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द्वि-पूरक नियम के अनुसार किसी भी समुच्चय के लिए \\((A')'=A\\) होता है। यहाँ \\(A\\) के सापेक्ष पूरक \\((-1,6)\\) है, क्योंकि \\-1 और 6 मूल समुच्चय में शामिल हैं। इसका फिर से पूरक लेने पर वे दोनों सीमांत बिंदु और बाहरी अंतराल वापस मिल जाते हैं, इसलिए \\((A')'=(-\\infty,-1]\\cup[6,\\infty)\\) है। परीक्षा-युक्ति: द्वि-पूरक में समुच्चय हमेशा अपने मूल रूप में लौट आता है। / By the double-complement law, \\((A')'=A\\) for every set. Here, the complement of \\(A\\) in \\(\\mathbb{R}\\) is \\((-1,6)\\), since \\-1 and 6 are included in \\(A\\). Taking the complement once more restores both endpoints and the two outer intervals, giving \\((-\\infty,-1]\\cup[6,\\infty)\\). Exam tip: the complement of a complement always returns the original set.
समुच्चय के द्वि-पूरक नियम के अनुसार \((A')'=A\) होता है। यहाँ \(A' = \{2,4,6,8,10\}\) है, और इसका फिर से पूरक लेने पर मूल समुच्चय \(A=\{1,3,5,7,9\}\) प्राप्त होता है। विकल्प B केवल \(A'\) है, जबकि प्रश्न में उसका भी पूरक पूछा गया है। परीक्षा-युक्ति: दो बार पूरक लेने पर सदैव मूल समुच्चय वापस मिलता है। / By the double-complement law, \((A')'=A\). Here, \(A'=\{2,4,6,8,10\}\), and taking the complement once more gives the original set \(A=\{1,3,5,7,9\}\). Option B is only \(A'\), whereas the question asks for its complement as well. Exam tip: the complement of the complement of any set is the set itself.
\(A'=U\setminus A\) होता है। यदि \(A'=\varnothing\), तो \(U\) का कोई भी अवयव \(A\) से बाहर नहीं है; इसलिए \(A\) में \(U\) के सभी अवयव हैं और \(A=U\)। विकल्प B गलत है, क्योंकि \(A=\varnothing\) होने पर उसका पूरक \(U\) होता। विकल्प C में \(A\) को वास्तविक उपसमुच्चय माना गया है, जिससे पूरक अशून्य होगा। परीक्षा-युक्ति: \(A'=\varnothing\iff A=U\), जबकि \(A'=U\iff A=\varnothing\)। / The complement is defined as \(A'=U\setminus A\). If \(A'=\varnothing\), no element of \(U\) lies outside \(A\), so \(A\) contains every element of \(U\) and hence \(A=U\). Option B is incorrect because the complement of \(\varnothing\) is \(U\). Option C incorrectly treats \(A\) as a proper subset, which would leave at least one element in the complement. Exam tip: remember \(A'=\varnothing\iff A=U\), whereas \(A'=U\iff A=\varnothing\).
समुच्चय A और B से संबंधित चार असंयुक्त भाग हैं: �\(A\cap B\)�, �\(A'\cap B\)�, �\(A\cap B'\)� और �\(A'\cap B'\)�। ये मिलकर सार्वत्रिक समुच्चय U बनाते हैं। इसलिए �\(|A'\cap B'|=64-18-12-20=14\)�। अतः सही उत्तर 14 है। परीक्षा-युक्ति: चारों क्षेत्रों की कार्डिनैलिटीज़ का योग हमेशा �(|U|)� के बराबर रखें। / The four mutually disjoint regions determined by A and B are �\(A\cap B\)�, �\(A'\cap B\)�, �\(A\cap B'\)�, and �\(A'\cap B'\)�. Together, they form the universal set U. Hence, �\(|A'\cap B'|=64-18-12-20=14\)�. Therefore, the correct answer is 14. Exam tip: The cardinalities of all four regions must add up to �(|U|)�.
