Level 19 • 50/50 questions • 35 seconds per question.
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A. ({1,5,7,11})
(A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c) होता है। \(A\cup B={2,3,4,6,8,9,10,12}\), इसलिए बचे तत्व उत्तर हैं। / (A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c). Since \(A\cup B={2,3,4,6,8,9,10,12}\), the remaining elements are the answer.
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A. ({1,2,3,6,7,8,9,10})
(A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c) होता है। \(A\cap B={4,5}\), इसलिए (U) से इसे हटाने पर उत्तर मिलता है। / (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c). Since \(A\cap B={4,5}\), remove it from (U) to get the answer.
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A. 12
1 से 20 तक अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 और 19 हैं, इसलिए \(n(A)=8\)। पूरक समुच्चय के सूत्र \(n(A^c)=n(U)-n(A)\) से \(n(A^c)=20-8=12\)। ध्यान रखें कि 1 अभाज्य संख्या नहीं है, इसलिए वह \(A^c\) में शामिल होगा। / The prime numbers from 1 to 20 are 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 and 19, so \(n(A)=8\). Using \(n(A^c)=n(U)-n(A)\), we get \(n(A^c)=20-8=12\). Remember that 1 is not a prime number, so it belongs to \(A^c\).
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A. \(\{-4,-3,3,4\}\)
असमानता \(x^2\le 4\) का अर्थ \(-2\le x\le 2\) है। चूँकि \(x\) पूर्णांक है, इसलिए \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\)। सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\) में A के अतिरिक्त तत्व \(\{-4,-3,3,4\}\) हैं, अतः यही \(A^c\) है। विकल्प B, A स्वयं है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक ज्ञात करने के लिए पहले सार्वत्रिक समुच्चय में से A के सभी तत्व हटा दें। / The inequality \(x^2\le 4\) is equivalent to \(-2\le x\le 2\). Since \(x\) is an integer, \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\). The universal set is \(U=\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\), so the elements of U not in A are \(\{-4,-3,3,4\}\). Hence, this is \(A^c\). Option B is A itself, not its complement. Exam tip: To find a complement, remove every element of the given set from the universal set.
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If (U=[-2,6]) and (A=(1,4]), what is \(A^c\)?
A. ([-2,1]\cup(4,6])
(1) (A) में नहीं है, इसलिए पूरक में शामिल होगा। (4) (A) में है, इसलिए पूरक (4) के बाद शुरू होगा। / (1) is not in (A), so it is included in the complement. (4) is in (A), so the complement starts after (4).
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If (U=(-5,5]) and (A=[-1,3)), what is \(A^c\)?
A. \((-5,-1)\cup[3,5]\)
(-1) (A) में है, इसलिए पूरक में नहीं आएगा। (3) (A) में नहीं है, इसलिए पूरक में शामिल होगा। / (-1) is in (A), so it is not in the complement. (3) is not in (A), so it is included in the complement.
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If \(A\subseteq B\subseteq U\), which of the following is always true?
A. \(B^c\subseteq A^c\)
पूरक लेने पर समावेशन का क्रम उलट जाता है। इसलिए \(A\subseteq B\) से \(B^c\subseteq A^c\) मिलता है। / The order of inclusion reverses after taking complements. Thus \(A\subseteq B\) gives \(B^c\subseteq A^c\).
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If \(A^c\subseteq B^c\), which of the following conclusions is correct?
A. \(B\subseteq A\)
समान सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष पूरक लेने पर समावेशन की दिशा उलट जाती है। इसलिए \(A^c\subseteq B^c\) का पूरक लेने पर \(B\subseteq A\) प्राप्त होता है। विकल्प B में समावेशन की दिशा उलटी नहीं की गई है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(X\subseteq Y\) होने पर हमेशा \(Y^c\subseteq X^c\) याद रखें। / With respect to the same universal set, taking complements reverses the direction of inclusion. Thus, from \(A^c\subseteq B^c\), we obtain \(B\subseteq A\). Option B incorrectly keeps the original direction of inclusion. Exam tip: remember that \(X\subseteq Y\) implies \(Y^c\subseteq X^c\).
