Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
समीकरण से ((x-1)(x-3)=0), इसलिए \(A=\{1,3\}\)। बराबर समुच्चय में अवयव वही होते हैं, क्रम जरूरी नहीं। / The equation gives ((x-1)(x-3)=0), so \(A=\{1,3\}\). Equal sets have the same elements, order is not important.
समुच्चय में किसी अवयव की पुनरावृत्ति नहीं गिनी जाती। परीक्षा में पहले वास्तविक अलग-अलग अवयव लिखें। / Repeated elements are not counted in a set. In exams, first list the distinct elements.
(A) का हर अवयव (B) में है और (B) में एक अतिरिक्त अवयव है। इसलिए (A), (B) का उचित उपसमुच्चय है। / Every element of (A) is in (B), and (B) has one extra element. So (A) is a proper subset of (B).
(a) निश्चित है और (c) हटाया गया है, इसलिए (b,d,e) में से 2 चुनने हैं। संख्या \(\binom{3}{2}=3\) है। / (a) is fixed and (c) is excluded, so choose 2 from (b,d,e). The number is \(\binom{3}{2}=3\).
बराबर समुच्चयों में वही अवयव होने चाहिए, इसलिए 3 और 5 दोनों ओर होने चाहिए। ऐसे प्रश्नों में क्रम से भ्रमित न हों। / Equal sets must contain exactly the same elements, so 3 and 5 must appear on both sides. Do not be confused by order.
बराबर समुच्चय के लिए दोनों अवयव 4 और 6 ही होने चाहिए। (m=4) रखने पर ({m,m+2}={4,6}) मिलता है। / For equal sets, the two elements must be exactly 4 and 6. Substituting (m=4) gives ({m,m+2}={4,6}).
A. \({2}\in A\) और \({2}\subset A\) दोनों सत्य हैं/Both \({2}\in A\) and \({2}\subset A\) are true
Explanation
Simple Explanation
({2}) (A) का अवयव है और 2 भी (A) में है, इसलिए \({2}\subset A\) भी सत्य है। \(\in\) और \(\subset\) का अंतर ध्यान रखें। / ({2}) is an element of (A), and 2 is also in (A), so \({2}\subset A\) is also true. Keep the difference between \(\in\) and \(\subset\) clear.
12 के सभी धनात्मक गुणनखंड यही छह हैं। वर्णनात्मक रूप और सूची रूप एक ही समुच्चय दे रहे हैं। / These six numbers are exactly the positive factors of 12. Set-builder form and roster form give the same set.
सीमित समुच्चयों में यदि एक दूसरे का उपसमुच्चय हो और दोनों में समान संख्या में अवयव हों, तो वे बराबर होते हैं। यह बराबरी सिद्ध करने का उपयोगी नियम है। / For finite sets, if one is a subset of the other and both have the same number of elements, they are equal. This is a useful rule for proving equality.
4, (A) का अवयव नहीं है, इसलिए ({2,4}) उपसमुच्चय नहीं है। किसी भी विकल्प में बाहरी अवयव खोजें। / 4 is not an element of (A), so ({2,4}) is not a subset. Look for any outside element in the option.
1 को निश्चित रखें और शेष 4 अवयवों को चुनना या न चुनना स्वतंत्र है। इसलिए \(2^4=16\) उपसमुच्चय मिलते हैं। / Fix 1, and each of the remaining 4 elements may be chosen or not. So there are \(2^4=16\) subsets.
ठीक 3 अवयव चुनने के तरीके \(\binom{4}{3}=4\) हैं। क्रम बदलने से नया उपसमुच्चय नहीं बनता। / The number of ways to choose exactly 3 elements is \(\binom{4}{3}=4\). Changing order does not create a new subset.
(A) का हर अवयव (B) में है, इसलिए साझा अवयव पूरे (A) ही हैं। यह उपसमुच्चय का महत्वपूर्ण परिणाम है। / Every element of (A) is in (B), so the common elements are exactly (A). This is an important result of subset relation.
पावर सेट में सभी उपसमुच्चय अवयव के रूप में लिखे जाते हैं। इसलिए एकल अवयव भी ({1}) और ({2}) रूप में होंगे। / In a power set, all subsets are written as elements. Thus single elements appear as ({1}) and ({2}).
रिक्त समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय है और (B) रिक्त नहीं है। इसलिए (A) उचित उपसमुच्चय है। / The empty set is a subset of every set, and (B) is not empty. Hence (A) is a proper subset.
