In power-based sets, read the exponent range carefully. चरण 1: \(2^1,2^2,2^3,2^4\) के मान (2,4,8,16) हैं। चरण 2: पहला विकल्प ठीक यही तत्व देता है। चरण 3: घात वाले समुच्चय में घातांक की सीमा ध्यान से पढ़ें।
Repeated elements are not counted separately in a set.
Step 2
Why this answer is correct
The actual elements are (1,2,3).
Step 3
Exam Tip
Remove repetition before writing the correct form of a set. चरण 1: समुच्चय में दोहराए गए तत्व अलग से नहीं गिने जाते। चरण 2: वास्तविक तत्व (1,2,3) हैं। चरण 3: दोहराव हटाकर ही समुच्चय का सही रूप लिखें।
In the first option, putting (n=1,2,3,4) gives (4,8,12,16).
Step 2
Why this answer is correct
These exactly match the elements of (A).
Step 3
Exam Tip
Convert a rule-based set into a list to check equality. चरण 1: पहले विकल्प में (n=1,2,3,4) रखने पर (4,8,12,16) मिलते हैं। चरण 2: ये सभी (A) के तत्वों से मिलते हैं। चरण 3: नियम वाले समुच्चय को सूची में बदलकर समानता जाँचें।
Only \(1^2,2^2,3^2\) are less than (10), while \(4^2\) is not.
Step 3
Exam Tip
Both sets have the same elements, so they are equal. चरण 1: \(x^2<10\) को प्राकृतिक संख्याओं के लिए जाँचें। चरण 2: \(1^2,2^2,3^2\) ही (10) से छोटे हैं, जबकि \(4^2\) नहीं है। चरण 3: दोनों समुच्चयों में वही तत्व हैं, इसलिए वे समान हैं।
A. ({x:x संख्या 10 से छोटी अभाज्य प्राकृतिक संख्या है})/({x:x is a prime natural number less than 10})
Step 1
Concept
Prime natural numbers less than (10) are (2,3,5,7).
Step 2
Why this answer is correct
The first option gives exactly these elements.
Step 3
Exam Tip
Do not treat (1) as prime, and match all elements carefully. चरण 1: (10) से छोटी अभाज्य प्राकृतिक संख्याएँ (2,3,5,7) हैं। चरण 2: पहले विकल्प में यही तत्व मिलते हैं। चरण 3: (1) को अभाज्य न मानें और सभी तत्व ध्यान से मिलाएँ।
The natural multiples of (3) less than (15) are (3,6,9,12).
Step 2
Why this answer is correct
These are exactly the elements written in (A).
Step 3
Exam Tip
To check equality, match the actual elements of both sets. चरण 1: (15) से छोटे (3) के प्राकृतिक गुणज (3,6,9,12) हैं। चरण 2: यही सभी तत्व (A) में लिखे हैं। चरण 3: समानता जाँचते समय दोनों समुच्चयों के वास्तविक तत्व मिलाएँ।
Therefore, the actual elements of both sets are the same. चरण 1: (6) के गुणनखंड (1,2,3,6) हैं। चरण 2: (B) में (6) दो बार लिखा है, पर गिना एक बार जाएगा। चरण 3: इसलिए दोनों समुच्चयों के वास्तविक तत्व समान हैं।
In a set, (0) is counted once, so the elements are (0) and (1).
Step 3
Exam Tip
Remove repetition before checking equality. चरण 1: ({1,0,0}) में (0) दो बार लिखा है। चरण 2: समुच्चय में (0) एक बार ही माना जाएगा, इसलिए तत्व (0) और (1) हैं। चरण 3: दोहराव हटाकर समानता जाँचें।
Natural numbers satisfying \(x\leq4\) are (1,2,3,4).
Step 2
Why this answer is correct
(A) also has exactly these four elements.
