Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(\frac{3a-2}{a+5}=\frac{3b-2}{b+5}\) से क्रॉस गुणा करने पर (17a=17b), अतः (a=b)। / From \(\frac{3a-2}{a+5}=\frac{3b-2}{b+5}\), cross-multiplication gives (17a=17b), hence (a=b).
Step 3
Exam Tip
भिन्नात्मक रैखिक फलनों में क्रॉस गुणा बहुत उपयोगी होता है। / Cross-multiplication is very useful for fractional linear functions.
एकैकी फलन में प्रांत के (6) अवयवों को सहप्रांत के (8) अलग अवयवों पर भेजना होगा। / In a one-one function, the (6) elements of the domain must be sent to (6) distinct elements of the (8)-element codomain.
Step 2
Why this answer is correct
कुल तरीके \(8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3=,^{8}P_6\) होंगे। / The total number is \(8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3=,^{8}P_6\).
Step 3
Exam Tip
एकैकी फलनों की गिनती में सहप्रांत से क्रम सहित चयन किया जाता है। / For one-one functions, select ordered distinct images from the codomain.
(f(x)=x-2-4x+6=(x-2)2+2) है। / (f(x)=x-2-4x+6=(x-2)2+2).
Step 2
Why this answer is correct
प्रांत \([2,\infty\)) शीर्ष के दाईं ओर है, जहां फलन लगातार बढ़ता है। / The domain \([2,\infty\)) lies to the right of the vertex, where the function is strictly increasing.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन को शीर्ष के एक ओर सीमित करने पर वह एकैकी बन जाता है। / A quadratic becomes one-one when restricted to one side of its vertex.
तीनों प्रतिबिंब अलग-अलग हैं, इसलिए कोई दो अलग इनपुट समान प्रतिबिंब नहीं देते। / All three images are distinct, so no two different inputs have the same image.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में तालिका बनाकर एकैकीपन जल्दी जांचा जा सकता है। / For finite sets, a value table quickly checks one-one nature.
इसका विविक्तकर \(2^2-4\cdot3\cdot1=-8<0\) और अग्र गुणांक धनात्मक है, इसलिए (f'(x)>0) हर (x) पर। / Its discriminant is \(2^2-4\cdot3\cdot1=-8<0\) and the leading coefficient is positive, so (f'(x)>0) for all (x).
Step 3
Exam Tip
अवकलज हमेशा धनात्मक हो तो फलन एकैकी होता है। / If the derivative is always positive, the function is one-one.
\(\frac{a+1}{a-1}=\frac{b+1}{b-1}\) से ((a+1)(b-1)=(b+1)(a-1)), जिससे (a=b) मिलता है। / \(\frac{a+1}{a-1}=\frac{b+1}{b-1}\) gives ((a+1)(b-1)=(b+1)(a-1)), leading to (a=b).
Step 3
Exam Tip
भिन्नात्मक रैखिक फलनों में क्रॉस गुणा करके एकैकीपन जांचें। / For fractional linear functions, cross-multiplication is a good way to test one-one nature.
तब (g(f(a))=g(f(b))), यानी (\(g\circ f\)(a)=\(g\circ f\)(b))। \(g\circ f\) एकैकी है, इसलिए (a=b)। / Then (g(f(a))=g(f(b))), so (\(g\circ f\)(a)=\(g\circ f\)(b)). Since \(g\circ f\) is one-one, (a=b).
Step 3
Exam Tip
संयोजन वाले प्रश्नों में परिभाषा को सीधे लागू करें। / In composition questions, apply the definition directly.
अवकलज (f'(x)=3x-2-12x+12=3(x-2)2) है। / The derivative is (f'(x)=3x-2-12x+12=3(x-2)2).
Step 2
Why this answer is correct
यह हर (x) पर (0) या धनात्मक है और फलन घटता नहीं है; वास्तव में (f(x)=(x-2)3+9) है, जो एकैकी है। / It is zero or positive everywhere, and (f(x)=(x-2)3+9), which is one-one.
Step 3
Exam Tip
घन रूप में बदलना कई बार अवकलज से भी साफ समाधान देता है। / Rewriting a cubic can sometimes give a clearer solution than derivative alone.
प्रांत में केवल शून्य और ऋणात्मक संख्याएं हैं। / The domain contains only zero and negative numbers.
Step 2
Why this answer is correct
इस प्रांत पर (x) बढ़ने पर \(x^2\) घटता है, इसलिए एक ही मान दो अलग (x) पर नहीं आता। / On this domain, as (x) increases, \(x^2\) decreases, so the same value is not obtained at two different (x)-values.
Step 3
Exam Tip
घटता हुआ फलन भी एकैकी होता है। / A strictly decreasing function is also one-one.
\(x^2\) में (x) और (-x) का मान समान हो सकता है। / In \(x^2\), (x) and (-x) can give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
\([0,\infty\)) पर ऋणात्मक भाग हट जाता है और फलन लगातार बढ़ता है। / On \([0,\infty\)), the negative side is removed and the function is strictly increasing.
Step 3
Exam Tip
वर्ग फलन को एकैकी बनाने के लिए प्रांत को केवल एक ओर रखें। / To make the square function one-one, keep the domain on one side only.
\(1-\cos x\ge 0\) हर वास्तविक (x) के लिए है और फलन पीछे नहीं लौटता। / \(1-\cos x\ge 0\) for every real (x), and the function does not turn back.
Step 3
Exam Tip
गैर-ऋणात्मक अवकलज के साथ समान मान दोहराने की संभावना जांचकर एकैकीपन तय करें। / With a non-negative derivative, check whether equal values can repeat before deciding one-one nature.
