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Subjects
Class 11 Mathematics Sets Hard Level 9

यदि \(A=\{a,b,c,d\}\), तो A के कितने उपसमुच्चयों में कम से कम एक अवयव है?

If \(A=\{a,b,c,d\}\), how many subsets of A contain at least one element?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. 15

Explanation

Simple Explanation

किसी n-तत्व वाले समुच्चय के कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है। यहाँ \(n=4\) इसलिए कुल उपसमुच्चय \(2^4=16\) हैं। "कम से कम एक अवयव" का अर्थ रिक्त समुच्चय को छोड़ना है, अतः संख्या \(16-1=15\) होगी। विकल्प B (16) गलती से रिक्त समुच्चय को भी गिनना है; विकल्प C (8) और D (4) सामान्य गलतियां हैं — 8 आधे उपसमुच्चय होने का भ्रम है और 4 केवल एक-तत्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या है। परीक्षा-टिप: n तत्वों वाले समुच्चय के गैर-रिक्त उपसमुच्चय हमेशा \(2^n-1\) होते हैं। / The total number of subsets of an n-element set is \(2^n\). Here \(n=4\), so total subsets are \(2^4=16\). "At least one element" excludes the empty set, giving \(16-1=15\). Option B (16) mistakenly includes the empty set; option C (8) is a common halving error and option D (4) counts only singleton subsets. Exam tip: non-empty subsets of an n-element set = \(2^n-1\).

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यदि \(A=\{a,b,c,d\}\), तो A के कितने उपसमुच्चयों में कम से कम एक अवयव है? / If \(A=\{a,b,c,d\}\), how many subsets of A contain at least one element?

Correct Answer: A. 15. Explanation: किसी n-तत्व वाले समुच्चय के कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है। यहाँ \(n=4\) इसलिए कुल उपसमुच्चय \(2^4=16\) हैं। "कम से कम एक अवयव" का अर्थ रिक्त समुच्चय को छोड़ना है, अतः संख्या \(16-1=15\) होगी। विकल्प B (16) गलती से रिक्त समुच्चय को भी गिनना है; विकल्प C (8) और D (4) सामान्य गलतियां हैं — 8 आधे उपसमुच्चय होने का भ्रम है और 4 केवल एक-तत्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या है। परीक्षा-टिप: n तत्वों वाले समुच्चय के गैर-रिक्त उपसमुच्चय हमेशा \(2^n-1\) होते हैं। / The total number of subsets of an n-element set is \(2^n\). Here \(n=4\), so total subsets are \(2^4=16\). "At least one element" excludes the empty set, giving \(16-1=15\). Option B (16) mistakenly includes the empty set; option C (8) is a common halving error and option D (4) counts only singleton subsets. Exam tip: non-empty subsets of an n-element set = \(2^n-1\).