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समस्या में हमें पूर्णांकों पर शर्त दी गई है: \(x^2=9\) का पूर्णांक हल \(x=3\) और \(x=-3\) दोनों हैं। अतः \(A=\{-3,3\}\) जो ठीक उसी तरह है जैसे \(B\)। इसलिए \(A=B\) सत्य है। निकटतम विचलन (option B) केवल धनात्मक जड़ \(3\) को ही रखता है और \(-3\) को छोड़ देता है, इसलिए वह गलत है। (option C) में \(B\) को \(A\) का proper subset माना गया है, परंतु दोनों सेट बराबर हैं इसलिए वह भी गलत है। परीक्षा टिप: वर्गसमाधान लेते समय हमेशा दोनों ± जड़ों की जाँच करें और दिए गए डोमेन (यहाँ \(\mathbb{Z}\)) को ध्यान में रखें। / Solving \(x^2=9\) over the integers gives \(x=3\) and \(x=-3\), so \(A=\{-3,3\}\), which is exactly \(B\). Hence \(A=B\) is correct. The closest distractor, \(A=\{3\}\), wrongly omits \(-3\). The option claiming a proper subset (\(B\subsetneq A\)) is false because the sets are equal. Exam tip: When solving \(x^2=a\) always check both \(\pm\sqrt{a}\) and the specified domain (e.g. \(\mathbb{Z}\)).
दिया गया बहुपद \(x^{2}-5x+6\) को गुणनखंडों में लिखें: \(x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)\)। इसलिए समीकरण \(x^{2}-5x+6=0\) के हल \(x=2\) और \(x=3\) हैं और समुच्चय \(A=\{2,3\}\) बनता है। यह समुच्चय बिलकुल \(B\) के समान है, अतः \(A=B\)। विकल्प \(A\subset B\) और \(B\subset A\) गलत हैं क्योंकि दोनों समुच्चय बराबर हैं न कि एक सही उपसमुच्चय; विकल्प \(A\cap B=\emptyset\) भी गलत है क्योंकि उनका चौरस (intersection) \(\{2,3\}\) है, शून्य समुच्चय नहीं। परीक्षा-सुझाव: किसी भी समीकरण के लिए पहले गुणनखंड करके मूल (roots) निकालें और सीधे दोनों समुच्चयों की तुलना करें — बराबरी और उपसमुच्चय में फर्क पर ध्यान दें। / Factor the quadratic: \(x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)\). The roots are \(x=2\) and \(x=3\), so \(A=\{2,3\}\). Since \(B=\{2,3\}\) as well, we have \(A=B\). Options \(A\subset B\) and \(B\subset A\) are incorrect because they imply a proper subset relation whereas the sets are equal; option \(A\cap B=\emptyset\) is wrong because the intersection is \(\{2,3\}\), not empty. Exam tip: always solve the equation first to get the explicit set and then compare membership and equality — distinguish equal sets from proper subsets.
A. \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq A\)/\(A\subseteq B\) and \(B\subseteq A\)
Explanation
Simple Explanation
दोनों दिशाओं में उपसमुच्चय संबंध होने पर हर सदस्य समान होता है। केवल सदस्यों की संख्या बराबर होना काफी नहीं है। / If each set is a subset of the other, every member matches. Equal cardinality alone is not enough.
(12) के (5) से छोटे धनात्मक भाजक (1,2,3,4) हैं। सदस्य समान हों तो सेट बराबर होते हैं। / The positive divisors of (12) less than (5) are (1,2,3,4). Sets are equal when all members match.
सेट की परिभाषा के अनुसार क्रम और पुनरावृत्ति मायने नहीं रखते। \(B\) में अरेंजमेंट और एक अतिरिक्त बार "4" लिखा गया है, पर वास्तविक अनोखे सदस्य केवल \{2,4,6\} ही हैं। चूँकि दोनों में एक ही सदस्य हैं, इसलिए \(A=B\), यानी दोनों सेट बराबर हैं। निकटतम भ्रमित विकल्प B गलत है क्योंकि वह बताता है कि एक सेट केवल उपसमुच्चय है पर बराबर नहीं — यहाँ \(A\subseteq B\) भी और \(B\subseteq A\) भी सत्य है। परीक्षा टिप: किसी दिए गए सेट में से एक-एक सदस्य लिखकर अनोखे तत्व निकालें ताकि डुप्लीकेट हट जाएं। / By the definition of a set, order and repetition do not matter. In \(B\) the element "4" is repeated, but the distinct elements are still \{2,4,6\}. Since both \(A\) and \(B\) have exactly the same distinct members, \(A=B\). The closest distractor (Subset only) is incorrect because it implies one set is a proper subset of the other; here both \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq A\) hold, so they are equal. Exam tip: list unique elements of each set (remove duplicates) before comparing.
सीमित समुच्चयों में उपसमुच्चय और समान सदस्य संख्या होने पर कोई अतिरिक्त तत्व नहीं बचता इसलिए (A=B)। परीक्षा में सीमितता की शर्त महत्वपूर्ण है। / For finite sets, if one is a subset of the other and both have equal cardinality, no extra element remains so (A=B). In exams the finiteness condition is important.
