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(A) में (18), (B) में (8) और \(A\cap B\) में (36) के (2) गुणज हैं, इसलिए \(|A\cup B|=18+8-2=24\)। अतः (|\(A\cup B\)'|=72-24=48)। / (A) has (18) elements, (B) has (8), and \(A\cap B\) has (2) multiples of (36), so \(|A\cup B|=24\). Hence (|\(A\cup B\)'|=72-24=48).
(A'\cap B'=\(A\cup B\)') होता है। \(|A\cup B|=18+12-6=24\), इसलिए पूरक में (36-24=12) अवयव हैं। / (A'\cap B'=\(A\cup B\)'). Since \(|A\cup B|=18+12-6=24\), the complement has (36-24=12) elements.
\(A\cap B\) में (\operatorname{lcm}(6,14)=42) के गुणज हैं, यानी ({42,84})। इसलिए (|\(A\cap B\)'|=84-2=82)। / \(A\cap B\) contains multiples of (\operatorname{lcm}(6,14)=42), namely ({42,84}). Therefore (|\(A\cap B\)'|=84-2=82).
\(x^2-4x\le 0\Rightarrow 0\le x\le 4\), इसलिए \(A=\{0,1,2,3,4\}\)। (U) के बाकी पूर्णांक (A') बनाते हैं। / \(x^2-4x\le 0\Rightarrow 0\le x\le 4\), so \(A=\{0,1,2,3,4\}\). The remaining integers of (U) form (A').
(A) में (-3) और (10) शामिल हैं, पर (4) और (7) शामिल नहीं हैं। इसलिए पूरक (\(-\infty,-3\)\cup[4,7]\cup\(10,\infty\)) है। / (A) includes (-3) and (10), but excludes (4) and (7). Therefore the complement is (\(-\infty,-3\)\cup[4,7]\cup\(10,\infty\)).
\(A\cap B=[-1,2]\), इसलिए उसका पूरक (\(-\infty,-1\)\cup\(2,\infty\)) है। अंतरालों में सीमा बिंदुओं पर ध्यान दें। / \(A\cap B=[-1,2]\), so its complement is (\(-\infty,-1\)\cup\(2,\infty\)). Watch the endpoints in interval questions.
\(A\subseteq B'\) का अर्थ है कि (A) का कोई अवयव (B) में नहीं है। इसलिए \(A\cap B=\varnothing\) होगा। / \(A\subseteq B'\) means no element of (A) is in (B). Therefore \(A\cap B=\varnothing\).
(|A|=58) और (|B|=74), इसलिए \(|A\cup B|=58+74-31=101\)। अतः (|\(A\cup B\)'|=150-101=49)। / (|A|=58) and (|B|=74), so \(|A\cup B|=58+74-31=101\). Hence (|\(A\cup B\)'|=150-101=49).
(1) से (40) तक (20) विषम संख्याएँ हैं और उनमें (10) अभाज्य हैं। इसलिए विषम पर अभाज्य नहीं संख्याएँ (20-10=10) हैं। / There are (20) odd numbers from (1) to (40), and (10) of them are prime. So odd but not prime numbers are (20-10=10).
डी मॉर्गन नियम से (\(A'\cap B\)'=(A')'\cup B'=A\cup B')। पूरक लेते समय \(\cap\) बदलकर \(\cup\) होता है। / By De Morgan's law, (\(A'\cap B\)'=(A')'\cup B'=A\cup B'). When taking complement, \(\cap\) changes to \(\cup\).
डी मॉर्गन से (A'\cap B'=\(A\cup B\)')। चूंकि \(A\cup B=U\), इसलिए (\(A\cup B\)'=\varnothing)। / By De Morgan, (A'\cap B'=\(A\cup B\)'). Since \(A\cup B=U\), (\(A\cup B\)'=\varnothing).