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A. 10
समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत से �(n\(A\\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\\cap B\)=50+45-25=70 ight)। अतः सार्वत्रिक समुच्चय में �(A\\cup B ight) के बाहर के अवयवों की संख्या �(n(\(A\\cup B\)^c)=n(U)-n\(A\\cup B\)=80-70=10 ight) है। इसलिए सही विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: दो समुच्चयों के संघ की संख्या निकालते समय प्रतिच्छेद को एक बार घटाना न भूलें। / By the inclusion–exclusion principle, �(n\(A\\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\\cap B\)=50+45-25=70 ight). Therefore, the number of elements outside �(A\\cup B ight) is �(n(\(A\\cup B\)^c)=n(U)-n\(A\\cup B\)=80-70=10 ight). Hence, option A is correct. Exam tip: When finding the cardinality of the union of two sets, subtract their intersection once to avoid double-counting.
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If (n(U)=100), (n\(A^c\)=40), (n\(B^c\)=55), and (n\(A^c\cap B^c\)=20), what is (n\(A\cap B\))?
A. (25)
\(A^c\cup B^c\) की संख्या (40+55-20=75) है। डी मॉर्गन से (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), इसलिए (n\(A\cap B\)=25)। / The number in \(A^c\cup B^c\) is (40+55-20=75). By De Morgan, (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), so (n\(A\cap B\)=25).
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A. \(\{5,6\}\)
समुच्चय अंतर के नियम से \(A^c-B^c=A^c\cap(B^c)^c=A^c\cap B\)। यहाँ \(A^c=\{5,6,7,8,9\}\) है। इसलिए \(A^c\cap B=\{5,6,7,8,9\}\cap\{4,5,6\}=\{5,6\}\), अतः विकल्प A सही है। विकल्प C \(A^c\cap B^c\) लेने की भूल से प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: \(X-Y\) में पहले समुच्चय के वे तत्व रखें जो दूसरे समुच्चय में नहीं हैं। / Using the difference rule, \(A^c-B^c=A^c\cap(B^c)^c=A^c\cap B\). Here, \(A^c=\{5,6,7,8,9\}\), so \(A^c\cap B=\{5,6,7,8,9\}\cap\{4,5,6\}=\{5,6\}\). Therefore, option A is correct. Option C results from incorrectly taking \(A^c\cap B^c\). Exam tip: In \(X-Y\), retain the elements of \(X\) that are not in \(Y\).
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A. {2,3,4,5,6,8}
पहले A-B ज्ञात करें: A में उपस्थित लेकिन B में अनुपस्थित अवयव 1 और 7 हैं, इसलिए A-B={1,7}। सार्वत्रिक समुच्चय U के सापेक्ष इसका पूरक U में मौजूद वे सभी अवयव होंगे जो {1,7} में नहीं हैं। अतः (A-B)^c={2,3,4,5,6,8}। विकल्प B केवल A-B है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के अवयवों में से संबंधित समुच्चय को हटाएँ। / First find A-B, which contains the elements that are in A but not in B: A-B={1,7}. The complement is taken with respect to the universal set U, so we remove 1 and 7 from U. Therefore, (A-B)^c={2,3,4,5,6,8}. Option B is only A-B, not its complement. Exam tip: For a complement, always subtract the given set from the specified universal set.
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A. (10)
(2) या (3) से विभाज्य संख्याएं (15+10-5=20) हैं। इसलिए पूरक में (30-20=10) संख्याएं होंगी। / Numbers divisible by (2) or (3) are (15+10-5=20). So the complement has (30-20=10) numbers.
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A. 40
समुच्चय \(U\) में 1 से 50 तक कुल 50 संख्याएँ हैं। इनमें 5 के गुणज \(5,10,15,\ldots,50\) हैं, अर्थात \(50\div 5=10\) संख्याएँ। इसलिए \(n(A^c)=n(U)-n(A)=50-10=40\)। परीक्षा-युक्ति: किसी समुच्चय के पूरक की संख्या निकालने के लिए \(n(A^c)=n(U)-n(A)\) का प्रयोग करें। / The universal set \(U\) contains 50 numbers, from 1 to 50. Its multiples of 5 are \(5,10,15,\ldots,50\), so \(n(A)=50\div 5=10\). Hence, \(n(A^c)=n(U)-n(A)=50-10=40\). Exam tip: For a complement, use \(n(A^c)=n(U)-n(A)\).