Step 3
Exam Tip
Roster form and rule form can represent equal sets. चरण 1: \(x\leq4\) वाली प्राकृतिक संख्याएँ (1,2,3,4) हैं। चरण 2: (A) में भी यही चार तत्व हैं। चरण 3: सूची विधि और नियम विधि के समुच्चय समान हो सकते हैं।
Changing order does not change equality of sets. चरण 1: (6) से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ (1,2,3,4,5) हैं। चरण 2: (B) में वही तत्व उल्टे क्रम में लिखे हैं। चरण 3: क्रम बदलने से समुच्चय की समानता नहीं बदलती।
The first option gives exactly those three elements.
Step 3
Exam Tip
In power-based questions, substitute values and form the list. चरण 1: (n=1,2,3) के घन (1,8,27) होते हैं। चरण 2: पहला विकल्प वही तीन तत्व देता है। चरण 3: घात वाले प्रश्नों में मान रखकर सूची बनाएं।
In (B), (3) is written twice but counted once in a set.
Step 2
Why this answer is correct
Both sets have actual elements (3,6,9).
Step 3
Exam Tip
Repetition does not change equality. चरण 1: (B) में (3) दो बार लिखा है, पर समुच्चय में एक बार माना जाएगा। चरण 2: दोनों में वास्तविक तत्व (3,6,9) हैं। चरण 3: दोहराव समानता को नहीं बदलता।
Match a rule-based set with its listed form. चरण 1: (n=1,2,3) रखने पर (x=1,4,9) मिलता है। चरण 2: ये सभी तत्व (A) में भी हैं। चरण 3: नियम से बने समुच्चय को सूची से मिलाकर देखें।
Sets written in different forms are equal if their elements are the same. चरण 1: (8) से छोटी धनात्मक विषम संख्याएँ (1,3,5,7) हैं। चरण 2: (P) में भी यही तत्व हैं। चरण 3: अलग भाषा में लिखे समुच्चय भी तत्व समान होने पर समान होते हैं।
(5,10,15) are present in both; only the order is changed.
Step 3
Exam Tip
Order does not matter in a set. चरण 1: दोनों समुच्चयों में तत्वों को ध्यान से मिलाएँ। चरण 2: (5,10,15) दोनों में हैं, केवल क्रम बदला है। चरण 3: समुच्चय में क्रम का महत्व नहीं होता।
C. ({0}) और \({\varnothing}\)/({0}) and \({\varnothing}\)
Step 1
Concept
({0}) contains (0) as one element.
Step 2
Why this answer is correct
\({\varnothing}\) contains the empty set itself as one element.
Step 3
Exam Tip
(0) and \(\varnothing\) are different, so the two sets are not equal. चरण 1: ({0}) में (0) एक तत्व है। चरण 2: \({\varnothing}\) में रिक्त समुच्चय स्वयं एक तत्व है। चरण 3: (0) और \(\varnothing\) अलग हैं, इसलिए ये दोनों समुच्चय समान नहीं हैं।
While checking equality, compare elements, not the form of writing. चरण 1: (12) के अभाज्य गुणनखंड (2) और (3) हैं। चरण 2: (A) में भी यही दोनों तत्व हैं। चरण 3: समानता जाँचते समय समुच्चय का रूप नहीं, तत्व देखें।
C. ({0}) और \(\varnothing\)/({0}) and \(\varnothing\)
Step 1
Concept
({0}) has one element, (0).
Step 2
Why this answer is correct
\(\varnothing\) has no element.
Step 3
Exam Tip
A one-element set and the empty set are not equal. चरण 1: ({0}) में (0) नाम का एक तत्व है। चरण 2: \(\varnothing\) में कोई तत्व नहीं होता। चरण 3: एक तत्व वाला समुच्चय और रिक्त समुच्चय समान नहीं होते।
Both sets have the same actual elements. चरण 1: (4) से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ (1,2,3) हैं। चरण 2: (B) में (3) दो बार लिखा है पर गिना एक बार जाएगा। चरण 3: दोनों में वास्तविक तत्व समान हैं।
({a,b}) and ({b,a}) have the same elements, only the order differs.
