In \(-2\leq x<3\), (-2) is included and (3) is not included.
Step 2
Why this answer is correct
The integers obtained are (-2,-1,0,1,2).
Step 3
Exam Tip
Compare with roster form only after checking boundary signs. चरण 1: \(-2\leq x<3\) में (-2) शामिल है और (3) शामिल नहीं है। चरण 2: मिलने वाले पूर्णांक (-2,-1,0,1,2) हैं। चरण 3: सीमा-चिह्न देखकर ही सूची रूप से तुलना करें।
Both are integers, so the elements of (A) match those of (B).
Step 3
Exam Tip
For equal sets, compare elements, not the form of writing. चरण 1: समीकरण \(x^2-1=0\) से (x=-1) और (x=1) मिलते हैं। चरण 2: दोनों पूर्णांक हैं, इसलिए (A) के अवयव (B) जैसे ही हैं। चरण 3: समान समुच्चय में लिखने का तरीका नहीं, अवयवों की समानता देखी जाती है।
B. समान समुच्चयों में वही-वही अवयव होने चाहिए, क्रम महत्व नहीं रखता/Equal sets must have exactly the same elements, and order does not matter
Step 1
Concept
Equal sets are identified by their elements.
Step 2
Why this answer is correct
If every element in both sets is the same, the sets remain equal even when the order changes.
Step 3
Exam Tip
Do not decide equality only by counting the number of elements. चरण 1: समान समुच्चय की पहचान केवल अवयवों से होती है। चरण 2: यदि दोनों समुच्चयों में हर अवयव समान है, तो क्रम बदलने पर भी वे समान रहेंगे। चरण 3: केवल अवयवों की संख्या देखकर समानता का निर्णय न करें।
The solutions are (x=2) and (x=3), so (D) has the same elements as (E).
Step 3
Exam Tip
Equal sets need the same elements, even if they are written in different forms. चरण 1: \(x^2-5x+6=0\) को ((x-2)(x-3)=0) के रूप में लिखा जा सकता है। चरण 2: हल (x=2) और (x=3) हैं, इसलिए (D) के अवयव (E) जैसे ही हैं। चरण 3: समान समुच्चयों में अवयव समान होने चाहिए, लिखने का तरीका अलग हो सकता है।
A. \(P_1=Q_1\) लेकिन \(P_1\ne R_1\)/\(P_1=Q_1\) but \(P_1\ne R_1\)
Step 1
Concept
\(P_1\) and \(Q_1\) have the same elements, only the order is changed.
Step 2
Why this answer is correct
\(R_1\) has (4) instead of (3), so it is not equal to \(P_1\).
Step 3
Exam Tip
For equal sets, compare elements, not order. चरण 1: \(P_1\) और \(Q_1\) में वही अवयव हैं, केवल क्रम बदला है। चरण 2: \(R_1\) में (3) के स्थान पर (4) है, इसलिए वह समान नहीं है। चरण 3: समान समुच्चय में क्रम नहीं, अवयवों की समानता देखी जाती है।
C. ( {0,2,4} ) और ( {2,4,6} )/( {0,2,4} ) and ( {2,4,6} )
Step 1
Concept
Equal sets must have every element common in both sets.
Step 2
Why this answer is correct
( {0,2,4} ) contains (0), while the other set contains (6).
Step 3
Exam Tip
Having the same number of elements is not enough; the elements must also match. चरण 1: समान समुच्चयों में हर अवयव दोनों में होना चाहिए। चरण 2: ( {0,2,4} ) में (0) है, पर दूसरे में (6) है। चरण 3: केवल अवयवों की संख्या समान होना काफी नहीं, अवयव भी वही होने चाहिए।
Learn to compare roster form and set-builder form. चरण 1: (N) में (5) से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ हैं। चरण 2: वे (1,2,3,4) हैं, जो (M) के अवयवों के समान हैं। चरण 3: सूची रूप और नियम रूप को मिलाकर देखना सीखें।
(a) is written twice in (H), but repetition is ignored in sets.
Step 2
Why this answer is correct
Both sets have the distinct elements (a,b,c).
Step 3
Exam Tip
To test equality, remove repeated elements first. चरण 1: (H) में (a) दो बार लिखा है, पर समुच्चय में दोहराव नहीं गिना जाता। चरण 2: दोनों में अलग-अलग अवयव (a,b,c) ही हैं। चरण 3: समानता जाँचते समय पहले दोहराए हुए अवयव हटा दें।
B. (C=D) क्योंकि अवयव समान हैं/(C=D) because elements are the same
Step 1
Concept
Equal sets must have exactly the same elements.
Step 2
Why this answer is correct
The order of elements in a set does not matter, so the two sets are equal.