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A. \(\{1,4,5,6,7,8,9,10\}\)
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\) मिलता है। इसलिए \(A=\{2,3\}\)। सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष पूरक \(A^c=U\setminus A\) होता है, अतः \(A^c=\{1,4,5,6,7,8,9,10\}\)। विकल्प B केवल \(A\) को दर्शाता है, उसके पूरक को नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले समीकरण के मूल ज्ञात करें, फिर उन्हें \(U\) से हटाएँ। / Factoring gives \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\), so \(A=\{2,3\}\). The complement with respect to the universal set is \(A^c=U\setminus A\); therefore, \(A^c=\{1,4,5,6,7,8,9,10\}\). Option B is the set \(A\) itself, not its complement. Exam tip: first find the solutions of the condition, then remove them from \(U\).
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A. 9
समुच्चय \(U\) में -5 से 5 तक कुल 11 पूर्णांक हैं। समीकरण \(x^2=9\) के हल \(x=-3\) और \(x=3\) हैं, इसलिए \(A=\{-3,3\}\) और \(n(A)=2\)। अतः \(n(A^c)=n(U)-n(A)=11-2=9\)। परीक्षा-युक्ति: किसी समुच्चय के पूरक के तत्वों की संख्या निकालने के लिए सार्वत्रिक समुच्चय में कुल तत्वों में से दिए गए समुच्चय के तत्व घटाएँ। / The set \(U\) contains 11 integers from -5 to 5. The solutions of \(x^2=9\) are \(x=-3\) and \(x=3\), so \(A=\{-3,3\}\) and \(n(A)=2\). Therefore, \(n(A^c)=n(U)-n(A)=11-2=9\). Exam tip: To find the cardinality of a complement, subtract the number of elements in the set from the number of elements in the universal set.
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A. (23)
हिंदी या अंग्रेजी पढ़ने वाले (72+55-30=97) हैं। इसलिए पूरक में (120-97=23) विद्यार्थी हैं। / Students studying Hindi or English are (72+55-30=97). Therefore the complement has (120-97=23) students.
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A. 56
समुच्चय \(A^c\), समुच्चय \(A\) का पूरक है। इसलिए \(n(A)+n(A^c)=n(U)\)। अतः \(n(A)=90-34=56\)। विकल्प C पूरक समुच्चय के विद्यार्थियों की संख्या है, विज्ञान पसंद करने वालों की नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक से मूल समुच्चय की संख्या ज्ञात करने के लिए कुल संख्या में से पूरक की संख्या घटाएँ। / The set \(A^c\) is the complement of \(A\), so \(n(A)+n(A^c)=n(U)\). Therefore, \(n(A)=90-34=56\). Option C gives the number of students in the complement, not the number who like science. Exam tip: To find the size of a set from its complement, subtract the complement’s size from the size of the universal set.
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A. 20
समुच्चय \(U\) में 1 से 25 तक पाँच पूर्ण वर्ग हैं: \(1,4,9,16,25\)। इसलिए \(n(A)=5\)। चूँकि \(A^c\), \(U\) में वे तत्व हैं जो \(A\) में नहीं हैं, अतः \(n(A^c)=n(U)-n(A)=25-5=20\)। परीक्षा-युक्ति: सीमित सार्वत्रिक समुच्चय के लिए \(n(A^c)=n(U)-n(A)\) सूत्र याद रखें। / There are five perfect squares in \(U\) from 1 to 25: \(1,4,9,16,25\). Thus, \(n(A)=5\). Since \(A^c\) contains the elements of \(U\) that are not in \(A\), \(n(A^c)=n(U)-n(A)=25-5=20\). Exam tip: For a finite universal set, use \(n(A^c)=n(U)-n(A)\).
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A. \(\{6,12\}\)
सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(A^c\) में \(U\) की सभी सम संख्याएँ होंगी: \(\{2,4,6,8,10,12,14\}\)। दूसरी शर्त के अनुसार संख्या 3 से विभाज्य भी होनी चाहिए। इन दोनों शर्तों को संतुष्ट करने वाली संख्याएँ केवल \(6\) और \(12\) हैं, इसलिए प्रतिच्छेद \(\{6,12\}\) है। विकल्प D में केवल विषम गुणज हैं, इसलिए वे \(A^c\) में नहीं आते। परीक्षा-युक्ति: प्रतिच्छेद में प्रत्येक तत्व को दोनों समुच्चयों की शर्तें पूरी करनी होती हैं। / Relative to the universal set \(U\), the complement \(A^c\) contains all even numbers: \(\{2,4,6,8,10,12,14\}\). The elements must also be divisible by 3. The only numbers satisfying both conditions are \(6\) and \(12\), so the intersection is \(\{6,12\}\). Option D contains only odd multiples of 3, which are not in \(A^c\). Exam tip: every element of an intersection must satisfy the conditions of both sets.
