Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(10<x<16) में (11) से (15) तक प्राकृतिक संख्याएं आती हैं। खुली सीमा में (10) और (16) शामिल नहीं होते। / For (10<x<16), the natural numbers are (11) to (15). Open boundaries do not include (10) and (16).
यदि (A) (B) का उपसमुच्चय है और दोनों में समान संख्या में अवयव हैं, तो वे बराबर हैं। समान कार्डिनैलिटी यहां महत्वपूर्ण संकेत है। / If (A) is a subset of (B) and both have the same number of elements, they are equal. Equal cardinality is the key clue here.
16 के सभी धनात्मक भाजक हैं 1, 2, 4, 8, 16. प्रश्न में शर्त है कि x सम हो, इसलिए 1 को बाहर कर दिया जाता है और शेष सम भाजक {2,4,8,16} हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें 1 शामिल है जो सम नहीं है; विकल्प C गलत है क्योंकि 6 16 का भाजक नहीं है; विकल्प D गलत है क्योंकि उसमें 2 गायब है। परिक्षा-सूत्र: पहले सभी भाजक लिखें, फिर दिए हुए गुण (जैसे सम/विषम) लागू करें। / All positive divisors of 16 are 1, 2, 4, 8, 16. Applying the condition that x is even removes 1, leaving the even divisors {2,4,8,16}. Option B is wrong because it includes 1 (which is odd); C is wrong because 6 is not a divisor of 16; D is wrong because 2 is omitted. Exam tip: list all divisors first, then apply the required property (even/odd, prime, etc.).
\(18=2\times3^2\) है, पर समुच्चय में (3) एक बार लिखा जाता है। गुणनखंड और समुच्चय की गिनती अलग रखें। / \(18=2\times3^2\), but (3) is written once in a set. Keep factorization and set counting separate.
दोहराए गए अक्षर एक बार गिने जाते हैं, इसलिए (LEVEL) से (L,E,V) मिलते हैं। समुच्चय में पुनरावृत्ति नहीं गिनी जाती। / Repeated letters are counted once, so (LEVEL) gives (L,E,V). Repetition is not counted in sets.
दी गई सीमा में पूर्णांक (-1,0,1,2) ही हैं इसलिए दोनों समुच्चय समान हैं। परीक्षा में पहले वर्णन रूप को सूची रूप में बदलें। / The integers in the given range are exactly (-1,0,1,2) so both sets are equal. In exams first convert set-builder form to roster form.
A. जब उनके सभी अवयव समान हों/When all their elements are the same
Explanation
Simple Explanation
समान समुच्चय में प्रत्येक अवयव दोनों समुच्चयों में होना चाहिए। केवल नाम या क्रम से समानता तय नहीं होती। / Equal sets must have every element in both sets. Names or order alone do not decide equality.
दो सेट तब बराबर होते हैं जब उनके सभी तत्व समान हों। शर्त \(x\) सम प्राकृतिक संख्या और \(x<10\) होने पर उपलब्ध तत्व हैं \(2,4,6,8\)। अतः \(B=\{2,4,6,8\}=A\), इसलिए \(A=B\) सत्य है। विकल्प B और C गलत हैं क्योंकि वे सही‑subset (proper subset) का दावा करते हैं जबकि दोनों सेट समान हैं, न कि एक दूसरे का proper subset; विकल्प D गलत है क्योंकि \(10<10\) सत्य नहीं है इसलिए 10 सेट \(A\) का सदस्य नहीं है। परीक्षा‑टिप: सेट‑बिल्डर का अर्थ निकालकर पहले तत्वों की सूची बनाइए और "<" व "\le" का ध्यान रखिए। / Two sets are equal when they contain exactly the same elements. The even natural numbers satisfying \(x<10\) are \(2,4,6,8\), so \(B=\{2,4,6,8\}=A\). Therefore \(A=B\) is correct. Options B and C are incorrect because they assert a proper subset relation even though the sets have identical elements; option D is false because 10 does not satisfy \(x<10\). Exam tip: convert set‑builder notation to an explicit list of elements to compare sets, and watch the difference between "<" and "\le".