समावेशन-बहिष्करण से \(|A\cup B\cup C|=45+30+18-15-9-6+3=66\)। इसलिए पूरक में (90-66=24) अवयव हैं। / By inclusion-exclusion, \(|A\cup B\cup C|=45+30+18-15-9-6+3=66\). So the complement has (90-66=24) elements.
(\(A\cup B\)'=A'\cap B') और \({b,e,i}\cap{a,d,j}=\varnothing\)। दिए गए पूरकों पर सीधे डी मॉर्गन लगाएं। / (\(A\cup B\)'=A'\cap B'), and \({b,e,i}\cap{a,d,j}=\varnothing\). Apply De Morgan directly to the given complements.
\(A'\cap B'\) में वे अवयव होते हैं जो न पूर्ण वर्ग हैं और न (5) के गुणज। (22) इन दोनों शर्तों को पूरा करता है। / \(A'\cap B'\) contains elements that are neither perfect squares nor multiples of (5). (22) satisfies both conditions.
\(A-B=A\cap B'\), और यह रिक्त है तो (A) का कोई अवयव (B) के बाहर नहीं है। इसलिए \(A\subseteq B\) है। / \(A-B=A\cap B'\), and if it is empty, no element of (A) lies outside (B). Hence \(A\subseteq B\).
चार असंयुक्त भागों का योग (|U|) होता है। इसलिए \(|A'\cap B'|=64-18-12-20=14\)। / The four disjoint regions add up to (|U|). Therefore \(|A'\cap B'|=64-18-12-20=14\).
(A'\cup B'=\(A\cap B\)') और \(A\cap B\) में (6) के (5) गुणज हैं। इसलिए संख्या (30-5=25) है। / (A'\cup B'=\(A\cap B\)'), and \(A\cap B\) has (5) multiples of (6). So the count is (30-5=25).
(0) और (10) (A) में हैं, जबकि (4) और (7) (A) में नहीं हैं। इसलिए पूरक (\(-\infty,0\)\cup[4,7]\cup\(10,\infty\)) है। / (0) and (10) are in (A), while (4) and (7) are not in (A). So the complement is (\(-\infty,0\)\cup[4,7]\cup\(10,\infty\)).
\(A\cap A'\) हमेशा \(\varnothing\) होता है, इसलिए यह (U) नहीं हो सकता जब \(U\neq\varnothing\)। पूरक और मूल समुच्चय असंयुक्त होते हैं। / \(A\cap A'\) is always \(\varnothing\), so it cannot be (U) when \(U\neq\varnothing\). A set and its complement are disjoint.
(B) में (8) अवयव हैं और \(A\cap B\) में (12) के (4) गुणज हैं। इसलिए \(A'\cap B\) में (8-4=4) अवयव हैं। / (B) has (8) elements, and \(A\cap B\) has (4) multiples of (12). Therefore \(A'\cap B\) has (8-4=4) elements.
(|U|=18) और (|A'|=7), इसलिए (|A|=18-7=11)। पूरक की संख्या कुल से घटाकर मिलती है। / (|U|=18) and (|A'|=7), so (|A|=18-7=11). The count of a set is obtained by subtracting its complement from the total.
\(x^2-9>0\Rightarrow x<-3\) या (x>3)। इसका पूरक \(-3\le x\le 3\), यानी ([-3,3]) है। / \(x^2-9>0\Rightarrow x<-3\) or (x>3). Its complement is \(-3\le x\le 3\), that is ([-3,3]).
(A-B={1,2,3}), इसलिए इसका पूरक (U-{1,2,3}) है। अतः सही समुच्चय ({4,5,6,7,8,9,10,11,12}) है। / (A-B={1,2,3}), so its complement is (U-{1,2,3}). Thus the correct set is ({4,5,6,7,8,9,10,11,12}).
(A') वे संख्याएँ हैं जो (7) से विभाज्य हैं। (100) तक (7) के \(\left\lfloor \frac{100}{7}\right\rfloor=14\) गुणज हैं। / (A') is the set of numbers divisible by (7). Up to (100), there are \(\left\lfloor \frac{100}{7}\right\rfloor=14\) multiples of (7).
