के अवयव लिए गए हैं, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: \((A^c)^c=A\) को याद रखें। / Complements are taken with respect to the universal set \(U\). Since \(C=A^c\), the double-complement property gives \(C^c=(A^c)^c=A\). Therefore, \(C^c\cap\{1,2,3,4\}=A\cap\{1,2,3,4\}=\{2,4\}\). Option B lists elements from the complement of \(A\), so it is incorrect. Exam tip: Remember the identity \((A^c)^c=A\).
A. \(A\cap A^c=\varnothing\) और \(A\cup A^c=U\)/\(A\cap A^c=\varnothing\) and \(A\cup A^c=U\)
Explanation
Simple Explanation
विभाजन के लिए भाग असंबद्ध होने चाहिए और उनका संघ पूरा (U) होना चाहिए। (A) और \(A^c\) यही दोनों शर्तें पूरी करते हैं। / For a partition, the parts must be disjoint and their union must be the whole (U). (A) and \(A^c\) satisfy both conditions.
A. ऐसा कोई (A) संभव नहीं है/no such (A) is possible
Explanation
Simple Explanation
यदि \(A=A^c\), तो \(A\cap A^c=A\) होगा, पर \(A\cap A^c=\varnothing\) है। \(U\ne\varnothing\) में यह स्थिति संभव नहीं होती। / If \(A=A^c\), then \(A\cap A^c=A\), but \(A\cap A^c=\varnothing\). For \(U\ne\varnothing\), this situation is impossible.
A. \(A^c\) में नए तत्व जुड़ सकते हैं/new elements may be added to \(A^c\)
Explanation
Simple Explanation
पूरक (U) पर निर्भर करता है। यदि (U) में नए तत्व आए और वे (A) में न हों, तो वे \(A^c\) में जुड़ेंगे। / Complement depends on (U). If new elements enter (U) and are not in (A), they are added to \(A^c\).
यदि \(U_1={1,2,3,4,5}\), \(U_2={1,2,3,4,5,6,7}\) और \(A=\{2,5\}\) है, तो \(U_2\) के सापेक्ष \(A^c\) में \(U_1\) के सापेक्ष \(A^c\) से कौन से अतिरिक्त तत्व होंगे?
\(U_1\) में पूरक ({1,3,4}) और \(U_2\) में पूरक ({1,3,4,6,7}) है। अतिरिक्त तत्व ({6,7}) हैं। / Relative to \(U_1\), the complement is ({1,3,4}), and relative to \(U_2\), it is ({1,3,4,6,7}). The extra elements are ({6,7}).
पूरक हमेशा सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष लिया जाता है। पहले \(A^c=U-A=\{5,6,7,8,9,10,11,12\}\)। इसलिए \(A^c\cap B=\{5,6,7\}\)। अब इसका पूरक लेने पर \((A^c\cap B)^c=U-\{5,6,7\}=\{1,2,3,4,8,9,10,11,12\}\), इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले अंदर का प्रतिच्छेद ज्ञात करके अंत में पूरक लेना सबसे सुरक्षित तरीका है। / The complement is taken with respect to the universal set \(U\). First, \(A^c=U-A=\{5,6,7,8,9,10,11,12\}\). Hence, \(A^c\cap B=\{5,6,7\}\). Taking its complement gives \((A^c\cap B)^c=U-\{5,6,7\}=\{1,2,3,4,8,9,10,11,12\}\), so option A is correct. In an exam, first evaluate the expression inside the outer complement and then take its complement.
सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(A^c=\{1,3,5,7,9\}\) होगा। अतः \(A^c\cup B=\{1,2,3,4,5,7,9\}\), और इसका \(U\) में पूरक \(\{6,8,10\}\) है। इसे डी मॉर्गन के नियम से भी \((A^c\cup B)^c=A\cap B^c\) लिखकर प्राप्त किया जा सकता है। परीक्षा-युक्ति: पूरक लेते समय हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय को आधार मानें। / Relative to the universal set \(U\), \(A^c=\{1,3,5,7,9\}\). Therefore, \(A^c\cup B=\{1,2,3,4,5,7,9\}\), whose complement in \(U\) is \(\{6,8,10\}\). Alternatively, by De Morgan’s law, \((A^c\cup B)^c=A\cap B^c\), which gives the same result. Exam tip: Always take a complement with respect to the specified universal set.
(A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c) है। (4) या (6) से विभाज्य संख्याएं (6+4-2=8) हैं, इसलिए पूरक में (24-8=16) तत्व हैं। / (A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c). Numbers divisible by (4) or (6) are (6+4-2=8), so the complement has (24-8=16) elements.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार, �\(A^c\cup B^c\)=\(A\cap B\)^c। यहाँ �\(A\cap B=\{3,5\}\), इसलिए �\(A\cap B\) में 2 तत्व हैं। चूँकि सार्वत्रिक समुच्चय �(U) में 15 तत्व हैं, उसके पूरक में �(15-2=13) तत्व होंगे। अतः सही उत्तर 13 है। परीक्षा-युक्ति: पूरकों के संघ को सरल करने के लिए �\(A^c\cup B^c\)=\(A\cap B\)^c का प्रयोग करें। / By De Morgan’s law, �\(A^c\cup B^c\)=\(A\cap B\)^c. Here, �\(A\cap B=\{3,5\}\), so the intersection has 2 elements. Since the universal set �(U) has 15 elements, its complement has �(15-2=13) elements. Therefore, the correct answer is 13. Exam tip: For a union of complements, use �\(A^c\cup B^c\)=\(A\cap B\)^c.
