The integer solutions of \(x^2=1\) are (-1) and (1), so \(A=\{-1,1\}\).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(B=\{1\}\), both sets are finite but not equal.
Step 3
Exam Tip
In square equations, check the negative solution too. चरण 1: \(x^2=1\) के पूर्णांक हल (-1) और (1) हैं, इसलिए \(A=\{-1,1\}\)। चरण 2: \(B=\{1\}\) है, इसलिए दोनों परिमित हैं लेकिन बराबर नहीं हैं। चरण 3: समान दिखने वाले हलों में ऋणात्मक मान भी जाँचें।
The natural values satisfying \(1\le x\le 4\) are (1,2,3,4).
Step 2
Why this answer is correct
Their squares are (1,4,9,16), so the first set is equal to the given set.
Step 3
Exam Tip
For a rule-based set, list the actual outputs and compare. चरण 1: \(1\le x\le 4\) के प्राकृतिक मान (1,2,3,4) हैं। चरण 2: इनके वर्ग (1,4,9,16) बनते हैं, इसलिए पहला समुच्चय बराबर है। चरण 3: नियम से बने समुच्चय में वास्तविक परिणामों की सूची बनाकर मिलान करें।
The prime numbers among them are only (2) and (3), because (1) is not prime.
Step 3
Exam Tip
In prime-number questions, treat (1) carefully. चरण 1: पाँच से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ (1,2,3,4) हैं। चरण 2: इनमें अभाज्य संख्याएँ केवल (2) और (3) हैं, क्योंकि (1) अभाज्य नहीं है। चरण 3: अभाज्य संख्या वाले प्रश्नों में (1) को अलग से पहचानें।
A. (A=B), क्योंकि दोनों में वास्तविक अवयव केवल (3) है/(A=B), because the only actual element in both is (3)
Step 1
Concept
(x-2-6x+9=(x-3)2), so the solution is (x=3).
Step 2
Why this answer is correct
Repeating the same element does not create new elements in a set, so \(B=\{3\}\).
Step 3
Exam Tip
Count a repeated root or repeated element only once in set questions. चरण 1: (x-2-6x+9=(x-3)2), इसलिए हल (x=3) है। चरण 2: समुच्चय में समान अवयव बार-बार लिखने से नया अवयव नहीं बनता, इसलिए \(B=\{3\}\) माना जाएगा। चरण 3: दोहराए हुए मूल या दोहराए हुए अवयव को समुच्चय में एक बार ही गिनें।
B. \(A=\{1\}\), इसलिए \(A\ne B\)/\(A=\{1\}\), so \(A\ne B\)
Step 1
Concept
\(x^2-1=0\) gives (x=-1) or (x=1).
Step 2
Why this answer is correct
But in \(\mathbb{N}\), only (1) is allowed, not (-1).
Step 3
Exam Tip
Apply the given domain before writing the solution set. चरण 1: \(x^2-1=0\) से (x=-1) या (x=1) मिलता है। चरण 2: पर \(\mathbb{N}\) में केवल (1) आता है, (-1) नहीं। चरण 3: हल लिखने से पहले दिए हुए समुच्चय-क्षेत्र को लागू करें।
B. \(A\ne B\), पर दोनों परिमित हैं/\(A\ne B\), but both are finite
Step 1
Concept
The factors of (10) are ({1,2,5,10}).
Step 2
Why this answer is correct
The factors of (20) are ({1,2,4,5,10,20}), so the sets are not equal.
Step 3
Exam Tip
Factors of fixed numbers form finite sets. चरण 1: (10) के गुणनखंड ({1,2,5,10}) हैं। चरण 2: (20) के गुणनखंड ({1,2,4,5,10,20}) हैं, इसलिए समुच्चय बराबर नहीं हैं। चरण 3: निश्चित संख्याओं के गुणनखंडों के समुच्चय परिमित होते हैं।
In the school convention used here, (0) is not included in \(\mathbb{N}\).