सममित अंतर में वे अवयव हैं जो केवल एक समुच्चय में हों। उसका पूरक वे अवयव हैं जो दोनों में हों या दोनों में न हों, यानी (\(A\cap B\)\cup\(A'\cap B'\))। / The symmetric difference contains elements in exactly one set. Its complement contains elements in both or in neither, that is (\(A\cap B\)\cup\(A'\cap B'\)).
(A') विषम संख्याएँ हैं और (B') अभाज्य नहीं संख्याएँ हैं। इनमें ({1,9,15,21}) नहीं बल्कि (U) में ({1,9,15}) के साथ ({? }) सोचने की गलती न करें; सही समुच्चय ({1,9,15}) और (? ) नहीं, बल्कि ({1,9,15}) केवल (3) हैं। / (A') is the set of odd numbers and (B') is the set of non-prime numbers. The correct odd non-primes in (U) are ({1,9,15}), so the count is (3).
(A) में (-4) शामिल है और (3) शामिल नहीं है। इसलिए पूरक में (-4) नहीं और (3) शामिल होगा, अर्थात ((-4,3])। / (A) includes (-4) and excludes (3). So the complement excludes (-4) and includes (3), giving ((-4,3]).
यदि \(A\cup B'=B'\), तो (A) में कोई नया अवयव नहीं जुड़ रहा। इसलिए \(A\subseteq B'\) है। / If \(A\cup B'=B'\), adding (A) adds no new element. Therefore \(A\subseteq B'\).
साझा (B') लेने पर (\(A\cap B'\)\cup\(A'\cap B'\)=B'\cap\(A\cup A'\))। चूंकि \(A\cup A'=U\), परिणाम (B') है। / Factoring (B') gives (\(A\cap B'\)\cup\(A'\cap B'\)=B'\cap\(A\cup A'\)). Since \(A\cup A'=U\), the result is (B').
\(A\cap B\) में (\operatorname{lcm}(6,10)=30) के गुणज हैं, यानी (30,60)। इसलिए पूरक में (60-2=58) अवयव हैं। / \(A\cap B\) contains multiples of (\operatorname{lcm}(6,10)=30), namely (30,60). Hence the complement has (60-2=58) elements.
(B') विषम संख्याएँ हैं और (A) पूर्ण वर्गों का समुच्चय है। इनके प्रतिच्छेद में ({1,9}) आते हैं। / (B') is the set of odd numbers, and (A) is the set of perfect squares. Their intersection is ({1,9}).
प्राकृतिक संख्याओं में (1) न अभाज्य है न संयुक्त, इसलिए वह संयुक्त संख्याओं के पूरक में आएगा। (A') में (1) और सभी अभाज्य संख्याएँ होंगी। / In natural numbers, (1) is neither prime nor composite, so it belongs to the complement of composite numbers. (A') contains (1) and all prime numbers.
(A'\cup B'=\(A\cap B\)') और \(A\cap B=(2,5)\) है। इसलिए पूरक (\(-\infty,2]\cup[5,\infty\)) होगा। / (A'\cup B'=\(A\cap B\)'), and \(A\cap B=(2,5)\). Therefore the complement is (\(-\infty,2]\cup[5,\infty\)).
यदि पूरक रिक्त है, तो (U) का कोई भी अवयव (A) के बाहर नहीं है। इसलिए (A=U) है। / If the complement is empty, no element of (U) lies outside (A). Therefore (A=U).
(A') में (27-9=18) अवयव हैं और \(B\subseteq A\), इसलिए \(A'\cap B=\varnothing\)। (B) में (3) अवयव हैं, अतः कुल (18+3=21) है। / (A') has (27-9=18) elements and \(B\subseteq A\), so \(A'\cap B=\varnothing\). (B) has (3) elements, hence the total is (18+3=21).
