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धनात्मक 6 के गुणज जो 20 से छोटे हैं वे हैं 6, 12 और 18। इसलिए \(A=\{6,12,18\}\) और वही सेट \(B\) है, अतः \(A\) और \(B\) समान हैं। विकल्प C (\(B\subset A\) परंतु \(A\ne B\)) गलत है क्योंकि \(A\) में कोई अतिरिक्त तत्व नहीं है; विकल्प D गलत है क्योंकि \(A\) के केवल तीन तत्व हैं, यह अनंत नहीं है। परीक्षा-टिप: सेट-बिल्डर व्यंजनों को स्पष्ट करने के लिए हमेशा पहले तत्व सूचीबद्ध करें। / The positive multiples of 6 less than 20 are 6, 12 and 18. Thus \(A=\{6,12,18\}\), which is exactly \(B\), so \(A\) and \(B\) are equal. Option C is incorrect because it claims \(A\) has extra elements beyond \(B\), which it does not; option D is wrong since \(A\) contains only three elements (finite). Exam tip: when a set is given in set‑builder form, list its elements (within the specified domain) to compare sets directly.
x-2 = x को x(x−1) = 0 के रूप में लिखा जा सकता है, अतः समाधान x = 0 या x = 1 हैं। इसलिए B = {0,1} और यह A के समान है। विकल्प B गलत है क्योंकि A अपने दोनों तत्त्व B में मौजूद होने के कारण A ⊂ B परंतु A ≠ B नहीं हो सकता। विकल्प C गलत है क्योंकि B में 0 भी आता है, केवल 1 नहीं। विकल्प D गलत है क्योंकि A और B एक ही समुच्चय हैं, अतः उनका अन्तराल खाली नहीं बल्कि A स्वयं है। परीक्षा-टिप: समुच्चय को परिभाषित करने वाला समीकरण हल करके सभी संभावित हल लिखें और सीधे A से तुलना करें। / Solving x-2 = x gives x(x−1) = 0, so x = 0 or x = 1. Thus B = {0,1}, which equals A. Option B is incorrect because both elements of A are in B, so A is not a proper subset of B. Option C is wrong since B contains 0 as well as 1. Option D is false because A and B coincide, so their intersection is A (not empty). Exam tip: Solve the defining equation to list all elements of B and then compare element-wise with A.
दिया गया द्विघातीय व्यंजक \(x^2-5x+6\) को गुणनखंडों में लिखें: \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\)। इसलिए समीकरण \((x-2)(x-3)=0\) के हल \(x=2\) और \(x=3\) हैं। अतः \(A=\{2,3\}\) जो कि स्पष्टतः \(B\) के बराबर है, तो \(A=B\) सही है। अन्य विकल्प गलत हैं: \(A=\{6\}\) गलत है क्योंकि 6 कोई मूल नहीं है; \(B\subset A\) लेकिन \(A\ne B\) गलत है क्योंकि वास्तव में दोनों समुच्चय समान हैं; \(A=\varnothing\) गलत है क्योंकि समीकरण के वास्तविक हल मौजूद हैं। परीक्षा टिप: द्विघात को गुणनखंडों में लिखकर सीधे मूल निकालें या आवश्यकता हो तो द्विघात सूत्र का उपयोग करें और फिर समाधान समुच्चय स्पष्ट रूप से लिखें। / Factor the quadratic: \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\). So \((x-2)(x-3)=0\) gives solutions \(x=2\) and \(x=3\). Hence \(A=\{2,3\}=B\), so \(A=B\) is correct. Why the others are wrong: \(A=\{6\}\) is false because 6 is not a root; the statement "\(B\subset A\) but \(A\ne B\)" is false because the sets are equal; \(A=\varnothing\) is false because the equation has real solutions. Exam tip: always factor or use the quadratic formula to list the solution set before comparing sets.
10 से छोटी अभाज्य संख्याएँ केवल \(2,3,5,7\) हैं। इसलिए \(A=\{2,3,5,7\}\) और यही सेट \(B\) भी है। दो सेट समान तब होते हैं जब उनके तत्व एक-से-एक समान हों। विकल्प (B) गलत है क्योंकि वह कहता है \(A\) उपसेट है पर भिन्न है — पर यहाँ दोनों सेट सटीक रूप से समान हैं। विकल्प (D) गलत है क्योंकि इसमें \(1\) शामिल किया गया है जबकि \(1\) अभाज्य नहीं है। परीक्षा टिप: याद रखें कि \(1\) को अभाज्य नहीं माना जाता; समान सेटों की पहचान उनके तत्वों की तुलना से करें। / The primes less than 10 are exactly \(2,3,5,7\). Hence \(A=\{2,3,5,7\}\), which is the same collection as \(B\); so \(A=B\). Two sets are equal only if they have precisely the same elements. Distractor (B) is wrong because it asserts \(A\) is a proper subset of \(B\), but here neither set misses any element of the other. Distractor (D) is wrong because it wrongly includes \(1\), and \(1\) is not a prime. Exam tip: Always check whether 1 is (incorrectly) listed — 1 is not prime. Also compare elements directly to test set equality versus proper subset.