पूरक समुच्चय के लिए \(n(A)+n(A^{c})=n(U)\)। यहाँ \(n(U)=8\) और \(n(A^{c})=3\), इसलिए \(n(A)=8-3=5\)। विकल्प A केवल पूरक समुच्चय की संख्या बताता है, जबकि विकल्प C पूरे सार्वत्रिक समुच्चय की संख्या है। परीक्षा-युक्ति: पूरक दिए होने पर कुल तत्वों में से पूरक के तत्व घटाएँ। / For a complement, \(n(A)+n(A^{c})=n(U)\). Here, \(n(U)=8\) and \(n(A^{c})=3\), so \(n(A)=8-3=5\). Option A gives the cardinality of the complement, while option C gives the cardinality of the universal set. Exam tip: When the complement is known, subtract its cardinality from the cardinality of the universal set.
दिए गए समुच्चयों के लिए \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}=U\)। इसलिए \((A\cup B)^c=U^c\) है। सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष \(U\) का पूरक समुच्चय रिक्त समुच्चय होता है, अतः सही उत्तर \(\varnothing\) है। विकल्प \(U\) गलत है, क्योंकि वह पूरक नहीं बल्कि स्वयं सार्वत्रिक समुच्चय है। परीक्षा-युक्ति: यदि किसी समुच्चय का संघ सार्वत्रिक समुच्चय बन जाए, तो उसके पूरक का मान \(\varnothing\) होता है। / For the given sets, \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}=U\). Hence, \((A\cup B)^c=U^c\). The complement of the universal set relative to itself is the empty set, so the correct answer is \(\varnothing\). Option \(U\) is incorrect because it is the universal set itself, not its complement. Exam tip: whenever a union equals the universal set, its complement is \(\varnothing\).
किसी समुच्चय \(A\) और उसके पूरक \(A^c\) का प्रतिच्छेद रिक्त होता है और दोनों मिलकर सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) बनाते हैं। इसलिए \(n(U)=n(A)+n(A^c)=27+33=60\)। विकल्प 33 और 27 केवल अलग-अलग समुच्चयों की संख्याएँ हैं, जबकि 6 घटाने से प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: पूरक समुच्चय वाले प्रश्नों में \(n(A\cup A^c)=n(A)+n(A^c)\) का उपयोग करें। / A set \(A\) and its complement \(A^c\) are disjoint, and together they form the universal set \(U\). Therefore, \(n(U)=n(A)+n(A^c)=27+33=60\). The values 33 and 27 are the cardinalities of the individual sets, while 6 is obtained by subtraction. Exam tip: For a set and its complement, use \(n(A\cup A^c)=n(A)+n(A^c)\).
पहले \(n(A^c)=\frac{1}{3}\times 96=32\) प्राप्त होता है। चूँकि किसी समुच्चय और उसके पूरक की शक्तियों का योग सार्वत्रिक समुच्चय की शक्ति के बराबर होता है, \(n(A)+n(A^c)=n(U)\)। अतः \(n(A)=96-32=64\)। विकल्प 32 पूरक समुच्चय \(A^c\) की शक्ति है, न कि \(A\) की। परीक्षा-युक्ति: पूरक वाले प्रश्नों में हमेशा \(n(A)+n(A^c)=n(U)\) का प्रयोग करें। / First, \(n(A^c)=\frac{1}{3}\times 96=32\). The cardinalities of a set and its complement add up to the cardinality of the universal set: \(n(A)+n(A^c)=n(U)\). Therefore, \(n(A)=96-32=64\). The value 32 is the cardinality of the complement \(A^c\), not of \(A\). Exam tip: For complement questions, use \(n(A)+n(A^c)=n(U)\).
सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक \(B=A^c=\{1,3,5,7,9\}\) है। इसलिए \(A\) और \(B\) में कोई भी समान अवयव नहीं है तथा \(A\cap B=A\cap A^c=\varnothing\)। विकल्प \(C\) और \(D\) गलत हैं, क्योंकि वे क्रमशः \(A\) और उसके पूरक को दर्शाते हैं, उनके प्रतिच्छेद को नहीं। परीक्षा-युक्ति: किसी भी समुच्चय और उसके पूरक का प्रतिच्छेद हमेशा रिक्त समुच्चय होता है। / The complement of \(A\) in the universal set \(U\) is \(B=A^c=\{1,3,5,7,9\}\). Thus, \(A\) and \(B\) have no common element, so \(A\cap B=A\cap A^c=\varnothing\). Options \(C\) and \(D\) represent \(A\) and its complement separately, not their intersection. Exam tip: The intersection of any set with its complement is always the empty set.