(18) के (10) से कम धनात्मक भाजक (1,2,3,6,9) हैं इसलिए (A=B)। परीक्षा में संयुक्त शर्तों को एक साथ लगाएं। / The positive divisors of (18) less than (10) are (1,2,3,6,9), so (A=B). In exams apply combined conditions together.
(20) से कम (5) के धनात्मक गुणज (5,10,15) हैं इसलिए दोनों बराबर हैं। परीक्षा में "से कम" में सीमा को शामिल न करें। / The positive multiples of (5) less than (20) are (5,10,15), so the sets are equal. In exams do not include the boundary in "less than".
पूर्णांक हल (-1) और (1) दोनों हैं इसलिए (A) और (B) बराबर हैं। परीक्षा में वर्ग की शर्त में दोनों चिन्ह देखें। / The integer solutions are both (-1) and (1), so (A) and (B) are equal. In exams check both signs in square conditions.
(9) से कम विषम प्राकृतिक संख्याएं (1,3,5,7) हैं इसलिए दोनों बराबर हैं। परीक्षा में सीमा के बराबर संख्या तभी लें जब शर्त अनुमति दे। / The odd natural numbers less than (9) are (1,3,5,7), so both are equal. In exams include the boundary only when the condition allows it.
B. दोनों में वही तत्व हैं/Both have the same elements
Explanation
Simple Explanation
समुच्चय में क्रम महत्व नहीं रखता और समान तत्व होने पर समुच्चय बराबर होते हैं। परीक्षा में क्रम बदलने से समुच्चय नहीं बदलता। / Order does not matter in a set and sets are equal when they have the same elements. In exams changing order does not change a set.
(W) में (0) शामिल है और (n=0,1,2,3) देने पर \(B=\{0,2,4,6\}\) है। परीक्षा में (W) की शुरुआत (0) से मानें। / (W) includes (0), and (n=0,1,2,3) gives \(B=\{0,2,4,6\}\). In exams take (W) as starting from (0).
\(x^2=4\) के वास्तविक हल (-2) और (2) दोनों हैं इसलिए (A=B)। परीक्षा में वर्ग समीकरण में ऋणात्मक हल न भूलें। / The real solutions of \(x^2=4\) are both (-2) and (2), so (A=B). In exams do not forget the negative square root.
(12) के धनात्मक सम भाजक (2,4,6,12) हैं इसलिए (A=B)। परीक्षा में पहले भाजक और फिर सम होने की शर्त लगाएं। / The positive even divisors of (12) are (2,4,6,12), so (A=B). In exams list divisors first and then apply evenness.
समुच्चय में दोहराव हट जाता है इसलिए केवल (L,E,V) तत्व हैं। परीक्षा में शब्द से बने समुच्चय में अद्वितीय अक्षर लें। / Repetition is removed in a set so the only elements are (L,E,V). In exams take unique letters in a set made from a word.
समुच्चय में दोहराए गए तत्व केवल एक बार गिने जाते हैं इसलिए दोनों बराबर हैं। परीक्षा में आवृत्ति से नहीं बल्कि अलग तत्वों से तुलना करें। / Repeated elements in a set are counted only once so the sets are equal. In exams compare distinct elements not frequency.
शर्त \(-2\le x<2\) में (2) शामिल नहीं है इसलिए तत्व (-2,-1,0,1) हैं। परीक्षा में खुली और बंद सीमा ध्यान से देखें। / The condition \(-2\le x<2\) excludes (2), so the elements are (-2,-1,0,1). In exams watch open and closed bounds carefully.
(n=1,2,3) रखने पर \(B=\{2,4,6\}\) मिलता है इसलिए दोनों बराबर हैं। परीक्षा में पैरामीटर के सभी मान लगाएं। / Putting (n=1,2,3) gives \(B=\{2,4,6\}\) so both are equal. In exams substitute all allowed parameter values.
(6) के धनात्मक भाजक (1,2,3,6) हैं इसलिए दोनों समुच्चय बराबर हैं। परीक्षा में भाजकों की पूरी सूची बनाएं। / The positive divisors of (6) are (1,2,3,6) so the sets are equal. In exams list all divisors carefully.
पूर्ण संख्याएं (0) से शुरू होती हैं इसलिए (x<3) पर \(B=\{0,1,2\}\) है। परीक्षा में (W) और (N) का अंतर याद रखें। / Whole numbers start from (0) so for (x<3) we get \(B=\{0,1,2\}\). In exams remember the difference between (W) and (N).
समीकरण के मूल (2) और (3) हैं इसलिए दोनों समुच्चयों के तत्व समान हैं। परीक्षा में पहले समीकरण हल करें फिर तुलना करें। / The roots of the equation are (2) and (3) so both sets have the same elements. In exams solve the equation first and then compare the sets.