12 के सभी धनात्मक गुणनखंड यही छह हैं। वर्णनात्मक रूप और सूची रूप एक ही समुच्चय दे रहे हैं। / These six numbers are exactly the positive factors of 12. Set-builder form and roster form give the same set.
समुच्चय \(A\) में वे सभी पूर्णांक शामिल हैं जो \(x^2=4\) को संतुष्ट करते हैं। इस समीकरण के पूर्णांक हल \(x=2\) और \(x=-2\) हैं, इसलिए \(A=\{-2,2\}\)। यह समुच्चय \(B\) के समान है, अतः \(A=B\)। विकल्प C गलत है क्योंकि दोनों समुच्चयों के तत्व समान हैं; इसलिए \(B\) और \(A\) एक-दूसरे के उपसमुच्चय हैं, न कि एक-दूसरे के उचित उपसमुच्चय। परीक्षा-टिप: \(x^2=a\) हल करते समय दोनों मान \(\pm\sqrt{a}\) अवश्य जाँचें और दिए गए क्षेत्र, यहाँ \(\mathbb{Z}\), का ध्यान रखें। / Set \(A\) contains every integer satisfying \(x^2=4\). The integer solutions are \(x=2\) and \(x=-2\), so \(A=\{-2,2\}\), which is exactly set \(B\). Therefore, \(A=B\). Option C is incorrect because the two sets have identical elements; hence each set is a subset of the other, not a proper subset of the other. Exam tip: when solving \(x^2=a\), consider both values \(\pm\sqrt{a}\) and check the specified domain, here \(\mathbb{Z}\).
बराबर समुच्चयों में वही अवयव होने चाहिए, इसलिए 3 और 5 दोनों ओर होने चाहिए। ऐसे प्रश्नों में क्रम से भ्रमित न हों। / Equal sets must contain exactly the same elements, so 3 and 5 must appear on both sides. Do not be confused by order.
समुच्चय में किसी अवयव की पुनरावृत्ति नहीं गिनी जाती। परीक्षा में पहले वास्तविक अलग-अलग अवयव लिखें। / Repeated elements are not counted in a set. In exams, first list the distinct elements.
8 से छोटी धनात्मक सम संख्याएँ केवल 2, 4 और 6 हैं। इसलिए समुच्चय-निर्माण रूप में दिया गया समुच्चय \(B=\{2,4,6\}\) होगा, जो \(A\) के समान है। अतः \(A=B\) और विकल्प A सही है। विकल्प B तथा C गलत हैं, क्योंकि वे एक समुच्चय को दूसरे का सख्त उपसमुच्चय बताते हैं, जबकि दोनों में बिल्कुल समान तत्व हैं। विकल्प D भी गलत है, क्योंकि \(A\cap B=\{2,4,6\}\), न कि रिक्त समुच्चय। परीक्षा-सुझाव: समुच्चय-निर्माण रूप में दी गई शर्त को पहले उसके सभी तत्वों की सूची में बदलकर तुलना करें। / The positive even numbers less than 8 are 2, 4, and 6 only. Thus, the set-builder description gives \(B=\{2,4,6\}\), which is exactly the same as \(A\). Therefore, \(A=B\), so option A is correct. Options B and C are incorrect because they describe a strict subset relation, whereas the two sets have identical elements. Option D is also incorrect because \(A\cap B=\{2,4,6\}\), not the empty set. Exam tip: first expand a set-builder description into its list of elements, then compare the sets directly.
हर (X) में (1) और (4) होना चाहिए तथा (2) नहीं होना चाहिए, इसलिए केवल (3) वैकल्पिक है। ऐसे प्रश्नों में अनिवार्य और निषिद्ध अवयव पहले तय करें। / Every (X) must contain (1) and (4), and must not contain (2), so only (3) is optional. In such questions, fix required and forbidden elements first.