Step 2
Why this answer is correct
The natural numbers less than (5) are (1,2,3,4).
Step 3
Exam Tip
Follow the definition of \(\mathbb{N}\) given or assumed in the question. चरण 1: विद्यालयी \(\mathbb{N}\) में (0) शामिल नहीं माना गया है। चरण 2: (x<5) वाली प्राकृतिक संख्याएँ (1,2,3,4) हैं। चरण 3: \(\mathbb{N}\) की परिभाषा प्रश्न में जैसे दी हो, उसी का पालन करें।
Multiples of (4) in natural numbers are \(4,8,12,16,20,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
The condition \(x\le 20\) leaves (4,8,12,16,20).
Step 3
Exam Tip
An upper bound turns this infinite pattern into a finite set. चरण 1: प्राकृतिक संख्याओं में (4) के गुणज \(4,8,12,16,20,\ldots\) हैं। चरण 2: \(x\le 20\) होने से केवल (4,8,12,16,20) बचते हैं। चरण 3: ऊपरी सीमा गुणजों के अपरिमित समुच्चय को परिमित बना देती है।
D. \({x\in\mathbb{Z}:x^2=16}\) और ({4})/\({x\in\mathbb{Z}:x^2=16}\) and ({4})
Step 1
Concept
In the integer domain, \(x^2=16\) has solutions (-4) and (4).
Step 2
Why this answer is correct
So it cannot be equal to ({4}).
Step 3
Exam Tip
Check the given domain before testing equality. चरण 1: पूर्णांक क्षेत्र में \(x^2=16\) के हल (-4) और (4) हैं। चरण 2: इसलिए वह समुच्चय ({4}) के बराबर नहीं हो सकता। चरण 3: बराबरी जाँचते समय दिए गए क्षेत्र को पहले देखें।
But ({1,2}) and ({3,4}) contain different elements, so they are not equal.
Step 3
Exam Tip
Equality depends on elements, not just on count. चरण 1: दोनों समुच्चयों में (2) अवयव हैं। चरण 2: लेकिन ({1,2}) और ({3,4}) के अवयव अलग हैं, इसलिए वे बराबर नहीं हैं। चरण 3: बराबरी के लिए संख्या नहीं, अवयवों की समानता निर्णायक है।
A. (A) और (B) के अवयवों की संख्या समान है/(A) and (B) have the same number of elements
Step 1
Concept
Equal sets contain exactly the same elements.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore they must have the same number of elements.
Step 3
Exam Tip
Equal size alone is not sufficient, but equality always implies equal size. चरण 1: बराबर समुच्चयों में प्रत्येक अवयव समान होता है। चरण 2: इसलिए उनके अवयवों की संख्या भी समान होगी। चरण 3: समान संख्या पर्याप्त नहीं, पर बराबर समुच्चय होने पर संख्या अवश्य समान होती है।
\(|x|\le 2\) means (x) is at most (2) units away from zero.
Step 2
Why this answer is correct
The integer elements are (-2,-1,0,1,2).
Step 3
Exam Tip
For absolute-value conditions, include values on both sides. चरण 1: \(|x|\le 2\) का अर्थ है (x) शून्य से अधिकतम (2) दूरी पर है। चरण 2: पूर्णांक अवयव (-2,-1,0,1,2) मिलते हैं। चरण 3: परिमाण वाली शर्त में दोनों ओर के मान शामिल करें।
In the first three options, only order, repetition, or notation changes, not the elements.
Step 2
Why this answer is correct
The set ({0}) contains (0), while \(\varnothing\) contains nothing.
