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एक-अवयवी उपसमुच्चय ({a},{b},{c}) होते हैं इसलिए दोनों समुच्चय बराबर हैं। परीक्षा में अवयव और उपसमुच्चय के स्तर को ध्यान से देखें। / The singleton subsets are ({a},{b},{c}), so the two sets are equal. In exams carefully check the level of elements and subsets.
A. (B=C) और \(B\subset A\)/(B=C) and \(B\subset A\)
Explanation
Simple Explanation
(A) के सम अवयव (2,4,6) हैं इसलिए (C=B) है और (B) (A) का उचित उपसमुच्चय है। शर्त को मूल समुच्चय के अंदर लागू करें। / The even elements of (A) are (2,4,6), so (C=B) and (B) is a proper subset of (A). Apply the condition inside the original set.
30 का अभाज्य गुणनखंड है \(30=2\times3\times5\)। इसलिए 30 के अभाज्य भाजक केवल \(2,3,5\) हैं और इस प्रकार सेट \(A\) का सदस्य exactly \(\{2,3,5\}\) है। अतः \(A= B\)। विकल्प (C) और (B) गलत हैं क्योंकि वे यह मानते हैं कि एक सेट दूसरे से अलग तत्व रखता है; यहाँ ऐसा नहीं है। विकल्प (D) में \(1\) और \(30\) शामिल हैं जो अभाज्य नहीं हैं, इसलिए वह भी गलत है। परीक्षा-सुझाव: किसी भी प्रश्न में तुरंत संख्या का अभाज्य गुणनखण्ड लिखें (यहाँ \(30=2\times3\times5\)) ताकि अभाज्य भाजक सीधे मिल जाएँ। / Factorize 30: \(30=2\times3\times5\). Hence the prime divisors of 30 are exactly \(2,3,5\), so \(A=\{2,3,5\}=B\). Options (B) and (C) are wrong because they assert a proper subset relation (extra or missing elements), which is not the case here. Option (D) incorrectly includes 1 and 30, neither of which are prime divisors. Exam tip: quickly write the prime factorization (e.g. \(30=2\times3\times5\)) to identify prime divisors without error.
अऋण पूर्णांक (0) से शुरू होते हैं और (9) से छोटे होने पर (8) तक जाते हैं। इसलिए दोनों बराबर हैं। / Non-negative integers start from (0) and those less than (9) go up to (8). Hence the two sets are equal.
शर्त \(0\le x<5\) और "\(x\) पूर्णांक" का अर्थ है कि \(x\) केवल उन पूर्णांकों में से होगा जो 0,1,2,3 और 4 हैं। इसलिए \(A=\{0,1,2,3,4\}\), जो ठीक \(B\) के बराबर है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(A\) किसी वास्तविक प्रविष्टि में \(B\) से अलग नहीं है; वे बराबर हैं, इसलिए "आंशिक उपसमुच्चय पर समानता नहीं" सही नहीं। विकल्प C गलत है क्योंकि \(B\subset A\) मात्र सत्य नहीं है—यह दोनों समान्तर हैं (बराबर)। विकल्प D गलत है क्योंकि \(5\) शर्त \(x<5\) के कारण शामिल नहीं है। परीक्षा युक्ति: जब सेट पर शर्तें हों (जैसे पूर्णांक और असमानता), तो पहले स्पष्ट रूप से समुच्चय के सभी तत्व लिख लें और फिर तुलना करें। / The condition "integer" with \(0\le x<5\) yields only the integers 0,1,2,3,4. Thus \(A=\{0,1,2,3,4\}=B\), so \(A=B\) is correct. Option B is wrong because it claims \(A\) is a proper subset of \(B\); here they are equal, not proper. Option C is incorrect for the same reason (it treats \(B\) as a proper subset). Option D is false because 5 does not satisfy \(x<5\). Exam tip: convert set-builder notation into an explicit list of elements when bounds and integrality are given—this avoids subset/equality mistakes.
समीकरण के हल (-2,2) हैं पर प्राकृतिक हल केवल (2) है। दिए हुए संख्या समुच्चय की शर्त अवश्य देखें। / The equation has roots (-2,2), but the natural solution is only (2). Always check the given number set condition.
