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A का पूरक A′ उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो सार्वत्रिक समुच्चय U में हैं, लेकिन A में नहीं हैं। U में से 1, 3 और 5 हटाने पर 2 और 4 बचते हैं, इसलिए A′ = {2, 4}। विकल्प B, A का ही समुच्चय है, पूरक नहीं। परीक्षा-सुझाव: पूरक ज्ञात करते समय सबसे पहले सार्वत्रिक समुच्चय U को देखें। / The complement A′ consists of all elements that belong to the universal set U but do not belong to A. Removing 1, 3, and 5 from U leaves 2 and 4, so A′ = {2, 4}. Option B is the set A itself, not its complement. Exam tip: Always identify the universal set before finding a complement.
(A) में (12) के भाजक (1,2,3,4,6,12) हैं, इसलिए बाकी अवयव (A') में आते हैं। पहले शर्त से (A) बनाएं। / (A) contains the divisors (1,2,3,4,6,12) of (12), so the remaining elements are in (A'). First form (A) from the condition.
(B') में (U) से (B) के अवयव हटाए जाते हैं। पूरक निकालते समय बाहरी समुच्चय को (U) मानें। / (B') is found by removing elements of (B) from (U). While finding complement, treat (U) as the outer set.
A. \((W'={\)सोमवार,मंगलवार,बुधवार,गुरुवार,शुक्रवार})/\((W'={\)Monday,Tuesday,Wednesday,Thursday,Friday})
Explanation
Simple Explanation
(W) सप्ताहांत के दिनों का समुच्चय है, इसलिए (W') में बाकी पांच दिन आएंगे। पूरक हमेशा (U) के संदर्भ में निकालें। / (W) is the set of weekend days, so (W') contains the other five days. Always find complement with respect to (U).
(A) में (4) और (8) हैं, इसलिए शेष (2,6,10) पूरक में होंगे। गलती से (A) को ही उत्तर न मानें। / Since (A) has (4) and (8), the remaining (2,6,10) are in the complement. Do not mistakenly choose (A) itself.
\(A\cup B={1,2,3,4,6,7}\), इसलिए (U) में बचे (5,8,9) पूरक हैं। पहले संघ निकालना जरूरी है। / \(A\cup B={1,2,3,4,6,7}\), so the remaining (5,8,9) in (U) are the complement. Finding the union first is necessary.
यहाँ \(U=\{1,2,3,4,5,6\}\) है और (A) हटाने पर (4,5,6) बचते हैं। \(\mathbb{N}\) की सीमा ध्यान से पढ़ें। / Here \(U=\{1,2,3,4,5,6\}\), and after removing (A), (4,5,6) remain. Read the limit of \(\mathbb{N}\) carefully.
(U) में (-2,-1,0,1,2) हैं और (A) हटाने पर (-2,2) बचते हैं। अंतराल की दोनों सीमाएं शामिल हैं। / (U) contains (-2,-1,0,1,2), and removing (A) leaves (-2,2). Both endpoints of the interval are included.
खाली समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता, इसलिए उसका पूरक पूरा (U) होता है। याद रखें \(\varnothing'=U\)। / The empty set has no elements, so its complement is the whole (U). Remember \(\varnothing'=U\).
(A') में (1) से (14) तक की सम संख्याएं आएंगी, जिनकी संख्या (7) है। विषम का पूरक यहां सम है। / (A') contains the even numbers from (1) to (14), and their count is (7). Here the complement of odd is even.
यदि \(A' = U\setminus A\), तो \((A')' = U\setminus(U\setminus A)=A\)। इसलिए किसी समुच्चय का पूरक लेने के बाद फिर से पूरक लेने पर मूल समुच्चय प्राप्त होता है। विकल्प \(A'\) केवल पहली बार लिए गए पूरक को दर्शाता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: दोहरे पूरक का नियम याद रखें—\((A')'=A\)। / If \(A' = U\setminus A\), then \((A')' = U\setminus(U\setminus A)=A\). Thus, taking the complement twice returns the original set. The option \(A'\) represents only the first complement, so it is not correct. Exam tip: remember the double-complement law, \((A')'=A\).
यदि (A') दिया हो, तो (U) से (A') हटाकर (A) मिलता है। पूरक उल्टा पढ़ने पर भी (U) जरूरी है। / If (A') is given, removing (A') from (U) gives (A). Even in reverse complement questions, (U) is necessary.
(V') में (e,o) हैं, इसलिए (U) में बचे (a,i,u) ही (V) हैं। ऐसे प्रश्नों में दिए गए पूरक को पहले हटाएं। / (V') contains (e,o), so the remaining (a,i,u) in (U) form (V). In such questions, first remove the given complement.