(A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c) है। \(A\cup B={1,2,4,6,7,8,10}\), इसलिए बचे तत्व ({3,5,9,11}) हैं। / (A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c). Since \(A\cup B={1,2,4,6,7,8,10}\), the remaining elements are ({3,5,9,11}).
सार्वत्रिक समुच्चय �(U)� में 14 तत्व हैं और उसके पूरक समुच्चय �\(A^c\)� में 6 तत्व हैं। चूँकि �(A)� और �\(A^c\)� मिलकर �(U)� बनाते हैं, इसलिए �(n(A)+n\(A^c\)=n(U)� और �(n(A)=14-6=8)�। विकल्प 6 केवल �\(A^c\)� के तत्वों की संख्या है। परीक्षा-युक्ति: सीमित समुच्चय के लिए �(n\(A^c\)=n(U)-n(A)�) सूत्र याद रखें। / The universal set �(U)� has 14 elements, while its complement �\(A^c\)� has 6 elements. Since �(A)� and �\(A^c\)� together form �(U)�, �(n(A)+n\(A^c\)=n(U)�. Hence, �(n(A)=14-6=8)�. Option 6 is only the number of elements in �\(A^c\)�. Exam tip: For a finite universal set, use �(n\(A^c\)=n(U)-n(A)�).
समुच्चय \(A\) और उसका पूरक \(A^c\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) को बिना किसी समान अवयव के विभाजित करते हैं। इसलिए \(n(U)=n(A)+n(A^c)\)। मान लें \(n(A^c)=x\), तब \(n(A)=2x\)। अतः \(2x+x=84\), यानी \(3x=84\) और \(x=28\)। इसलिए सही उत्तर 28 है। परीक्षा-युक्ति: पूरक समुच्चय के प्रश्नों में पहले \(n(U)=n(A)+n(A^c)\) लिखें। / The set \(A\) and its complement \(A^c\) are disjoint and together form the universal set \(U\). Hence, \(n(U)=n(A)+n(A^c)\). Let \(n(A^c)=x\); then \(n(A)=2x\). Therefore, \(2x+x=84\), so \(3x=84\) and \(x=28\). Thus, the correct answer is 28. Exam tip: For complement questions, start with \(n(U)=n(A)+n(A^c)\).
मान लें \(n(A)=x\)। समुच्चय \(A\) और उसका पूरक \(A^c\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) को अलग-अलग भागों में बाँटते हैं, इसलिए \(n(A)+n(A^c)=n(U)\)। अतः \(x+3x=72\), यानी \(4x=72\) और \(x=18\)। इसलिए सही उत्तर 18 है। परीक्षा-युक्ति: पूरक समुच्चय वाले प्रश्नों में हमेशा \(n(A)+n(A^c)=n(U)\) का प्रयोग करें। / Let \(n(A)=x\). A set and its complement partition the universal set, so \(n(A)+n(A^c)=n(U)\). Therefore, \(x+3x=72\), giving \(4x=72\) and \(x=18\). Hence, the correct answer is 18. Exam tip: For finite-set complement questions, first apply \(n(A)+n(A^c)=n(U)\).
A. क्योंकि \(U\) का प्रत्येक तत्व या तो \(A\) में होता है या \(A\) में नहीं होता, इसलिए वह \(A^c\) में होता है/Because every element of \(U\) is either in \(A\) or not in \(A\), so it belongs to \(A^c\)
Explanation
Simple Explanation
विश्व समुच्चय \(U\) के किसी भी तत्व \(x\) के लिए दो ही संभावनाएँ हैं: या तो \(x\in A\), या \(x\notin A\)। दूसरी स्थिति में परिभाषा के अनुसार \(x\in A^c\) होता है। इसलिए \(U\) का प्रत्येक तत्व \(A\) या \(A^c\) में है, अतः \(A\cup A^c=U\)। विकल्प C गलत है, क्योंकि \(A^c\) केवल तब रिक्त होता है जब \(A=U\)। परीक्षा-युक्ति: किसी समुच्चय और उसके पूरक का संघ हमेशा विश्व समुच्चय होता है। / For any element \(x\) of the universal set \(U\), exactly one of the following applies: \(x\in A\) or \(x\notin A\). In the second case, the definition gives \(x\in A^c\). Thus every element of \(U\) belongs to \(A\) or \(A^c\), so \(A\cup A^c=U\). Option C is false because \(A^c\) is empty only when \(A=U\). Exam tip: the union of any set and its complement is always the universal set.