A में वे सभी विषम प्राकृतिक संख्याएँ हैं जो 6 से छोटी हैं; ये तत्व हैं 1, 3 और 5। B भी \{1,3,5\} है। इसलिए दोनों सेट के तत्व समान हैं और \(A = B\) सत्य है. विकल्प (B) \(A \subset B\) तभी गलत माना जाता है अगर \(\subset\) को 'proper subset' (सख्त उपसमुह) के रूप में लिया जाए — यहाँ वह सत्य नहीं है क्योंकि A और B बराबर हैं। विकल्प (C) भी उसी कारण से गलत है और (D) स्पष्ट रूप से गलत है क्योंकि सेटों के बीच समानताएँ हैं। परीक्षा सुझाव: सेट के तत्व लिखकर मिलान करें; बराबरी दिखाने के लिए दोनों में मौजूद हर तत्व और उनकी संख्या जाँचें। / A consists of odd natural numbers less than 6, i.e. {1, 3, 5}. B is {1, 3, 5} as well. Hence the two sets have identical elements and \(A = B\) is true. Option (B) \(A \subset B\) would only be incorrect here if \(\subset\) is intended as a proper subset symbol — in that reading it is false because A and B are equal. Option (C) is false for the same reason; (D) is clearly wrong since the sets are related (identical). Exam tip: List elements explicitly and compare; equality of sets means exactly the same elements, order and repetition don't matter.
A. हाँ क्योंकि दोनों में समान अभाज्य संख्याएं हैं/Yes because both have the same prime numbers
Explanation
Simple Explanation
(20) से कम अभाज्य संख्याएं सूची में दी गई सभी संख्याएं हैं। याद रखें (1) अभाज्य संख्या नहीं है। / The primes less than (20) are exactly the listed numbers. Remember that (1) is not a prime number.
(12) के धनात्मक भाजक (1,2,3,4,6,12) हैं। भाजक वाले प्रश्नों में कोई भाजक छूटना नहीं चाहिए। / The positive divisors of (12) are (1,2,3,4,6,12). In divisor questions no divisor should be missed.
शब्द के अलग अलग अक्षर समुच्चय के अवयव बनते हैं। पूरा शब्द और अक्षरों का समुच्चय अलग होते हैं। / The distinct letters of the word become elements of the set. The whole word and the set of letters are different.
समाधान: समीकरण x-2 = 4 के वास्तविक हल x = 2 और x = −2 हैं, अतः A = {−2, 2}। दिया हुआ B भी {-2, 2} है, इसलिए A और B के सदस्य एकदम समान हैं और A = B सही है। निकटतम भ्रामक विकल्प B (A ⊂ B, A ≠ B) इसलिए गलत है क्योंकि A का कोई अतिरिक्त तत्व B में नहीं है — यह एक proper subset नहीं बल्कि समान समूह है। विकल्प D \(A = \{2\}\) गलत है क्योंकि इसमें −2 गायब है। परीक्षा-सुझाव: समीकऱणों में द्विघात (even power) होने पर दोनों ± चिह्नों के हल लेना न भूलें। / Explanation: The real solutions of x-2 = 4 are x = 2 and x = −2, so A = {−2, 2}. Since B is exactly {-2, 2}, the two sets are equal and A = B is correct. The closest distractor (A ⊂ B, A ≠ B) is wrong because there is no extra element in B — the sets coincide, not a proper subset. Option D is incorrect because it omits −2. Exam tip: For even powers check both + and − roots when solving equations like x-2 = a.
(10) से कम धनात्मक सम संख्याएं (2,4,6,8) हैं। वर्णन को रोस्टर रूप में बदलना उपयोगी है। / The positive even numbers less than (10) are (2,4,6,8). Converting description to roster form is useful.
दोनों समुच्चयों में अवयव (2,4,6) ही हैं। रोस्टर और वर्णन रूप को पहले समान रूप में बदलें। / Both sets contain only (2,4,6). First convert roster and description forms to the same form.
समुच्चय में दोहराए गए अवयव एक ही बार गिने जाते हैं। परीक्षा में पुनरावृत्ति को नजरअंदाज करें। / Repeated elements in a set are counted only once. In exams ignore repetition in set notation.
समुच्चय में क्रम का महत्व नहीं होता इसलिए दोनों में वही अवयव हैं। परीक्षा में हमेशा अवयवों को मिलाकर जांचें। / Order does not matter in a set so both have the same elements. In exams always compare the elements.