A में 3 के धनात्मक गुणज जिनकी मान x < 15 है, वे 3, 6, 9, 12 हैं। अतः A = {3,6,9,12} है। B भी {3,6,9,12} है, इसलिए A और B बराबर हैं। नज़दीकी भ्रामक विकल्प C (B ⊂ A पर A ≠ B) इसलिए गलत है क्योंकि वह मानकर चलता है कि A में B के अलावा कोई और तत्व है — परन्तु A में कोई अतिरिक्त तत्व नहीं है। विकल्प D गलत है क्योंकि वह 15 को शामिल करता है जबकि शर्त x < 15 है (कठोर असमानता)। परीक्षा टिप: किसी सेट का निर्धारण करते समय तत्वों को सूचीबद्ध कर लें और सीमा (≤ या <) पर विशेष ध्यान दें। / The positive multiples of 3 that satisfy x < 15 are 3, 6, 9 and 12. Thus A = {3,6,9,12}, which is exactly B, so A = B. The closest distractor C (B ⊂ A but A ≠ B) is wrong because it assumes A contains extra elements beyond B; here it does not. Option D is incorrect because it includes 15 even though the condition is x < 15 (strict inequality). Exam tip: When sets are defined by a rule, list the actual elements and check boundary conditions (strict vs non‑strict inequalities).
समाधान: पूर्णांकों में समीकरण \(x^2=1\) के हल \(x=1\) और \(x=-1\) हैं। अतः \(A=\{-1,1\}\), जो कि दिया गया \(B\) सेट है। इसलिए \(A=B\) सत्य है। नज़दीकी विचलन: विकल्प (B) सिर्फ \(1\) को रखता है और \(-1\) को छोड़ देता है, इसलिए गलत है। परखने की टिप: जब सेट समीकरण दें तो पहले डोमेन (यहाँ \(\mathbb{Z}\)) में सभी हल लिखें और फिर तत्वों की एक सूची बनाकर तुलना करें। / Reasoning: Over integers the equation \(x^2=1\) has solutions \(x=1\) and \(x=-1\). Thus \(A=\{-1,1\}\), which equals \(B\); so \(A=B\) is correct. Closest distractor: option (B) lists only \(1\) and omits \(-1\), so it is incorrect. Exam tip: always solve the equation within the specified domain (here \(\mathbb{Z}\)) and compare full element lists to test set equality.
जब \(A\subseteq B\) और दोनों के अवयवों की संख्या समान हो तो कोई अतिरिक्त अवयव नहीं बचता। इसलिए (A=B)। / When \(A\subseteq B\) and both have the same number of elements, no extra element remains. Hence (A=B).
दोहराए गए अवयव समुच्चय में एक बार ही माने जाते हैं। इसलिए दोनों में वही अलग अवयव हैं। / Repeated elements are counted only once in a set. Therefore both have the same distinct elements.
\(A=\{x\in\mathbb{N}:x\le 4\}\) का विस्तार \(\{1,2,3,4\}\) है और \(B\) भी \(\{1,2,3,4\}\) ही है। समुच्चय में क्रम और पुनरावृत्ति का कोई महत्व नहीं होता, अत: \(A=B\)। विकल्प B गलत है क्योंकि समुच्चयों में क्रम मायने नहीं रखता। विकल्प C गलत है क्योंकि \(A\subset B\) बताने के लिए \(A\) और \(B\) के बीच proper subset होना चाहिए, पर यहाँ वे बराबर हैं। विकल्प D गलत है क्योंकि \(B\) शून्य समुच्चय नहीं है। परीक्षा सुझाव: समुच्चय की समानता जाँचने के लिए दोनों का सदस्यता सेट लिखकर तुलना करें — क्रम महत्वपूर्ण नहीं। / Expanding \(A\) gives \(\{1,2,3,4\}\), which is exactly the set \(B\). Sets are unordered and list order or repetition does not affect equality, so \(A=B\). Option B is wrong because order of listing does not change a set. Option C is wrong because a proper subset claim fails when the two sets are equal. Option D is wrong because \(B\) is not the empty set. Exam tip: To test set equality, list elements of each set and compare membership; ignore order and duplicates.
(20) के धनात्मक भाजक (1,2,4,5,10,20) हैं। भाजक वाले प्रश्न में (1) और संख्या स्वयं न भूलें। / The positive divisors of (20) are (1,2,4,5,10,20). In divisor questions do not forget (1) and the number itself.
समाधान निकालने के लिए द्विघात बहुपद को विगुणित करें: \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\)। इसलिए समीकरण के मूल (roots) \(2\) और \(3\) हैं, अतः सेट \(A=\{2,3\}\) बनता है। चूँकि \(B\) भी \(\{2,3\}\) है, इसलिए \(A=B\) सही है। नजदीकी भ्रामक विकल्प \(C\) गलत है क्योंकि वहाँ कहा गया है कि \(B\) का समुच्चय \(A\) में आकर भी वे बराबर नहीं हैं—पर वास्तव में दोनों के अवयव समान हैं। परीक्षीय सुझाव: द्विघात समीकरणों में हमेशा गुणनखंड निकालें और प्राप्त मूलों से समुच्चय बनाकर तुलना करें। / Factor the quadratic: \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\). Hence the roots are \(2\) and \(3\), so \(A=\{2,3\}\). Since \(B=\{2,3\}\) as well, we have \(A=B\). The closest distractor (C) is incorrect because it asserts a proper subset relationship even though the two sets have identical elements. Exam tip: Always factor quadratics to find roots and then express the solution set explicitly before comparing sets.
