A. दोहराव न गिनने पर (A=B)/After ignoring repetitions, (A=B)
Step 1
Concept
In a set formed from a word, the same letter is counted only once.
Step 2
Why this answer is correct
(A) and (B) contain the same distinct symbols.
Step 3
Exam Tip
For sets, compare distinct elements, not order or repetition. चरण 1: शब्द से बने समुच्चय में समान अक्षर एक ही बार गिना जाता है। चरण 2: (A) और (B) में वही भिन्न अक्षर हैं। चरण 3: समुच्चय में क्रम और दोहराव की जगह केवल भिन्न अवयव देखें।
The domain is real numbers, so irrational real numbers are allowed.
Step 2
Why this answer is correct
The real solutions of \(x^2=3\) are \(\sqrt{3}\) and \(-\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
The difference between rational and real domains is very important in exams. चरण 1: क्षेत्र वास्तविक संख्याओं का है, इसलिए अपरिमेय वास्तविक संख्याएँ भी मान्य हैं। चरण 2: \(x^2=3\) के वास्तविक हल \(\sqrt{3}\) और \(-\sqrt{3}\) हैं। चरण 3: परिमेय और वास्तविक क्षेत्र में अंतर परीक्षा में बहुत महत्वपूर्ण है।
Taking only the positive root in a square equation gives an incomplete answer. चरण 1: \(x^2=4\) के हल (x=2) और (x=-2) हैं। चरण 2: दोनों परिमेय संख्याएँ हैं, इसलिए दोनों (A) में आएँगी। चरण 3: वर्ग समीकरण में केवल धन मूल लेना अधूरा उत्तर देता है।
Natural numbers up to (20) divisible by (5) are (5,10,15,20).
Step 2
Why this answer is correct
These are exactly the elements of (B), and there are (4) of them.
Step 3
Exam Tip
The boundary (20) is included because \(\leq\) is given. चरण 1: (20) तक (5) से विभाज्य प्राकृतिक संख्याएँ (5,10,15,20) हैं। चरण 2: ये ठीक (B) के अवयव हैं और कुल (4) हैं। चरण 3: सीमा शामिल है क्योंकि \(\leq\) दिया गया है।
Do not forget to check zero as a possible solution. चरण 1: \(x^2=4x\) को \(x^2-4x=0\) लिखें। चरण 2: (x(x-4)=0), इसलिए (x=0) या (x=4)। चरण 3: शून्य को हल के रूप में अलग से जाँचना न भूलें।
The positive divisors of (36) are (1,2,3,4,6,9,12,18,36).
Step 2
Why this answer is correct
There are (9) elements, exactly the same as (B).
Step 3
Exam Tip
Use factor pairs so that no divisor is missed. चरण 1: (36) के धनात्मक भाजक (1,2,3,4,6,9,12,18,36) हैं। चरण 2: कुल (9) अवयव हैं और यही (B) में हैं। चरण 3: भाजक गिनते समय जोड़ी विधि से कोई अवयव न छूटे।
Use factors to find the solutions and then form the roster set. चरण 1: \(x^3=x\) को (x(x-1)(x+1)=0) लिखा जा सकता है। चरण 2: हल (-1,0,1) हैं, जो सभी पूर्णांक हैं। चरण 3: गुणनखंडों से हल निकालकर सूची समुच्चय बनाइए।
Understand the difference between factors and prime factors. चरण 1: \(18=2\cdot 3^2\) है। चरण 2: इसके अभाज्य गुणनखंड केवल (2) और (3) हैं। चरण 3: गुणनखंड और अभाज्य गुणनखंड में अंतर समझना जरूरी है।
In square inequalities, include the intermediate values too. चरण 1: \(x^2\leq 4\) से \(-2\leq x\leq 2\) मिलता है। चरण 2: इस सीमा के पूर्णांक (-2,-1,0,1,2) हैं। चरण 3: वर्ग वाली असमानता में बीच की संख्याएँ भी शामिल हो सकती हैं।
The integer solutions of \(x^2=25\) are (5) and (-5).
Step 2
Why this answer is correct
The repetition of (5) in (C) does not change the set.
Step 3
Exam Tip
Compare distinct elements when checking equality. चरण 1: \(x^2=25\) के पूर्णांक हल (5) और (-5) हैं। चरण 2: (C) में (5) का दोहराव समुच्चय को नहीं बदलता। चरण 3: बराबरी जाँचते समय सभी भिन्न अवयवों की तुलना करें।
A. अनंत और \(\mathbb{R}\) के बराबर/Infinite and equal to \(\mathbb{R}\)
Step 1
Concept
The square of every real number is zero or positive.
Step 2
Why this answer is correct
Hence every real number belongs to (A), so \(A=\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
A condition true for all elements may make the set equal to the whole domain. चरण 1: हर वास्तविक संख्या का वर्ग शून्य या धनात्मक होता है। चरण 2: इसलिए हर वास्तविक संख्या (A) में आती है और \(A=\mathbb{R}\) है। चरण 3: सर्वसत्य शर्त वाला समुच्चय दिए हुए पूरे क्षेत्र के बराबर हो सकता है।
Square numbers less than (50) are from \(1^2\) to \(7^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(8^2=64\) is outside the limit.
