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A. वे संरचना खोजने में मदद करती हैं और सुधार आसान बनाती हैं/They help find structure and make correction easier
Explanation
Simple Explanation
हल्की खोज रेखाएं प्रक्रिया का भाग हैं। परीक्षा में प्रारंभिक स्केच को योजना मानें। / Light searching lines are part of the process. Exam tip: treat initial sketch as planning.
B. रचना का दृश्य केंद्र कमजोर हो सकता है/The visual focus of composition may become weak
Explanation
Simple Explanation
बाहरी दिशा वाली रेखाएं ध्यान को मुख्य विषय से हटा सकती हैं। परीक्षा में दृष्टि मार्ग को रचना नियंत्रण से जोड़ें। / Outward lines can move attention away from the subject. Exam tip: connect visual path with compositional control.
A. मुख्य आकृति की ओर लौटती घुमावदार मार्ग रेखाएं/Curved path lines returning to the main figure
Explanation
Simple Explanation
लौटती रेखाएं दृष्टि को मुख्य आकृति पर बनाए रखती हैं। परीक्षा में दृश्य मार्ग का चक्र समझें। / Returning lines keep the gaze on the main figure. In exams understand the cycle of visual path.
बार बार अभ्यास से रेखा नियंत्रित होती है। परीक्षा में line practice का उद्देश्य control लिखें। / Repeated practice improves control of line. Exam tip: write control as purpose of line practice.
A. सहायक तत्वों की दृश्य तीव्रता नियंत्रण/Control of visual intensity of supporting elements
Explanation
Simple Explanation
सहायक तत्वों को केंद्र से कम सक्रिय रखना चाहिए। परीक्षा में supporting detail control देखें। / Supporting elements should be less active than focus. Exam tip: observe supporting detail control.
B. पृष्ठभूमि का दृश्य भार मुख्य विषय से अधिक है/Background has more visual weight than the main subject
Explanation
Simple Explanation
अधिक सक्रिय पृष्ठभूमि केंद्र बिंदु से ध्यान हटाती है। परीक्षा में पृष्ठभूमि को सहायक रखना याद रखें। / A very active background takes attention away from focal point. Exam tip: keep background supportive.
B. सतह का भ्रम बनाने के लिए/To create illusion of surface
Explanation
Simple Explanation
दोहराए चिह्न सतह की अनुभूति बनाते हैं। परीक्षा में marks से texture effect समझें। / Repeated marks create surface feeling. Exam tip: understand texture effect through marks.
C. दोनों में दोहराए चिह्न हो सकते हैं/Both can have repeated marks
Explanation
Simple Explanation
दोहराए चिह्न सतह प्रभाव और पैटर्न दोनों बना सकते हैं। परीक्षा में texture pattern relation समझें। / Repeated marks can create both surface effect and pattern. Exam tip: understand texture pattern relation.
दोहराव रचना में लय बनाता है। परीक्षा में repeated shapes को rhythm से जोड़ें। / Repetition creates rhythm in a composition. Exam tip: connect repeated shapes with rhythm.
दोहराई रेखाएं कपड़े में पैटर्न और लय देती हैं। परीक्षा में वस्त्र डिजाइन को पुनरावृत्ति से जोड़ें। / Repeated lines create pattern and rhythm in cloth. Exam tip: connect textile design with repetition.
वक्र रेखाओं की पुनरावृत्ति प्रवाहमय लय बनाती है। परीक्षा में curved repetition को movement से जोड़ें। / Repetition of curved lines creates flowing rhythm. Exam tip: connect curved repetition with movement.
अत्यधिक दोहराव से रचना एकरस लग सकती है। परीक्षा में unity और variety दोनों का संतुलन याद रखें। / Too much repetition can make a composition monotonous. Exam tip: remember balance of unity and variety.
दोहराव से आकृति क्रम या पैटर्न बनता है। परीक्षा में दोहराव को सजावटी प्रभाव से जोड़ें। / Repetition creates a pattern. Exam tip: connect repetition with decorative effect.
C. भारी गाद निक्षेप और कम ढाल/Heavy silt deposition and low gradient
Explanation
Simple Explanation
कोसी भारी गाद और कम ढाल के कारण धारा बदलने के लिए जानी जाती है। परीक्षा में कोसी को बिहार की बाढ़ों से जोड़ें। / Kosi is known for channel shifting due to heavy silt and low gradient. For exams connect Kosi with floods in Bihar.