20 से छोटे धनात्मक 6 के गुणज 6, 12 और 18 हैं। इसलिए दोनों समुच्चय समान हैं। / The positive multiples of 6 less than 20 are 6, 12 and 18. So the two sets are equal.
(A) स्वयं (A) का उपसमुच्चय है, लेकिन अपना उचित उपसमुच्चय नहीं है। इसलिए \(A\subset B\) भी असत्य है। / (A) is a subset of itself, but it is not a proper subset of itself. Also \(A\subset B\) is false here.
8 से छोटी धनात्मक विषम संख्याएं 1, 3, 5 और 7 हैं। सूची और नियम दोनों समान समुच्चय देते हैं। / The positive odd numbers less than 8 are 1, 3, 5 and 7. The list and rule give the same set.
2 निश्चित है और 11 निषिद्ध है, शेष 3 अवयव स्वतंत्र हैं। इसलिए \(2^3=8\) उपसमुच्चय हैं। / 2 is fixed and 11 is excluded, while the remaining 3 elements are optional. Hence \(2^3=8\) subsets.
कुल उपसमुच्चय \(2^4=16\) हैं। कम से कम एक अवयव के लिए रिक्त समुच्चय हटाएं, इसलिए 15। / Total subsets are \(2^4=16\). For at least one element, remove the empty set, giving 15.
5 को छोड़कर ({1,2,3,4}) से 2 अवयव चुनने हैं। संख्या \(\binom{4}{2}=6\) है। / Exclude 5 and choose 2 elements from ({1,2,3,4}). The number is \(\binom{4}{2}=6\).
A. \({1,2}\subset A\) और \({1,2}\in A\) दोनों सत्य हैं/Both \({1,2}\subset A\) and \({1,2}\in A\) are true
Explanation
Simple Explanation
(1) और (2) (A) में हैं, इसलिए \({1,2}\subset A\), और ({1,2}) भी एक अवयव है। यह मिश्रित notation का अच्छा उदाहरण है। / Since (1) and (2) are in (A), \({1,2}\subset A\), and ({1,2}) is also an element. This is a good mixed notation example.
(A) में सम अवयव 2, 4 और 6 हैं। इसलिए \(B\subset A\) और \(B=\{2,4,6\}\)। / The even elements in (A) are 2, 4 and 6. Thus \(B\subset A\) and \(B=\{2,4,6\}\).
D. न तो \(A\subseteq B\) और न ही \(B\subseteq A\)/Neither \(A\subseteq B\) nor \(B\subseteq A\)
Explanation
Simple Explanation
(a), (B) में नहीं है और (d), (A) में नहीं है। इसलिए कोई भी दूसरे का उपसमुच्चय नहीं है। / (a) is not in (B), and (d) is not in (A). Hence neither set is a subset of the other.
हर अवयव अपने ही समुच्चय में होता है, इसलिए \(A\subseteq A\) सत्य है। इसे reflexive property की तरह याद रखें। / Every element of a set is in the same set, so \(A\subseteq A\) is true. Remember it like a reflexive property.
\(A\subset B\) उचित उपसमुच्चय को दर्शाता है, इसलिए बराबरी संभव नहीं। प्रतीक \(\subset\) और \(\subseteq\) में अंतर रखें। / \(A\subset B\) denotes a proper subset, so equality is not possible. Distinguish \(\subset\) from \(\subseteq\).
कुल 16 उपसमुच्चय हैं और जिनमें न 1 है न 2, वे ({3,4}) के \(2^2=4\) उपसमुच्चय हैं। इसलिए (16-4=12)। / There are 16 total subsets, and those containing neither 1 nor 2 are the \(2^2=4\) subsets of ({3,4}). Hence (16-4=12).
1 निश्चित है और 2 नहीं लेना है, शेष 3 अवयव स्वतंत्र हैं। इसलिए \(2^3=8\) उपसमुच्चय होंगे। / 1 is fixed and 2 is excluded, while the remaining 3 elements are optional. Thus \(2^3=8\) subsets.
दोनों वर्णन ({1,2,3,4}) देते हैं। असमानता के अलग रूपों से भ्रमित न हों। / Both descriptions give ({1,2,3,4}). Do not be confused by different forms of inequalities.
1, 2 और 3 निश्चित हैं, जबकि 4 और 5 वैकल्पिक हैं। इसलिए \(2^2=4\) उपसमुच्चय होंगे। / 1, 2 and 3 are fixed, while 4 and 5 are optional. Hence \(2^2=4\) subsets.