Step 3
Exam Tip
Apply both the square-number condition and the bound together. चरण 1: (50) से छोटी वर्ग संख्याएँ \(1^2\) से \(7^2\) तक मिलती हैं। चरण 2: \(8^2=64\) सीमा से बाहर है। चरण 3: सीमा और वर्ग दोनों शर्तों को साथ रखें।
A. (A=B) और दोनों परिमित हैं/(A=B) and both are finite
Step 1
Concept
The natural numbers less than (10) are (1) through (9).
Step 2
Why this answer is correct
These are exactly the elements of (B), so (A=B).
Step 3
Exam Tip
Marking the boundary on the number line helps count elements correctly. चरण 1: (10) से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ (1) से (9) तक हैं। चरण 2: यही (B) के अवयव हैं, इसलिए (A=B)। चरण 3: संख्या-रेखा पर सीमा बनाकर अवयव गिनना उपयोगी है।
\(x^2=9\) has two real solutions, (x=3) and (x=-3).
Step 2
Why this answer is correct
Thus \(A=\{-3,3\}\), same as (B).
Step 3
Exam Tip
For square equations, remember both positive and negative roots. चरण 1: \(x^2=9\) के दो वास्तविक हल (x=3) और (x=-3) हैं। चरण 2: इसलिए \(A=\{-3,3\}\), जो (B) के समान है। चरण 3: वर्ग समीकरण में धन और ऋण दोनों मूल याद रखें।
In the usual school convention, natural numbers start from (1).
Step 2
Why this answer is correct
There is no natural number less than (1), and no integer strictly between (0) and (1).
Step 3
Exam Tip
Select elements according to the given number system. चरण 1: सामान्य स्कूल परिभाषा में प्राकृतिक संख्याएँ (1) से शुरू मानी जाती हैं। चरण 2: (1) से छोटी कोई प्राकृतिक संख्या नहीं और (0) तथा (1) के बीच कोई पूर्णांक नहीं। चरण 3: दिए गए संख्या-समूह के अनुसार अवयव चुनें।
Letters may repeat in a word, but repetitions are not counted in a set.
Step 2
Why this answer is correct
The distinct letters are (L,E,V).
Step 3
Exam Tip
While forming a set of letters, list only distinct letters. चरण 1: शब्द में अक्षर दोहर सकते हैं, लेकिन समुच्चय में दोहराव नहीं गिना जाता। चरण 2: अलग-अलग अक्षर (L,E,V) हैं। चरण 3: अक्षर-समुच्चय बनाते समय केवल भिन्न अक्षरों को लिखें।
Factoring an equation quickly identifies its solution set. चरण 1: \(x^2=x\) को (x(x-1)=0) लिखा जा सकता है। चरण 2: इसके हल (0) और (1) हैं, इसलिए \(A=\{0,1\}\)। चरण 3: समीकरण को गुणनखंडित करना हल-समुच्चय पहचानने का तेज तरीका है।
The solutions are (x=2) and (x=3), so \(A=\{2,3\}\).
Step 3
Exam Tip
A solution set contains only the values satisfying the equation in the given domain. चरण 1: (x-2-5x+6=(x-2)(x-3)) है। चरण 2: हल (x=2) और (x=3) हैं, इसलिए \(A=\{2,3\}\)। चरण 3: समीकरण से बने समुच्चय में केवल वे हल रखे जाते हैं जो दिए क्षेत्र में हों।
A. दोनों अनंत हैं, पर बराबर नहीं हैं/Both are infinite but not equal
Step 1
Concept
There are infinitely many real numbers and infinitely many rational numbers between (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
(A) also contains irrational numbers, while (B) contains only rational numbers.
Step 3
Exam Tip
Being infinite does not prove equality. चरण 1: (0) और (1) के बीच वास्तविक संख्याएँ भी अनंत हैं और परिमेय संख्याएँ भी अनंत हैं। चरण 2: (A) में अपरिमेय संख्याएँ भी आती हैं, पर (B) में केवल परिमेय संख्याएँ हैं। चरण 3: अनंत होने से बराबरी सिद्ध नहीं होती।
The natural factors of (24) are (1,2,3,4,6,8,12,24).
Step 2
Why this answer is correct
These are exactly the elements of (B).
Step 3
Exam Tip
Converting set-builder form to roster form helps check equality. चरण 1: (24) के सभी प्राकृतिक गुणनखंड (1,2,3,4,6,8,12,24) हैं। चरण 2: यही सभी अवयव (B) में भी हैं। चरण 3: समुच्चय-निर्माण रूप को सूची रूप में बदलकर बराबरी जाँचना आसान होता है।
Repeating an element in a set does not create a new element.
Step 2
Why this answer is correct
Both sets actually contain only (1,2,3).