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A. \(\{5,6,7,8,9\}\)
सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक \(A^c=U\setminus A=\{5,6,7,8,9\}\) है। चूँकि \(A^c\subseteq B\), इसलिए \(B\) में ये सभी अवयव अनिवार्य रूप से होने चाहिए। न्यूनतम स्थिति में \(B\) में इनके अतिरिक्त कोई अवयव नहीं होगा, अतः \(B=A^c=\{5,6,7,8,9\}\)। विकल्प C भी संभव है, लेकिन वह न्यूनतम समुच्चय नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(X\subseteq B\) में न्यूनतम \(B\), स्वयं \(X\) होता है। / The complement of \(A\) with respect to the universal set \(U\) is \(A^c=U\setminus A=\{5,6,7,8,9\}\). Since \(A^c\subseteq B\), all these elements must be included in \(B\). For the smallest possible set, no additional elements are included, so \(B=A^c=\{5,6,7,8,9\}\). Option C is also possible, but it is not the smallest set. Exam tip: If \(X\subseteq B\), the minimum possible choice of \(B\) is \(X\) itself.
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If the universal set \(U=\{1,2,3,4,5,6\}\) and \(A=\{1,2,3\}\), which set \(B\) satisfies \(B=A^c\)?
A. {4, 5, 6}
किसी समुच्चय \(A\) का पूरक \(A^c\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के उन सभी तत्वों का समुच्चय होता है जो \(A\) में उपस्थित नहीं हैं। \(U\) में से \(1,2,3\) हटाने पर \(\{4,5,6\}\) बचता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B स्वयं \(A\) है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक सदैव दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष निर्धारित करें। / The complement \(A^c\) consists of all elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\). Removing \(1,2,3\) from \(U\) leaves \(\{4,5,6\}\), so option A is correct. Option B is the set \(A\) itself, not its complement. Exam tip: Always find a complement with respect to the given universal set.
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A. \(B=A^c\)
सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(A\) के पूरक में वे सभी अवयव होंगे जो \(U\) में हैं, लेकिन \(A\) में नहीं हैं। इसलिए \(A^c=U\setminus A=\{b,d,f\}=B\), अतः विकल्प A सही है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(A\cap B=\varnothing\), \(A\) नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक ज्ञात करने के लिए सार्वत्रिक समुच्चय में से दिए गए समुच्चय के अवयव हटा दें। / The complement of \(A\), taken with respect to the universal set \(U\), contains the elements of \(U\) that are not in \(A\). Thus, \(A^c=U\setminus A=\{b,d,f\}=B\), so option A is correct. Option C is false because \(A\cap B=\varnothing\), not \(A\). Exam tip: To find a set's complement, remove its elements from the universal set.
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If \(A\cap B=\varnothing\) and \(A\cup B=U\), then (B) is equal to what?
A. \(A^c\)
यदि दो समुच्चय असंबद्ध हों और मिलकर (U) बनाएं, तो वे एक-दूसरे के पूरक होते हैं। इसलिए \(B=A^c\) होगा। / If two sets are disjoint and together form (U), then they are complements of each other. Hence \(B=A^c\).
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If \(A\cup A^c=U\) and \(A\cap A^c=\varnothing\), then (n(A)+n\(A^c\)) is equal to what?
A. (n(U))
(A) और \(A^c\) असंबद्ध हैं और मिलकर (U) बनाते हैं। इसलिए उनकी संख्याओं का योग (n(U)) होता है। / (A) and \(A^c\) are disjoint and together form (U). Therefore the sum of their cardinalities is (n(U)).
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A. {2, 4}
U के सापेक्ष A का पूरक Aᶜ = {6, 7, 8} होगा। पूरकता के द्विपूरक गुण के अनुसार (Aᶜ)ᶜ = A = {1, 2, 3, 4, 5}। अब इसका {2, 4, 6, 8} से प्रतिच्छेद {2, 4} है। विकल्प D में 6 और 8 भी शामिल हैं, लेकिन वे A के सदस्य नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: (Aᶜ)ᶜ को सीधे A लिखकर गणना सरल करें। / The complement of A with respect to U is Aᶜ = {6, 7, 8}. By the double-complement property, (Aᶜ)ᶜ = A = {1, 2, 3, 4, 5}. Its intersection with {2, 4, 6, 8} is therefore {2, 4}. Option D is incorrect because 6 and 8 are not elements of A. Exam tip: Replace (Aᶜ)ᶜ directly with A before finding the intersection.