दस से छोटे एक-अंक (0–9) में अभाज्य पूर्णांक केवल 2, 3, 5 और 7 हैं। इसलिए B = {2,3,5,7} जो कि A के समान ही सेट है। 1 या 0 को अभाज्य नहीं माना जाता, इसलिए B में कोई अतिरिक्त तत्व नहीं हैं और A = B सत्य है। निकटतम भ्रमित करने वाला विकल्प \(A \subset B\) गलत है क्योंकि B में A के अलावा कोई तत्व नहीं है। परीक्षा-सुझाव: जब सेट किसी गुण के आधार पर दिया हो, तो पहले गुण से स्पष्ट तत्वों की सूची लिखकर तुलना करें। / The prime digits less than 10 are 2, 3, 5 and 7, so B = {2,3,5,7} which is exactly A. Neither 0 nor 1 is prime, so B has no extra element and thus A = B is true. The closest distractor \(A \subset B\) but \(A \ne B\) is false because B contains no element outside A. Exam tip: when a set is defined descriptively, list its elements explicitly before comparing sets.
18 के धनात्मक भाजक हैं 1, 2, 3, 6, 9, 18। इनमें से विषम अंक केवल 1, 3 और 9 हैं। इसलिए A = {1,3,9} ही सही है। विकल्प B केवल सम (even) भाजक हैं, विकल्प C में सभी भाजक (सम और विषम) हैं, और विकल्प D में 6 शामिल है जो सम है — इसलिए ये गलत हैं। परीक्षा टिप: पहले सभी भाजक लिखें फिर उनमें से विषम/सम की शर्त लागू करें। / The positive divisors of 18 are 1, 2, 3, 6, 9, 18. Of these, the odd ones are 1, 3 and 9, so A = {1,3,9}. Option B lists only even divisors, option C lists all divisors (both even and odd), and option D wrongly includes 6 which is even. Exam tip: enumerate the divisors first, then apply the parity condition.
दोनों दिशाओं में उपसमुच्चय होने का अर्थ है कि दोनों में ठीक वही अवयव हैं। बराबर समुच्चय सिद्ध करने की यह मानक विधि है। / Subset relation in both directions means both sets have exactly the same elements. This is a standard way to prove equality of sets.
12 का अभाज्य गुणनखंड लिखने पर 12 = 22 × 3 मिलता है। समुच्चय में केवल अलग-अलग तत्व लिखे जाते हैं, इसलिए A = {2,3} होता है। अतः A और B के तत्व एक जैसे हैं और A = B सत्य है। निकटतम भ्रामक विकल्प C गलत है क्योंकि B कोई सही उपसमुच्चय (proper subset) नहीं है — B और A समान हैं। परीक्षा टिप: संख्या का अभाज्य गुणनखंड निकालते समय केवल अलग-अलग अभाज्य गुणक लेकर सेट बनाएं (गुणांक की घात को न दोहराएँ)। / Prime factorization gives 12 = 22 × 3, so the distinct prime factors are 2 and 3. A set lists distinct elements, hence A = {2,3} which equals B. Therefore A = B is correct. Closest distractor C is wrong because B is not a proper subset of A — they are equal. Exam tip: when forming a set of prime factors, include each prime once (ignore multiplicity from powers).
आठ से छोटे धनात्मक विषम पूर्णांक (1,3,5,7) हैं। शब्दों में दिए समुच्चय को अवयवों में लिखें। / The positive odd integers less than eight are (1,3,5,7). Write the described set in elements before comparing.
दोनों समुच्चय के तत्व एक जैसे हैं: \(m,a,t,h\)। समुच्चय में क्रम और दोहराव का कोई अर्थ नहीं रहता, इसलिए \(A\) और \(B\) के सभी तत्व समान होने पर \(A=B\) होगा। विकल्प (B) और (C) गलत हैं क्योंकि किसी समुच्चय में दूसरे का सख्त भाग (proper subset) होने के लिए कम से कम एक अतिरिक्त तत्व होना चाहिए — यहाँ ऐसा नहीं है। विकल्प (D) गलत है क्योंकि उनका साझा भाग खाली नहीं है। परीक्षा-Tip: जब सेट वर्णन में शब्द दिए हों तो उसे खुले-वस्तु (list) में लिखकर सभी अलग-अलग तत्व निकाल लें और फिर तुलना करें। / Both sets contain exactly the same elements \(m,a,t,h\). In set theory order and repetition do not matter, so if two sets have identical elements then \(A=B\). Options (B) and (C) are false because a proper subset relation requires one set to lack at least one element present in the other — that is not the case here. Option (D) is false because the intersection is not empty. Exam tip: convert a verbal set description into an explicit list of distinct elements and then compare the lists for equality or subset relations.