Step 3
Exam Tip
A common exam mistake is to treat changed order as a different set. चरण 1: समान समुच्चयों में अवयव समान होने चाहिए। चरण 2: समुच्चय में अवयवों का क्रम महत्व नहीं रखता, इसलिए दोनों समुच्चय समान हैं। चरण 3: क्रम बदलने से समुच्चय नहीं बदलता, यह परीक्षा में बहुत सामान्य भूल है।
Natural numbers up to (12) divisible by (3) are (3,6,9,12).
Step 2
Why this answer is correct
These are exactly the elements of (A).
Step 3
Exam Tip
For equal sets, compare elements rather than order or description. चरण 1: (12) तक (3) से विभाज्य प्राकृतिक संख्याएँ (3,6,9,12) हैं। चरण 2: यही सभी तत्व (A) में भी हैं। चरण 3: समान समुच्चय में क्रम नहीं, केवल तत्वों की समानता देखी जाती है।
(A) and (B) have the same three elements, only the order is changed.
Step 2
Why this answer is correct
(C) does not contain (c), so it is not equal to (A).
Step 3
Exam Tip
For equality, check the presence of every element. चरण 1: (A) और (B) में वही तीन तत्व हैं, केवल क्रम बदला है। चरण 2: (C) में (c) नहीं है, इसलिए वह (A) के समान नहीं है। चरण 3: समानता में हर तत्व की उपस्थिति जाँचें।
The given number set can restrict the possible solutions. चरण 1: प्राकृतिक संख्या में ऋणात्मक संख्या नहीं आती। चरण 2: \(5^2=25\), इसलिए (5) शामिल होगा। चरण 3: प्रश्न में दिया गया संख्या समुच्चय हलों को सीमित कर सकता है।
The solutions are (x=2) and (x=3), so the set is ({2,3}).
Step 3
Exam Tip
While writing a solution set, place all values inside braces. चरण 1: (x-2-5x+6=(x-2)(x-3))। चरण 2: हल (x=2) और (x=3) हैं, इसलिए समुच्चय ({2,3}) है। चरण 3: हल समुच्चय लिखते समय सभी मान कोष्ठक में रखें।
A. (10) से छोटी अभाज्य प्राकृतिक संख्याएँ/Prime natural numbers less than (10)
Step 1
Concept
Prime numbers less than (10) are (2,3,5,7).
Step 2
Why this answer is correct
This list matches (A) exactly.
Step 3
Exam Tip
Convert a descriptive form into roster form to check equality. चरण 1: (10) से छोटी अभाज्य संख्याएँ (2,3,5,7) हैं। चरण 2: यह सूची (A) से पूरी तरह मिलती है। चरण 3: वर्णनात्मक रूप को सूची रूप में बदलकर समानता जाँचें।
In (A), the condition \(x\leq a\) makes (a) the last element.
Step 3
Exam Tip
For equality, compare the last elements. चरण 1: (B) में प्राकृतिक संख्याएँ (1) से (4) तक हैं। चरण 2: (A) में \(x\leq a\) होने से अंतिम तत्व (a) होगा। चरण 3: समानता के लिए अंतिम तत्वों की तुलना करें।
To make (A) equal to (B), the third distinct element must be (3).
Step 3
Exam Tip
In equal sets, order may change but elements cannot. चरण 1: (B) में अलग तत्व (1,2,3) हैं। चरण 2: (A) को समान बनाने के लिए तीसरा अलग तत्व (3) होना चाहिए। चरण 3: समान समुच्चय में केवल क्रम बदल सकता है, तत्व नहीं।
Therefore their number of elements is also the same.
Step 3
Exam Tip
When (A=B), it is safe to write (n(A)=n(B)). चरण 1: समान समुच्चयों में सभी तत्व समान होते हैं। चरण 2: इसलिए उनकी तत्व संख्या भी समान होती है। चरण 3: (A=B) दिया हो तो (n(A)=n(B)) लिखना सुरक्षित है।
A. \({x:x\in\mathbb{N},x\leq 3}\) और ({1,2,3})/\({x:x\in\mathbb{N},x\leq 3}\) and ({1,2,3})
Step 1
Concept
\({x:x\in\mathbb{N},x\leq 3}\) gives (1,2,3).
Step 2
Why this answer is correct
The first pair has exactly the same elements.
Step 3
Exam Tip
Equal sets must have every element common on both sides. चरण 1: \({x:x\in\mathbb{N},x\leq 3}\) से (1,2,3) मिलते हैं। चरण 2: पहला जोड़ा समान तत्वों वाला है। चरण 3: समान समुच्चय में हर तत्व दोनों ओर होना चाहिए।
No natural number belongs to (B) because \(\mathbb{N}\) starts from (1).
Step 2
Why this answer is correct
So \(B=\varnothing\).
