Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(S) तीन बार, (T) तीन बार और (I) दो बार आता है। परीक्षा में word arrangement से पहले letter frequencies गिनें। / (S) appears three times, (T) appears three times, and (I) appears twice. In exams count letter frequencies before word arrangement.
अक्षर-सीमाएँ \(M\le1\), \(I\le4\), \(S\le4\), \(P\le2\) रखकर कुल (21) चयन मिलते हैं। बहुलता वाले अक्षरों में सीमित पूर्णांक हल गिनें। / Using the limits \(M\le1\), \(I\le4\), \(S\le4\), and \(P\le2\), the total selections are (21). For repeated letters, count bounded integer solutions.
कुल (11) अक्षर हैं; (I) चार, (S) चार और (P) दो बार आते हैं, इसलिए \(\frac{11!}{4!,4!,2!}\) है। परीक्षा में समान अक्षरों की गिनती दोबारा जांचें। / There are (11) letters; (I) occurs four times, (S) occurs four times, and (P) occurs twice, so the count is \(\frac{11!}{4!,4!,2!}\). Exam tip: recheck repeated-letter counts.
कुल (12) अक्षर हैं; (N) और (E) चार-चार बार तथा (D) दो बार आते हैं, इसलिए संख्या \(\frac{12!}{4!,4!,2!}\) है। परीक्षा में repetition count सही लिखना सबसे जरूरी है। / There are (12) letters; (N) and (E) occur four times each and (D) occurs twice, so the count is \(\frac{12!}{4!,4!,2!}\). Exam tip: correct repetition counts are crucial.
कुल (11) अक्षर हैं और (B,I) दो-दो बार आते हैं, इसलिए संख्या \(\frac{11!}{2!,2!}\) है। परीक्षा में हर repeated letter के factorial से अलग-अलग भाग दें। / There are (11) letters, with (B) and (I) repeated twice, so the count is \(\frac{11!}{2!,2!}\). Exam tip: divide by the factorial of each repeated letter.
(MM) को एक खंड मानें; अब (10) वस्तुओं में (A) और (T) दो-दो बार हैं, इसलिए संख्या \(\frac{10!}{2!,2!}\) है। परीक्षा में खंड बनाने के बाद शेष पुनरावृत्ति न भूलें। / Treat (MM) as one block; now there are (10) objects with (A) and (T) repeated twice, so the count is \(\frac{10!}{2!,2!}\). Exam tip: after blocking, do not forget remaining repetitions.
कुल (7) अक्षर हैं और (R) दो बार आता है, इसलिए संख्या \(\frac{7!}{2!}\) है। परीक्षा में समान अक्षरों के फैक्टोरियल से भाग दें। / There are (7) letters and (R) repeats twice, so the count is \(\frac{7!}{2!}\). Exam tip: divide by factorials of repeated letters.
कुल (11) अक्षर हैं और (N,E,D) क्रमशः (3,3,2) बार आते हैं, इसलिए \(\frac{11!}{3!3!2!}\) है। repeated letters की सभी आवृत्तियाँ लिखें। / There are (11) letters with (N,E,D) repeated (3,3,2) times, so the count is \(\frac{11!}{3!3!2!}\). Write all repeated-letter frequencies.
कुल (11) अक्षर हैं और (B,I) प्रत्येक (2) बार आते हैं, इसलिए \(\frac{11!}{2!2!}\) है। बड़े शब्दों में अक्षर आवृत्ति सावधानी से गिनें। / There are (11) letters and (B,I) each repeat (2) times, so the count is \(\frac{11!}{2!2!}\). Count letter frequencies carefully in long words.
कुल (7) अक्षर हैं और (S,C) क्रमशः (3,2) बार आते हैं, इसलिए \(\frac{7!}{3!2!}\) है। पुनरावृत्त अक्षरों को अलग-अलग न गिनें। / There are (7) letters with (S,C) repeated (3,2) times, so the count is \(\frac{7!}{3!2!}\). Do not count repeated letters as distinct.
कुल (9) अक्षर हैं और (M,T,E) प्रत्येक (2) बार आते हैं, इसलिए \(\frac{9!}{2!2!2!}\) है। समान अक्षर permutation को घटाते हैं। / There are (9) letters and (M,T,E) each repeat (2) times, so the count is \(\frac{9!}{2!2!2!}\). Identical letters reduce permutations.
कुल (11) अक्षर हैं और (M,A,T) प्रत्येक (2) बार आते हैं, इसलिए \(\frac{11!}{2!2!2!}\) है। दोहराव की संख्या सही पहचानना जरूरी है। / There are (11) letters and (M,A,T) each repeat (2) times, so the count is \(\frac{11!}{2!2!2!}\). Correctly identify repeated letters.
कुल (11) अक्षर हैं और (I,S,P) क्रमशः (4,4,2) बार आते हैं, इसलिए \(\frac{11!}{4!4!2!}\) है। समान अक्षरों की पुनरावृत्ति को अलग न गिनें। / There are (11) letters with (I,S,P) repeated (4,4,2) times, so the count is \(\frac{11!}{4!4!2!}\). Do not count identical letters separately.
कुल (7) अक्षर हैं और (R) दो बार आता है, इसलिए संख्या \(\frac{7!}{2!}\) है। दोहराए अक्षरों के लिए फैक्टरियल से भाग दें। / There are (7) letters and (R) repeats twice, so the count is \(\frac{7!}{2!}\). Divide by factorials of repeated letters.