क्योंकि \(C\subseteq A\), इसलिए \(A\cup B\cup C=A\cup B\)। \(|A\cup B|=12+8-4=16\), अतः पूरक (24-16=8) है। / Since \(C\subseteq A\), \(A\cup B\cup C=A\cup B\). \(|A\cup B|=12+8-4=16\), so the complement is (24-16=8).
\(A\cup B=(1,7)\) क्योंकि (4) दोनों ओर से जुड़ा है और (7) शामिल नहीं है। इसलिए पूरक (\(-\infty,1]\cup[7,\infty\)) है। / \(A\cup B=(1,7)\) because the intervals join at (4), and (7) is not included. Hence the complement is (\(-\infty,1]\cup[7,\infty\)).
(\(A\cup B\)') में वे संख्याएँ हैं जो न (2) से और न (3) से विभाज्य हैं। इनमें सबसे छोटी संख्या (1) है। / (\(A\cup B\)') contains numbers divisible by neither (2) nor (3). The smallest such number is (1).
डी मॉर्गन नियम के अनुसार (\(A\cup B\)'=A'\cap B') हर स्थिति में सत्य है। \(A\cap B=\varnothing\) यहां अतिरिक्त जानकारी है। / By De Morgan's law, (\(A\cup B\)'=A'\cap B') is true in all cases. The condition \(A\cap B=\varnothing\) is extra information here.
(A') सम संख्याएँ हैं और (B') वे संख्याएँ हैं जो अभाज्य सूची में नहीं हैं। उनका प्रतिच्छेद ({4,6,8,10,12,14}) है। / (A') is the set of even numbers, and (B') contains numbers not in the prime list. Their intersection is ({4,6,8,10,12,14}).
पहले भाग के पूरक में (0) और (2) की स्थिति बदलती है, और दूसरे भाग में (5) बाहर नहीं आएगा पर (9) आएगा। सही पूरक (\(-\infty,0]\cup[2,5\)\cup[9,\infty)) है। / The complement changes the endpoint status of (0), (2), (5), and (9). The correct complement is (\(-\infty,0]\cup[2,5\)\cup[9,\infty)).
(A'\cup B'=\(A\cap B\)')। यदि यह (U) है, तो \(A\cap B\) का पूरक (U) है, इसलिए \(A\cap B=\varnothing\)। / (A'\cup B'=\(A\cap B\)'). If this is (U), then the complement of \(A\cap B\) is (U), so \(A\cap B=\varnothing\).
(1) से (21) तक (11) विषम संख्याएँ हैं और उनमें (3,9,15,21) (3) से विभाज्य हैं। इसलिए (A') में विषम अवयव (11-4=7) हैं। / From (1) to (21), there are (11) odd numbers, and (3,9,15,21) are divisible by (3). So odd elements in (A') are (11-4=7).
\(x^2-2x-8\le 0\Rightarrow -2\le x\le 4\)। इसका पूरक (x<-2) या (x>4), यानी (\(-\infty,-2\)\cup\(4,\infty\)) है। / \(x^2-2x-8\le 0\Rightarrow -2\le x\le 4\). Its complement is (x<-2) or (x>4), that is (\(-\infty,-2\)\cup\(4,\infty\)).
एक कक्षा के (80) विद्यार्थियों में (46) क्रिकेट खेलते हैं, (38) फुटबॉल खेलते हैं और (20) दोनों खेलते हैं। कोई भी खेल न खेलने वाले विद्यार्थियों की संख्या कितनी है?
\(|C\cup F|=46+38-20=64\), इसलिए न कोई खेल खेलने वाले (|\(C\cup F\)'|=80-64=16) हैं। neither को संघ के पूरक के रूप में पढ़ें। / \(|C\cup F|=46+38-20=64\), so those playing neither are (|\(C\cup F\)'|=80-64=16). Read neither as the complement of the union.