Step 3
Exam Tip
For equal sets, compare elements, not order or repetition. चरण 1: समुच्चय में किसी अवयव को बार-बार लिखने से नया अवयव नहीं बनता। चरण 2: दोनों में वास्तविक अवयव (1,2,3) ही हैं। चरण 3: बराबर समुच्चय में क्रम और दोहराव नहीं, केवल अवयव देखे जाते हैं।
So \(x^2+4=0\) has no real solution, hence \(A=\varnothing\).
Step 3
Exam Tip
Always check the given domain before deciding whether a set is empty. चरण 1: वास्तविक संख्याओं में \(x^2\) कभी ऋणात्मक नहीं होता। चरण 2: इसलिए \(x^2+4=0\) का कोई वास्तविक हल नहीं है और \(A=\varnothing\) है। चरण 3: परीक्षा में क्षेत्र को ध्यान से देखें, क्योंकि वही रिक्त समुच्चय तय करता है।
Repeated elements are not counted separately in a set, so the distinct elements of (B) are (1,2,3).
Step 3
Exam Tip
While checking equality, first find the solutions and then remove repetitions. चरण 1: गुणनफल शून्य होने पर (x=1), (x=2) या (x=3) मिलता है। चरण 2: समुच्चय में दोहराए गए अवयव अलग से नहीं गिने जाते, इसलिए (B) के अलग अवयव (1,2,3) हैं। चरण 3: समानता जाँचते समय पहले हलों और फिर दोहराव को ध्यान से देखें।
The integer solutions of \(x^2=25\) are (-5) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
In \(Y_1\), (5) is written twice, but repetition is ignored in a set.
Step 3
Exam Tip
Before checking equality, remove repeated elements. चरण 1: \(x^2=25\) के पूर्णांक हल (-5) और (5) हैं। चरण 2: \(Y_1\) में (5) दो बार लिखा है, पर समुच्चय में दोहराव नहीं गिना जाता। चरण 3: समानता जाँचने से पहले दोहराए हुए अवयव हटाएँ।
Even with \(\leq\), the square boundary must be checked correctly. चरण 1: \(1^2,2^2,3^2\) के मान (10) से कम या बराबर हैं। चरण 2: \(4^2=16\) है, इसलिए (4) शामिल नहीं होगा। चरण 3: \(\leq\) चिह्न होने पर भी सही वर्ग-सीमा जाँचनी पड़ती है।
A. हाँ, क्योंकि दोनों में वही अवयव हैं/Yes, because both have the same elements
Step 1
Concept
In natural numbers, \(x^2<10\) allows (x=1,2,3).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(4^2=16\), (4) is not included.
Step 3
Exam Tip
In square inequalities, count values carefully up to the boundary. चरण 1: प्राकृतिक संख्याओं में \(x^2<10\) के लिए (x=1,2,3) संभव हैं। चरण 2: \(4^2=16\) होने से (4) शामिल नहीं होगा। चरण 3: वर्ग वाली असमानता में सीमा से पहले तक के मान सावधानी से गिनें।
In real numbers, \(x^2=2\) has two solutions, \(-\sqrt{2}\) and \(\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
These are exactly the elements of \(I_1\).
Step 3
Exam Tip
Elements involving radicals can also be valid set elements. चरण 1: वास्तविक संख्याओं में \(x^2=2\) के दो हल \(-\sqrt{2}\) और \(\sqrt{2}\) हैं। चरण 2: यही दोनों अवयव \(I_1\) में हैं। चरण 3: मूल चिह्न वाले अवयव भी समुच्चय के वैध अवयव हो सकते हैं।
A. दो समान समुच्चयों में अवयवों की संख्या समान होती है/Two equal sets have the same number of elements
Step 1
Concept
If two sets are equal, all their elements are the same.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, their number of elements is also the same.
Step 3
Exam Tip
The converse is not always true; equal size does not mean equal elements. चरण 1: यदि दो समुच्चय समान हैं, तो उनके सभी अवयव समान होंगे। चरण 2: इसलिए उनकी अवयव-संख्या भी समान होगी। चरण 3: उल्टा कथन हमेशा सही नहीं होता, समान संख्या का अर्थ समान अवयव नहीं है।
The real solutions are only (0) and (1), which are in (X).
Step 3
Exam Tip
To identify equal sets, make the complete solution list. चरण 1: \(x^2=x\) से (x(x-1)=0) मिलता है। चरण 2: वास्तविक हल (0) और (1) ही हैं, जो (X) में हैं। चरण 3: समान समुच्चय पहचानने के लिए हलों की पूरी सूची बनाएँ।
The natural factors of (36) are (1,2,3,4,6,9,12,18,36).
Step 2
Why this answer is correct
Exactly these elements are written in (Q).
Step 3
Exam Tip
In factor lists, include only numbers that divide the given number completely. चरण 1: (36) के सभी प्राकृतिक गुणनखंड (1,2,3,4,6,9,12,18,36) हैं। चरण 2: यही सभी अवयव (Q) में लिखे हैं। चरण 3: गुणनखंडों की सूची में जो संख्या भाग न दे, उसे शामिल न करें।