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If \(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\) and \(A=\{2,5,8\}\), how many elements are in \(A^c\cup{5}\)?
A. (8)
\(A^c\) में (7) तत्व हैं क्योंकि (A) में (3) तत्व हैं। (5) \(A^c\) में नहीं है, इसलिए जोड़ने पर संख्या (8) होगी। / \(A^c\) has (7) elements because (A) has (3) elements. Since (5) is not in \(A^c\), adding it makes the count (8).
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A. \(\{7,8,9\}\)
सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक \(A^c=U\setminus A=\{1,3,5,7,8,9\}\) होगा। अब इसमें से \(\{1,3,5\}\) हटाने पर \(\{7,8,9\}\) बचता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B केवल \(A^c\) है और उसमें से दिए गए तीन अवयव हटाए नहीं गए हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले पूरक समुच्चय निकालें, फिर अंतर समुच्चय के अवयव हटाएँ। / The complement of \(A\) with respect to the universal set \(U\) is \(A^c=U\setminus A=\{1,3,5,7,8,9\}\). Removing \(\{1,3,5\}\) from this set leaves \(\{7,8,9\}\), so option A is correct. Option B is only \(A^c\); it does not remove the specified elements. Exam tip: Find the complement first, then perform the set difference.
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\(If (U={x:x\) is a digit\(}) and (A={x:x\) is an even digit\(}), how many elements are in (A^c)\)?
A. (5)
अंकों का \(U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) है। सम अंक (5) हैं, इसलिए विषम अंक भी (5) हैं। / The digit set is \(U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\). There are (5) even digits, so there are (5) odd digits.
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A. ({1,2,3,4,5,7,8,9,10,11})
दोनों से विभाज्य होने का अर्थ (6) से विभाज्य होना है, इसलिए \(A=\{6,12\}\)। बाकी तत्व \(A^c\) हैं। / Divisible by both means divisible by (6), so \(A=\{6,12\}\). The remaining elements are \(A^c\).
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A. \(\{1,3,5,7\}\)
दिया है कि \(C=A^c\)। इसलिए \(C^c=(A^c)^c=A\), क्योंकि किसी समुच्चय का दोहरा पूरक मूल समुच्चय के बराबर होता है। अतः \(C^c=\{1,3,5,7\}\)। विकल्प B वास्तव में \(C=A^c\) है, न कि \(C^c\)। परीक्षा-युक्ति: \((A^c)^c=A\) की पहचान तुरंत करें। / Given \(C=A^c\), we get \(C^c=(A^c)^c=A\), because the complement of a complement is the original set. Hence, \(C^c=\{1,3,5,7\}\). Option B is actually \(C=A^c\), not \(C^c\). Exam tip: remember the identity \((A^c)^c=A\).
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From the statements \(A\cap A^c=\varnothing\) and \(A\cup A^c=U\), which conclusion follows?
A. (A) और \(A^c\) (U) का विभाजन बनाते हैं(A) and \(A^c\) form a partition of (U)
दो असंबद्ध समुच्चय जो मिलकर (U) बनाते हैं, (U) का विभाजन बनाते हैं। यह पूरक का वैचारिक अर्थ है। / Two disjoint sets that together form (U) make a partition of (U). This is the conceptual meaning of complement.
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If \(U=\{1,2,3,4,5,6\}\) and (A) is a set such that \(A=A^c\), which statement is correct?
A. ऐसा कोई (A) नहीं हो सकताno such (A) can exist
यदि \(A=A^c\), तो \(A\cap A^c=A\) होगा, लेकिन \(A\cap A^c=\varnothing\) होता है। इससे \(A=\varnothing\) चाहिए, पर तब \(A^c=U\), इसलिए संभव नहीं है। / If \(A=A^c\), then \(A\cap A^c=A\), but \(A\cap A^c=\varnothing\). This would force \(A=\varnothing\), but then \(A^c=U\), so it is impossible.
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If (U) changes but (A) remains the same, which statement about \(A^c\) is correct?