\(1+\cos x\ge 0\) हर (x) के लिए है और फलन घटता नहीं है; साथ ही \(x+\sin x\) समान मान दो अलग बिंदुओं पर नहीं दोहराता। / \(1+\cos x\ge 0\) for every (x), and the function does not repeat the same value at two distinct points.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्न में अवकलज के साथ फलन की कुल बढ़ने की दिशा भी देखें। / In such questions, combine derivative sign with overall increasing behaviour.
\(a^3=b^3\) से (a=b) मिलता है, क्योंकि वास्तविक संख्याओं में घन फलन क्रम बनाए रखता है। / \(a^3=b^3\) gives (a=b), because the cube function preserves order on real numbers.
Step 3
Exam Tip
विषम घात वाले सरल घात फलन अक्सर पूरे वास्तविक प्रांत पर एकैकी होते हैं। / Simple odd-power functions are often one-one on the whole real domain.
(f(a)=f(b)\Rightarrow a+2=b+2\Rightarrow a=b), इसलिए फलन एकैकी है। / (f(a)=f(b)\Rightarrow a+2=b+2\Rightarrow a=b), so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
\(\mathbb{N}\) में (1) और (2) जैसे मान किसी (n) से नहीं मिलते, इसलिए आच्छादी नहीं है। / Values like (1) and (2) in \(\mathbb{N}\) are not images of any (n), so it is not onto.
Step 3
Exam Tip
एकैकी और आच्छादी को अलग-अलग जांचना चाहिए। / Always test one-one and onto separately.
\(\tan x\) आवर्ती है और हर जगह परिभाषित भी नहीं है। / \(\tan x\) is periodic and is not defined everywhere.
Step 2
Why this answer is correct
(\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)) पर यह लगातार बढ़ता है और हर मान एक बार लेता है। / On (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)), it is strictly increasing and takes each value once.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय प्रतिलोम फलनों के लिए मानक एकैकी अंतराल याद रखें। / Remember standard one-one intervals for inverse trigonometric functions.
\(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\) से (a=b) मिलता है, क्योंकि (a,b>0)। / \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\) gives (a=b), since (a,b>0).
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम प्रकार के फलनों में समान मान रखकर सीधा प्रमाण अच्छा रहता है। / For reciprocal-type functions, direct proof using equal images is very effective.
(|x-2|) का आलेख (x=2) पर मुड़ता है। / The graph of (|x-2|) turns at (x=2).
Step 2
Why this answer is correct
\([2,\infty\)) पर यह (x-2) बन जाता है और लगातार बढ़ता है। / On \([2,\infty\)), it becomes (x-2) and is strictly increasing.
Step 3
Exam Tip
मापांक फलन को एकैकी बनाने के लिए मोड़ बिंदु के एक ओर प्रांत सीमित करें। / To make a modulus function one-one, restrict the domain to one side of the turning point.
\(\ln x\) का प्रांत (\(0,\infty\)) है। / The domain of \(\ln x\) is (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
(f'(x)=\frac{1}{x}), जो इस प्रांत में हर जगह धनात्मक है, इसलिए फलन बढ़ता है। / (f'(x)=\frac{1}{x}), which is positive throughout this domain, so the function is increasing.
Step 3
Exam Tip
बढ़ता हुआ लघुगणकीय फलन अपने प्रांत पर एकैकी होता है। / An increasing logarithmic function is one-one on its domain.
\(\sin x\) पूरे वास्तविक समुच्चय पर आवर्ती है, इसलिए एकैकी नहीं है। / \(\sin x\) is periodic on the real line, so it is not one-one on all real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) पर \(\sin x\) लगातार बढ़ता है। / On \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\), \(\sin x\) is strictly increasing.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों में एकैकी बनाने के लिए उपयुक्त सीमित अंतराल चुनें। / For trigonometric functions, choose a proper restricted interval to make them one-one.
अवकलज से बढ़ने-घटने का पता लगाएं। / Use the derivative to study monotonicity.
Step 2
Why this answer is correct
(f'(x)=e^x+1), जो हर (x) के लिए धनात्मक है। इसलिए फलन सख्ती से बढ़ता है और एकैकी है। / (f'(x)=e^x+1), which is positive for every (x). Hence the function is strictly increasing and one-one.
Step 3
Exam Tip
अगर अवकलज हमेशा धनात्मक या हमेशा ऋणात्मक हो, तो फलन एकैकी होता है। / A function with derivative always positive or always negative is one-one.
शीर्ष बिंदु (x=-2) है और इसके दाईं ओर फलन लगातार बढ़ता है। / The vertex is at (x=-2), and the function is strictly increasing to the right of it.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन पूरे वास्तविक समुच्चय पर एकैकी नहीं होता, लेकिन शीर्ष के एक ओर एकैकी होता है। / A quadratic function is not one-one on all real numbers, but it is one-one on one side of its vertex.
मान लें (f(a)=f(b))। / Consider the function \(x^3+x\).
Step 2
Why this answer is correct
फलन \(x^3+x\) पूरे \(\mathbb{R}\) पर लगातार बढ़ता है क्योंकि (x) बढ़ने पर दोनों भाग साथ बढ़ते हैं। / It is strictly increasing on \(\mathbb{R}\) because both terms increase with (x).
Step 3
Exam Tip
बढ़ता हुआ फलन एकैकी होता है, इसलिए अलग आगत समान मान नहीं दे सकते। / A strictly increasing function is one-one, so different inputs cannot give the same value.
