Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(S) तीन बार, (T) तीन बार और (I) दो बार आता है। परीक्षा में word arrangement से पहले letter frequencies गिनें। / (S) appears three times, (T) appears three times, and (I) appears twice. In exams count letter frequencies before word arrangement.
A. क्योंकि (A) और (R) दो-दो बार आते हैं/Because (A) and (R) appear twice each
Explanation
Simple Explanation
समान letters की आपसी अदला-बदली नई arrangement नहीं देती। परीक्षा में repeated letters के factorials denominator में रखें। / Interchanging identical letters does not create a new arrangement. In exams put factorials of repeated letters in the denominator.
A. Identical letters की internal permutations same result देती हैं/Internal permutations of identical letters give the same result
Explanation
Simple Explanation
समान letters की आपसी अदला-बदली नई arrangement नहीं बनाती। परीक्षा में repeated counts के factorials से divide करें। / Interchanging identical letters does not create a new arrangement. In exams divide by factorials of repeated counts.
Repeated letters की अंदरूनी अदला-बदली नई arrangement नहीं बनाती। परीक्षा में हर repeated group के factorial से भाग दें। / Internal interchanges of repeated letters do not create new arrangements. In exams divide by the factorial of each repeated group.
पहले (6) letters चुनते हैं और फिर उन्हें (6!) तरीकों से जमाते हैं। परीक्षा में word में order महत्वपूर्ण होता है। / First choose (6) letters and then arrange them in (6!) ways. In exams order is important in a word.
Repeated letters की अंदरूनी अदला-बदली नई arrangement नहीं बनाती। परीक्षा में हर repeated group के factorial से भाग दें। / Internal interchanges of repeated letters do not create new arrangements. In exams divide by the factorial of each repeated group.
पहले (5) letters चुनते हैं और फिर उन्हें (5!) तरीकों से जमाते हैं। परीक्षा में word में order महत्वपूर्ण होता है। / First choose (5) letters and then arrange them in (5!) ways. In exams order is important in a word.
A. Repeated letters के कारण division principle/Division principle due to repeated letters
Explanation
Simple Explanation
समान अक्षरों की अदला-बदली नया arrangement नहीं बनाती। परीक्षा में repeated letters की frequency लिखकर factorial से भाग दें। / Interchanging identical letters does not make a new arrangement. In exams write frequencies of repeated letters and divide by factorials.
एक सिरा (P) के लिए और दूसरा (E) के लिए (2) तरीकों से चुने; बाकी (5) अक्षरों में (E) दो बार है, इसलिए \(\frac{5!}{2!}\) व्यवस्थाएं हैं। परीक्षा में repeated end-letter बच जाने पर उसका factorial divide करें। / Choose the end for (P) and (E) in (2) ways; the remaining (5) letters include (E) repeated twice, so there are \(\frac{5!}{2!}\) arrangements. Exam tip: divide for a repeated end-letter left inside.
कुल (11) अक्षर हैं; (I) चार, (S) चार और (P) दो बार आते हैं, इसलिए \(\frac{11!}{4!,4!,2!}\) है। परीक्षा में समान अक्षरों की गिनती दोबारा जांचें। / There are (11) letters; (I) occurs four times, (S) occurs four times, and (P) occurs twice, so the count is \(\frac{11!}{4!,4!,2!}\). Exam tip: recheck repeated-letter counts.
कुल व्यवस्थाएं \(\frac{7!}{2!}\) हैं और (4) स्वरों के सापेक्ष क्रमों में केवल (1) क्रम स्वीकार्य है, इसलिए (4!) से भाग दें। परीक्षा में relative order fixed हो तो संबंधित factorial से divide करें। / Total arrangements are \(\frac{7!}{2!}\), and among the (4) relative orders of vowels only (1) order is allowed, so divide by (4!). Exam tip: divide by the factorial when relative order is fixed.
कुल (8!) से (T) first और (E) last वाले मामलों को inclusion-exclusion से घटाएं, यानी (8!-7!-7!+6!)। परीक्षा में दो निषेध शर्तों में overlap जोड़ना न भूलें। / Use inclusion-exclusion on total (8!), subtracting cases with (T) first and (E) last: (8!-7!-7!+6!). Exam tip: add back the overlap in two forbidden conditions.
कुल (12) अक्षर हैं; (N) और (E) चार-चार बार तथा (D) दो बार आते हैं, इसलिए संख्या \(\frac{12!}{4!,4!,2!}\) है। परीक्षा में repetition count सही लिखना सबसे जरूरी है। / There are (12) letters; (N) and (E) occur four times each and (D) occurs twice, so the count is \(\frac{12!}{4!,4!,2!}\). Exam tip: correct repetition counts are crucial.
कुल (11) अक्षर हैं और (B,I) दो-दो बार आते हैं, इसलिए संख्या \(\frac{11!}{2!,2!}\) है। परीक्षा में हर repeated letter के factorial से अलग-अलग भाग दें। / There are (11) letters, with (B) and (I) repeated twice, so the count is \(\frac{11!}{2!,2!}\). Exam tip: divide by the factorial of each repeated letter.
कुल (8!) से सभी (5) स्वरों को एक खंड मानकर \(4!\times5!\) घटाएं। परीक्षा में not all together का अर्थ सभी एक ही खंड में नहीं है। / Subtract the cases where all (5) vowels form one block, \(4!\times5!\), from total (8!). Exam tip: not all together means not in one single block.
