Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
स्वरों को एक खंड मानकर बाहर (8!/(2!2!)) और भीतर (4!/2!) तरीके मिलते हैं। दोहराए अक्षरों को हर बार अलग न मानें। / Treat the vowels as one block, giving (8!/(2!2!)) outside and (4!/2!) inside. Do not treat repeated letters as distinct.
व्यंजनों के स्थान \(^{11}C_6\) तरीकों से चुनें और शेष (5) स्वरों को (5!) तरीकों से रखें। सापेक्ष क्रम निश्चित हो तो केवल स्थान चुनने होते हैं। / Choose consonant positions in \(^{11}C_6\) ways and arrange the (5) vowels in (5!) ways. When relative order is fixed, only positions are chosen.
(8) से विभाज्यता अंतिम (3) अंकों से तय होती है और पहले अंक में (0) नहीं आ सकता। ऐसे प्रश्नों में अंतिम (3) अंकों के मान्य क्रम पहले गिनें। / Divisibility by (8) is decided by the last (3) digits and the first digit cannot be (0). In such questions, count valid last (3)-digit endings first.
(A) को स्थिर करने पर (B) और (C) के लिए (A) के पास की (2) जगहें निषिद्ध हैं। पहले निषिद्ध स्थान हटाकर बाकी लोगों को व्यवस्थित करें। / After fixing (A), the (2) seats adjacent to (A) are forbidden for (B) and (C). Remove forbidden positions first and then arrange the rest.
कुल (11!/(4!4!2!)) व्यवस्थाओं में से (P) साथ वाली (10!/(4!4!)) व्यवस्थाएं घटाएं। न-साथ के लिए कुल में से साथ वाले केस घटाएं। / Subtract the together cases (10!/(4!4!)) from the total (11!/(4!4!2!)). For not-together cases, subtract the adjacent cases from the total.
सही पत्र \(^{7}C_2\) तरीकों से चुनें और बाकी (5) पत्रों का पूर्ण विस्थापन (44) है। ठीक सही की शर्त में शेष सभी गलत होने चाहिए। / Choose the correct letters in \(^{7}C_2\) ways and derange the remaining (5) letters in (44) ways. For exactly correct cases, all remaining objects must be wrong.
माला की संख्या ((8-1)!/2) होती है क्योंकि घुमाना और पलटना दोनों समान हैं। माला और गोल बैठक का अंतर याद रखें। / The number of necklaces is ((8-1)!/2) because both rotations and reflections are identical. Remember the difference between necklaces and circular seating.
तीनों अक्षरों को एक खंड मानने पर (7!) व्यवस्थाएं हैं और अंदर (3!-1) मान्य क्रम हैं। खंड की आंतरिक व्यवस्था अलग से गिनें। / Treat the three letters as one block, giving (7!) arrangements, and inside it (3!-1) valid orders. Count the internal arrangements of the block separately.
अक्षरों की संख्या (2,3,4) लेकर स्थान, अक्षर और अंक अलग-अलग व्यवस्थित करें। मिश्रित कोड में पहले प्रकार-स्थान चुनना अच्छा रहता है। / Take the number of letters as (2,3,4), then arrange positions, letters and digits separately. In mixed codes, first choose the position types.
पहला अंक (5,6,7,8) में से और अंतिम अंक विषम होना चाहिए। सीमा और विषमता को केस बनाकर साथ गिनें। / The first digit must be one of (5,6,7,8), and the last digit must be odd. Count the bound and oddness together by cases.
पहले गैर-(E) अक्षरों को (6!/(2!2!)) तरीकों से रखें और (7) अंतरालों में से (4) में (E) रखें। समान अक्षर हों तो अंतराल चयन काफी होता है। / First arrange the non-(E) letters in (6!/(2!2!)) ways and place (E)'s in (4) of the (7) gaps. With identical letters, gap selection is enough.
(A) को स्थिर करने पर (B) के लिए (2) स्थान मिलते हैं और बाकी (6) लोग (6!) तरीकों से बैठते हैं। गोल दूरी में एक व्यक्ति को स्थिर करना सबसे आसान है। / Fix (A), then (B) has (2) possible positions and the remaining (6) people arrange in (6!) ways. For circular gaps, fixing one person is easiest.
कुल (9!) व्यवस्थाओं में (1,2,3) के (3!) और (4,5) के (2!) क्रम समान रूप से संभव हैं। इसलिए (9!/(3!2!)) लें। / In the total (9!) arrangements, the (3!) orders of (1,2,3) and (2!) orders of (4,5) are equally likely. So use (9!/(3!2!)).
