Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. फलन एकैकी और आच्छादी है/The function is one-one and onto
Step 1
Concept
\(x^5+x^3+x\) में (x) बढ़ने पर फलन लगातार बढ़ता है क्योंकि इसकी ढाल \(5x^4+3x^2+1\) हमेशा धनात्मक रहती है। / The function \(x^5+x^3+x\) is strictly increasing because its derivative \(5x^4+3x^2+1\) is always positive.
Step 2
Why this answer is correct
बहुत बड़े ऋणात्मक (x) पर मान बहुत ऋणात्मक और बहुत बड़े धनात्मक (x) पर मान बहुत धनात्मक हो जाता है, इसलिए हर वास्तविक मान मिल जाता है। / For very large negative (x), the value becomes very negative, and for very large positive (x), the value becomes very positive, so every real value is attained.
Step 3
Exam Tip
विषम घातों वाले बढ़ते बहुपद में एकैकीपन और आच्छादीपन दोनों ध्यान से जाँचें। / For increasing odd-power polynomials, check both one-one and onto carefully.
A. एकैकी फलन संभव नहीं पर आच्छादी फलन संभव है/One-one function is impossible but onto function is possible
Step 1
Concept
(A) में (5) तत्व और (B) में (3) तत्व हैं इसलिए सभी (5) तत्वों को अलग प्रतिबिंब देना संभव नहीं है। / (A) has (5) elements and (B) has (3), so it is impossible to assign distinct images to all (5) elements.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (B) के (3) तत्वों को (A) के (5) तत्वों से कवर करना संभव है। / But it is possible to cover all (3) elements of (B) using (5) elements of (A).
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चयों में तत्वों की संख्या से पहले संभावना जाँचें। / For finite sets, first compare cardinalities.
आच्छादी होने से सहप्रांत का हर तत्व उपयोग होता है। / Onto means every codomain element is used.
Step 2
Why this answer is correct
सीमित समान समुच्चय में यदि कोई दो प्रांत तत्व एक ही प्रतिबिंब लेते तो कोई सहप्रांत तत्व छूट जाता। / For finite equal sets, if two domain elements had the same image, some codomain element would be left unused.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (A) से (A) में आच्छादी फलन एकैकी भी होता है। / Therefore an onto function from (A) to (A) is also one-one.
सीमित समुच्चय में (A) से (A) तक एकैकी फलन अलग-अलग प्रतिबिंब देता है। / For a finite set, a one-one function from (A) to (A) gives distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
जितने तत्व प्रांत में हैं उतने ही सहप्रांत में हैं इसलिए सभी सहप्रांत तत्व उपयोग हो जाते हैं। / Since the domain and codomain have the same number of elements, all codomain elements are used.
Step 3
Exam Tip
सीमित समान समुच्चय पर एकैकी और आच्छादी बराबर प्रभाव रखते हैं। / On finite equal sets, one-one implies onto.
यदि (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\)) हो तो (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\)))। / If (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\)), then (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))).
Step 2
Why this answer is correct
(g) एकैकी है इसलिए (f\(a_1\)=f\(a_2\)), और (f) एकैकी है इसलिए \(a_1=a_2\)। / Since (g) is one-one, (f\(a_1\)=f\(a_2\)), and since (f) is one-one, \(a_1=a_2\).
Step 3
Exam Tip
दो एकैकी फलनों का समिश्र भी एकैकी होता है। / The composition of two one-one functions is one-one.
एकैकी फलन में (A) के अलग तत्वों को (B) के अलग तत्वों से जोड़ना होता है। / In a one-one function, different elements of (A) must go to different elements of (B).
Step 2
Why this answer is correct
संख्या \(^{6}P_{4}=6\cdot5\cdot4\cdot3=360\) होगी। / The count is \(^{6}P_{4}=6\cdot5\cdot4\cdot3=360\).
Step 3
Exam Tip
एकैकी फलनों में पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं होती। / Repetition of images is not allowed in one-one functions.
A. यह एकैकी है पर आच्छादी नहीं/It is one-one but not onto
Step 1
Concept
(2n+1) में अलग पूर्णांकों पर अलग विषम पूर्णांक मिलते हैं इसलिए फलन एकैकी है। / (2n+1) gives different odd integers for different integers, so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
(0) जैसे सम पूर्णांक सहप्रांत में हैं पर किसी (n) से (2n+1=0) पूर्णांक (n) नहीं देता। / Even integers such as (0) are in the codomain but are not obtained from any integer (n).
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन में सहप्रांत बदलने से आच्छादीपन बदल सकता है। / For linear functions, the codomain can change whether the function is onto.
अलग प्राकृतिक संख्याओं में (1) जोड़ने पर अलग मान मिलते हैं इसलिए फलन एकैकी है। / Adding (1) to different natural numbers gives different values, so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
(1) सहप्रांत में है पर किसी \(n\in\mathbb{N}\) के लिए (n+1=1) नहीं हो सकता। / (1) is in the codomain, but no \(n\in\mathbb{N}\) satisfies (n+1=1).
