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\(A\cap B={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}\) है और (C) के सम तत्व हटते हैं। इसलिए विषम तत्व ({-3,-1,1,3}) बचते हैं। / \(A\cap B={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}\), and the even elements of (C) are removed. Hence the remaining odd elements are ({-3,-1,1,3}).
\(B=\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\) है, इसलिए (A-B={-7,-6,-5,5,6,7}) होगा। इनमें (3) से विभाज्य तत्व ({-6,6}) हैं। / \(B=\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\), so (A-B={-7,-6,-5,5,6,7}). The elements divisible by (3) are ({-6,6}).
संघ तीन अलग भागों (A-B), \(A\cap B\) और (B-A) से बनता है। दिए गए केवल वाले भाग हटाने पर ({4,8,12}) बचता है। / The union is made of three disjoint parts (A-B), \(A\cap B\), and (B-A). Removing the given only-parts leaves ({4,8,12}).
\(x^2-5x+6\le0\) से (A=[2,3]) मिलता है। (A) का हर तत्व (B) में है, इसलिए \(A-B=\varnothing\)। / \(x^2-5x+6\le0\) gives (A=[2,3]). Every element of (A) lies in (B), so \(A-B=\varnothing\).
\(A\subseteq B\) होने से (A) का पूरा भाग (B) में रहता है और (C) का (B) से कोई सामान्य तत्व नहीं है। इसलिए प्रतिच्छेद में केवल (A) बचेगा। / Since \(A\subseteq B\), all of (A) lies in (B), and (C) has no common element with (B). Hence only (A) remains in the intersection.
(A-B) और \(A\cap B\), (A) के दो अलग भाग हैं। इनके संघ से पूरा (A) मिल जाता है। / (A-B) and \(A\cap B\) are two disjoint parts of (A). Their union gives the whole set (A).
\(A\cup B={1,2,3,4,5,6,7,8}\) है। इसका (C) से प्रतिच्छेद पूरा \(C=\{1,4,7,8\}\) देता है। / \(A\cup B={1,2,3,4,5,6,7,8}\). Its intersection with (C) gives the whole \(C=\{1,4,7,8\}\).
समुच्चय (A) में (A-B) और \(A\cap B\) के तत्व आते हैं। इसलिए (n(A)=2+3=5)। / Set (A) contains the elements of (A-B) and \(A\cap B\). Hence (n(A)=2+3=5).
यदि \(A\cap C=\varnothing\), तो संघ की समानता में (A) से बाहर वाला भाग समान होना चाहिए। इसलिए \(B\subseteq C\) मिलता है। / If \(A\cap C=\varnothing\), then the part outside (A) must match in the equal unions. Hence \(B\subseteq C\).
जो संख्या (4) और (6) दोनों से विभाज्य है, वह (\operatorname{lcm}(4,6)=12) से विभाज्य होगी। (40) तक ऐसे गुणज ({12,24,36}) हैं। / A number divisible by both (4) and (6) is divisible by (\operatorname{lcm}(4,6)=12). Up to (40), the multiples are ({12,24,36}).
सामान्य भाजक (\gcd(72,90)=18) के भाजक होंगे। अतः \(A\cap B={1,2,3,6,9,18}\)। / Common divisors are divisors of (\gcd(72,90)=18). Thus \(A\cap B={1,2,3,6,9,18}\).
संघ से (A) हटाने पर केवल वे तत्व बचते हैं जो (B) में हैं पर (A) में नहीं। इसलिए परिणाम (B-A) है। / Removing (A) from the union leaves only the elements that are in (B) but not in (A). Hence the result is (B-A).
दोनों शर्तों से वही समुच्चय ({-1,1}) मिलता है। समान समुच्चयों का अंतर खाली समुच्चय होता है। / Both conditions give the same set ({-1,1}). The difference of equal sets is the empty set.
(A-B), \(A\cap B\) और (B-A) का योग (96) है, इसलिए (B-A=96-41-18=37)। अतः (n(B)=37+18=55)। / The sum of (A-B), \(A\cap B\), and (B-A) is (96), so (B-A=96-41-18=37). Thus (n(B)=37+18=55).
समुच्चय में दोहराए गए अक्षर एक बार ही लिखे जाते हैं। दोनों शब्दों के सभी अलग अक्षरों का संघ ({A,B,E,G,L,M,O,R,T,Y}) है। / Repeated letters are written only once in a set. The union of all distinct letters from both words is ({A,B,E,G,L,M,O,R,T,Y}).
(B) की विषम संख्याओं में से अभाज्य संख्याएं हटानी हैं। इसलिए बची हुई विषम संयुक्त संख्याएं और (1), अर्थात ({1,9,15,21,25}), मिलती हैं। / From the odd numbers in (B), remove the primes in (A). The remaining odd composites and (1) are ({1,9,15,21,25}).
(2) या (5) से विभाज्य संख्याओं को (U) से हटाते हैं। बची संख्याएं ({1,3,7,9,11,13,17,19}) हैं। / Remove numbers divisible by (2) or (5) from (U). The remaining numbers are ({1,3,7,9,11,13,17,19}).
दोनों शर्तें साथ रखने पर \(-2<x\le1\) मिलता है। इसलिए प्रतिच्छेद ((-2,1]) है। / Combining both conditions gives \(-2<x\le1\). Hence the intersection is ((-2,1]).
\(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) है। इसे (A) से हटाने पर ({-6,-5,-4,4,5,6}) बचता है। / \(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\). Removing it from (A) leaves ({-6,-5,-4,4,5,6}).
