If (A) and (B) are equal, their distinct elements must match.
Step 2
Why this answer is correct
To include (3) in (A), we need (a=3).
Step 3
Exam Tip
If (a=1) or (a=4), the element (3) would be missing. चरण 1: (A) और (B) समान हैं तो उनके अलग तत्व समान होंगे। चरण 2: (A) में (3) लाने के लिए (a=3) होना चाहिए। चरण 3: (a=1) या (a=4) रखने से (3) नहीं आएगा।
Thus (B) is empty, and (A=B). चरण 1: किसी भी पूर्णांक के लिए \(x^2\ge 0\) होता है। चरण 2: इसलिए \(x^2+1=0\) का कोई पूर्णांक हल नहीं है। चरण 3: (B) भी रिक्त है, अतः (A=B)।
The integer solutions of \(x^2=9\) are (x=3) and (x=-3).
Step 2
Why this answer is correct
The elements of (A) are exactly (-3,3).
Step 3
Exam Tip
Since (A) and (B) have the same elements, (A=B). चरण 1: \(x^2=9\) के पूर्णांक हल (x=3) और (x=-3) हैं। चरण 2: (A) के तत्व (-3,3) ही हैं। चरण 3: (A) और (B) के तत्व समान हैं इसलिए (A=B)।
In (B), (1) is repeated, but repetition does not create a new element.
Step 2
Why this answer is correct
Both sets have the distinct elements (1,2,3).
Step 3
Exam Tip
Sets with exactly the same elements are equal. चरण 1: (B) में (1) दोहराया गया है पर दोहराव अलग तत्व नहीं बनाता। चरण 2: दोनों समुच्चयों के अलग तत्व (1,2,3) हैं। चरण 3: समान तत्व होने पर समुच्चय समान होते हैं।
B. ((A=B)) क्योंकि तत्व समान हैं/(A=B) because elements are the same
Step 1
Concept
Repeated elements are not counted separately in a set.
Step 2
Why this answer is correct
Both (A) and (B) have the distinct elements (2,3,4).
Step 3
Exam Tip
Order and repetition do not affect equality of sets. चरण 1: समुच्चय में किसी तत्व की पुनरावृत्ति गिनी नहीं जाती। चरण 2: (A) और (B) दोनों के अलग तत्व (2,3,4) हैं। चरण 3: समान समुच्चय में क्रम और दोहराव का असर नहीं होता।
Solving gives \(-\frac{3}{2}<x<\frac{5}{2}\), so the integers are (-1,0,1,2).
Step 3
Exam Tip
In an absolute-value inequality, first find the interval, then choose values from the given domain. चरण 1: (|2x-1|<4) से (-4<2x-1<4) मिलता है। चरण 2: इसे हल करने पर \(-\frac{3}{2}<x<\frac{5}{2}\), इसलिए पूर्णांक (-1,0,1,2) मिलते हैं। चरण 3: निरपेक्ष मान की असमानता में पहले सीमा निकालें, फिर केवल दिए गए क्षेत्र के मान चुनें।
A. \((A={x\in\mathbb{N}:x\mid 24\) और x अभाज्य है\(}, B={2,3})\)/\((A={x\in\mathbb{N}:x\mid 24\) and x is prime\(}, B={2,3})\)
Step 1
Concept
The prime factors of (24) are only (2) and (3).
Step 2
Why this answer is correct
So in the first option, \(A=\{2,3\}\), equal to (B).
Step 3
Exam Tip
When definitions look different, find the actual elements and compare. चरण 1: (24) के अभाज्य गुणनखंड केवल (2) और (3) हैं। चरण 2: इसलिए पहले विकल्प में \(A=\{2,3\}\), जो (B) के बराबर है। चरण 3: परिभाषा अलग दिखे तो वास्तविक अवयव निकालकर मिलाएँ।
In power-based set questions, forgetting the zero power is a common mistake. चरण 1: \(2^0=1\) भी (2) की घात माना जाता है। चरण 2: (64) तक की घातें (1,2,4,8,16,32,64) हैं। चरण 3: घात वाले प्रश्नों में शून्य घात को भूलना सामान्य गलती है।
This gives (x=2) and (x=-3), so (A) and (B) have the same elements.