(A) सम संख्याओं का समुच्चय है, इसलिए पूरक विषम संख्याएं होंगी। सेट-बिल्डर में शर्त को ध्यान से पढ़ें। / (A) is the set of even numbers, so the complement contains odd numbers. Read the condition in set-builder form carefully.
(A) में (5) से छोटी संख्याएं (1,2,3,4) हैं, इसलिए पूरक (5) से शुरू होगा। असमानता (x<5) में (5) शामिल नहीं होता। / (A) contains numbers less than (5), namely (1,2,3,4), so the complement starts from (5). The inequality (x<5) does not include (5).
(A) में (7,8,9,10) हैं, इसलिए पूरक (1) से (6) तक है। \(x\ge 7\) में (7) भी (A) में आएगा। / (A) contains (7,8,9,10), so the complement is from (1) to (6). In \(x\ge 7\), (7) is also in (A).
समुच्चय A में 4 अवयव हैं और सार्वत्रिक समुच्चय U में कुल 12 अवयव हैं। इसलिए A के पूरक A' में U के वे अवयव होंगे जो A में नहीं हैं, अतः n(A') = n(U) − n(A) = 12 − 4 = 8। विकल्प 4, A के अवयवों की संख्या है, पूरक की नहीं। परीक्षा में पूरक की संख्या ज्ञात करने के लिए कुल अवयवों में से मूल समुच्चय के अवयव घटाएँ। / Set A has 4 elements, while the universal set U has 12 elements. The complement A' contains the elements of U that are not in A, so n(A') = n(U) − n(A) = 12 − 4 = 8. Option 4 is the number of elements in A, not in its complement. Exam tip: subtract the cardinality of the set from that of the universal set to find the cardinality of its complement.
किसी समुच्चय के पूरक के अवयवों की संख्या का सूत्र n(A')=n(U)-n(A) है। अतः n(A')=30-18=12। विकल्प 48 जोड़ने से प्राप्त होता है, जबकि पूरक ज्ञात करने के लिए सार्वत्रिक समुच्चय से n(A) घटाया जाता है। परीक्षा-युक्ति: सीमित समुच्चय के लिए n(A)+n(A')=n(U) याद रखें। / The number of elements in the complement is given by n(A')=n(U)-n(A). Therefore, n(A')=30-18=12. The value 48 results from addition, but the complement is found by subtracting the number of elements in A from the universal set. Exam tip: Remember n(A)+n(A')=n(U) for a finite universal set.
पूरक समुच्चय के गुण के अनुसार \(n(A)+n(A')=n(U)\)। इसलिए \(n(A)=50-22=28\)। अतः सही उत्तर 28 है। 22 केवल पूरक समुच्चय की cardinality है, जबकि 50 पूरे सार्वत्रिक समुच्चय की cardinality है। परीक्षा-युक्ति: पूरक से संबंधित प्रश्नों में \(n(A)=n(U)-n(A')\) सूत्र याद रखें। / For a set and its complement, \(n(A)+n(A')=n(U)\). Therefore, \(n(A)=50-22=28\), so the correct answer is 28. The value 22 is the cardinality of the complement, while 50 is the cardinality of the universal set. Exam tip: remember the direct formula \(n(A)=n(U)-n(A')\) when the complement is given.
समुच्चय \(A\) और उसका पूरक \(A'\) एक-दूसरे से असंयुक्त होते हैं और मिलकर सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) बनाते हैं। इसलिए \(n(U)=n(A)+n(A')=15+35=50\)। विकल्प 35 केवल \(A'\) के सदस्यों की संख्या है। परीक्षा-युक्ति: \(A\cup A'=U\) और \(n(U)=n(A)+n(A')\) का उपयोग करें। / The set \(A\) and its complement \(A'\) are disjoint and together form the universal set \(U\). Therefore, \(n(U)=n(A)+n(A')=15+35=50\). The value 35 represents only the number of elements in \(A'\). Exam tip: use \(A\cup A'=U\) and hence \(n(U)=n(A)+n(A')\).
पहले A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} प्राप्त होता है। U में मौजूद लेकिन A ∪ B में न आने वाला एकमात्र अवयव 6 है, इसलिए (A ∪ B)′ = {6}। विकल्प B संघ को ही दर्शाता है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले संघ या प्रतिच्छेद निकालें, फिर दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष पूरक लें। / First, A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}. The only element of U that is not in A ∪ B is 6, so (A ∪ B)′ = {6}. Option B gives the union itself, not its complement. Exam tip: Find the required union or intersection first, then take its complement with respect to the universal set.