Step 3
Exam Tip
Do not mark sets unequal only because the order changes. चरण 1: समान समुच्चयों में वही तत्व होने चाहिए। चरण 2: ({a,b}) और ({b,a}) में तत्व समान हैं, केवल क्रम अलग है। चरण 3: क्रम को देखकर जल्दबाजी में असमान न मानें।
Even one extra element breaks equality. चरण 1: समान समुच्चय में तत्व बिल्कुल समान होने चाहिए। चरण 2: ({1,2,3,4}) में अतिरिक्त तत्व (4) है। चरण 3: एक अतिरिक्त तत्व भी समानता को तोड़ देता है।
Ignoring repetition and order, all three sets are equal. चरण 1: (B) में (2) दो बार लिखा है, पर गिना एक बार जाएगा। चरण 2: (C) में वही तत्व अलग क्रम में हैं। चरण 3: दोहराव और क्रम हटाने पर तीनों समान हैं।
Even one different element makes the sets unequal. चरण 1: समान समुच्चय के सभी तत्व एक जैसे होने चाहिए। चरण 2: (A) में (p) है जबकि (B) में (s) है। चरण 3: एक अलग तत्व भी समुच्चयों को असमान बना देता है।
To test equality, match the elements on both sides. चरण 1: (7) से छोटी सम प्राकृतिक संख्याएँ (2,4,6) हैं। चरण 2: यही तत्व (A) में भी हैं। चरण 3: समानता के लिए दोनों तरफ के तत्व मिलाकर देखें।
Changing order does not make equal sets unequal. चरण 1: समुच्चय में क्रम का महत्व नहीं होता। चरण 2: केवल तत्वों की समानता देखी जाती है। चरण 3: क्रम बदलना समान समुच्चय को असमान नहीं बनाता।
A. हाँ, क्योंकि दोनों में वही तत्व हैं/Yes, because both have the same elements
Step 1
Concept
Natural numbers less than (5) are (1,2,3,4).
Step 2
Why this answer is correct
All elements of (A) and (B) are the same.
Step 3
Exam Tip
The form may differ, but equality depends on elements. चरण 1: (5) से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ (1,2,3,4) हैं। चरण 2: (A) और (B) के सभी तत्व समान हैं। चरण 3: रूप अलग हो सकता है, पर समानता तत्वों से तय होती है।
Repetition does not create a new element in a set.
Step 2
Why this answer is correct
Both sets have the actual elements (a,b,c).
Step 3
Exam Tip
To check equality, ignore repetition and order. चरण 1: समुच्चय में तत्वों का दोहराव नया तत्व नहीं बनाता। चरण 2: दोनों में वास्तविक तत्व (a,b,c) ही हैं। चरण 3: समानता जाँचते समय दोहराव और क्रम को हटाकर देखें।
Do not let repetition mislead your counting. चरण 1: समुच्चय में दोहराए गए तत्व केवल एक बार माने जाते हैं। चरण 2: ({0,0,0}) में वास्तविक तत्व केवल (0) है। चरण 3: दोहराव देखकर तत्वों की संख्या गलत न मानें।
In exams, compare the elements, not their order. चरण 1: समान समुच्चय में तत्व समान होने चाहिए। चरण 2: क्रम बदलने से समुच्चय नहीं बदलता। चरण 3: परीक्षा में तत्वों को मिलाकर देखें, क्रम को नहीं।
For natural numbers satisfying \(x^2<20\), the values are (1,2,3,4) because \(5^2=25\).
Step 2
Why this answer is correct
The elements of (B) are exactly the same as the elements of (A) so the sets are equal.
Step 3
Exam Tip
To check equality convert set-builder form into roster form. चरण 1: प्राकृतिक संख्याओं में \(x^2<20\) के लिए (1,2,3,4) मान मिलते हैं क्योंकि \(5^2=25\) हो जाता है। चरण 2: (B) के तत्व ठीक (A) जैसे हैं इसलिए दोनों समान समुच्चय हैं। चरण 3: समानता जाँचते समय वर्णन रूप को सूची रूप में बदलना आसान रहता है।