\(A\cup B\) सममित अंतर और प्रतिच्छेद के अलग भागों से बनता है। इसलिए (n\(A\cup B\)=26+9=35)। / \(A\cup B\) is made of the disjoint parts symmetric difference and intersection. Hence (n\(A\cup B\)=26+9=35).
\(A-B=\varnothing\) से \(A\subseteq B\) और \(B-C=\varnothing\) से \(B\subseteq C\) मिलता है। इसलिए \(A\subseteq C\)। / \(A-B=\varnothing\) gives \(A\subseteq B\), and \(B-C=\varnothing\) gives \(B\subseteq C\). Therefore \(A\subseteq C\).
(B) में (3) और (7) शामिल नहीं हैं, इसलिए वे (A-B) में रहेंगे। परिणाम \([1,3]\cup[7,9]\) है। / (B) does not include (3) and (7), so they remain in (A-B). The result is \([1,3]\cup[7,9]\).
असंबद्ध समुच्चयों में (B) हटाने पर संघ से केवल (A) बचता है। इसलिए (\(A\cup B\)-B=A)। / For disjoint sets, removing (B) from the union leaves only (A). Hence (\(A\cup B\)-B=A).
हर दो समुच्चयों का सामान्य तत्व केवल (1) है। इसलिए सभी युग्म प्रतिच्छेदों का संघ ({1}) है। / The only common element in each pair of sets is (1). Hence the union of all pairwise intersections is ({1}).
(10) तक की विषम संख्याएं ({1,3,5,7,9}) हैं। इनमें अभाज्य हटाने पर ({1,9}) बचता है। / The odd numbers up to (10) are ({1,3,5,7,9}). Removing primes leaves ({1,9}).
इन दोनों समानताओं से (A) के अंदर और बाहर (B) और (C) की सदस्यता समान हो जाती है। अतः (B=C)। / These two equalities make the membership of (B) and (C) the same both inside and outside (A). Hence (B=C).
\(x^2-4x+3>0\) से (x<1) या (x>3) मिलता है। (x>1) के साथ सामान्य भाग (\(3,\infty\)) है। / \(x^2-4x+3>0\) gives (x<1) or (x>3). With (x>1), the common part is (\(3,\infty\)).
\(A\cup B={1,2,3,4,5}\) में (5) तत्व हैं। घात समुच्चय में \(2^5=32\) तत्व होते हैं। / \(A\cup B={1,2,3,4,5}\) has (5) elements. Its power set has \(2^5=32\) elements.
\((A-B)\cap(B-C)\) में वही (6) तत्व हैं जो (B-C) में (A) के साथ सामान्य हैं। इसलिए संघ का मान (17+22-6=33) है। / \((A-B)\cap(B-C)\) contains those (6) elements common to (B-C) and (A). Hence the union count is (17+22-6=33).
(C-A) में से (B-A) हटाने पर (B) के बाहर और (C) के अंदर वाले तत्व बचते हैं। इसलिए परिणाम (C-B) है। / Removing (B-A) from (C-A) leaves the elements inside (C) but outside (B). Hence the result is (C-B).
तीनों समुच्चय परस्पर असंबद्ध हैं, इसलिए संघ की संख्या सीधा योग है। (12+15+18=45)। / The three sets are pairwise disjoint, so the union count is the direct sum. (12+15+18=45).
(30) तक पूर्ण वर्ग ({1,4,9,16,25}) हैं। इनमें (3) से विभाज्य (9) हटाने पर ({1,4,16,25}) मिलता है। / Perfect squares up to (30) are ({1,4,9,16,25}). Removing (9), which is divisible by (3), gives ({1,4,16,25}).
(A) में (-5) से (5) तक पूर्णांक हैं। \(x\ge0\) और (x<4) लगाने पर ({0,1,2,3}) मिलता है। / (A) contains integers from (-5) to (5). Applying \(x\ge0\) and (x<4) gives ({0,1,2,3}).
वास्तविक संख्याओं में \(x^2>0\) ठीक तब होता है जब \(x\ne0\)। इसलिए (A=B) और सममित अंतर \(\varnothing\) है। / For real numbers, \(x^2>0\) exactly when \(x\ne0\). Thus (A=B), and the symmetric difference is \(\varnothing\).
सामान्य सूत्र में (n\(A\cap B\)) घटता है। योग बराबर तभी होगा जब (n\(A\cap B\)=0), यानी \(A\cap B=\varnothing\)। / In the general formula, (n\(A\cap B\)) is subtracted. The equality holds only when (n\(A\cap B\)=0), that is \(A\cap B=\varnothing\).
A. \(A\cap B=\varnothing\) और \(B\cap C=\varnothing\)
Explanation
Simple Explanation
(A-B=A) का अर्थ \(A\cap B=\varnothing\) है। इसी तरह (B-C=B) का अर्थ \(B\cap C=\varnothing\) है। / (A-B=A) means \(A\cap B=\varnothing\). Similarly, (B-C=B) means \(B\cap C=\varnothing\).
यदि (n\(A\cup B\cup C\)=88), (n(A-B)=19), (n(B-A)=24), (n\(A\cap B\)=13) और (C-\(A\cup B\)) में (32) तत्व हैं, तो (n(\(A\cup B\)-C)) क्या है यदि (C) में \(A\cup B\) का कोई तत्व नहीं है?
क्योंकि (C) और \(A\cup B\) असंबद्ध हैं, इसलिए (\(A\cup B\)-C=A\cup B)। इसका मान (19+24+13=56) है। / Since (C) and \(A\cup B\) are disjoint, (\(A\cup B\)-C=A\cup B). Its value is (19+24+13=56).