हर स्थान पर उससे छोटे उपलब्ध अक्षरों से बनने वाली व्यवस्थाएं जोड़कर अंत में (1) जोड़ते हैं। रैंक में दोहराए अक्षरों की गिनती ध्यान से करें। / Add arrangements formed by smaller available letters at each position, then add (1). In rank problems, handle repeated letters carefully.
बाकी (7) लोगों को (7!) तरीकों से बैठाकर (8) अंतरालों में (A,B,C) को \(^{8}P_3\) तरीकों से रखें। न-साथ की शर्त में अंतराल विधि शक्तिशाली होती है। / Arrange the other (7) people in (7!) ways and place (A,B,C) in the (8) gaps in \(^{8}P_3\) ways. The gap method is powerful for non-adjacent conditions.
स्वरों के (5) स्थान \(^{13}C_5\) तरीकों से चुनें और व्यंजनों को (8!/2!) तरीकों से रखें। स्वर-क्रम निश्चित होने पर उनके अलग क्रम नहीं गिने जाते। / Choose the (5) vowel positions in \(^{13}C_5\) ways and arrange consonants in (8!/2!) ways. When vowel order is fixed, do not count their separate orders.
दो विशेष पुरुष सिरों पर (2!) तरीकों से, बाकी पुरुष (4!) तरीकों से और महिलाएं (5) अंदरूनी अंतरालों में (5!) तरीकों से बैठती हैं। पहले सिरों की शर्त लगाएं। / The two specified men occupy the ends in (2!) ways, the remaining men in (4!) ways, and women in the (5) internal gaps in (5!) ways. Apply end restrictions first.
पहले (5) व्यंजनों को (5!) तरीकों से रखें और (6) अंतरालों में से (3) में स्वरों को \(^{6}P_3\) तरीकों से रखें। स्वर अलग हों तो स्थान और क्रम दोनों गिनें। / Arrange the (5) consonants in (5!) ways and place the vowels in (3) of the (6) gaps in \(^{6}P_3\) ways. If vowels are distinct, count both positions and order.
(A) पहले (B) से आने वाली व्यवस्थाएं (9!/2) हैं और साथ में (A) पहले (B) हो तो (8!) घटेगा। क्रम और साथ की शर्त अलग-अलग संभालें। / Arrangements with (A) before (B) are (9!/2), and adjacent cases with (A) before (B) are (8!). Handle order and adjacency separately.
कुल (8!/2!) व्यवस्थाओं में से (A) साथ वाली (7!) व्यवस्थाएं घटाएं। समान अक्षरों के न-साथ प्रश्न में घटाने की विधि सरल है। / Subtract the adjacent (A) cases (7!) from the total (8!/2!). For non-adjacent identical letters, subtraction is simple.
संख्या सम होनी चाहिए और अंकों का योग (3) से विभाज्य होना चाहिए। (6) से विभाज्यता में (2) और (3) दोनों नियम साथ लगते हैं। / The number must be even and its digit sum must be divisible by (3). Divisibility by (6) needs both the (2) and (3) tests.
पहले लड़कों को गोल मेज पर (6!) तरीकों से बैठाएं और बने (7) अंतरालों में (5) लड़कियां \(^{7}P_5\) तरीकों से बैठेंगी। गोल अंतराल में पहले एक समूह व्यवस्थित करें। / Arrange the boys around the circle in (6!) ways and place (5) girls in the (7) gaps in \(^{7}P_5\) ways. For circular gaps, arrange one group first.
एक पुस्तक को स्थिर करें तो दूसरी के लिए (5) में से (1) विपरीत स्थान निषिद्ध है और बाकी (4!) तरीके हैं। आमने-सामने वाली शर्त में एक वस्तु स्थिर करें। / Fix one book; for the other, (1) of the (5) positions is forbidden, and the remaining books arrange in (4!) ways. For opposite-position restrictions, fix one object.
(7) अलग अक्षरों और (10) अंकों से (3) अक्षर के बाद (3) अंक वाला कोड बनता है। अक्षर दोहराए नहीं जाते और अंकों में ठीक एक अंक दो बार आता है। कितने कोड बनेंगे?
अक्षरों के लिए \(^{7}P_3\) तरीके हैं और अंक भाग में दोहराया अंक (10), दूसरा अंक (9) और स्थान (3) तरीकों से चुनते हैं। कोड के भाग अलग-अलग गिनें। / The letter part has \(^{7}P_3\) ways, and in the digit part choose the repeated digit in (10) ways, the other digit in (9) ways and its position in (3) ways. Count code parts separately.
पहले गैर-(T) अक्षरों को (6!/2!) तरीकों से रखें और (7) अंतरालों में से (3) में (T) रखें। समान (T) होने के कारण केवल अंतराल चुनें। / Arrange non-(T) letters in (6!/2!) ways and choose (3) of the (7) gaps for the (T)'s. Since the (T)'s are identical, only choose gaps.