दिया गया है कि \(B=A^c\), अर्थात् \(B\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) में \(A\) के सभी अवयवों के पूरक अवयवों का समुच्चय है। इसलिए \(A\cup B=A\cup A^c=U\)। अतः सही उत्तर \(U\) है। ध्यान रखें: किसी समुच्चय और उसके पूरक का संघ सार्वत्रिक समुच्चय तथा उनका प्रतिच्छेद रिक्त समुच्चय होता है। / Since \(B=A^c\), the set \(B\) contains all elements of the universal set that are not in \(A\). Therefore, \(A\cup B=A\cup A^c=U\), so the correct answer is \(U\). The distractor \(\varnothing\) represents the intersection \(A\cap A^c\), not the union. Exam tip: a set and its complement together cover the entire universal set.
समुच्चय 8A^c9, सार्वत्रिक समुच्चय 8U9 में 8A9 के बाहर के तत्वों का समुच्चय है। इसलिए 8n(A)+n\(A^c\)=n(U)9। यहाँ 8n(U)=109 और 8n\(A^c\)=39, अतः 8n(A)=10-3=79। विकल्प B केवल पूरक समुच्चय के तत्वों की संख्या बताता है। परीक्षा में याद रखें: सीमित सार्वत्रिक समुच्चय के लिए 8n\(A^c\)=n(U)-n(A)9। / The set 8A^c9 contains the elements of the universal set 8U9 that are not in 8A9. Hence, 8n(A)+n\(A^c\)=n(U)9. Here, 8n(U)=109 and 8n\(A^c\)=39, so 8n(A)=10-3=79. Option B gives the number of elements in the complement, not in 8A9. Exam tip: for a finite universal set, use 8n\(A^c\)=n(U)-n(A)9.
समान सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष पूरक लेने पर समावेशन की दिशा उलट जाती है। इसलिए \(A^c\subseteq B^c\) का पूरक लेने पर \(B\subseteq A\) प्राप्त होता है। विकल्प B में समावेशन की दिशा उलटी नहीं की गई है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(X\subseteq Y\) होने पर हमेशा \(Y^c\subseteq X^c\) याद रखें। / With respect to the same universal set, taking complements reverses the direction of inclusion. Thus, from \(A^c\subseteq B^c\), we obtain \(B\subseteq A\). Option B incorrectly keeps the original direction of inclusion. Exam tip: remember that \(X\subseteq Y\) implies \(Y^c\subseteq X^c\).
समुच्चय \(A\) और उसका पूरक \(A^c\) मिलकर सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) बनाते हैं और दोनों असंयुक्त होते हैं। इसलिए \(n(U)=n(A)+n(A^c)\), अतः \(n(A)=72-31=41\)। विकल्प 31, \(A^c\) की संख्या है, जबकि विकल्प 72 पूरे सार्वत्रिक समुच्चय की संख्या है। परीक्षा में याद रखें: \(n(A)+n(A^c)=n(U)\)। / A set \(A\) and its complement \(A^c\) are disjoint and together form the universal set \(U\). Hence, \(n(U)=n(A)+n(A^c)\), so \(n(A)=72-31=41\). The value 31 is the cardinality of \(A^c\), while 72 is the cardinality of the entire universal set. Exam tip: remember \(n(A)+n(A^c)=n(U)\).
किसी समुच्चय \(A\) और उसके पूरक \(A^c\) का संघ सार्वत्रिक समुच्चय होता है, अर्थात् \(A\cup A^c=U\)। इसलिए \(n(A\cup A^c)=n(U)=31\)। विकल्प B गलत है क्योंकि \(A\cap A^c=\varnothing\) होता है। परीक्षा-युक्ति: संघ और पूरक से संबंधित प्रश्नों में \(A\cup A^c=U\) तथा \(A\cap A^c=\varnothing\) याद रखें। / The union of a set \(A\) and its complement \(A^c\) is the universal set, so \(A\cup A^c=U\). Therefore, \(n(A\cup A^c)=n(U)=31\). Option B is incorrect because \(A\cap A^c=\varnothing\), not their union. Exam tip: remember \(A\cup A^c=U\) and \(A\cap A^c=\varnothing\) for complement-based questions.