C. अधिक गाद निक्षेप और धारा परिवर्तन/Heavy silt deposition and channel shifting
Explanation
Simple Explanation
ब्रह्मपुत्र अधिक गाद लाती है और धारा बदल सकती है जिससे नदी द्वीप बनते हैं। परीक्षा में माजुली याद रखें। / Brahmaputra brings heavy silt and can shift channels which forms river islands. For exams remember Majuli.
A. नदी बाढ़ के दौरान नया जलोढ़ निक्षेप जमा होता है/New alluvium is deposited during river floods
Explanation
Simple Explanation
खादर नदी की नई बाढ़ पट्टी है जहां ताजा जलोढ़ मिट्टी आती है। परीक्षा में खादर को अधिक उपजाऊ याद रखें। / Khadar is the new flood belt of rivers where fresh alluvium arrives. For exams remember Khadar as more fertile.
A. नदी की आवर्ती बाढ़ और निक्षेपण/Recurring river floods and deposition
Explanation
Simple Explanation
खादर नदी बाढ़ से नई जलोढ़ मिट्टी प्राप्त करता है। परीक्षा में इसे अधिक उपजाऊ बाढ़ मैदान मानें। / Khadar receives new alluvium from river floods. For exams treat it as a more fertile floodplain.
A. हिमालय और प्रायद्वीपीय पठार/Himalayas and Peninsular Plateau
Explanation
Simple Explanation
हिमालय युवा वलित पर्वत हैं और प्रायद्वीपीय पठार प्राचीन स्थिर भूभाग है। परीक्षा में इनके अंतर पर विशेष ध्यान दें। / The Himalayas are young fold mountains and the Peninsular Plateau is an ancient stable landmass. For exams focus on their differences.
B. अधिक जल गाद और बाढ़ प्रवृत्ति/High water silt and flood tendency
Explanation
Simple Explanation
ब्रह्मपुत्र में जल और गाद का प्रवाह अधिक होने से नदी मार्ग बदल सकता है। परीक्षा में असम घाटी और बाढ़ याद रखें। / High water and silt load in Brahmaputra can change the river course. For exams remember Assam Valley and floods.
D. कि बड़ी शक्तियों की राजनीति कई बार फैसलों को सीमित कर देती है/That great power politics often limits decisions
Explanation
Simple Explanation
संयुक्त राष्ट्र की प्रभावशीलता कई बार बड़ी शक्तियों की सहमति पर निर्भर हो जाती है। परीक्षा में इसे वीटो और सुरक्षा परिषद से जोड़ें। / The effectiveness of the UN often depends on agreement among major powers. Exam tip: link this with veto and the Security Council.
B. संवैधानिक शासन और राष्ट्रीयता का विस्तार/Expansion of constitutional rule and nationalism
Explanation
Simple Explanation
अठारह सौ अड़तालीस में उदारवाद राष्ट्रवाद और सामाजिक मांगें साथ दिखीं। परीक्षा में इसे यूरोप का जनविद्रोही वर्ष याद रखें। / In 1848 liberalism nationalism and social demands appeared together. Exam tip: remember it as Europe's year of popular uprisings.
A. क्योंकि आर्थिक असमानता राजनीतिक दमन और विचारधारा कई समाजों में असंतोष बनाते हैं/Because economic inequality political repression and ideology create discontent in many societies
Explanation
Simple Explanation
कई क्रांतियों में अलग संदर्भ होते हुए भी असंतोष के प्रकार समान हो सकते हैं। परीक्षा में समानता और अंतर दोनों लिखें। / Many revolutions have different contexts yet similar types of discontent. For exams write both similarities and differences.
A. सैनिकों और परिवारों का संपर्क बनाए रखने के लिए/To keep soldiers and families connected
Explanation
Simple Explanation
पत्रों से सैनिकों और घर के लोगों के बीच भावनात्मक संपर्क बना रहता था। परीक्षा में युद्ध का मानवीय पक्ष याद रखें। / Letters kept emotional contact between soldiers and people at home. For exams remember the human side of war.