(S,Q) के लिए दूरी (5) वाले (3) स्थान-जोड़े और (2) क्रम हैं, शेष (6) स्थान (6!/3!) तरीकों से भरते हैं। दूरी वाले प्रश्न में स्थान-जोड़े पहले गिनें। / There are (3) position pairs at distance (5) for (S,Q), with (2) orders, and the remaining (6) places fill in (6!/3!) ways. For gap-distance questions, count position pairs first.
चार विशेष व्यक्तियों को निश्चित क्रम वाले एक खंड के रूप में मानें, तब कुल (9) इकाइयां (9!) तरीकों से सजती हैं। निश्चित अंदरूनी क्रम हो तो अतिरिक्त (4!) नहीं लगेगा। / Treat the four specified people as one block with fixed internal order, so (9) units arrange in (9!) ways. If internal order is prescribed, do not multiply by (4!).
पहले (0) और (9) दोनों शामिल वाली व्यवस्थाएं गिनें और फिर उनके साथ वाली व्यवस्थाएं घटाएं। शून्य शामिल हो तो अग्र स्थान की सावधानी जरूरी है। / First count arrangements containing both (0) and (9), then subtract cases where they are adjacent. When (0) is included, handle the leading position carefully.
(9) स्थानों में (5) विषम स्थान हैं, जिनमें (3) स्वर \(^{5}C_3\cdot 3!/2!\) तरीकों से बैठेंगे और व्यंजन (6!/2!) तरीकों से। स्थान-प्रकार पहले तय करें। / There are (5) odd positions among (9); place the (3) vowels in \(^{5}C_3\cdot 3!/2!\) ways and consonants in (6!/2!) ways. Decide position types first.
(A) को स्थिर करने पर (B) और (C) के लिए दो बराबर दूरी वाले स्थान बचते हैं और वे (2!) तरीकों से बदल सकते हैं। बाकी (6) लोग (6!) तरीकों से बैठते हैं। / Fix (A); then (B) and (C) occupy the two equally spaced positions in (2!) ways. The remaining (6) people sit in (6!) ways.
समावेशन-बहिष्करण से \(7!-3\cdot 6!+3\cdot 5!-4!\) मिलता है। कई निषिद्ध स्थान हों तो यही विधि सुरक्षित है। / By inclusion-exclusion, the count is \(7!-3\cdot 6!+3\cdot 5!-4!\). For multiple forbidden positions, this method is safe.
(C) को खंड मानकर कुल (8!/(2!2!)) व्यवस्थाएं हैं, फिर (A) साथ वाली (7!/2!) व्यवस्थाएं घटाएं। दो शर्तों में पहले अनिवार्य खंड बनाएं। / Treat the two (C)'s as a block, giving (8!/(2!2!)) arrangements, then subtract the cases with adjacent (A)'s, (7!/2!). For two conditions, first form the required block.
प्रत्येक स्थान पर छोटे उपलब्ध अक्षरों से बनने वाली व्यवस्थाएं जोड़ें और अंत में (1) जोड़ें। रैंक निकालते समय वर्णक्रम पहले लिखें। / Add arrangements beginning with smaller available letters at each position and then add (1). Write the alphabetical order first when finding rank.
चुने हुए स्थानों में क्रम निश्चित हो जाता है, लेकिन पहला अंक (0) नहीं हो सकता। ऐसी शर्तों में क्रम-प्रतिबंध और अग्र शून्य दोनों जांचें। / The order is fixed within the chosen positions, but the first digit cannot be (0). In such restrictions, check both order and leading zero.
(A,B) के लिए बीच के (6) स्थानों में \(^{6}P_2\) तरीके हैं, फिर साथ वाली \(5\cdot 2\cdot 6!\) व्यवस्थाएं घटती हैं। बीच और न-साथ दोनों शर्तों को साथ गिनें। / For (A,B), use the (6) middle positions in \(^{6}P_2\) ways, then subtract adjacent cases \(5\cdot 2\cdot 6!\). Count middle-position and non-adjacent restrictions together.
केवल स्वरों के (3) स्थान चुनने हैं, क्योंकि स्वर और व्यंजन दोनों के क्रम निश्चित हैं। क्रम निश्चित हो तो स्थान-चयन ही उत्तर देता है। / Only the (3) vowel positions must be chosen, because both vowel and consonant orders are fixed. When orders are fixed, position selection gives the answer.
कुल गोल व्यवस्थाएं (10!) हैं और तीनों साथ होने पर \(8!\cdot 3!\) व्यवस्थाएं घटती हैं। न-सभी-साथ में कुल से खराब केस घटाएं। / Total circular arrangements are (10!), and all-three-together cases are \(8!\cdot 3!\). For not-all-together cases, subtract the bad cases from total.