Step 3
Exam Tip
प्राकृतिक संख्याओं वाले प्रश्नों में पहला तत्व अक्सर आच्छादीपन को तोड़ देता है। / In natural number functions, the first element often helps test onto.
(f(1)=2) और (f(-1)=2) इसलिए यह एकैकी नहीं है। / (f(1)=2) and (f(-1)=2), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
\(x^2+1\geq 1\) होता है इसलिए (0) जैसे वास्तविक मान परास में नहीं आते। / Since \(x^2+1\geq 1\), real values like (0) are not in the range.
Step 3
Exam Tip
वर्ग वाले फलनों में प्रांत और सहप्रांत ध्यान से देखकर ही निष्कर्ष निकालें। / For square functions, always check both domain and codomain before deciding the type.
\(x^3+x\) में (x) बढ़ने पर मान लगातार बढ़ता है इसलिए दो अलग (x) का मान समान नहीं हो सकता। / The expression \(x^3+x\) increases continuously as (x) increases, so two different inputs cannot give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
बहुत बड़े ऋणात्मक से बहुत बड़े धनात्मक मान तक फलन सभी वास्तविक मान ले सकता है। / Its values cover all real numbers from very negative to very positive.
Step 3
Exam Tip
जब फलन एकैकी और आच्छादी दोनों हो तो वह व्युत्क्रमणीय भी होता है। / A function that is both one-one and onto is also invertible.
(x<0) पर मान (\(-\infty,-1\)) में आते हैं और \(x\ge0\) पर मान \([1,\infty\)) में आते हैं। / For (x<0), values lie in (\(-\infty,-1\)), and for \(x\ge0\), values lie in \([1,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों भागों के मान आपस में नहीं मिलते, इसलिए फलन एकैकी है। / The two parts do not overlap, so the function is one-one.
Step 3
Exam Tip
लेकिन ((-1,1)) के मान नहीं मिलते, इसलिए यह आच्छादक नहीं है। / But values in ((-1,1)) are missing, so it is not onto.
\(\lfloor 1.2\rfloor=1\) और \(\lfloor 1.8\rfloor=1\), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / \(\lfloor 1.2\rfloor=1\) and \(\lfloor 1.8\rfloor=1\), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
इसका परास केवल पूर्णांक हैं, सभी वास्तविक संख्याएँ नहीं। / Its range is only the integers, not all real numbers.
Step 3
Exam Tip
महानतम पूर्णांक फलन में परास को ध्यान से देखें। / For the greatest integer function, check the range carefully.
D. यह न एकैकी है न आच्छादक/It is neither one-one nor onto
Step 1
Concept
(f(1)=1) और (f(-1)=1), इसलिए एकैकी नहीं है। / (f(1)=1) and (f(-1)=1), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
\(x^4\ge 0\), इसलिए ऋणात्मक वास्तविक मान नहीं मिलते। / Since \(x^4\ge 0\), negative real values are not attained.
Step 3
Exam Tip
सम घात वाले फलनों में अक्सर समान प्रतिबिंब और सीमित परास दोनों बातों पर ध्यान दें। / For even power functions, check both repeated outputs and restricted range.
(f) एकैकी है, इसलिए अलग (A) अवयवों के प्रतिबिंब (B) में अलग होंगे। / Since (f) is one-one, distinct elements of (A) have distinct images in (B).
Step 2
Why this answer is correct
(g) भी एकैकी है, इसलिए उन अलग प्रतिबिंबों के आगे के प्रतिबिंब (C) में अलग रहेंगे। / Since (g) is also one-one, those distinct images remain distinct in (C).
Step 3
Exam Tip
एकैकी फलनों का संयोजन एकैकी होता है। / The composition of one-one functions is one-one.
स्थिर फलन में हर (x) का प्रतिबिंब (c) ही होता है। / In a constant function, every input has the same image (c).
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग आगतों के समान प्रतिबिंब मिलते हैं, इसलिए एकैकी होने की शर्त टूट जाती है। / Different inputs give the same output, so the one-one condition fails.
Step 3
Exam Tip
अनंत प्रांत पर स्थिर फलन कभी एकैकी नहीं होता। / A constant function on an infinite domain is never one-one.
(f(3)=3) और (f(-3)=3), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / (f(3)=3) and (f(-3)=3), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
(|x|) कभी ऋणात्मक नहीं होता, इसलिए कोई ऋणात्मक वास्तविक संख्या प्रतिबिंब नहीं बन सकती। / (|x|) is never negative, so negative real numbers are not attained.
Step 3
Exam Tip
परिमाप वाले फलन में संकेत बदलने पर समान मान मिल सकता है। / In absolute value functions, opposite inputs may give the same output.