Step 3
Exam Tip
Two empty sets are always equal. चरण 1: (B) में कोई प्राकृतिक संख्या नहीं आएगी क्योंकि \(\mathbb{N}\) (1) से शुरू होता है। चरण 2: इसलिए \(B=\varnothing\)। चरण 3: दो रिक्त समुच्चय हमेशा समान होते हैं।
When two conditions are given, check both together. चरण 1: केवल (2) ही सम और अभाज्य दोनों है। चरण 2: \(4,6,8,\ldots\) सम हैं पर अभाज्य नहीं। चरण 3: दो शर्तें हों तो दोनों को साथ-साथ जाँचें।
In integers, \(x^2=9\) has two solutions, (x=-3) and (x=3).
Step 2
Why this answer is correct
Both are integers, so both are included.
Step 3
Exam Tip
In square equations, check both positive and negative solutions according to the domain. चरण 1: पूर्णांकों में \(x^2=9\) के दो हल (x=-3) और (x=3) हैं। चरण 2: दोनों पूर्णांक हैं, इसलिए दोनों शामिल होंगे। चरण 3: वर्ग समीकरण में क्षेत्र देखकर धनात्मक और ऋणात्मक दोनों हल जाँचें।
For \(x^2=4\), the natural solution is only (x=2).
Step 3
Exam Tip
If the domain is \(\mathbb{N}\), do not include the negative solution. चरण 1: \(\mathbb{N}\) में केवल धनात्मक प्राकृतिक संख्याएँ आती हैं। चरण 2: \(x^2=4\) के प्राकृतिक हल में (x=2) ही होगा। चरण 3: क्षेत्र \(\mathbb{N}\) हो तो ऋणात्मक हल न लें।
Do not call sets unequal just because repetition is shown differently. चरण 1: समुच्चय में दोहराए गए तत्व केवल एक बार गिने जाते हैं। चरण 2: दोनों में अलग तत्व (1,2,3) हैं। चरण 3: दोहराव देखकर समुच्चयों को असमान न मानें।
A. (C) और (D) समान समुच्चय हैं/(C) and (D) are equal sets
Step 1
Concept
Repeated elements are not counted separately in a set.
Step 2
Why this answer is correct
The distinct elements of (C) are (1,2,3), and (D) has the same elements.
Step 3
Exam Tip
In exam questions on equality of sets, ignore order and repetition. चरण 1: समुच्चय में दोहराए गए अवयवों को अलग-अलग नहीं गिना जाता। चरण 2: (C) के भिन्न अवयव (1,2,3) हैं और (D) के भी वही अवयव हैं। चरण 3: परीक्षा में समानता जाँचते समय क्रम और दोहराव को अनदेखा करें।
The natural even numbers less than (10) are (2,4,6,8).
Step 2
Why this answer is correct
(A) and (B) have exactly the same elements, so (A=B).
Step 3
Exam Tip
In equal sets, the order of elements does not matter. चरण 1: (B) में (10) से छोटी प्राकृतिक सम संख्याएँ (2,4,6,8) हैं। चरण 2: (A) और (B) के सभी अवयव समान हैं, इसलिए (A=B)। चरण 3: समान समुच्चय में अवयवों का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं होता।
In the first three options, the actual elements are (1,2,4,8).
Step 2
Why this answer is correct
The fourth option has an extra element (16).
Step 3
Exam Tip
One extra element destroys equality. चरण 1: पहले तीन विकल्पों में वास्तविक तत्व (1,2,4,8) ही हैं। चरण 2: चौथे विकल्प में (16) अतिरिक्त तत्व है। चरण 3: एक अतिरिक्त तत्व समानता को समाप्त कर देता है।
Order and repetition do not change equality. चरण 1: दोनों समुच्चयों के वास्तविक तत्व (a,b,c,d) हैं। चरण 2: (B) में (a) दो बार लिखा है, पर गिना एक बार जाएगा। चरण 3: क्रम और दोहराव समानता को नहीं बदलते।
The values satisfying \(x^2=49\) can be (-7) and (7).
Step 2
Why this answer is correct
Since (x) is a natural number, only (7) is taken.
Step 3
Exam Tip
Therefore, (A) and (B) are equal. चरण 1: \(x^2=49\) के मान (-7) और (7) हो सकते हैं। चरण 2: (x) प्राकृतिक संख्या है, इसलिए केवल (7) लिया जाएगा। चरण 3: इस कारण (A) और (B) समान हैं।
Squares of natural numbers from (1) to (5) are (1,4,9,16,25).
Step 2
Why this answer is correct
The first option gives exactly this list.
Step 3
Exam Tip
Distinguish square and cube rules carefully. चरण 1: (1) से (5) तक प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग (1,4,9,16,25) हैं। चरण 2: पहला विकल्प ठीक यही सूची देता है। चरण 3: वर्ग और घन के नियमों को अलग-अलग पहचानें।
In (B), (15) is written twice but counted once in a set.
Step 3
Exam Tip
After removing repetition, the two sets are equal. चरण 1: (15) के गुणनखंड (1,3,5,15) हैं। चरण 2: (B) में (15) दो बार लिखा है, पर समुच्चय में एक बार माना जाएगा। चरण 3: दोहराव हटाने पर दोनों समुच्चय समान हैं।