Step 3
Exam Tip
Keep zero and emptiness separate. चरण 1: पहले तीन विकल्पों में क्रम, दोहराव या संकेत अलग है, अवयव नहीं। चरण 2: ({0}) में (0) अवयव के रूप में है, जबकि \(\varnothing\) में कोई अवयव नहीं। चरण 3: शून्य और रिक्तता को अलग रखें।
A number itself is also one of its factors. चरण 1: (18) के प्राकृतिक गुणनखंड (1,2,3,6,9,18) हैं। चरण 2: ये सभी (B) में ठीक से लिखे हैं। चरण 3: किसी संख्या का स्वयं भी उसका गुणनखंड होता है।
A. ({1,2,3}) और ({1,2,2,3,3})/({1,2,3}) and ({1,2,2,3,3})
Step 1
Concept
Equal sets must have exactly the same actual elements.
Step 2
Why this answer is correct
In the first option, removing repetitions gives ({1,2,3}) for both.
Step 3
Exam Tip
Do not treat repeated entries as new elements. चरण 1: बराबर समुच्चयों में अवयवों का वास्तविक संग्रह समान होना चाहिए। चरण 2: पहले विकल्प में दोहराव हटाने पर दोनों ({1,2,3}) बनते हैं। चरण 3: दोहराव देखकर समुच्चयों को अलग न मानें।
For natural numbers, \(1^2,2^2,3^2\) are less than (10).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(4^2=16\), (4) is not included.
Step 3
Exam Tip
In squared inequalities, test the boundary value carefully. चरण 1: प्राकृतिक संख्याओं के लिए \(1^2,2^2,3^2\) ही (10) से छोटे हैं। चरण 2: \(4^2=16\), इसलिए (4) शामिल नहीं होगा। चरण 3: असमानता के साथ वर्ग करने पर अंतिम मान अलग से जाँचें।
The inequality (-2<x<2) does not include (-2) or (2).
Step 2
Why this answer is correct
The integers in this range are (-1,0,1).
Step 3
Exam Tip
Read open and closed boundaries carefully. चरण 1: (-2<x<2) में (-2) और (2) शामिल नहीं हैं। चरण 2: इस सीमा के पूर्णांक (-1,0,1) हैं। चरण 3: असमानता में खुली और बंद सीमा को सावधानी से पढ़ें।
The integer solutions of \(x^2=9\) are (x=-3) and (x=3).
Step 2
Why this answer is correct
Thus (A) and (B) have exactly the same elements.
Step 3
Exam Tip
For square equations, check both positive and negative roots. चरण 1: \(x^2=9\) के पूर्णांक हल (x=-3) और (x=3) हैं। चरण 2: इसलिए (A) और (B) में ठीक वही अवयव हैं। चरण 3: वर्ग समीकरण में धन और ऋण दोनों मूल जाँचें।
C. (A=B), क्योंकि अवयव समान हैं/(A=B), because the elements are the same
Step 1
Concept
In a set, order and repetition do not matter.
Step 2
Why this answer is correct
Both sets contain exactly (2,3,5).
Step 3
Exam Tip
For equal sets, compare actual elements only. चरण 1: समुच्चय में किसी अवयव की पुनरावृत्ति और क्रम का महत्व नहीं होता। चरण 2: दोनों में वास्तविक अवयव (2,3,5) ही हैं। चरण 3: बराबर समुच्चय में केवल अवयवों की समानता जाँचें।
The order of solutions does not matter in a set. चरण 1: \(x^2=x+2\) को \(x^2-x-2=0\) लिखें। चरण 2: ((x-2)(x+1)=0), इसलिए (x=2) या (x=-1)। चरण 3: समुच्चय में हलों का क्रम महत्व नहीं रखता।
The integer solutions of \(x^2\leq 1\) are (-1,0,1).
Step 2
Why this answer is correct
All these are present in (B).
Step 3
Exam Tip
In a square inequality, omitting the middle value (0) is a common mistake. चरण 1: \(x^2\leq 1\) का पूर्णांक समाधान (-1,0,1) है। चरण 2: ये सभी (B) में उपस्थित हैं। चरण 3: वर्ग असमानता में बीच का (0) छोड़ना सामान्य गलती है।
The integer solutions of \(x^2=49\) are (7) and (-7).