Step 3
Exam Tip
In equal sets, the written order does not matter. चरण 1: गुणनफल शून्य होने पर (x-2=0) या (x+3=0) होगा। चरण 2: इससे (x=2) और (x=-3) मिलते हैं, इसलिए (A) और (B) के अवयव समान हैं। चरण 3: बराबर समुच्चय में लिखने का क्रम महत्व नहीं रखता।
A. (A=B), और दोनों अपरिमित हैं/(A=B), and both are infinite
Step 1
Concept
A natural number divisible by both (2) and (3) is divisible by (6).
Step 2
Why this answer is correct
Thus both (A) and (B) contain the same elements such as \(6,12,18,\ldots\).
Step 3
Exam Tip
When the same rule is written differently, compare the actual elements. चरण 1: कोई प्राकृतिक संख्या (2) और (3) दोनों से विभाज्य हो तो वह (6) से विभाज्य होती है। चरण 2: इसलिए (A) और (B) में \(6,12,18,\ldots\) जैसे वही अवयव हैं। चरण 3: समान नियम अलग भाषा में लिखा हो तो वास्तविक अवयव मिलाकर देखें।
The solutions are (-1) and (-2), so (A) and (B) contain the same elements.
Step 3
Exam Tip
Pay special attention to signs in negative roots. चरण 1: (x-2+3x+2=(x+1)(x+2)) है। चरण 2: हल (-1) और (-2) हैं, इसलिए (A) और (B) में वही अवयव हैं। चरण 3: ऋणात्मक मूलों के चिन्ह पर विशेष ध्यान दें।
The primes are (2,3,5,7), so the non-prime numbers are (1,4,6,8).
Step 3
Exam Tip
(1) is neither prime nor composite, but it is not prime. चरण 1: (8) तक प्राकृतिक संख्याएँ (1,2,3,4,5,6,7,8) हैं। चरण 2: अभाज्य संख्याएँ (2,3,5,7) हैं, इसलिए अभाज्य नहीं होने वाले (1,4,6,8) हैं। चरण 3: (1) न अभाज्य है न भाज्य, पर अभाज्य नहीं है।
({p,q,r}) and ({r,p,q}) contain the same three elements.
Step 3
Exam Tip
While checking equality, match the element list instead of the order. चरण 1: समुच्चय में अवयवों का क्रम महत्व नहीं रखता। चरण 2: ({p,q,r}) और ({r,p,q}) में वही तीन अवयव हैं। चरण 3: बराबरी जाँचते समय क्रम के बजाय अवयवों की सूची मिलाएँ।
B. \(A=\{-1,1\}\) और \(B=\{1\}\)/\(A=\{-1,1\}\) and \(B=\{1\}\)
Step 1
Concept
In the integer domain, \(x^2-1=0\) gives (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
In the natural-number domain, only (1) is allowed.
Step 3
Exam Tip
The same equation can form different sets when the domain changes. चरण 1: पूर्णांक क्षेत्र में \(x^2-1=0\) के हल (-1) और (1) हैं। चरण 2: प्राकृतिक संख्या क्षेत्र में केवल (1) स्वीकार होगा। चरण 3: एक ही समीकरण के लिए क्षेत्र बदलने पर समुच्चय बदल सकता है।
The set \({x\in\mathbb{Z}:x\ge 0}\) contains \(0,1,2,\ldots\), so it is infinite.
Step 2
Why this answer is correct
It does not contain negative integers, so it is not equal to \(\mathbb{Z}\).
Step 3
Exam Tip
An infinite set need not be equal to the whole parent set. चरण 1: \({x\in\mathbb{Z}:x\ge 0}\) में \(0,1,2,\ldots\) आते हैं, इसलिए यह अपरिमित है। चरण 2: इसमें ऋणात्मक पूर्णांक नहीं हैं, इसलिए यह \(\mathbb{Z}\) के बराबर नहीं है। चरण 3: अपरिमित समुच्चय हमेशा पूरे मूल समुच्चय के बराबर नहीं होता।
In \(\mathbb{Z}\), \(1\le x\le 4\) also gives (1,2,3,4).
Step 3
Exam Tip
Even with different domains, sets can be equal if the final elements match. चरण 1: \(\mathbb{N}\) में \(x\le 4\) से (1,2,3,4) मिलते हैं। चरण 2: \(\mathbb{Z}\) में \(1\le x\le 4\) से भी (1,2,3,4) ही मिलते हैं। चरण 3: अलग क्षेत्र होने पर भी अंतिम अवयव समान हों तो समुच्चय बराबर हो सकते हैं।
B. दोनों में ठीक वही अवयव हों/they have exactly the same elements
Step 1
Concept
Equal sets mean every element of one set is in the other and conversely.