समुच्चय \(A\) का पूरक \(A'=U\setminus A\) होता है, अर्थात् सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के वे सभी अवयव जो \(A\) में नहीं हैं। इसलिए \(A'=\{1,4,6,7,8,9\}\)। विकल्प A में 9 छूट गया है, इसलिए वह पूरक नहीं है। विकल्प B सही समुच्चय है, जबकि विकल्प C और D पूरक को क्रमशः संक्रिया और समुच्चय-निर्माण रूप में दर्शाते हैं। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष अवयव चुनें। / The complement of \(A\) is \(A'=U\setminus A\), containing all elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\). Hence, \(A'=\{1,4,6,7,8,9\}\). Option A omits 9, so it cannot be the complement. Option B gives the correct set, while C and D express the same complement using set difference and set-builder notation, respectively. Exam tip: Always find a complement relative to the given universal set, not relative to an assumed larger set.
1 से 80 तक 8 के गुणजों की संख्या \(80\div 8=10\) है। चूँकि \(A^c\) में सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के वे तत्व होते हैं जो \(A\) में नहीं हैं, इसलिए \(|A^c|=|U|-|A|=80-10=70\)। विकल्प B केवल 8 के गुणजों की संख्या बताता है, पूरक समुच्चय के तत्वों की नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक के लिए हमेशा \(|A^c|=|U|-|A|\) का प्रयोग करें। / The number of multiples of 8 from 1 to 80 is \(80\div 8=10\). Since \(A^c\) contains the elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\), \(|A^c|=|U|-|A|=80-10=70\). Option B gives the number of multiples of 8, not the number of elements in the complement. Exam tip: use \(|A^c|=|U|-|A|\) when the complement is taken with respect to the universal set.
\(B=A^c\) होने पर \(B\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) में \(A\) के सभी अवयवों के अलावा शेष अवयवों का समुच्चय है। यहाँ \(B=\{1,4,6,8,9,10,12\}\), इसलिए \(A\cup B=U\), अर्थात \(\{1,2,3,\ldots,12\}\)। विकल्प \(B\) केवल पूरक समुच्चय है, पूरा संघ नहीं। परीक्षा-युक्ति: किसी समुच्चय और उसके पूरक का संघ हमेशा सार्वत्रिक समुच्चय होता है: \(A\cup A^c=U\)। / Since \(B=A^c\), the set \(B\) contains all elements of the universal set that are not in \(A\). Here, \(B=\{1,4,6,8,9,10,12\}\), so \(A\cup B=U=\{1,2,3,\ldots,12\}\). Option B represents only the complement, not the union. Exam tip: The union of any set and its complement is always the universal set: \(A\cup A^c=U\).
चूँकि \(B=A^c\), इसलिए \(B\) में सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के वे सभी अवयव होंगे जो \(A\) में नहीं हैं। अतः \(A\) और \(B\) में कोई भी उभयनिष्ठ अवयव नहीं है तथा \(A\cap A^c=\varnothing\)। इसलिए सही उत्तर विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: किसी समुच्चय और उसके पूरक का प्रतिच्छेद सदैव रिक्त समुच्चय होता है। / Since \(B=A^c\), the set \(B\) contains all elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\). Thus, \(A\) and \(B\) have no common element, so \(A\cap A^c=\varnothing\). Therefore, option A is correct. Exam tip: The intersection of any set with its complement is always the empty set.
दिए गए समुच्चयों के लिए \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}=U\)। इसलिए \((A\cup B)^c=U^c\) है। सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष \(U\) का पूरक समुच्चय रिक्त समुच्चय होता है, अतः सही उत्तर \(\varnothing\) है। विकल्प \(U\) गलत है, क्योंकि वह पूरक नहीं बल्कि स्वयं सार्वत्रिक समुच्चय है। परीक्षा-युक्ति: यदि किसी समुच्चय का संघ सार्वत्रिक समुच्चय बन जाए, तो उसके पूरक का मान \(\varnothing\) होता है। / For the given sets, \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}=U\). Hence, \((A\cup B)^c=U^c\). The complement of the universal set relative to itself is the empty set, so the correct answer is \(\varnothing\). Option \(U\) is incorrect because it is the universal set itself, not its complement. Exam tip: whenever a union equals the universal set, its complement is \(\varnothing\).
समुच्चय \(A\) में केवल विषम संख्याएँ और \(B\) में केवल सम संख्याएँ हैं, इसलिए \(A\cap B=\varnothing\)। सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष रिक्त समुच्चय का पूरक पूरा \(U\) होता है, अर्थात् \((A\cap B)^c=\varnothing^c=U\)। विकल्प B केवल प्रतिच्छेद \(A\cap B\) को दर्शाता है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले प्रतिच्छेद ज्ञात करें और फिर दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष उसका पूरक लें। / Set \(A\) contains only odd numbers, while set \(B\) contains only even numbers; hence, \(A\cap B=\varnothing\). The complement of the empty set with respect to the universal set \(U\) is the entire universal set, so \((A\cap B)^c=\varnothing^c=U\). Option B represents the intersection itself, not its complement. Exam tip: find the intersection first, then take its complement relative to the given universal set.