अमरना पत्र अक्कादी भाषा और कीलाक्षर में राजनयिक पत्राचार हैं। परीक्षा में राजनयिक भाषा को पहचानें। / The Amarna Letters are diplomatic correspondence in Akkadian cuneiform. For exams identify diplomatic language.
अमरना पत्र मिस्र और पश्चिम एशिया के राजनयिक संबंध दिखाते हैं। परीक्षा में इन्हें अंतरराज्यीय संपर्क का प्रमाण मानें। / The Amarna Letters show diplomatic relations between Egypt and Western Asia. For exams treat them as evidence of interstate contacts.
B. मिस्र की कूटनीति और विदेशी संबंध/Egyptian diplomacy and foreign relations
Explanation
Simple Explanation
अमरना पत्र मिस्र और पश्चिम एशिया के शासकों के बीच कूटनीतिक पत्राचार दिखाते हैं। परीक्षा में इन्हें अंतरराष्ट्रीय संबंधों के प्रमाण के रूप में याद रखें। / The Amarna Letters show diplomatic correspondence between Egypt and West Asian rulers. Remember them as evidence of international relations.
A. मंदिर विनाश और पुनर्स्थापन की ऐतिहासिक प्रक्रिया/Historical process of temple destruction and restoration
Explanation
Simple Explanation
सोमनाथ मंदिर कई ऐतिहासिक आक्रमणों और पुनर्निर्माणों से जुड़ा है। परीक्षा में स्मारक की दीर्घ ऐतिहासिक परतें समझें। / Somnath Temple is linked with many historical attacks and reconstructions. For exams understand long historical layers of a monument.
A. आक्रमणों और पुनर्निर्माणों के कारण/Because of invasions and reconstructions
Explanation
Simple Explanation
सोमनाथ मंदिर आक्रमणों और पुनर्निर्माणों के इतिहास के कारण प्रसिद्ध है। परीक्षा में इसे गुजरात और ज्योतिर्लिंग से जोड़ें। / Somnath Temple is famous due to its history of invasions and reconstructions. In exams connect it with Gujarat and Jyotirlinga.
A. हड़प्पाई प्रतीकवाद और व्यापारिक पहचान/Harappan symbolism and trade identity
Explanation
Simple Explanation
एक सींग वाला पशु हड़प्पाई मुहरों का प्रमुख प्रतीक है। परीक्षा में प्रतीकों को निश्चित देवता मानने से बचें। / The unicorn animal is a major symbol on Harappan seals. For exams, avoid treating symbols as certain deities without proof.
A. साम्राज्य में साझा नैतिक संदेश फैलाना/Spreading a common moral message across the empire
Explanation
Simple Explanation
बार बार धम्म संदेश देना विविध साम्राज्य में नैतिक एकता की कोशिश थी। परीक्षा में अभिलेखों को प्रशासनिक संचार मानें। / Repeated Dhamma messages were an attempt at moral unity in a diverse empire. For exams, treat inscriptions as administrative communication.
\(5^4\) का अर्थ (5) को (4) बार गुणा करना है। घात बार-बार गुणा को दिखाती है। / \(5^4\) means multiplying (5) by itself (4) times. An exponent shows repeated multiplication.
\(4^3\) का अर्थ (4) को (3) बार गुणा करना है। घात बार-बार गुणा को दिखाती है। / \(4^3\) means multiplying (4) by itself (3) times. An exponent shows repeated multiplication.
\(2^5\) का अर्थ (2) को (5) बार गुणा करना है। घात बार-बार गुणा को दिखाती है। / \(2^5\) means multiplying (2) by itself (5) times. An exponent shows repeated multiplication.
(\(x-\sqrt{17}\)2=0), इसलिए दोहराया हुआ मूल \(\sqrt{17}\) है। परीक्षा में ((x-a)2=0) से (x=a) मिलता है। / (\(x-\sqrt{17}\)2=0), so the repeated root is \(\sqrt{17}\). In exams, ((x-a)2=0) gives (x=a).
(\(x+\sqrt{13}\)2=0), इसलिए दोहराया हुआ मूल \(-\sqrt{13}\) है। परीक्षा में ((x+a)2=0) से (x=-a) मिलता है। / (\(x+\sqrt{13}\)2=0), so the repeated root is \(-\sqrt{13}\). In exams, ((x+a)2=0) gives (x=-a).