Step 2
Why this answer is correct
Having only the same number of elements is not enough.
Step 3
Exam Tip
Equality depends on elements, not order or names. चरण 1: बराबर समुच्चय का अर्थ है कि एक समुच्चय का हर अवयव दूसरे में भी हो और उल्टा भी हो। चरण 2: केवल संख्या समान होना पर्याप्त नहीं है। चरण 3: बराबरी में क्रम और नाम नहीं, अवयव निर्णायक होते हैं।
In the integer domain, the solutions are (0) and (1), so the set is ({0,1}).
Step 3
Exam Tip
If the domain is \(\mathbb{N}\) and (0) is not included, the answer may change. चरण 1: \(x^2=x\) से (x(x-1)=0) मिलता है। चरण 2: पूर्णांक क्षेत्र में हल (0) और (1) हैं, इसलिए समुच्चय ({0,1}) है। चरण 3: यदि क्षेत्र \(\mathbb{N}\) हो और (0) शामिल न माना जाए, तो उत्तर बदल सकता है।
After factorising, set each factor equal to zero. चरण 1: \(x^3=x\) को (x(x-1)(x+1)=0) लिखा जा सकता है। चरण 2: पूर्णांक हल (-1,0,1) हैं। चरण 3: गुणनखंड बनने पर हर गुणनखंड को शून्य के बराबर रखें।
The natural factors of (36) are (1,2,3,4,6,9,12,18,36).
Step 2
Why this answer is correct
All these are present in (B), so (A=B).
Step 3
Exam Tip
Check factors in pairs to avoid missing any. चरण 1: (36) के प्राकृतिक गुणनखंड (1,2,3,4,6,9,12,18,36) हैं। चरण 2: ये सभी (B) में मौजूद हैं, इसलिए (A=B)। चरण 3: गुणनखंडों की सूची में जोड़ी बनाकर जाँच करें।
In power inequalities, test the next value too. चरण 1: \(1^3=1\), \(2^3=8\), \(3^3=27\) और \(4^3=64\) है। चरण 2: इसलिए \(B=\{1,2,3\}\), जो (A) के बराबर है। चरण 3: घात वाली सीमा में अगले मान को अवश्य जाँचें।
Its prime factors are (2,3,7), so \(A=\{2,3,7\}\).
Step 3
Exam Tip
Do not include (1) or composite factors as prime factors. चरण 1: \(84=2^2\cdot 3\cdot 7\) है। चरण 2: इसके अभाज्य गुणनखंड (2,3,7) हैं, इसलिए \(A=\{2,3,7\}\)। चरण 3: (1) और भाज्य गुणनखंडों को अभाज्य गुणनखंड में शामिल न करें।
The values leaving remainder (2) modulo (5) are (-3) and (2).
Step 3
Exam Tip
Apply congruence carefully for negative integers too. चरण 1: (-6) से (6) तक के पूर्णांक जाँचते हैं। चरण 2: (5) से भाग देने पर शेष (2) देने वाले मान (-3) और (2) हैं। चरण 3: ऋणात्मक पूर्णांकों में भी सर्वांगसमता सावधानी से लगाएँ।
The integer solutions are (3) and (4), so (A) and (B) have the same elements.
Step 3
Exam Tip
For equal sets, compare the elements only. चरण 1: (x-2-7x+12=(x-3)(x-4)) है। चरण 2: पूर्णांक हल (3) और (4) हैं, इसलिए (A) और (B) के अवयव समान हैं। चरण 3: बराबर समुच्चय में केवल अवयवों की समानता देखी जाती है।
A. (A=B), क्योंकि दोनों में वही चार अवयव हैं/(A=B), because both have the same four elements
Step 1
Concept
List the integers from (-5) to (5) and choose those that leave remainder (1) on division by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The values (-5,-2,1,4) all satisfy \(x \equiv 1 \pmod{3}\), so (A) and (B) have the same elements.
Step 3
Exam Tip
For equal sets, compare elements, not their order. चरण 1: (-5) से (5) तक के पूर्णांक लिखकर (3) से भाग देने पर शेष (1) वाले मान चुनते हैं। चरण 2: (-5,-2,1,4) सभी \(x \equiv 1 \pmod{3}\) को पूरा करते हैं, इसलिए (A) और (B) के अवयव समान हैं। चरण 3: बराबर समुच्चय में क्रम नहीं, केवल अवयवों की समानता देखी जाती है।