A. \(A^c\) बदल सकता है\(A^c\) may change
पूरक हमेशा सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष होता है। इसलिए (U) बदलने पर \(A^c\) भी बदल सकता है। / Complement is always relative to the universal set. Therefore \(A^c\) may change when (U) changes.
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A. ({5,6})
\(U_2\) में पूरक ({3,4,5,6}) और \(U_1\) में पूरक ({3,4}) है। अंतर ({5,6}) है। / Relative to \(U_2\), the complement is ({3,4,5,6}), and relative to \(U_1\), it is ({3,4}). The difference is ({5,6}).
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A. {1,2,3,4,7,8,9,10}
\(A^c=U-A=\{5,6,7,8,9,10\}\) होगा। इसलिए \(A^c\cap B=\{5,6\}\)। अब \(\{5,6\}\) का \(U\) के सापेक्ष पूरक \(U-\{5,6\}=\{1,2,3,4,7,8,9,10\}\) है, इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: पूरक सदैव दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष लिया जाता है। / The complement of \(A\) in \(U\) is \(A^c=U-A=\{5,6,7,8,9,10\}\). Thus, \(A^c\cap B=\{5,6\}\). Taking its complement in \(U\) gives \(U-\{5,6\}=\{1,2,3,4,7,8,9,10\}\), so option A is correct. Exam tip: A complement is always taken with respect to the specified universal set.
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A. \(\{6,8\}\)
\(U\) के सापेक्ष \(A^c=\{1,3,5,7,9\}\) होगा। इसलिए \(A^c\cup B=\{1,2,3,4,5,7,9\}\), जिसका \(U\) में पूरक \(\{6,8\}\) है। विकल्प C में \(1\) और \(3\) छूट गए हैं, जबकि वे \(A^c\cup B\) में शामिल हैं। परीक्षा-युक्ति: डी मॉर्गन के नियम से \((A^c\cup B)^c=A\cap B^c\) लिखकर भी सीधे \(\{6,8\}\) प्राप्त किया जा सकता है। / With respect to \(U\), \(A^c=\{1,3,5,7,9\}\). Thus, \(A^c\cup B=\{1,2,3,4,5,7,9\}\), and its complement in \(U\) is \(\{6,8\}\). Option C incorrectly omits \(1\) and \(3\), even though both belong to \(A^c\cup B\). Exam tip: By De Morgan’s law, \((A^c\cup B)^c=A\cap B^c\), which also gives \(\{6,8\}\) directly.
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A. (6)
\(A^c\cap B^c\) में वे संख्याएं हैं जो न (3) से विभाज्य हैं और न सम हैं। ऐसी संख्याएं (1,5,7,11,13,17) हैं। / \(A^c\cap B^c\) contains numbers that are neither divisible by (3) nor even. These are (1,5,7,11,13,17).
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A. 9
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार, \(A^c\cup B^c=(A\cap B)^c\)। यहाँ \(A\cap B=\{2,4,6\}\), जिसमें 3 तत्व हैं। इसलिए \(U\) में कुल 12 तत्वों में से 3 तत्व हटाने पर \((A\cap B)^c\) में \(12-3=9\) तत्व होंगे। परीक्षा-युक्ति: पूरक के संघ या प्रतिच्छेद वाले प्रश्नों में पहले डी मॉर्गन का नियम लागू करें। / By De Morgan’s law, \(A^c\cup B^c=(A\cap B)^c\). Here, \(A\cap B=\{2,4,6\}\), which has 3 elements. Therefore, its complement in the 12-element universal set contains \(12-3=9\) elements. Exam tip: For unions or intersections involving complements, apply De Morgan’s law before counting elements.
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A. \(\{6,7,8\}\)
सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(A^c=\{4,5,6,7,8\}\) और \(B^c=\{1,2,3,6,7,8\}\) हैं। दोनों के उभयनिष्ठ तत्व \(\{6,7,8\}\) हैं, इसलिए \(A^c\cap B^c=\{6,7,8\}\)। यही परिणाम डी मॉर्गन के नियम \(A^c\cap B^c=(A\cup B)^c\) से भी मिलता है। परीक्षा-युक्ति: पहले पूरक समुच्चय का सार्वत्रिक समुच्चय स्पष्ट रूप से पहचानें। / With respect to the universal set \(U\), \(A^c=\{4,5,6,7,8\}\) and \(B^c=\{1,2,3,6,7,8\}\). Their common elements are \(\{6,7,8\}\), so \(A^c\cap B^c=\{6,7,8\}\). This also follows from De Morgan’s law, \(A^c\cap B^c=(A\cup B)^c\). Exam tip: always identify the universal set before finding a complement.