(\(x-\sqrt{11}\)2=0), इसलिए दोहराया हुआ मूल \(\sqrt{11}\) है। परीक्षा में ((x-a)2=0) से (x=a) मिलता है। / (\(x-\sqrt{11}\)2=0), so the repeated root is \(\sqrt{11}\). In exams, ((x-a)2=0) gives (x=a).
(\(x+\sqrt{7}\)2=0), इसलिए दोहराया हुआ मूल \(-\sqrt{7}\) है। परीक्षा में ((x+a)2=0) से (x=-a) मिलता है। / (\(x+\sqrt{7}\)2=0), so the repeated root is \(-\sqrt{7}\). In exams, ((x+a)2=0) gives (x=-a).
(\(x-\sqrt{5}\)2=0), इसलिए दोहराया हुआ मूल \(\sqrt{5}\) है। परीक्षा में ((x-a)2=0) से (x=a) मिलता है। / (\(x-\sqrt{5}\)2=0), so the repeated root is \(\sqrt{5}\). In exams, ((x-a)2=0) gives (x=a).
(\(x+\sqrt{3}\)2=0), इसलिए दोहराया हुआ मूल \(-\sqrt{3}\) है। परीक्षा में ((x+a)2=0) से (x=-a) मिलता है। / (\(x+\sqrt{3}\)2=0), so the repeated root is \(-\sqrt{3}\). In exams, ((x+a)2=0) gives (x=-a).
((7x-3)2=0), इसलिए (7x-3=0) और \(x=\frac{3}{7}\) है। परीक्षा में वर्ग रूप के बाद रैखिक समीकरण हल करें। / ((7x-3)2=0), so (7x-3=0) and \(x=\frac{3}{7}\). In exams, solve the linear equation after square form.
((6x-5)2=0), इसलिए (6x-5=0) और \(x=\frac{5}{6}\) है। परीक्षा में दोहराए हुए मूल को सही भिन्न में लिखें। / ((6x-5)2=0), so (6x-5=0) and \(x=\frac{5}{6}\). In exams, write the repeated root as a correct fraction.
((5x-2)2=0), इसलिए (5x-2=0) और \(x=\frac{2}{5}\) है। परीक्षा में वर्ग रूप के बाद रैखिक समीकरण हल करें। / ((5x-2)2=0), so (5x-2=0) and \(x=\frac{2}{5}\). In exams, solve the linear equation after square form.
((4x-3)2=0), इसलिए (4x-3=0) और \(x=\frac{3}{4}\) है। परीक्षा में दोहराए हुए मूल को भी सही भिन्न में लिखें। / ((4x-3)2=0), so (4x-3=0) and \(x=\frac{3}{4}\). In exams, write the repeated root as a correct fraction.
((3x-5)2=0), इसलिए (3x-5=0) और \(x=\frac{5}{3}\) है। परीक्षा में वर्ग रूप के बाद रैखिक समीकरण हल करें। / ((3x-5)2=0), so (3x-5=0) and \(x=\frac{5}{3}\). In exams, solve the linear equation after square form.
((2x-3)2=0), इसलिए (2x-3=0) और \(x=\frac{3}{2}\) है। परीक्षा में दोहराए हुए मूल को भी सही मान से लिखें। / ((2x-3)2=0), so (2x-3=0) and \(x=\frac{3}{2}\). In exams, write the repeated root with the correct value.
((x+9)2=0), इसलिए दोहराया हुआ मूल (-9) है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग समीकरण में दोनों मूल समान होते हैं। / ((x+9)2=0), so the repeated root is (-9). In exams, a perfect square equation has equal roots.
((x+7)2=0), इसलिए दोहराया हुआ मूल (-7) है। परीक्षा में ((x+a)2=0) से (x=-a) मिलता है। / ((x+7)2=0), so the repeated root is (-7). In exams, ((x+a)2=0) gives (x=-a).
((x-6)2=0), इसलिए दोनों समान मूल (x=6) हैं। परीक्षा में पूर्ण वर्ग समीकरण में दोहराया हुआ मूल मिलता है। / ((x-6)2=0), so both equal roots are (x=6). In exams, a perfect square equation gives a repeated root.
(x-2-6x+9=(x-3)2), इसलिए दोहराया हुआ मूल (3) है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग में दोनों मूल समान होते हैं। / (x-2-6x+9=(x-3)2), so the repeated root is (3). In exams, a perfect square gives equal roots.
