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\(A\cup B\) में दोनों समुच्चयों के सभी अलग-अलग अवयव आते हैं। परीक्षा में दोहराए गए अवयव केवल एक बार लिखें। / \(A\cup B\) contains all distinct elements of both sets. In exams, write repeated elements only once.
(A) में (16) तक के सम धन पूर्णांक हैं और (B) में (4) के गुणज हैं। इसलिए \(A\setminus B={2,6,10,14}\) है। / (A) has even natural numbers up to (16), and (B) has multiples of (4). Hence \(A\setminus B={2,6,10,14}\).
\(A\cap B\) में केवल वे अवयव आते हैं जो दोनों में समान हों। साझा अवयवों को ध्यान से छांटना चाहिए। / \(A\cap B\) contains only elements common to both sets. Carefully pick the shared elements.
दोनों स्थितियां बताती हैं कि (B) के सभी अवयव (A) में हैं। इसलिए \(B\subseteq A\) सही है। / Both conditions show that every element of (B) is in (A). Therefore \(B\subseteq A\) is correct.
\(A\setminus B\) में (A) के वे अवयव आते हैं जो (B) में नहीं हैं। क्रम बदलने पर अंतर बदल सकता है। / \(A\setminus B\) contains elements of (A) that are not in (B). The difference may change when the order changes.
संघ तीन असंबद्ध भागों \(A\setminus B\), \(B\setminus A\) और \(A\cap B\) से बनता है। अतः (18+14+9=41)। / The union is made from three disjoint parts \(A\setminus B\), \(B\setminus A\), and \(A\cap B\). Thus (18+14+9=41).
\(B\setminus A\) में (B) के ऐसे अवयव रहेंगे जो (A) में नहीं हैं। पहले लिखे समुच्चय पर विशेष ध्यान दें। / \(B\setminus A\) keeps elements of (B) that are not in (A). Pay special attention to the first set.
\(A=\{-3,-2,-1,0,1,2\}\) और \(B=\{-2,-1,0,1,2\}\) है। इसलिए \(A\cup B=A\) है। / \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2\}\) and \(B=\{-2,-1,0,1,2\}\). Therefore \(A\cup B=A\).
\(A\cup B={a,b,c,d,e,f}\) और \(A\cap B={c,d}\), इसलिए शेष (a,b,e,f) हैं। यह सममित अंतर जैसा पैटर्न है। / \(A\cup B={a,b,c,d,e,f}\) and \(A\cap B={c,d}\), so the remaining elements are (a,b,e,f). This is a symmetric-difference type pattern.
समुच्चय (A) में \(A\setminus B\) और \(A\cap B\) दोनों भाग आते हैं। इसलिए \(A=\{1,3,5,7\}\) है। / Set (A) contains both parts \(A\setminus B\) and \(A\cap B\). Hence \(A=\{1,3,5,7\}\).
\(B\setminus A\) में (B) के वे अवयव होंगे जो (A) में नहीं हैं, यानी ({6,7})। अंतर में क्रम बदलने से उत्तर बदलता है। / \(B\setminus A\) contains elements of (B) that are not in (A), namely ({6,7}). In difference, changing order changes the answer.
रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता, इसलिए संघ लेने पर (A) नहीं बदलता। पहचान नियम \(A\cup \emptyset=A\) याद रखें। / The empty set has no element, so union with it does not change (A). Remember the identity law \(A\cup \emptyset=A\).
\(A\cap \emptyset\) में कोई सामान्य अवयव नहीं हो सकता। इसलिए उत्तर हमेशा \(\emptyset\) होता है। / There can be no common element in \(A\cap \emptyset\). Therefore the answer is always \(\emptyset\).
यह (n\(A\cup B\)) का प्रश्न है, इसलिए (28+22-10=40)। दोनों पढ़ने वालों को दो बार न गिनें। / This is a question of (n\(A\cup B\)), so (28+22-10=40). Do not count students studying both twice.
सूत्र से (n\(A\cap B\)=35+27-50=12)। संघ ज्ञात हो तो सामान्य भाग घटाकर नहीं बल्कि सूत्र से निकालें। / By the formula, (n\(A\cap B\)=35+27-50=12). When union is given, find the common part using the formula.
(A) दो भागों \(A\setminus B\) और \(A\cap B\) में बंटता है। इसलिए (n\(A\cap B\)=20-13=7)। / (A) is divided into \(A\setminus B\) and \(A\cap B\). Therefore (n\(A\cap B\)=20-13=7).