पहले दोनों समुच्चयों के सामान्य अवयव लेते हैं: \(A\cap B=\{b,d\}\)। अब \(U\) में से \(b\) और \(d\) हटाने पर \((A\cap B)'=U\setminus\{b,d\}=\{a,c,e\}\) मिलता है। विकल्प B केवल प्रतिच्छेद है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के अवयवों में से संबंधित समुच्चय के अवयव हटाएँ। / First find the common elements: \(A\cap B=\{b,d\}\). The complement is taken within \(U\), so \((A\cap B)'=U\setminus\{b,d\}=\{a,c,e\}\). Option B is only the intersection, not its complement. Exam tip: for a complement, subtract every element of the given set from the universal set.
(A'={5,6}) और (B'={1,2,6}), इसलिए प्रतिच्छेद ({6}) है। पूरक अलग-अलग निकालकर मिलाएं। / (A'={5,6}) and (B'={1,2,6}), so the intersection is ({6}). Find complements separately and then combine.
(A'={2,4,6,7}) और (B'={1,4,5,7}), इसलिए संघ ({1,2,4,5,6,7}) है। यह (\(A\cap B\)') के बराबर भी है। / (A'={2,4,6,7}) and (B'={1,4,5,7}), so the union is ({1,2,4,5,6,7}). It is also equal to (\(A\cap B\)').
पूरक में वही अवयव होते हैं जो (U) में हैं पर (A) में नहीं हैं। परिभाषा में (U) का उल्लेख जरूरी है। / Complement contains elements that are in (U) but not in (A). Mentioning (U) is necessary in the definition.
\(U-A\) में सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के वे सभी अवयव लिए जाते हैं जो \(A\) में नहीं हैं। इसलिए \(1\) और \(2\) को हटाने पर \(U-A=\{3,4,5\}\) प्राप्त होता है। यह \(A\) का \(U\) के सापेक्ष पूरक, अर्थात् \(A'\), भी है। ध्यान रखें कि समुच्चय का अंतर निकालते समय पहले समुच्चय के वे अवयव रखें जो दूसरे समुच्चय में उपस्थित नहीं हैं। / In \(U-A\), we retain the elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\). Removing \(1\) and \(2\) from \(U\) gives \(U-A=\{3,4,5\}\). This is also the complement of \(A\) with respect to \(U\), written as \(A'\). Exam tip: for set difference, keep elements of the first set that do not belong to the second set.
बड़े समुच्चय का पूरक छोटे समुच्चय के पूरक में समाहित होता है। समावेशन पूरक लेने पर उलट जाता है। / The complement of the larger set is contained in the complement of the smaller set. Inclusion reverses after taking complement.
A. \(A'\subseteq U\) हमेशा सत्य है/\(A'\subseteq U\) is always true
Explanation
Simple Explanation
(A') के सभी अवयव (U) से ही लिए जाते हैं, इसलिए \(A'\subseteq U\)। पूरक कभी (U) के बाहर नहीं जाता। / All elements of (A') are taken from (U), so \(A'\subseteq U\). Complement never goes outside (U).
हर समुच्चय और उसका पूरक मिलकर पूरा (U) बनाते हैं। (A) अलग से निकालने की जरूरत नहीं है। / Every set and its complement together form the whole (U). There is no need to find (A) separately.
कोई अवयव (A) और (A') दोनों में नहीं होता, इसलिए प्रतिच्छेद खाली है। यह नियम हर समुच्चय पर लागू होता है। / No element belongs to both (A) and (A'), so the intersection is empty. This rule applies to every set.
(P) में (10) तक की अभाज्य संख्याएं हैं, इसलिए बाकी अवयव पूरक हैं। (1) अभाज्य नहीं है और पूरक में आएगा। / (P) contains prime numbers up to (10), so the remaining elements are in the complement. (1) is not prime and will be in the complement.
(S) में (1,4,9) हैं, इसलिए (U) के बाकी (2,3,5,6,7,8) पूरक हैं। पहले \(U={1,2,\ldots,9}\) लिखना सहायक है। / (S) has (1,4,9), so the remaining elements of (U), (2,3,5,6,7,8), are in the complement. Writing \(U={1,2,\ldots,9}\) first helps.
(C') में वे रंग आएंगे जो (U) में हैं पर (C) में नहीं हैं। शब्दों वाले समुच्चयों में भी वही नियम लागू होता है। / (C') contains colors that are in (U) but not in (C). The same rule applies to sets with words.