स्वर (U,E) को एक खंड मानें; (5) वस्तुओं में (S) दो और (C) दो हैं, इसलिए \(\frac{5!}{2!,2!}\times2!\) मिलता है। परीक्षा में स्वर-खंड के अंदरूनी क्रम को अलग गिनें। / Treat vowels (U,E) as one block; among (5) objects, (S) and (C) repeat twice, giving \(\frac{5!}{2!,2!}\times2!\). Exam tip: count the internal order of the vowel block separately.
(MM) को एक खंड मानें; अब (10) वस्तुओं में (A) और (T) दो-दो बार हैं, इसलिए संख्या \(\frac{10!}{2!,2!}\) है। परीक्षा में खंड बनाने के बाद शेष पुनरावृत्ति न भूलें। / Treat (MM) as one block; now there are (10) objects with (A) and (T) repeated twice, so the count is \(\frac{10!}{2!,2!}\). Exam tip: after blocking, do not forget remaining repetitions.
(TT) को एक खंड मानने पर (8) वस्तुएं मिलती हैं जिनमें (M), (E) और (T)-खंड जैसी पुनरावृत्तियां संभलती हैं, संख्या \(\frac{8!}{2!,2!}\) है। परीक्षा में पहले खंड बनाकर फिर समान अक्षर देखें। / Treat (TT) as one block, giving (8) objects with (M) and (E) repeated, so the count is \(\frac{8!}{2!,2!}\). Exam tip: form the block first, then handle repetitions.
कुल (7) अक्षर हैं और (R) दो बार आता है, इसलिए संख्या \(\frac{7!}{2!}\) है। परीक्षा में समान अक्षरों के फैक्टोरियल से भाग दें। / There are (7) letters and (R) repeats twice, so the count is \(\frac{7!}{2!}\). Exam tip: divide by factorials of repeated letters.
(12) अक्षरों में (E) चार, (N) तीन और (D) दो बार हैं। इसलिए \(\frac{12!}{4!3!2!}=1663200\) है। / There are (12) letters with (E) four times, (N) three times and (D) twice. Hence \(\frac{12!}{4!3!2!}=1663200\).
(8) अक्षरों में (S) चार और (A) दो बार हैं। इसलिए \(\frac{8!}{4!2!}=840\) व्यवस्थाएं होंगी। / There are (8) letters with (S) four times and (A) twice. Hence \(\frac{8!}{4!2!}=840\) arrangements are possible.
(11) अक्षरों में (T) दो बार है और बाकी अलग हैं। इसलिए \(\frac{11!}{2!}=19958400\) है। / There are (11) letters with (T) repeated twice and all others distinct. Hence \(\frac{11!}{2!}=19958400\).
(11) अक्षरों में (B) दो और (I) दो बार हैं। इसलिए \(\frac{11!}{2!2!}=9979200\) व्यवस्थाएं होंगी। / There are (11) letters with (B) twice and (I) twice. Hence \(\frac{11!}{2!2!}=9979200\) arrangements are possible.
(11) अक्षरों में (E) तीन, (N) तीन, (G) दो और (I) दो बार हैं। संख्या \(\frac{11!}{3!3!2!2!}=277200\) है। / There are (11) letters with (E) three times, (N) three times, (G) twice and (I) twice. The number is \(\frac{11!}{3!3!2!2!}=277200\).
(10) अक्षरों में (S) तीन, (T) तीन और (I) दो बार है। इसलिए \(\frac{10!}{3!3!2!}=50400\) है। / There are (10) letters with (S) three times, (T) three times and (I) twice. Hence \(\frac{10!}{3!3!2!}=50400\).
(9) अक्षरों में (M,T,E) दो-दो बार हैं, इसलिए \(\frac{9!}{2!2!2!}=45360\)। परीक्षा में हर repeated letter का factorial हर में रखें। / There are (9) letters with (M,T,E) each repeated twice, so \(\frac{9!}{2!2!2!}=45360\). In exams, put each repeated letter factorial in the denominator.
(5) स्वरों को एक ब्लॉक मानकर \(4!\cdot5!=2880\) व्यवस्थाएं मिलती हैं। परीक्षा में साथ रहने की शर्त में ब्लॉक विधि लगाएं। / Treat the (5) vowels as one block to get \(4!\cdot5!=2880\) arrangements. In exams, use the block method for together conditions.
(11) अक्षरों में (M,A,T) दो-दो बार आते हैं, इसलिए \(\frac{11!}{2!2!2!}=4989600\)। परीक्षा में सभी repeated letters के factorial से भाग दें। / There are (11) letters with (M,A,T) each repeated twice, so \(\frac{11!}{2!2!2!}=4989600\). In exams, divide by factorials of all repeated letters.
(7) अक्षरों में (L) दो बार और (O) दो बार है। इसलिए \(\frac{7!}{2!2!}=1260\) व्यवस्थाएं होंगी। / There are (7) letters with (L) twice and (O) twice. Hence \(\frac{7!}{2!2!}=1260\) arrangements are possible.
(11) अक्षरों में (I) चार, (S) चार और (P) दो बार हैं। इसलिए संख्या \(\frac{11!}{4!4!2!}=34650\) है। / There are (11) letters with (I) four times, (S) four times and (P) twice. Hence the number is \(\frac{11!}{4!4!2!}=34650\).