संघ में (A) और (B) के सभी अलग-अलग अवयव शामिल होते हैं। (U) केवल सार्वत्रिक सीमा बताता है। / The union contains all distinct elements of (A) and (B). (U) only shows the universal boundary.
\(A\setminus B\) में (A) से (B) के समान अवयव हटाए जाते हैं। (2,4,8) हटाने पर (1) बचता है। / In \(A\setminus B\), common elements of (B) are removed from (A). Removing (2,4,8) leaves (1).
यदि दो समुच्चयों में कोई सामान्य अवयव नहीं है, तो वे असंबद्ध कहलाते हैं। प्रतीक \(\emptyset\) को शून्य अवयव समझें। / If two sets have no common element, they are called disjoint sets. Understand \(\emptyset\) as having no element.
दोनों अंतरालों में समान पूर्णांक (0,1,2,3) हैं। असमानताओं को पहले सूची रूप में बदलना उपयोगी है। / The common integers in both intervals are (0,1,2,3). It is useful to convert inequalities into roster form first.
\(A=\{2,3,5,7\}\) और \(B=\{1,3,5,7,9\}\), इसलिए \(A\setminus B={2}\)। (1) अभाज्य नहीं है। / \(A=\{2,3,5,7\}\) and \(B=\{1,3,5,7,9\}\), so \(A\setminus B={2}\). Remember that (1) is not prime.
\(A=\{3,6,9,12,15\}\) और \(B=\{5,10,15\}\), इसलिए संघ में सभी अलग-अलग अवयव हैं। (15) को एक बार लिखें। / \(A=\{3,6,9,12,15\}\) and \(B=\{5,10,15\}\), so the union has all distinct elements. Write (15) only once.
पहले \(B\cup C={r,s,t,u}\) लें, फिर (A) से सामान्य अवयव (r,s) मिलते हैं। कोष्ठक पहले हल करें। / First take \(B\cup C={r,s,t,u}\), then common elements with (A) are (r,s). Solve the bracket first.
\(B\cup C={1,2,4,6,7}\), इसलिए (A) से (1,2,4) हटाने पर (3,5) बचते हैं। अंतर में केवल पहले समुच्चय के अवयव बचते हैं। / \(B\cup C={1,2,4,6,7}\), so removing (1,2,4) from (A) leaves (3,5). In difference, only elements of the first set can remain.
यह प्रतिच्छेद का संघ पर वितरण है। नाम याद करने के लिए कोष्ठक खुलने जैसा पैटर्न देखें। / This is distribution of intersection over union. To remember the name, notice how the bracket opens.
\(A\cup B={1,2,3}\) और इसका (C) से सामान्य भाग (3) है। मिश्रित क्रियाओं में क्रम बहुत महत्वपूर्ण है। / \(A\cup B={1,2,3}\) and its common part with (C) is (3). Order is very important in mixed operations.
\(A\cap B={3,5}\), और (C) से संघ लेने पर ( {3,4,5} ) मिलता है। पहले कोष्ठक का परिणाम निकालें। / \(A\cap B={3,5}\), and union with (C) gives ( {3,4,5} ). Find the bracket result first.
\(A\setminus B={1,2}\) और \(B\setminus A={5,6}\), इसलिए संघ ({1,2,5,6}) है। यह दोनों में असमान भागों को जोड़ता है। / \(A\setminus B={1,2}\) and \(B\setminus A={5,6}\), so the union is ({1,2,5,6}). It joins the non-common parts of both sets.
\(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) और \(B=\{5,6,7,8,9\}\), इसलिए \(A\setminus B={1,2,3,4}\)। सीमा चिन्हों को ध्यान से पढ़ें। / \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) and \(B=\{5,6,7,8,9\}\), so \(A\setminus B={1,2,3,4}\). Read boundary signs carefully.
यदि (B) जोड़ने पर (A) नहीं बदलता, तो (B) के सभी अवयव (A) में हैं। इसलिए \(B\subseteq A\) है। / If adding (B) does not change (A), then all elements of (B) are in (A). Hence \(B\subseteq A\).
यदि सामान्य भाग पूरा (A) है, तो (A) का हर अवयव (B) में भी है। इसलिए \(A\subseteq B\) है। / If the common part is the whole set (A), every element of (A) is also in (B). Hence \(A\subseteq B\).
\(B\subseteq A\), इसलिए \(A\setminus B={1,3,5}\) और \(B\setminus A=\emptyset\)। उपसमुच्चय में छोटे से बड़े का अंतर रिक्त होता है। / Since \(B\subseteq A\), \(A\setminus B={1,3,5}\) and \(B\setminus A=\emptyset\). In a subset case, smaller minus larger is empty.