शर्त \(0<x^2<10\) के लिये पूर्णांक \(x\) के वर्ग केवल 1, 4 और 9 हो सकते हैं (क्योंकि अगला वर्ग 16\(>10\) है)। इसलिए \(x=\pm1,\pm2,\pm3\) होते हैं। चूँकि \(0<x^2\) है, \(0\) शामिल नहीं होगा। अतः सही समुच्चय \{ -3,-2,-1,1,2,3\} है। निकट भ्रामक विकल्प \{ -2,-1,0,1,2\} में 0 है और \(\pm3\) गायब हैं, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: समुच्चय आधारित प्रश्न में पहले संभावित वर्ग (1,4,9,16,...) लिखें और दिए गए असमानता से तुलना करें। / For integers satisfying \(0<x^2<10\), the possible squares are 1, 4 and 9 (the next square 16 exceeds 10). Hence \(x=\pm1,\pm2,\pm3\). Since \(0<x^2\), zero is excluded. Therefore the set is \{ -3,-2,-1,1,2,3\}. A close distractor, \{ -2,-1,0,1,2\}, incorrectly includes 0 and misses \(\pm3\). Exam tip: list integer squares (1,4,9,16,...) and check the inequality bounds to find allowed values quickly.
A में वे धनात्मक गुणज आते हैं जो 30 से छोटे हैं। 5 के धनात्मक गुणज: 5, 10, 15, 20, 25 (5×1 से 5×5) ही हैं; 30 शामिल नहीं क्योंकि शर्त x < 30 है। अतः A = {5,10,15,20,25} और इसलिए A तथा B समान हैं। निकटतम भ्रमित विकल्प B गलत है क्योंकि उसने 30 जोड़ दिया जो शर्त का उल्लंघन है। परीक्षा का टिप: "<30" जैसा कड़ाई से लिया गया असमानता चिन्ह ध्यान से पढ़ें—30 शामिल नहीं होगा। / A consists of positive multiples of 5 that are less than 30. These are 5, 10, 15, 20, 25 (5×1 through 5×5); 30 is not included because x < 30. Therefore A = {5,10,15,20,25} = B. The closest distractor (option B) is wrong because it incorrectly includes 30. Exam tip: pay attention to strict inequalities like "<30"—they exclude the boundary value.
(1) अभाज्य नहीं है और (20) तक अभाज्य संख्याएं वही हैं जो (B) में हैं। अभाज्य संख्या की परिभाषा याद रखें। / The number (1) is not prime, and the primes up to (20) are exactly those in (B). Remember the definition of a prime number.
दिये गये समीकरण को गुणनखंडों में लिखें: \(x^2-2x=x(x-2)=0\)। अतः हल \(x=0\) और \(x=2\) हैं। चूँकि परिभाषा में \(x\in\mathbb{Z}\) है, इसलिए \(A=\{0,2\}=B\)। विकल्प C गलत है क्योंकि सही संबंध समता है, न कि उचित उपसमुच्चय; विकल्प B और D स्पष्ट रूप से गलत हैं क्योंकि A में दोनों 0 और 2 हैं और खाली समुच्चय नहीं है। परीक्षा-सुझाव: समीकरणों में हमेशा शून्य को जड़ के रूप में याद रखें और परिभाषित डोमेन (यहाँ \(\mathbb{Z}\)) की जाँच करें। / Factor the polynomial: \(x^2-2x=x(x-2)=0\). Thus the integer solutions are \(x=0\) and \(x=2\). Since \(A\) is defined over \(\mathbb{Z}\), \(A=\{0,2\}=B\), so A equals B. The nearest distractor C is wrong because it asserts a proper subset rather than equality; B omits 0 and D contradicts the found roots. Exam tip: always factor and list all roots (including 0) and check the domain of the variable.
(40) के (10) तक के धनात्मक भाजक (1,2,4,5,8,10) हैं। सीमा की शर्त को भाजक सूची पर लगाएं। / The positive divisors of (40) up to (10) are (1,2,4,5,8,10). Apply the boundary condition to the divisor list.