इसमें (S) तीन बार और (I) तीन बार है, इसलिए संख्या (11!/(3!3!)) है। दोहराव के हर समूह के फैक्टोरियल से भाग दें। / Here (S) appears three times and (I) appears three times, so the count is (11!/(3!3!)). Divide by the factorial of each repeated group.
इसमें (T) तीन बार और (O,N,I) दो-दो बार हैं, इसलिए संख्या (12!/(3!2!2!2!)) है। लंबे शब्द में आवृत्ति तालिका बनाएं। / Here (T) appears three times and (O,N,I) appear twice each, so the count is (12!/(3!2!2!2!)). For long words, make a frequency table.
(C) को खंड मानकर कुल (8!/(2!2!)) व्यवस्थाएं हैं, फिर (A) साथ वाली (7!/2!) व्यवस्थाएं घटाएं। दो शर्तों में पहले अनिवार्य खंड बनाएं। / Treat the two (C)'s as a block, giving (8!/(2!2!)) arrangements, then subtract the cases with adjacent (A)'s, (7!/2!). For two conditions, first form the required block.
(S,Q) के लिए दूरी (5) वाले (3) स्थान-जोड़े और (2) क्रम हैं, शेष (6) स्थान (6!/3!) तरीकों से भरते हैं। दूरी वाले प्रश्न में स्थान-जोड़े पहले गिनें। / There are (3) position pairs at distance (5) for (S,Q), with (2) orders, and the remaining (6) places fill in (6!/3!) ways. For gap-distance questions, count position pairs first.
पहले गैर-(T) अक्षरों को (6!/2!) तरीकों से रखें और (7) अंतरालों में से (3) में (T) रखें। समान (T) होने के कारण केवल अंतराल चुनें। / Arrange non-(T) letters in (6!/2!) ways and choose (3) of the (7) gaps for the (T)'s. Since the (T)'s are identical, only choose gaps.
कुल (8!/2!) व्यवस्थाओं में से (A) साथ वाली (7!) व्यवस्थाएं घटाएं। समान अक्षरों के न-साथ प्रश्न में घटाने की विधि सरल है। / Subtract the adjacent (A) cases (7!) from the total (8!/2!). For non-adjacent identical letters, subtraction is simple.
हर स्थान पर उससे छोटे उपलब्ध अक्षरों से बनने वाली व्यवस्थाएं जोड़कर अंत में (1) जोड़ते हैं। रैंक में दोहराए अक्षरों की गिनती ध्यान से करें। / Add arrangements formed by smaller available letters at each position, then add (1). In rank problems, handle repeated letters carefully.
पहले गैर-(E) अक्षरों को (6!/(2!2!)) तरीकों से रखें और (7) अंतरालों में से (4) में (E) रखें। समान अक्षर हों तो अंतराल चयन काफी होता है। / First arrange the non-(E) letters in (6!/(2!2!)) ways and place (E)'s in (4) of the (7) gaps. With identical letters, gap selection is enough.
कुल (11!/(4!4!2!)) व्यवस्थाओं में से (P) साथ वाली (10!/(4!4!)) व्यवस्थाएं घटाएं। न-साथ के लिए कुल में से साथ वाले केस घटाएं। / Subtract the together cases (10!/(4!4!)) from the total (11!/(4!4!2!)). For not-together cases, subtract the adjacent cases from the total.
इसमें (N) तीन बार, (E) तीन बार और (D) दो बार है, इसलिए संख्या (11!/(3!3!2!)) है। आवृत्ति लिखकर ही सूत्र लगाएं। / It has (N) three times, (E) three times and (D) twice, so the count is (11!/(3!3!2!)). Write frequencies before applying the formula.
तीनों (L) को एक खंड मानने पर (6) इकाइयां हैं और (A) दो बार है, इसलिए (6!/2!) है। समान अक्षरों का खंड केवल एक इकाई माना जाता है। / Treat the three (L)'s as one block, giving (6) units with (A) repeated twice, so the count is (6!/2!). A block of identical letters acts as one unit.
इसमें (A) दो बार और (L) तीन बार है, इसलिए संख्या (8!/(2!3!)) है। दोहराए अक्षरों की गिनती पहले करें। / Here (A) is repeated twice and (L) three times, so the count is (8!/(2!3!)). Count repeated letters first.
इसमें (E,T,I) दो-दो बार हैं, इसलिए संख्या (10!/(2!2!2!)) है। हर दोहराए अक्षर के फैक्टोरियल से भाग दें। / Here (E,T,I) are each repeated twice, so the count is (10!/(2!2!2!)). Divide by the factorial of each repeated letter.
इस शब्द में (B) और (I) दो-दो बार हैं, इसलिए संख्या (11!/(2!2!)) है। दोहराए अक्षर पहचानना पहला कदम है। / Here (B) and (I) are repeated twice, so the count is (11!/(2!2!)). Identifying repeated letters is the first step.
दोनों (P) को एक खंड मानने पर (10) इकाइयां बनती हैं, जिनमें (I) और (S) चार-चार बार हैं। इसलिए संख्या (10!/(4!4!)) है। / Treat both (P)'s as one block, giving (10) units with (I) and (S) each repeated four times. Hence the count is (10!/(4!4!)).
इसमें (I) चार बार, (S) चार बार और (P) दो बार है, इसलिए संख्या (11!/(4!4!2!)) है। लंबा शब्द हो तो आवृत्ति तालिका बनाएं। / It has (I) four times, (S) four times and (P) twice, so the count is (11!/(4!4!2!)). For long words, make a frequency table.