(n(U)=15) और (n(M)=3), इसलिए (n(M')=12)। पूरक की संख्या के लिए कुल में से चुने गए अवयव घटाएं। / (n(U)=15) and (n(M)=3), so (n(M')=12). For the number of complement elements, subtract selected elements from the total.
\(A'\cup A=U\), इसलिए उत्तर पूरा सार्वत्रिक समुच्चय है। विकल्पों में (U) को सूची रूप में पहचानें। / \(A'\cup A=U\), so the answer is the whole universal set. Identify (U) in list form among the options.
(A) और (A') असंयुक्त होते हैं, इसलिए उनका प्रतिच्छेद \(\varnothing\) है। पूरक में (A) का कोई अवयव नहीं रहता। / (A) and (A') are disjoint, so their intersection is \(\varnothing\). No element of (A) remains in its complement.
\(A\cup B={1,2,3,4,5,6,7}\), इसलिए पूरक ({8,9}) है। पहले सभी शामिल अवयवों का संघ बनाएं। / \(A\cup B={1,2,3,4,5,6,7}\), so the complement is ({8,9}). First form the union of all included elements.
\(A\cap B={3,5}\), इसलिए (U) से इन्हें हटाने पर पूरक मिलता है। पहले प्रतिच्छेद निकालना जरूरी है। / \(A\cap B={3,5}\), so removing these from (U) gives the complement. Finding the intersection first is necessary.
समुच्चय \\(A\\) का \\(U\\) के सापेक्ष पूरक \\(A'=U-A=\\{1,3,5,6\\}\\) है। चूँकि \\(A'\\) और \\(A\\) में कोई समान अवयव नहीं है, इसलिए \\(A'-A=A'=\\{1,3,5,6\\}\\)। विकल्प B केवल \\(A\\) है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय पहले सार्वत्रिक समुच्चय में से दिए गए समुच्चय के अवयव हटाएँ। / The complement of \\(A\\) with respect to \\(U\\) is \\(A'=U-A=\\{1,3,5,6\\}\\). Since \\(A'\\) and \\(A\\) have no common elements, removing \\(A\\) from \\(A'\\) does not change it; hence \\(A'-A=A'=\\{1,3,5,6\\}\\). Option B is just \\(A\\), not its complement. Exam tip: To find a complement, remove the elements of the given set from the universal set.
दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष \(A'=\{2,3,4\}\) है। चूँकि \(A\) और \(A'\) असंयुक्त समुच्चय हैं, इसलिए \(A\) में से \(A'\) के किसी भी अवयव को हटाना नहीं पड़ेगा; अतः \(A-A'=A=\{1,5,6\}\)। ध्यान रखें कि \(A\cap A'=\varnothing\), जबकि \(A-A'\), \(A\cap A'\) नहीं है। / With respect to the given universal set, \(A'=\{2,3,4\}\). Since a set and its complement are disjoint, removing the elements of \(A'\) from \(A\) removes nothing. Therefore, \(A-A'=A=\{1,5,6\}\). Exam tip: do not confuse set difference \(A-A'\) with intersection \(A\cap A'\), which is \(\varnothing\).
(A) में (2) के गुणज हैं, इसलिए पूरक में गैर-गुणज (1,3,5,7,9) होंगे। शर्त को (U) के अंदर ही लागू करें। / (A) contains multiples of (2), so the complement contains non-multiples (1,3,5,7,9). Apply the condition only inside (U).
\(A={13,14,\ldots,20}\) में (8) अवयव हैं, इसलिए (A') में (12) अवयव होंगे। (x>12) में (12) शामिल नहीं है। / \(A={13,14,\ldots,20}\) has (8) elements, so (A') has (12) elements. (x>12) does not include (12).
\(A\cap B={3,4}\), इसलिए पूरक में (10-2=8) अवयव होंगे। प्रतिच्छेद की संख्या कुल से घटाएं। / \(A\cap B={3,4}\), so the complement has (10-2=8) elements. Subtract the size of the intersection from the total.
(A') में (A) के अवयव नहीं आते, इसलिए (n) (A') में नहीं होगा। ऐसे प्रश्नों में नहीं शब्द को ध्यान से पढ़ें। / Elements of (A) do not appear in (A'), so (n) will not be in (A'). In such questions, read the word not carefully.
(A) में (4) तक के अवयव हैं, इसलिए पूरक में (4) से बड़े अवयव होंगे। असमानता का उल्टा करते समय बराबरी हटती है। / (A) contains elements up to (4), so the complement contains elements greater than (4). When reversing the inequality, equality is removed.