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If 8U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}9 and 8A^c=\{1,4,9\}9, how many elements does set 8A9 contain?
A. 7
समुच्चय 8A^c9, सार्वत्रिक समुच्चय 8U9 में 8A9 के बाहर के तत्वों का समुच्चय है। इसलिए 8n(A)+n\(A^c\)=n(U)9। यहाँ 8n(U)=109 और 8n\(A^c\)=39, अतः 8n(A)=10-3=79। विकल्प B केवल पूरक समुच्चय के तत्वों की संख्या बताता है। परीक्षा में याद रखें: सीमित सार्वत्रिक समुच्चय के लिए 8n\(A^c\)=n(U)-n(A)9। / The set 8A^c9 contains the elements of the universal set 8U9 that are not in 8A9. Hence, 8n(A)+n\(A^c\)=n(U)9. Here, 8n(U)=109 and 8n\(A^c\)=39, so 8n(A)=10-3=79. Option B gives the number of elements in the complement, not in 8A9. Exam tip: for a finite universal set, use 8n\(A^c\)=n(U)-n(A)9.
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A. 16
मान लें \(n(A^c)=x\)। तब दिए गए संबंध से \(n(A)=3x\)। चूँकि \(A\) और \(A^c\) एक-दूसरे के पूरक हैं, इसलिए \(n(A)+n(A^c)=n(U)\), अर्थात् \(3x+x=64\)। अतः \(4x=64\) और \(x=16\)। इसलिए सही उत्तर 16 है। परीक्षा-युक्ति: पूरक समुच्चयों की cardinalities का योग हमेशा सार्वत्रिक समुच्चय की cardinality के बराबर होता है। / Let \(n(A^c)=x\). Then the given relation gives \(n(A)=3x\). Since \(A\) and \(A^c\) are complementary sets, \(n(A)+n(A^c)=n(U)\). Therefore, \(3x+x=64\), so \(4x=64\) and \(x=16\). Hence, the correct answer is 16. Exam tip: The cardinalities of a set and its complement always add up to the cardinality of the universal set.
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A. 18
समुच्चय \(A\) और उसका पूरक \(A^c\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) को अलग-अलग भागों में बाँटते हैं, इसलिए \(n(A)+n(A^c)=n(U)\)। मान लें \(n(A)=x\), तब \(n(A^c)=2x\)। अतः \(x+2x=54\), यानी \(3x=54\) और \(x=18\)। इसलिए सही उत्तर 18 है। परीक्षा-युक्ति: पूरक से जुड़े प्रश्नों में पहले \(n(A)+n(A^c)=n(U)\) लिखें। / The set \(A\) and its complement \(A^c\) partition the universal set \(U\), so \(n(A)+n(A^c)=n(U)\). Let \(n(A)=x\); then \(n(A^c)=2x\). Thus, \(x+2x=54\), giving \(3x=54\) and \(x=18\). Therefore, the correct answer is 18. Exam tip: In complement-counting questions, start with \(n(A)+n(A^c)=n(U)\).
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\(If (A\subseteq U) and (A^c={x:x\in U\) and \(x\notin A}), why is (A\cap A^c) empty\)?
A. क्योंकि कोई तत्व एक साथ (A) में और (A) में नहीं हो सकताbecause no element can be both in (A) and not in (A)
पूरक की परिभाषा में \(x\notin A\) शर्त होती है। इसलिए वही तत्व (A) में भी नहीं हो सकता। / The definition of complement has the condition \(x\notin A\). So the same element cannot also be in (A).
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A. \(\{4,5,6,7\}\)
किसी समुच्चय \(A\) का पूरक \(A'=U\setminus A\) होता है, अर्थात् सार्वत्रिक समुच्चय के वे सभी अवयव जो \(A\) में नहीं हैं। इसलिए \(A'=\{4,5,6,7,8\}\)। विकल्प A में अवयव \(8\) छूट गया है, इसलिए वह पूरक नहीं है। परीक्षा में पूरक निकालते समय पहले सार्वत्रिक समुच्चय के सभी अवयव लिखकर दिए गए समुच्चय के अवयव हटाएँ। / The complement of \(A\) is \(A'=U\setminus A\), which contains every element of the universal set that is not in \(A\). Thus, \(A'=\{4,5,6,7,8\}\). Option A omits the element \(8\), so it is not the complement. In an exam, list all elements of \(U\) first and remove the elements of \(A\) to avoid missing an element.