यह ((x-11)2=0) है इसलिए दोनों मूल (11) हैं। योग (22) और गुणनफल (121) होगा। / It is ((x-11)2=0), so both roots are (11). The sum is (22) and the product is (121).
समीकरण \(x^2-20x+100=0\) है जो ((x-10)2=0) बनता है। इसलिए दोनों मूल (10) हैं। / The equation is \(x^2-20x+100=0\), which becomes ((x-10)2=0). Therefore both roots are (10).
यह ((x-9)2=0) है इसलिए दोनों मूल (9) हैं। योग (18) और गुणनफल (81) होगा। / It is ((x-9)2=0), so both roots are (9). The sum is (18) and the product is (81).
समीकरण \(x^2-16x+64=0\) है जो ((x-8)2=0) बनता है। इसलिए दोनों मूल (8) हैं। / The equation is \(x^2-16x+64=0\), which becomes ((x-8)2=0). Therefore both roots are (8).
यह ((x-7)2=0) है इसलिए दोनों मूल (7) हैं। योग (14) और गुणनफल (49) होगा। / It is ((x-7)2=0), so both roots are (7). The sum is (14) and the product is (49).
समीकरण \(x^2-10x+25=0\) है जो ((x-5)2=0) बनता है। इसलिए दोनों मूल (5) हैं। / The equation is \(x^2-10x+25=0\), which becomes ((x-5)2=0). Therefore both roots are (5).
(x-2-10x+25=(x-5)2) इसलिए दोहराया मूल (5) है। पूर्ण वर्ग पहचानना समय बचाता है। / (x-2-10x+25=(x-5)2) so the repeated root is (5). Recognising a perfect square saves time.
(x-2+6x+9=(x+3)2) इसलिए दोनों मूल (-3) हैं। पूर्ण वर्ग में मूल का चिन्ह उल्टा होता है। / (x-2+6x+9=(x+3)2) so both roots are (-3). In a perfect square the root sign is opposite.
\(5x^2=0\) से \(x^2=0\) मिलता है इसलिए मूल (0) दो बार आता है। शून्य मूल में भी गुणनखंड देखें। / From \(5x^2=0\) we get \(x^2=0\) so the root (0) occurs twice. For a zero root also check the factor.
(x-2+2x+1=(x+1)2) इसलिए दोहराया मूल (-1) है। पूर्ण वर्ग को पहचानना उपयोगी है। / (x-2+2x+1=(x+1)2) so the repeated root is (-1). Recognising a perfect square is useful.
(p(x)=\(x+\sqrt{5}\)2), इसलिए शून्यक \(-\sqrt{5}\) दो बार है। पूर्ण वर्ग रूप से दोहराया शून्यक मिलता है। / (p(x)=\(x+\sqrt{5}\)2), so the zero is \(-\sqrt{5}\) twice. A perfect-square form gives a repeated zero.
दोनों शून्यक \(\sqrt{3}\) हैं, इसलिए योग \(2\sqrt{3}\) है। \(x^2+kx+3\) में योग (-k) है, अतः \(k=-2\sqrt{3}\)। / Both zeroes are \(\sqrt{3}\), so the sum is \(2\sqrt{3}\). In \(x^2+kx+3\), the sum is (-k), hence \(k=-2\sqrt{3}\).
क्योंकि (\(2\sqrt{2}\)2=8) और बीच का पद \(-4\sqrt{2}x\) है। अतः यह पूर्ण वर्ग है। / Because (\(2\sqrt{2}\)2=8) and the middle term is \(-4\sqrt{2}x\). Hence it is a perfect square.
A. दोनों शून्यक \(\sqrt{5}\) हैं/Both zeroes are \(\sqrt{5}\)
Explanation
Simple Explanation
यह बहुपद (\(x-\sqrt{5}\)2) के बराबर है। अतः \(\sqrt{5}\) दोहरा शून्यक है। / This polynomial equals (\(x-\sqrt{5}\)2). Hence \(\sqrt{5}\) is a repeated zero.
दोहराए गुणनखंड से समान शून्यक (-2) मिलता है। द्विघात परवलय ऐसे बिंदु पर सामान्यतः (x)-अक्ष को छूता है। / The repeated factor gives equal zero (-2). A quadratic parabola generally touches the (x)-axis at such a point.