समुच्चय में क्रम बदलने से समुच्चय नहीं बदलता पर ({3}) और (3) अलग हैं। नेस्टेड अवयव को अलग पहचानें। / Changing order does not change a set but ({3}) and (3) are different. Identify nested elements carefully.
दस से छोटे धनात्मक सम पूर्णांक (2,4,6,8) हैं। वर्णनात्मक रूप को रोस्टर रूप में बदलकर मिलान करें। / The positive even integers less than ten are (2,4,6,8). Convert set builder form to roster form before comparing.
\(x^2=16\) के हल (-4) और (4) हैं इसलिए दोनों में वही अवयव हैं। परीक्षा में क्रम नहीं अवयव देखें। / The solutions of \(x^2=16\) are (-4) and (4) so both sets have the same elements. In exams compare elements not order.
(B) (A) और (C) के बीच है और (A=C) है, इसलिए (B) भी उसी के बराबर होगा। उपसमुच्चय शृंखला में बराबरी की स्थिति ध्यान से देखें। / (B) lies between (A) and (C), and (A=C), so (B) must also be equal to them. In subset chains, check equality conditions carefully.
समीकरण के हल (3) और (4) हैं इसलिए दोनों समुच्चय समान हैं। पहले समीकरण हल करें फिर अवयव मिलाएं। / The solutions of the equation are (3) and (4), so the two sets are equal. First solve the equation and then match the elements.
शर्त \(|x|<3\) का अर्थ है \(-3<x<3\)। पूर्णांकों के लिए इस अंतराल के अंदर आने वाले मान हैं
\(-2,-1,0,1,2\)। अतः \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), जो बिल्कुल \(B\) के बराबर है। इसलिए \(A=B\) सत्य है।
विकल्प B और C असत्य हैं क्योंकि वे किसी सेट को दूसरे का proper subset मानते हैं
(यानि \(A\neq B\))—यहाँ वास्तविकता में दोनों दिशाओं में समावेशन होते हुए भी समता成立 करती है, इसलिए proper subset का दावा गलत है।
विकल्प D गलत है क्योंकि \(3\) परिशर्त \(|x|<3\) को पूरा नहीं करता।
परीक्षा सुझाव: पहले \(|x|<3\) को \(-3<x<3\) में बदलें और तब केवल पूर्णांक लिखें — इससे सेट के तत्व जल्दी स्पष्ट हो जाते हैं। / The inequality \(|x|<3\) is equivalent to \(-3<x<3\).
For integers the elements in this interval are \(-2,-1,0,1,2\). Hence \(A=\{-2,-1,0,1,2\}=B\), so \(A=B\) is correct.
Options B and C are incorrect because they assert a proper-subset relation (\(A\neq B\)), which is false here — although both \(A\subset B\) and \(B\subset A\) hold, that implies equality, not a proper subset.
Option D is false because \(3\) does not satisfy \(|x|<3\).
Exam tip: Convert the absolute-value condition to an interval and list integer members to decide equality quickly.
(9) के धनात्मक भाजक (1,3,9) हैं। भाजक सूची बनाते समय (1) और संख्या स्वयं को शामिल करें। / The positive divisors of (9) are (1,3,9). While listing divisors, include (1) and the number itself.
(20) से कम (5) के धनात्मक गुणज (5,10,15) हैं। सीमा पर दी संख्या शामिल है या नहीं, यह जांचें। / The positive multiples of (5) less than (20) are (5,10,15). Check whether the boundary number is included or not.
(30) से कम (6) के धनात्मक गुणज (6,12,18,24) हैं। कम से कम और कम का अंतर याद रखें। / The positive multiples of (6) less than (30) are (6,12,18,24). Remember the difference between at most and less than.
(x-2-5x+6=(x-2)(x-3)) है इसलिए हल (2,3) हैं। पहले समीकरण हल करें फिर समुच्चय लिखें। / (x-2-5x+6=(x-2)(x-3)), so the solutions are (2,3). First solve the equation and then write the set.
\(x^2=9\) के पूर्णांक हल (-3) और (3) हैं। वर्ग वाले समीकरण में ऋणात्मक हल भी जांचें। / The integer solutions of \(x^2=9\) are (-3) and (3). Check the negative solution in square equations too.