({}) वही रिक्त समुच्चय है इसलिए (A) और (B) दोनों में एक ही तत्व है। परीक्षा में \(\emptyset\) और \({\emptyset}\) को अलग पहचानें। / The symbol ({}) is the empty set so both (A) and (B) contain the same single element. In exams identify \(\emptyset\) and \({\emptyset}\) separately.
चार से कम धनात्मक अभाज्य संख्याएं केवल (2) और (3) हैं इसलिए दोनों समुच्चय बराबर हैं। परीक्षा में गुण बताने वाली भाषा को रोस्टर रूप में बदलें। / The positive primes less than four are only (2) and (3) so the sets are equal. In exams convert descriptive form into roster form.
सीमित समुच्चयों में यदि एक दूसरे का उपसमुच्चय हो और दोनों में समान संख्या में अवयव हों, तो वे बराबर होते हैं। यह बराबरी सिद्ध करने का उपयोगी नियम है। / For finite sets, if one is a subset of the other and both have the same number of elements, they are equal. This is a useful rule for proving equality.
बराबर समुच्चय के लिए दोनों अवयव 4 और 6 ही होने चाहिए। (m=4) रखने पर ({m,m+2}={4,6}) मिलता है। / For equal sets, the two elements must be exactly 4 and 6. Substituting (m=4) gives ({m,m+2}={4,6}).
18 के धनात्मक सम भाजक 2, 6 और 18 हैं। शर्तों को एक-एक करके जांचना परीक्षा में गलती कम करता है। / The positive even divisors of 18 are 2, 6 and 18. Checking each condition one by one reduces mistakes in exams.
समीकरण से ((x-1)(x-3)=0), इसलिए \(A=\{1,3\}\)। बराबर समुच्चय में अवयव वही होते हैं, क्रम जरूरी नहीं। / The equation gives ((x-1)(x-3)=0), so \(A=\{1,3\}\). Equal sets have the same elements, order is not important.
D. न तो \(A\subseteq B\) और न ही \(B\subseteq A\)/Neither \(A\subseteq B\) nor \(B\subseteq A\)
Explanation
Simple Explanation
दो समुच्चयों के बराबर होने के लिए उनकी हर तत्व एक-दूसरे में होना आवश्यक है। यहाँ \(A\) में तत्व \(a\) है जो \(B\) में नहीं है, और \(B\) में \(d\) है जो \(A\) में नहीं है। अतः \(A= B\) गलत है। \(A\subset B\) तभी सही होगा जब हर तत्व \(A\) का \(B\) में भी हो — किन्तु \(a\) \(B\) में नहीं है, इसलिए यह भी गलत है। इसी प्रकार \(B\subset A\) भी गलत है क्योंकि \(d\) \(A\) में नहीं है। इसलिए सही कथन है कि न तो \(A\subseteq B\) और न ही \(B\subseteq A\)। परीक्षा-सुझाव: किसी भी समुच्चय-तुलना में हर तत्व की सदस्यता एक-एक जाँचें; किसी एक तत्व का अभाव उपसमुच्चय का तात्कालिक खंडन कर देता है। / For two sets to be equal they must have exactly the same elements. Here \(A\) contains \(a\) which is not in \(B\), and \(B\) contains \(d\) which is not in \(A\). So \(A= B\) is false. \(A\subset B\) would require every element of \(A\) to be in \(B\), but \(a\notin B\), so that is false; similarly \(B\subset A\) is false because \(d\notin A\). Thus neither \(A\subseteq B\) nor \(B\subseteq A\) holds. Exam tip: to test subset relations, verify membership of each element of the smaller-looking set in the other set; a single counterexample is sufficient to disprove a subset claim.
15 के धनात्मक भाजक हैं 1, 3, 5 और 15। इसलिए समुच्चय A के सभी तत्व ठीक वही हैं जो B में दिये गए हैं, अतः A = B। विकल्प (B) गलत है क्योंकि वह कहता है कि A, B का एक उचित उपसमुच्चय है (A⊂B) जबकि वास्तव में दोनों समुच्चय समान हैं; विकल्प (C) भी गलत है क्योंकि वह B को A का उचित उपसमुच्चय मानता है — यह भी सत्य नहीं। परिक्षा-टिप: किसी संख्या के सभी धनात्मक भाजक निकालने के लिए संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें और फिर गुणनखंडों से सभी संभावित गुणा-योग से भाजक बनाएं; 15 = 3×5 से भाजक 1,3,5,15 मिलते हैं। / The positive divisors of 15 are 1, 3, 5 and 15. Thus A contains exactly these elements and matches B, so A = B. Option B is incorrect because it claims A is a proper subset of B (A ⊂ B), but here A and B have the same elements; option C is also incorrect for the analogous reason. Exam tip: Factor the number (15 = 3×5) and list all combinations of prime factors (including 1 and the number itself) to get all positive divisors quickly.
8 से छोटी धनात्मक विषम संख्याएं 1, 3, 5 और 7 हैं। सूची और नियम दोनों समान समुच्चय देते हैं। / The positive odd numbers less than 8 are 1, 3, 5 and 7. The list and rule give the same set.