A. (B=C) और (A) (B) का उचित उपसमुच्चय है/(B=C) and (A) is a proper subset of (B)
Explanation
Simple Explanation
(B) और (C) में वही अवयव हैं और (A) में (4) नहीं है। समानता और उचित उपसमुच्चय दोनों अलग-अलग जांचें। / (B) and (C) have the same elements, and (A) does not contain (4). Check equality and proper subset separately.
x-2 - 1 = 0 को हल करने पर x = ±1 मिलता है और दोनों मान पूर्णांक हैं, अतः A = {-1, 1}। B में वे पूर्णांक दिए गए हैं जो -2 से छोटे और 2 से छोटे (कठोर असमानता) हैं और x ≠ 0; इससे पूर्णांकों का समूह {-1,0,1} होता है पर x ≠ 0 हटाने पर B = {-1,1}। इसलिए A और B के तत्व समान हैं और A = B है। विकल्प B गलत है क्योंकि वह A को {1} बताता है जबकि A में -1 भी शामिल है; विकल्प C व D भी गलत हैं क्योंकि B खाली नहीं है और A ∩ B = {-1,1} है, शून्यसमूह नहीं। परीक्षा-सूत्र: सेटों को बराबरी के लिए हमेशा तत्व लिखकर जाँचें — समीकरण हल करके और असमानताओं में पूर्णांकों को सूचीबद्ध करें। / Solve x-2 - 1 = 0 to get x = ±1, which are integers, so A = {-1, 1}. For B, integers satisfying -2 < x < 2 are -1, 0, 1; removing x = 0 gives B = {-1, 1}. Thus A and B have exactly the same elements, so A = B. Option B is incorrect because it omits -1 from A; options C and D are wrong because B is not empty and A ∩ B = {-1,1}, not empty. Exam tip: when sets are defined by equations and inequalities, list the actual elements to compare equality quickly.
दोनों संख्याओं के सामान्य अभाज्य भाजक (2) और (3) हैं। सामान्य भाजक और सामान्य अभाज्य भाजक अलग हो सकते हैं। / The common prime divisors of both numbers are (2) and (3). Common divisors and common prime divisors can be different.
एक ही सम और अभाज्य दोनों गुणों को संतुष्ट करने वाली केवल संख्या 2 है — क्योंकि 2 ही एकमात्र सम अभाज्य संख्या है। विकल्प B में सभी संख्याएँ सम हैं पर 4,6,8 अभाज्य नहीं हैं; विकल्प C में 3,5,7 अभाज्य हैं पर वे विषम हैं; विकल्प D खाली समुच्चय है जो शर्तों से मेल नहीं खाता। परीक्षा युक्ति: जब सेट पर ‘‘और’’ की शर्त दी हो तो दोनों शर्तें एक साथ लागू कीजिए। / Only 2 satisfies both conditions: it is the only even prime. Option B lists even numbers less than 10 but 4, 6, 8 are composite; option C lists primes less than 10 but except 2 the primes are odd; option D is the empty set and does not meet the predicate. Exam tip: for predicates joined by “and”, require all conditions simultaneously when forming the set.
\(|x|\leq 2\) में (-2) से (2) तक के सभी पूर्णांक आते हैं। मापांक में धन और ऋण दोनों पक्ष देखें। / The condition \(|x|\leq 2\) includes all integers from (-2) to (2). In modulus, check both positive and negative sides.
पावर समुच्चय में सभी उपसमुच्चय अवयव के रूप में लिखे जाते हैं। (a) नहीं बल्कि ({a}) उसका अवयव होगा। / A power set lists all subsets as elements. It contains ({a}), not (a) as the singleton subset.
कक्षा (11) में सामान्यतः \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\) लिया जाता है इसलिए दोनों (1) से (9) तक हैं। संकेत में दी गई संख्या पद्धति को ध्यान से देखें। / In Class (11), usually \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), so both sets are (1) to (9). Read the given number system carefully.
सूत्र \(x=2n\) में \(n\) को \(1,2,3,4\) रखने पर प्राप्त मान \(x=2,4,6,8\) होते हैं। अतः \(B=\{2,4,6,8\}\) जो कि दी गई \(A\) के समान है, इसलिए \(A=B\)। विकल्प B गलत है क्योंकि \(A\) केवल \(B\) का उपसमुच्चय ही नहीं बल्कि बराबर भी है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(B\) में केवल सम संख्याएँ आती हैं, न कि \(1,2,3,4\)। विकल्प D गलत है क्योंकि \(A\cap B=A\) है, खाली समुच्चय नहीं। परीक्षा टिप: पैरामेट्रिक समुच्चय में तुरंत मान डालकर सभी सदस्य लिखें — इससे बराबरी/उपसमुच्चय के संबंध स्पष्ट हो जाते हैं। / Substituting \(n=1,2,3,4\) into \(x=2n\) gives \(x=2,4,6,8\). Hence \(B=\{2,4,6,8\}=A\), so \(A=B\). Option B is wrong because A is not a proper subset—both sets are identical. Option C is incorrect since \(B\) lists even numbers, not \(1,2,3,4\). Option D is false because \(A\cap B= A\), not the empty set. Exam tip: For parametric definitions plug in the allowed parameter values to list elements before comparing sets.
