Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
हर स्थान पर उससे छोटे उपलब्ध अक्षरों से बनने वाली व्यवस्थाएं जोड़कर अंत में (1) जोड़ते हैं। रैंक में दोहराए अक्षरों की गिनती सावधानी से करें। / Add arrangements formed by smaller available letters at each position, then add (1). In rank problems, handle repeated letters carefully.
इसमें (E) तीन बार और (N) दो बार है, इसलिए संख्या (8!/(3!2!)) है। दोहराए अक्षरों से हमेशा भाग दें। / Here (E) is repeated three times and (N) twice, so the count is (8!/(3!2!)). Always divide by repeated letters.
कुल व्यवस्थाएं (7!/(3!2!)) हैं और स्वर साथ होने पर (120) व्यवस्थाएं हैं। न-साथ के लिए कुल में से साथ वाली गिनती घटाएं। / The total arrangements are (7!/(3!2!)), and vowel-together cases are (120). For not-together cases, subtract together cases from total.
(11) अक्षरों में (I,N,A) दो-दो बार हैं, इसलिए संख्या (11!/(2!2!2!)) है। बड़े शब्दों में दोहराए अक्षर अलग से नोट करें। / There are (11) letters with (I,N,A) each repeated twice, so the count is (11!/(2!2!2!)). In long words, note repeated letters separately.
(8) अक्षरों में (C,L,U) दो-दो बार हैं, इसलिए संख्या (8!/(2!2!2!)) है। आवृत्तियों को पहचानना मुख्य कदम है। / There are (8) letters with (C,L,U) each repeated twice, so the count is (8!/(2!2!2!)). Identifying repetitions is the key step.
(10) अक्षरों में (S) तीन बार, (T) तीन बार और (I) दो बार है, इसलिए संख्या (10!/(3!3!2!)) है। बड़े शब्दों में आवृत्ति तालिका बनाएं। / There are (10) letters with (S) three times, (T) three times and (I) twice, so the count is (10!/(3!3!2!)). For long words, make a frequency table.
कुल (6!/2!) में से (O) साथ वाली (5!) व्यवस्थाएं घटाएं। न-साथ वाली शर्त में कुल से साथ वाली व्यवस्थाएं घटाएं। / Subtract the together cases (5!) from the total (6!/2!). For not-together conditions, subtract together arrangements from total.
दोनों (L) को एक खंड मानने पर (6) इकाइयां हैं और (O) दो बार है, इसलिए (6!/2!) है। साथ वाली शर्त में खंड विधि लगाएं। / Treat the two (L)'s as one block, giving (6) units with (O) repeated twice, so the count is (6!/2!). Use the block method for together conditions.
(7) अक्षरों में (L) और (O) दो-दो बार हैं, इसलिए संख्या (7!/(2!2!)) है। समान अक्षर हर बार अलग वस्तु नहीं माने जाते। / There are (7) letters with (L) and (O) each repeated twice, so the count is (7!/(2!2!)). Repeated letters are not treated as distinct objects.
कुल (9) अक्षरों में (M,T,E) दो-दो बार हैं, इसलिए संख्या (9!/(2!2!2!)) है। कठिन शब्दों में अक्षरों की गिनती पहले लिखें। / There are (9) letters with (M,T,E) each repeated twice, so the count is (9!/(2!2!2!)). For difficult words, list letter counts first.
कुल (6) अक्षरों में (S) चार बार है, इसलिए संख्या (6!/4!) है। परीक्षा में समान अक्षरों से भाग देना न भूलें। / There are (6) letters with (S) repeated four times, so the number is (6!/4!). In exams, do not forget to divide by repeated letters.
चार (S) को एक ब्लॉक मानें, तो (8) इकाइयों में (I) चार और (P) दो बार हैं। संख्या \(\frac{8!}{4!2!}=840\) है। / Treat the four (S)'s as one block, giving (8) units with (I) four times and (P) twice. The number is \(\frac{8!}{4!2!}=840\).
(12) अक्षरों में (E) चार, (N) तीन और (D) दो बार हैं। इसलिए \(\frac{12!}{4!3!2!}=1663200\) है। / There are (12) letters with (E) four times, (N) three times and (D) twice. Hence \(\frac{12!}{4!3!2!}=1663200\).
(8) अक्षरों में (S) चार और (A) दो बार हैं। इसलिए \(\frac{8!}{4!2!}=840\) व्यवस्थाएं होंगी। / There are (8) letters with (S) four times and (A) twice. Hence \(\frac{8!}{4!2!}=840\) arrangements are possible.
(11) अक्षरों में (T) दो बार है और बाकी अलग हैं। इसलिए \(\frac{11!}{2!}=19958400\) है। / There are (11) letters with (T) repeated twice and all others distinct. Hence \(\frac{11!}{2!}=19958400\).