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A. 90
समुच्चय �(A�) में 10, 20, 30, ..., 100 शामिल हैं, अर्थात 10 के कुल 10 गुणज हैं। सार्वत्रिक समुच्चय �(U�) में 100 तत्व हैं, इसलिए �\(|A^c|=|U|-|A|=100-10=90�\)। अतः सही उत्तर 90 है। परीक्षा-युक्ति: 1 से �(n�) तक �(k�) के गुणजों की संख्या �\(\lfloor n/k\rfloor�\) होती है। / The set �(A�) contains 10, 20, 30, ..., 100, so it has 10 multiples of 10. The universal set �(U�) has 100 elements; hence �\(|A^c|=|U|-|A|=100-10=90�\)। Therefore, the correct answer is 90. Exam tip: The number of multiples of �(k�) from 1 to �(n�) is �\(\lfloor n/k\rfloor�\).
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A. \(U\)
दिया गया है कि \(B=A^c\), अर्थात् \(B\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) में \(A\) के सभी अवयवों के पूरक अवयवों का समुच्चय है। इसलिए \(A\cup B=A\cup A^c=U\)। अतः सही उत्तर \(U\) है। ध्यान रखें: किसी समुच्चय और उसके पूरक का संघ सार्वत्रिक समुच्चय तथा उनका प्रतिच्छेद रिक्त समुच्चय होता है। / Since \(B=A^c\), the set \(B\) contains all elements of the universal set that are not in \(A\). Therefore, \(A\cup B=A\cup A^c=U\), so the correct answer is \(U\). The distractor \(\varnothing\) represents the intersection \(A\cap A^c\), not the union. Exam tip: a set and its complement together cover the entire universal set.
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A. \(\varnothing\)
सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक \(B=A^c=\{1,3,5,7,9\}\) है। इसलिए \(A\) और \(B\) में कोई भी समान अवयव नहीं है तथा \(A\cap B=A\cap A^c=\varnothing\)। विकल्प \(C\) और \(D\) गलत हैं, क्योंकि वे क्रमशः \(A\) और उसके पूरक को दर्शाते हैं, उनके प्रतिच्छेद को नहीं। परीक्षा-युक्ति: किसी भी समुच्चय और उसके पूरक का प्रतिच्छेद हमेशा रिक्त समुच्चय होता है। / The complement of \(A\) in the universal set \(U\) is \(B=A^c=\{1,3,5,7,9\}\). Thus, \(A\) and \(B\) have no common element, so \(A\cap B=A\cap A^c=\varnothing\). Options \(C\) and \(D\) represent \(A\) and its complement separately, not their intersection. Exam tip: The intersection of any set with its complement is always the empty set.
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A. \(\varnothing\)
यहाँ \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}=U\) है। इसलिए \((A\cup B)^c=U^c\) होगा। सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष \(U\) का पूरक रिक्त समुच्चय होता है, अतः उत्तर \(\varnothing\) है। परीक्षा-युक्ति: यदि किसी समुच्चय का संघ सार्वत्रिक समुच्चय के बराबर हो, तो उसके संघ का पूरक हमेशा रिक्त समुच्चय होता है। / Here, \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}=U\). Therefore, \((A\cup B)^c=U^c\). The complement of the universal set, taken with respect to itself, is the empty set, so the answer is \(\varnothing\). Exam tip: whenever a union equals the universal set, its complement is always the empty set; hence \(U\), \(A\), and \(B\) are incorrect.
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A. \(U\)
समुच्चय A और B में कोई भी समान अवयव नहीं है, इसलिए \(A\cap B=\varnothing\)। सार्वत्रिक समुच्चय U के सापेक्ष रिक्त समुच्चय का पूरक \(\varnothing^c=U\) होता है। अतः \((A\cap B)^c=U\), इसलिए विकल्प A सही है। ध्यान रखें कि पूरक हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष निर्धारित किया जाता है। / Sets A and B have no common element, so \(A\cap B=\varnothing\). Relative to the universal set U, the complement of the empty set is \(\varnothing^c=U\). Hence, \((A\cap B)^c=U\), making option A correct. Exam tip: a complement is always taken with respect to the stated universal set.
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