समुच्चय में दोहराव नहीं गिना जाता इसलिए अलग अक्षर (L,E,V) हैं। अक्षरों वाले प्रश्न में केवल अलग अवयव गिनें। / Repetition is not counted in a set, so the distinct letters are (L,E,V). In letter based questions count only distinct elements.
धनात्मक पूर्ण वर्ग (1,4,9,16) हैं और (25) सीमा में शामिल नहीं है। हर शर्त को साथ में लागू करें। / The positive perfect squares are (1,4,9,16), and (25) is not included. Apply every condition together.
समुच्चय में वह सभी पूर्णांक शामिल हैं जो शर्त \(-3\le x<2\) पूरी करते हैं। पूर्णांकों की सूचि में यह मान होंगे \(-3,-2,-1,0,1\) क्योंकि \(-3\) शामिल है पर \(2\) शामिल नहीं है। इसलिए विकल्प A सही है। निकटतम भ्रामक विकल्प C गलत है क्योंकि उसमें \(2\) भी शामिल किया गया है, जबकि \(2\) शर्त द्वारा बाहर रखा गया है। परीक्षा टिप: किसी अनिश्चित अन्तराल के लिए पहले असमानता के दोनों छोरों को पढ़ें और केवल उन पूर्णांकों को लिखें जो दोनों शर्तों को पूरा करते हैं। / A contains all integers satisfying \(-3\le x<2\). Listing those integers gives \(-3,-2,-1,0,1\): -3 is included (\(\le\)) but 2 is not included (\(<\)), so option A is correct. The closest distractor C is wrong because it incorrectly includes 2. Exam tip: when given an integer inequality, list integers from the left endpoint to the right, respecting \(\le\) vs \(<\).
परिभाषा \(A=\{x\in\mathbb{N}:x\mid 18\}\) का अर्थ है कि \(A\) में 18 के सभी धनात्मक भाजक आते हैं। 18 के धनात्मक भाजक हैं 1, 2, 3, 6, 9, 18 — यही सेट \(B\) भी है। अतः \(A=B\) है। गलत विकल्पों का संक्षिप्त कारण: (B) गलत है क्योंकि इसमें सम्मिलित हैं 6, 9 और 18 जो अभाज्य नहीं हैं; (C) गलत है क्योंकि \(B\) और \(A\) में एक ही सदस्य हैं, इसलिए \(B\) समुच्चय का सही उपसमुच्चय परिभाषा नहीं बनता; (D) गलत है क्योंकि 18 निश्चित रूप से 18 का भाजक है और इसलिए \(18\in A\)। परीक्षा-सुझाव: विभाजन-आधारित समुच्चय के लिए दिए गए पूर्णांक के सभी धनात्मक भाजकों को सूचीबद्ध कर लें — इससे तुरंत तुलना हो जाती है। / By definition \(A=\{x\in\mathbb{N}:x\mid 18\}\) is the set of all positive divisors of 18. The positive divisors of 18 are 1, 2, 3, 6, 9, 18, which is exactly \(B\). Therefore \(A=B\). Why other options fail: (B) is false because 6, 9 and 18 are not prime; (C) is false because \(B\) does not omit any element of \(A\), so it is not a proper subset; (D) is false because 18 divides 18, so \(18\in A\). Exam tip: For sets defined by "\(x\mid n\)", list all positive divisors of \(n\) to compare sets quickly.
(42) के अभाज्य भाजक (2,3,7) हैं। सभी भाजकों और अभाज्य भाजकों में अंतर समझें। / The prime divisors of (42) are (2,3,7). Understand the difference between all divisors and prime divisors.
समीकरण के हल (1) और (3) हैं इसलिए दोनों समुच्चयों में वही अवयव हैं। बराबर समुच्चय में क्रम नहीं देखा जाता। / The equation has roots (1) and (3), so both sets have the same elements. In equal sets order is not considered.
\(A\subseteq B\) है और (B) में (A) के अलावा कोई नया अवयव नहीं है इसलिए दोनों में वही अवयव हैं। बराबरी सिद्ध करने में दोनों ओर सम्मिलन की सोच उपयोगी है। / Since \(A\subseteq B\) and (B) has no new element outside (A), both have the same elements. Thinking about inclusion from both sides helps prove equality.