(11) अक्षरों में (B) दो और (I) दो बार हैं। इसलिए \(\frac{11!}{2!2!}=9979200\) व्यवस्थाएं होंगी। / There are (11) letters with (B) twice and (I) twice. Hence \(\frac{11!}{2!2!}=9979200\) arrangements are possible.
(11) अक्षरों में (E) तीन, (N) तीन, (G) दो और (I) दो बार हैं। संख्या \(\frac{11!}{3!3!2!2!}=277200\) है। / There are (11) letters with (E) three times, (N) three times, (G) twice and (I) twice. The number is \(\frac{11!}{3!3!2!2!}=277200\).
(10) अक्षरों में (S) तीन, (T) तीन और (I) दो बार है। इसलिए \(\frac{10!}{3!3!2!}=50400\) है। / There are (10) letters with (S) three times, (T) three times and (I) twice. Hence \(\frac{10!}{3!3!2!}=50400\).
(9) अक्षरों में (M,T,E) दो-दो बार हैं, इसलिए \(\frac{9!}{2!2!2!}=45360\)। परीक्षा में हर repeated letter का factorial हर में रखें। / There are (9) letters with (M,T,E) each repeated twice, so \(\frac{9!}{2!2!2!}=45360\). In exams, put each repeated letter factorial in the denominator.
दो (N) को एक ब्लॉक मानें तो इकाइयां (NN,B,A,A,A) हैं। संख्या \(\frac{5!}{3!}=20\) होगी। / Treat the two (N)'s as one block, giving units (NN,B,A,A,A). The number is \(\frac{5!}{3!}=20\).
पहले बिना (R) के अक्षरों की \(\frac{5!}{2!}=60\) व्यवस्थाएं बनती हैं और (6) gaps में दो (R) \(\binom{6}{2}\) तरीकों से रखे जाते हैं। कुल \(60\cdot15=900\) है। / First arrange the non-(R) letters in \(\frac{5!}{2!}=60\) ways and place two (R)'s in \(\binom{6}{2}\) gaps. The total is \(60\cdot15=900\).
(11) अक्षरों में (M,A,T) दो-दो बार आते हैं, इसलिए \(\frac{11!}{2!2!2!}=4989600\)। परीक्षा में सभी repeated letters के factorial से भाग दें। / There are (11) letters with (M,A,T) each repeated twice, so \(\frac{11!}{2!2!2!}=4989600\). In exams, divide by factorials of all repeated letters.
(7) अक्षरों में (L) दो बार और (O) दो बार है। इसलिए \(\frac{7!}{2!2!}=1260\) व्यवस्थाएं होंगी। / There are (7) letters with (L) twice and (O) twice. Hence \(\frac{7!}{2!2!}=1260\) arrangements are possible.
(11) अक्षरों में (I) चार, (S) चार और (P) दो बार हैं। इसलिए संख्या \(\frac{11!}{4!4!2!}=34650\) है। / There are (11) letters with (I) four times, (S) four times and (P) twice. Hence the number is \(\frac{11!}{4!4!2!}=34650\).
(7) अक्षरों में (A) दो बार है, इसलिए \(\frac{7!}{2!}=2520\)। परीक्षा में repeated letters से भाग देना जरूरी है। / There are (7) letters with (A) repeated twice, so \(\frac{7!}{2!}=2520\). In exams, divide by repeated letters.
दो समूह (2) बार समान हैं, इसलिए संख्या \(\frac{9!}{2!2!}=90720\) है। परीक्षा में हर repeated group का factorial हर में रखें। / Two groups are repeated (2) times each, so the number is \(\frac{9!}{2!2!}=90720\). In exams, put each repeated group factorial in the denominator.
कुल अक्षर (7) हैं और एक अक्षर (2) बार समान है, इसलिए \(\frac{7!}{2!}=2520\)। परीक्षा में repeated letter को ध्यान से गिनें। / There are (7) letters and one letter is repeated (2) times, so \(\frac{7!}{2!}=2520\). In exams, count repeated letters carefully.
एक अक्षर (2) बार समान है, इसलिए संख्या \(\frac{8!}{2!}=20160\) होगी। परीक्षा में समान अक्षरों से भाग दें। / One letter is repeated (2) times, so the number is \(\frac{8!}{2!}=20160\). In exams, divide by factorials of repeated letters.
(9) अक्षरों में (2) अक्षर दो-दो बार आते हैं, इसलिए \(\frac{9!}{2!2!}=90720\); सही गणना में repeated letters को ठीक गिनना जरूरी है। / There are (9) letters with two different letters repeated twice, so \(\frac{9!}{2!2!}=90720\). In exams, accurate repeated-letter counting is essential.
(6) अक्षरों में (2) समान हैं, इसलिए \(\frac{6!}{2!}=360\)। परीक्षा में repeated letter को denominator में रखें। / There are (6) letters with (2) identical letters, so \(\frac{6!}{2!}=360\). In exams, put the repeated letter factorial in the denominator.