स्वर-खंड के भीतर (5!/(2!3!)) और बाहर (6!/2!) व्यवस्थाएं हैं। खंड और दोहराव दोनों को एक साथ देखें। / Inside the vowel block there are (5!/(2!3!)) arrangements, and outside there are (6!/2!) arrangements. Handle the block and repetitions together.
हर जोड़े को एक खंड मानें, (5) खंड (5!) तरीकों से और हर खंड के भीतर (2) तरीके हैं। जोड़ों में \(2^5\) अंदरूनी क्रम लगते हैं। / Treat each couple as a block; the (5) blocks arrange in (5!) ways and each block has (2) internal orders. Couples contribute \(2^5\) internal arrangements.
दो विशेष में से एक (2) तरीकों से चुनें, बाकी (4) अक्षर (7) में से चुनें और (5!) तरीकों से सजाएं। ठीक एक की शर्त में दोनों केस अलग गिनें। / Choose one of the two specified letters in (2) ways, choose (4) more from the remaining (7), and arrange in (5!) ways. For exactly-one conditions, count both choices separately.
पहले (2,4,6) में से ठीक एक अंक शामिल करें और अंतिम अंक विषम रखने के केस बनाएं। विषमता और अनिवार्य चयन को साथ संभालें। / First include exactly one digit from (2,4,6), then make cases for an odd unit digit. Handle oddness and compulsory choice together.
इसमें (T) तीन बार और (O,N,I) दो-दो बार हैं, इसलिए संख्या (12!/(3!2!2!2!)) है। लंबे शब्द में आवृत्ति तालिका बनाएं। / Here (T) appears three times and (O,N,I) appear twice each, so the count is (12!/(3!2!2!2!)). For long words, make a frequency table.
(A,B,C) के सापेक्ष क्रमों में (A) बीच में होने की संभावना (1/3) है और (D) पहले (E) से होने की (1/2) है। इसलिए (10!/6) होगा। / Among the relative orders of (A,B,C), (A) is in the middle with probability (1/3), and (D) before (E) has probability (1/2). Hence the count is (10!/6).
पहला अंक सम लेकिन (0) नहीं हो सकता, अंतिम अंक विषम होगा और बीच के (4) स्थान बचे अंकों से भरेंगे। अग्र शून्य की शर्त जरूर जांचें। / The first digit must be even but not (0), the last digit must be odd, and the middle (4) places are filled from remaining digits. Always check the leading zero restriction.
पहले लाल और नीली गेंदों को \(^{11}C_5\) तरीकों से रखें, फिर बने (12) अंतरालों में से (4) में हरी गेंदें रखें। समान वस्तुओं में स्थान-चयन प्रमुख होता है। / First arrange red and blue balls in \(^{11}C_5\) ways, then choose (4) of the (12) gaps for green balls. With identical objects, position selection is the key.
(A,B,C) को खंड मानने पर (6) इकाइयों की गोल व्यवस्था (5!) है और अंदर (B) बीच में न होने के (4) क्रम हैं। गोल खंड में अंदरूनी क्रम अलग गिनें। / Treat (A,B,C) as a block, so (6) units have (5!) circular arrangements, and internally (4) orders do not have (B) in the middle. Count internal orders separately.
सही कार्य पाने वाले \(^{8}C_2\) तरीकों से चुनें और बाकी (6) का विस्थापन \(D_6=265\) है। ठीक (2) सही का मतलब बाकी सभी गलत होंगे। / Choose the (2) correctly assigned people in \(^{8}C_2\) ways and derange the remaining (6) with \(D_6=265\). Exactly (2) correct means all others are wrong.
इसमें (S) तीन बार और (I) तीन बार है, इसलिए संख्या (11!/(3!3!)) है। दोहराव के हर समूह के फैक्टोरियल से भाग दें। / Here (S) appears three times and (I) appears three times, so the count is (11!/(3!3!)). Divide by the factorial of each repeated group.
पहले (6) पहले (8) वाली कुल (8!/2) व्यवस्थाएं लें, फिर (2,4) साथ वाली आधी खंड-व्यवस्थाएं घटाएं। क्रम और न-साथ की शर्त को अलग करें। / First take total arrangements with (6) before (8), (8!/2), then subtract half of the block arrangements where (2,4) are adjacent. Separate order and non-adjacency conditions.
(9) स्थानों में (4) सम स्थान हैं और (4) व्यंजन उन्हीं में (4!) तरीकों से आएंगे, स्वर (5!) तरीकों से बची जगहों पर आएंगे। स्थान-प्रतिबंध में पहले स्थानों की संख्या देखें। / There are (4) even positions among (9), and the (4) consonants occupy them in (4!) ways, while vowels fill the rest in (5!) ways. For position restrictions, first count the positions.