समुच्चय A और उसका पूरक \(A^c\) असंयुक्त होते हैं और मिलकर सार्वत्रिक समुच्चय U बनाते हैं। इसलिए \(n(A)+n(A^c)=n(U)=24\)। दोनों की सदस्य-संख्या समान है, अतः \(2n(A)=24\), जिससे \(n(A)=12\) प्राप्त होता है। परीक्षा में याद रखें: यदि किसी समुच्चय और उसके पूरक की कार्डिनैलिटी समान हो, तो प्रत्येक की कार्डिनैलिटी सार्वत्रिक समुच्चय की कार्डिनैलिटी की आधी होती है। / A set A and its complement \(A^c\) are disjoint and together form the universal set U. Thus, \(n(A)+n(A^c)=n(U)=24\). Since their cardinalities are equal, \(2n(A)=24\), giving \(n(A)=12\). Exam tip: when a set and its complement have equal cardinality, each contains half the elements of the universal set.
किसी सीमित समुच्चय के लिए \(n(A)+n(A^c)=n(U)\) होता है। इसलिए \(n(A)=48-19=29\)। विकल्प C केवल पूरक समुच्चय की संख्या है, जबकि विकल्प D पूरे सार्वत्रिक समुच्चय की संख्या है। परीक्षा-युक्ति: पूरक समुच्चय की संख्या ज्ञात होने पर उसे सार्वत्रिक समुच्चय की संख्या से घटाएँ। / For a finite set, \(n(A)+n(A^c)=n(U)\). Hence, \(n(A)=48-19=29\). Option C is the cardinality of the complement, while option D is the cardinality of the entire universal set. Exam tip: To find the cardinality of a set from its complement, subtract the complement's cardinality from that of the universal set.
किसी सेट और उसके पूरक के तत्वों की संख्या का संबंध है \(n(A)+n(A')=n(U)\)। अतः \(n(A)=n(U)-n(A')=64-19=45\)। विकल्प D (64) सबसे नज़दीकी भ्रामक उत्तर है पर वह केवल तब सही होगा जब \(A'\) में कोई तत्व न हो; यहाँ \(A'\) में 19 तत्व दिए गए हैं। विकल्प C (19) पूरक का मान है, न कि मूल सेट का। विकल्प B (83) गलत जोड़ (64+19) है और अर्थहीन है। परीक्षा टिप: पूरक का उपयोग करते समय हमेशा नियम \(n(A)+n(A')=n(U)\) याद रखें और घटाव करें। / For any set and its complement, the relation is \(n(A)+n(A')=n(U)\). Therefore \(n(A)=n(U)-n(A')=64-19=45\). Option D (64) is the nearest distractor but would be correct only if the complement had zero elements; here \(A'\) has 19 elements. Option C (19) is the size of the complement, not of \(A\). Option B (83) is an incorrect sum (64+19). Exam tip: Memorize and apply \(n(A)+n(A')=n(U)\) — if you know two quantities, subtract to get the third.
पूरक समुच्चय के गुण के अनुसार \(n(A)+n(A')=n(U)\)। इसलिए \(n(A)=50-22=28\)। अतः सही उत्तर 28 है। 22 केवल पूरक समुच्चय की cardinality है, जबकि 50 पूरे सार्वत्रिक समुच्चय की cardinality है। परीक्षा-युक्ति: पूरक से संबंधित प्रश्नों में \(n(A)=n(U)-n(A')\) सूत्र याद रखें। / For a set and its complement, \(n(A)+n(A')=n(U)\). Therefore, \(n(A)=50-22=28\), so the correct answer is 28. The value 22 is the cardinality of the complement, while 50 is the cardinality of the universal set. Exam tip: remember the direct formula \(n(A)=n(U)-n(A')\) when the complement is given.