दोहराए बिंदु समान (x)-मान देते हैं, इसलिए अलग शून्यक (-11) और (4) हैं। टिप: समान (x)-मान को एक बार गिनें। / Repeated points give the same (x)-values, so the distinct zeroes are (-11) and (4). Tip: count the same (x)-value once.
दोहराए बिंदु समान (x)-मान देते हैं, इसलिए अलग शून्यक (-7) और (2) हैं। टिप: समान (x)-मान को एक बार गिनें। / Repeated points give the same (x)-values, so the distinct zeroes are (-7) and (2). Tip: count the same (x)-value once.
((-5,0)) दोहराया गया है इसलिए अलग शून्यक (-5) और (4) हैं। टिप: समान (x)-मान को एक बार गिनें। / ((-5,0)) is repeated, so the distinct zeroes are (-5) and (4). Tip: count the same (x)-value once.
शून्यक (4) और (-7) हैं पर (-7) दोहराया गया है। टिप: अलग शून्यक में दोहराव को एक बार गिनें। / The zeroes are (4) and (-7), but (-7) is repeated. Tip: count repetition once for distinct zeroes.
((2,0)) दोहराया गया है, इसलिए अलग शून्यक (2) और (9) हैं। टिप: समान (x)-मान को एक बार गिनें। / ((2,0)) is repeated, so the distinct zeroes are (2) and (9). Tip: count the same (x)-value once.
शून्यक (2) और (-6) हैं, पर (-6) दोहराया गया है। टिप: अलग शून्यक में दोहराव एक बार गिनें। / The zeroes are (2) and (-6), but (-6) is repeated. Tip: count repetition once for distinct zeroes.
((1,0)) दोहराया गया है, इसलिए अलग शून्यक (1) और (4) हैं। टिप: समान (x)-मान को एक बार गिनें। / ((1,0)) is repeated, so the distinct zeroes are (1) and (4). Tip: count the same (x)-value once.
शून्यक (-1) और (4) हैं, पर (4) दोहराया गया है। टिप: अलग शून्यक में दोहराव न गिनें। / The zeroes are (-1) and (4), but (4) is repeated. Tip: do not count repetition in distinct zeroes.
शून्यक (-3) और (1) हैं, इसलिए दो अलग बिंदु मिलेंगे। टिप: दोहराए हुए शून्यक (1) को अलग गिनती में एक बार गिनें। / The zeroes are (-3) and (1), so there are two distinct meeting points. Tip: count the repeated zero (1) only once for distinct points.
दोनों में (x)-मान समान (3) है इसलिए अलग शून्यक एक है। टिप: दोहराए मान को अलग गिनती में एक बार लें। / Both have the same (x)-value (3), so there is one distinct zero. Tip: count a repeated value once for distinct count.
दोहराया (2) अलग शून्यक में एक बार गिना जाता है। टिप: अलग शून्यक में समान मान पुनः न लिखें। / The repeated (2) is counted once for distinct zeroes. Tip: do not rewrite the same value for distinct zeroes.
एक ही (x)-मान (4) दोहराया गया है इसलिए अलग शून्यक एक है। टिप: अलग शून्यक में दोहराव न गिनें। / The same (x)-value (4) is repeated, so there is one distinct zero. Tip: do not count repetition for distinct zeroes.
A. x-अक्ष को \(x=6\) पर स्पर्श करेगा/It will touch the x-axis at \(x=6\)
Explanation
Simple Explanation
यह बहुपद \(p(x)=(x-6)^2\) में शून्यक \(x=6\) की गुणाभाज्यता (multiplicity) 2 है — यानी वही शून्य दोहरा है। गुणाभाज्यता जोड़ी (even) होने पर ग्राफ आमतौर पर x-अक्ष को स्पर्श करता है और उससे पार नहीं होता (bounce)। इसलिए ग्राफ x-अक्ष को \(x=6\) पर स्पर्श करेगा। निकट विकल्पों का तर्क: C गलत है क्योंकि केवल एक ही शून्य है (दोहरा), B गलत है क्योंकि शून्य \(-6\) नहीं है, D गलत है क्योंकि \(x=6\) पर बहुपद शून्य देता है। परीक्षा टिप: शून्यक की multiplicity की parity देखें — सम multiplicity पर स्पर्श, विषम पर काटना। / The polynomial \(p(x)=(x-6)^2\) has the zero \(x=6\) with multiplicity 2 (a repeated root). When the multiplicity is even the graph touches the x-axis at that root and does not cross (it bounces). Hence the graph touches the x-axis at \(x=6\). Why others are wrong: C is incorrect because there is only one (repeated) root, B is wrong because the root is not \(-6\), D is wrong because the polynomial is zero at \(x=6\) so it does meet the axis. Exam tip: determine parity of the root's multiplicity — even means touch, odd means cross.