\(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), इसलिए (B) से समान अवयव (-1,0,1) हैं। वर्ग वाली शर्त में ऋणात्मक पूर्णांक भी जांचें। / \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), so the common elements from (B) are (-1,0,1). In square conditions, also check negative integers.
\(A\cap B={3,9}\), जबकि (5) संघ में है पर सामान्य भाग में नहीं है। ऐसे प्रश्न में पहले सामान्य अवयव हटाएं। / \(A\cap B={3,9}\), while (5) is in the union but not in the common part. In such questions, first remove common elements.
हर सामान्य अवयव दोनों समुच्चयों में होता है, इसलिए वह संघ में भी होता है। अतः \(A\cap B\subseteq A\cup B\) हमेशा सत्य है। / Every common element belongs to both sets, so it also belongs to the union. Hence \(A\cap B\subseteq A\cup B\) is always true.
तीनों समुच्चयों में केवल (4) समान है। तीन समुच्चयों के प्रतिच्छेद में अवयव सभी में होना चाहिए। / Only (4) is common to all three sets. In intersection of three sets, the element must be in every set.
\(A\cup B={m,n,o,p,q}\), इससे (A) हटाने पर (p,q) बचते हैं। यह \(B\setminus A\) के बराबर है। / \(A\cup B={m,n,o,p,q}\), and removing (A) leaves (p,q). This equals \(B\setminus A\).
संघ से (B) के सभी अवयव हटाने पर केवल (A) के गैर-सामान्य अवयव बचते हैं। इसलिए उत्तर \(A\setminus B={1,2,3}\) है। / Removing all elements of (B) from the union leaves only the non-common elements of (A). So the answer is \(A\setminus B={1,2,3}\).
संघ तीन अलग-अलग भागों \(A\setminus B\), \(A\cap B\), और \(B\setminus A\) से बनता है। इसलिए (9+6+11=26)। / The union is made of three disjoint parts: \(A\setminus B\), \(A\cap B\), and \(B\setminus A\). Hence (9+6+11=26).
केवल फुटबॉल (=24-12=12) होगा। दोनों खेलने वालों को केवल फुटबॉल में शामिल नहीं किया जाता। / Only football is (24-12=12). Those who play both are not included in only football.
\(A\cup B\) में (A) और \(B\setminus A\) मिलकर (46+24=70) हैं। इसलिए (B) का (A) से साझा भाग (A) के अंदर है, पर दिए गए डाटा से अतिरिक्त साझा भाग (0) नहीं बल्कि (n\(A\cap B\)) निश्चित नहीं होता। / \(A\cup B\) is formed by (A) and \(B\setminus A\), giving (46+24=70). However (n\(A\cap B\)) is inside (A) and cannot be uniquely found from this data.
(B) दो भागों \(B\setminus A\) और \(A\cap B\) में बंटता है। इसलिए (n\(A\cap B\)=35-24=11)। / (B) is divided into \(B\setminus A\) and \(A\cap B\). Therefore (n\(A\cap B\)=35-24=11).
\(A\cap B={2,3}\), इसलिए ({2}) इसका उपसमुच्चय है। उपसमुच्चय में हर अवयव मूल समुच्चय में होना चाहिए। / \(A\cap B={2,3}\), so ({2}) is its subset. In a subset, every element must belong to the original set.
\(B\setminus C={2,7}\), फिर (A) से प्रतिच्छेद लेने पर (2) बचता है। पहले अंतर और फिर प्रतिच्छेद करें। / \(B\setminus C={2,7}\), then intersecting with (A) leaves (2). Do the difference first, then the intersection.
\(A\cup B={a,b,c,d,e}\) और \(B\cup C={b,d,e,f}\), इनका प्रतिच्छेद ({b,d,e}) है। दोनों संघ अलग-अलग निकालें। / \(A\cup B={a,b,c,d,e}\) and \(B\cup C={b,d,e,f}\); their intersection is ({b,d,e}). Find both unions separately.
\(A\cap B={2,4,8}\), इसमें से (C) के (4,8) हटाने पर (2) बचता है। मिश्रित प्रश्न में हर चरण लिखें। / \(A\cap B={2,4,8}\), and removing (4,8) from (C) leaves (2). Write every step in mixed questions.
\(B\cup C={2,3,4,6,8,9,10,12}\), इन्हें (A) से हटाने पर (1,5,7,11) बचते हैं। पहले हटाए जाने वाले अवयव तय करें। / \(B\cup C={2,3,4,6,8,9,10,12}\); removing these from (A) leaves (1,5,7,11). First decide which elements must be removed.