Step 2
Why this answer is correct
The negative condition keeps only (-7).
Step 3
Exam Tip
Equal sets must have exactly the same elements. चरण 1: \(x^2=49\) के पूर्णांक हल (7) और (-7) हैं। चरण 2: ऋणात्मक शर्त के कारण केवल (-7) चुना जाएगा। चरण 3: बराबर समुच्चय में अवयव बिल्कुल समान होने चाहिए।
A rational number has a terminating or repeating decimal form.
Step 2
Why this answer is correct
A terminating or repeating decimal represents a rational number.
Step 3
Exam Tip
If two descriptions give the same elements, the sets are equal. चरण 1: परिमेय संख्याओं का दशमलव रूप सांत या आवर्ती होता है। चरण 2: सांत या आवर्ती दशमलव संख्या भी परिमेय होती है। चरण 3: दो परिभाषाएँ एक ही अवयव दें तो समुच्चय बराबर होते हैं।
Different-looking conditions can define the same set. चरण 1: \(x^2-1=0\) से \(x=\pm1\) मिलता है। चरण 2: (|x|=1) भी \(x=\pm1\) देता है। चरण 3: अलग रूपों वाली शर्तें भी वही अवयव दे सकती हैं।
The only integer strictly between (-1) and (1) is (0).
Step 2
Why this answer is correct
Hence \(A=\{0\}\), equal to (B).
Step 3
Exam Tip
Do not include boundary values in strict inequalities. चरण 1: (-1) और (1) के बीच केवल पूर्णांक (0) है। चरण 2: इसलिए \(A=\{0\}\), जो (B) के बराबर है। चरण 3: कड़ी असमानता में सीमा के मान शामिल न करें।
A. (A=B) और दोनों अनंत हैं/(A=B) and both are infinite
Step 1
Concept
Any integer divisible by (6) is divisible by both (2) and (3).
Step 2
Why this answer is correct
Any integer divisible by both (2) and (3) is divisible by (6).
Step 3
Exam Tip
To prove equality, think in both directions. चरण 1: जो पूर्णांक (6) से विभाज्य है, वह (2) और (3) दोनों से विभाज्य होता है। चरण 2: (2) और (3) दोनों से विभाज्य पूर्णांक (6) से भी विभाज्य होता है। चरण 3: बराबरी सिद्ध करने में दोनों दिशाओं का विचार करें।
The only solution is (3), and repetitions in (B) are not counted.
Step 3
Exam Tip
A repeated root and a repeated element are both written once in a set. चरण 1: (x-2-6x+9=(x-3)2) है। चरण 2: हल केवल (3) है और (B) में दोहराव गिना नहीं जाता। चरण 3: दोहराया मूल और दोहराया अवयव दोनों समुच्चय में एक बार लिखे जाते हैं।
(1) is not prime and (7) is not included by the limit.
Step 3
Exam Tip
In prime-number questions, check (1) and the boundary separately. चरण 1: (7) से कम अभाज्य संख्याएँ (2,3,5) हैं। चरण 2: (1) अभाज्य नहीं है और (7) सीमा में शामिल नहीं है। चरण 3: अभाज्य संख्या वाले प्रश्न में (1) और सीमा को अलग से जाँचें।
When divisors of both numbers are asked, take only common divisors. चरण 1: (12) के भाजक और (18) के भाजक अलग-अलग लिखें। चरण 2: समान भाजक (1,2,3,6) हैं, इसलिए (A=B)। चरण 3: दोनों का भाजक पूछे जाने पर केवल सामान्य भाजक लें।
Therefore the outer set actually has only one distinct element.
Step 3
Exam Tip
Order does not matter even inside a set that is itself an element. चरण 1: ({1,2}) और ({2,1}) समान समुच्चय हैं। चरण 2: इसलिए बाहरी समुच्चय में वास्तव में केवल एक अलग अवयव है। चरण 3: समुच्चय के अंदर भी क्रम का महत्व नहीं होता।