((x-3)2=0) से केवल (x=3) मिलता है और वर्ग के कारण स्पर्श होता है। टिप: बाहर का (2) शून्यक नहीं बदलता। / ((x-3)2=0) gives only (x=3), and the square causes touching. Tip: the outside (2) does not change the zero.
((x+1)2=0) से केवल (x=-1) मिलता है और यह दोहराया शून्यक है। टिप: वर्ग वाले कारक में स्पर्श की संभावना देखें। / ((x+1)2=0) gives only (x=-1), and it is a repeated zero. Tip: a squared factor often indicates touching.
दोहराया शून्यक होने पर अलग (x)-मान केवल (2) है। टिप: अलग शून्यक गिनते समय समान बिंदु दो बार न गिनें। / For a repeated zero the only distinct (x)-value is (2). Tip: do not count the same point twice for distinct zeroes.
किसी घनात्मक बहुपद (parabola) का शून्यक वह x-मूल (x-coordinate) है जहाँ वह x-अक्ष से मिलता है। यहाँ पर परवलय केवल बिंदु (-2,0) पर x-अक्ष को स्पर्श कर रही है, जिसका अर्थ है कि वही एकमात्र वास्तविक शून्यक है (मल्टीप्लिसिटी 2 — दोहरा शून्यक)। इसलिए शून्यक -2 है। विकल्प B और C गलत हैं क्योंकि वे दिए हुए बिंदु के x-निर्देशांक से मेल नहीं खाते; विकल्प D गलत है क्योंकि स्पर्श करने पर दो अलग वास्तविक शून्यक नहीं होते बल्कि एक दोहरा शून्यक होता है। परीक्षा टिप: यदि परवलय x-अक्ष को अपने शीर्ष पर स्पर्श करती है तो शून्यक सीधे शीर्ष के x-निर्देशांक के बराबर होता है। / The zero of a parabola is the x-coordinate where it meets the x-axis. Since the parabola meets (touches) the x-axis only at (-2,0), that x-value is the only real zero; touching means a repeated root (multiplicity 2) at x = -2. Thus the correct zero is -2. Options B and C are incorrect because their x-values do not match the given point; option D is incorrect because touching gives one repeated zero, not two distinct zeros. Exam tip: when a parabola touches the x-axis at its vertex, the x-coordinate of the vertex is the zero (a double root).
A. बार-बार सार्वजनिक प्रयोग से वह संघर्ष की पहचान बन जाता है/Through repeated public use, it becomes an identity of struggle
Step 1
Concept
प्रतीक का अर्थ उसके प्रयोग से मजबूत होता है। / A symbol’s meaning becomes stronger through its use.
Step 2
Why this answer is correct
आंदोलन में बार-बार दिखने वाला झंडा लोगों के संघर्ष और एकता की पहचान बन जाता है। / A flag repeatedly seen in a movement becomes an identity of people’s struggle and unity.
Step 3
Exam Tip
प्रतीक को उसके संदर्भ और उपयोग से समझें। / Understand a symbol through its context and use.
A. वह लोगों के संघर्ष और एकता की पहचान बन जाता है/It becomes an identity of people’s struggle and unity
Step 1
Concept
किसी प्रतीक का अर्थ उसके बार-बार सार्वजनिक प्रयोग से मजबूत होता है। / The meaning of a symbol becomes stronger through repeated public use.
Step 2
Why this answer is correct
झंडा जब आंदोलन में दिखता है, तो वह संघर्ष और एकता की पहचान बन जाता है। / When a flag appears in a movement, it becomes an identity of struggle and unity.
Step 3
Exam Tip
प्रतीकों के अर्थ को उनके उपयोग और संदर्भ से जोड़ें। / Link symbols with their use and context.
