Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
D. यह न एकैकी है न आच्छादक/It is neither one-one nor onto
Step 1
Concept
(f(1)=2) और (f(-1)=2), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / (f(1)=2) and (f(-1)=2), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
\(x^2+1\ge 1\), इसलिए ऋणात्मक संख्याएँ और (0) प्रतिबिंब नहीं बन सकते, अतः यह आच्छादक भी नहीं है। / Since \(x^2+1\ge 1\), negative numbers and (0) are not attained, so it is not onto.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में एकैकी और आच्छादकता को अलग-अलग जाँचें। / Always test one-one and onto separately.
प्रतिलोम संबंध के फलन होने के लिए हर निर्गत से एक ही आगत जुड़ना चाहिए। / For the inverse relation to be a function, each output must come from only one input.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (f) एकैकी नहीं होगा, तो किसी निर्गत के दो आगत होंगे। / If (f) is not one-one, one output has two inputs.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(f^{-1}\) के फलन होने से (f) का एकैकी होना निश्चित है। / Therefore, if \(f^{-1}\) is a function, (f) must be one-one.
यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\begin{cases}x+2,&x\geq0\x-2+2,&x<0\end{cases}) से दिया गया है, तो (f) के एकैकी होने के बारे में सही कथन कौन सा है?
एकैकी न होने के लिए दो अलग आगतों पर समान मान दिखाना पर्याप्त है। / To disprove one-one, it is enough to find two different inputs with the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=1) और (f\(\sqrt{3}\)=1), जबकि \(0\neq\sqrt{3}\)। / (f(0)=1) and (f\(\sqrt{3}\)=1), while \(0\neq\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
बहुपद फलन में एक छोटा प्रतिवाद एकैकीपन को तुरंत तोड़ देता है। / For polynomial functions, one clear counterexample quickly settles one-one behaviour.
यदि \(n_1\neq n_2\), तो \(n_1+1\neq n_2+1\), इसलिए फलन एकैकी है। / If \(n_1\neq n_2\), then \(n_1+1\neq n_2+1\), so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{N}\) में (1) है, लेकिन कोई \(n\in\mathbb{N}\) ऐसा नहीं कि (n+1=1)। / The codomain \(\mathbb{N}\) contains (1), but there is no \(n\in\mathbb{N}\) such that (n+1=1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए फलन एकैकी है पर आच्छादी नहीं है। / Therefore, the function is one-one but not onto.
मान लें (f\(a_1\)=f\(a_2\))। / Suppose (f\(a_1\)=f\(a_2\)).
Step 2
Why this answer is correct
तब (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))), अर्थात (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\))। / Then (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))), so (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\)).
Step 3
Exam Tip
क्योंकि \(g\circ f\) एकैकी है, इसलिए \(a_1=a_2\); अतः (f) एकैकी है। / Since \(g\circ f\) is one-one, \(a_1=a_2\); therefore (f) is one-one.
(f(2)=b) और (f(3)=b), इसलिए दो अलग तत्वों की छवि समान है; फलन एकैकी नहीं है। / (f(2)=b) and (f(3)=b), so two distinct elements have the same image; the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
(c) किसी तत्व की छवि नहीं है, इसलिए फलन आच्छादी नहीं है। / (c) is not the image of any element, so the function is not onto.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में छवियों की सूची बनाकर जाँच करें। / For finite sets, list the images to test both properties.
A. यह एकैकी है पर आच्छादी नहीं/It is one-one but not onto
Step 1
Concept
\(2^x\) बढ़ता हुआ फलन है, इसलिए यह एकैकी है। / \(2^x\) is an increasing function, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
इसका मान हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए कोई ऋणात्मक वास्तविक संख्या छवि नहीं बनती। / Its value is always positive, so no negative real number is attained.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन का परास पहचानना आच्छादीपन में मदद करता है। / Knowing the range of an exponential function helps in checking onto.
हर (x) के लिए फलन का मान (5) ही है। / For every (x), the function value is always (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यह स्थिर फलन है, एकैकी नहीं क्योंकि कई इनपुट की छवि समान है। / So it is a constant function and not one-one, because many inputs have the same image.
Step 3
Exam Tip
स्थिर फलन को पहचानने के लिए देखें कि मान (x) पर निर्भर है या नहीं। / To identify a constant function, check whether the value depends on (x).
(f(1)=1) और (f(-1)=1), इसलिए अलग इनपुट की एक ही छवि है; फलन एकैकी नहीं है। / (f(1)=1) and (f(-1)=1), so distinct inputs have the same image; it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
कोई भी ऋणात्मक वास्तविक संख्या छवि नहीं बनती, इसलिए यह \(\mathbb{R}\) पर आच्छादी भी नहीं है। / No negative real number is an output, so it is not onto \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
निरपेक्ष मान में प्रांत और सहप्रांत को ध्यान से देखें। / For absolute value functions, check both domain and codomain carefully.
दोनों समुच्चयों में तत्वों की संख्या (3) है। / Both sets have (3) elements.
Step 2
Why this answer is correct
एकैकी और आच्छादी फलन का अर्थ है कि हर तत्व का अलग और पूरा उपयोग होगा, इसलिए संख्या (3!) होगी। / A function that is one-one and onto must pair every element uniquely, so the number is (3!).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में समान आकार के सीमित समुच्चयों के लिए ऐसे फलनों की संख्या सीधे (n!) लें। / In exams, for two finite sets of the same size, bijections are counted as (n!).
A. यह एकैकी नहीं और आच्छादी नहीं है/It is neither one-one nor onto
Step 1
Concept
(f(1.2)=1) और (f(1.8)=1), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / (f(1.2)=1) and (f(1.8)=1), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
इसका मान हमेशा पूर्णांक होता है, इसलिए (0.5) जैसा वास्तविक मान नहीं मिलता। / Its values are always integers, so a real number like (0.5) is not obtained.
Step 3
Exam Tip
महत्तम पूर्णांक फलन में अंतराल के कई मानों का समान प्रतिबिंब होता है। / The greatest integer function maps many values in an interval to the same integer.
A. क्योंकि (f) एकैकी नहीं है/Because (f) is not one-one
Step 1
Concept
(f(2)=4) और (f(-2)=4), इसलिए दो अलग निवेशों का समान प्रतिबिंब है। / (f(2)=4) and (f(-2)=4), so two different inputs have the same image.
Step 2
Why this answer is correct
व्युत्क्रम में (4) से (2) और (-2) दोनों मिलेंगे, जिससे एक निर्गत की शर्त टूटेगी। / In the inverse, (4) would point to both (2) and (-2), violating the function rule.
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम फलन के लिए मूल फलन का एकैकी होना जरूरी है। / For an inverse function to exist, the original function must be one-one.
एकैकी न होने के लिए दो अलग निवेशों का एक ही प्रतिबिंब दिखाना पर्याप्त है। / To disprove one-one, it is enough to show two distinct inputs with the same image.
एकैकी फलन में अलग-अलग (A) अवयवों के प्रतिबिंब अलग-अलग होने चाहिए। / In a one-one function, distinct elements of (A) must have distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में (5) अवयव हैं पर (B) में केवल (3), इसलिए (5) अलग प्रतिबिंब संभव नहीं हैं। / (A) has (5) elements but (B) has only (3), so (5) distinct images are impossible.
Step 3
Exam Tip
यदि प्रांत का आकार सहप्रांत से बड़ा हो, तो सीमित समुच्चयों में एकैकी फलन नहीं बन सकता। / For finite sets, if the domain is larger than the codomain, no one-one function exists.
पहले अवयव के लिए (5), दूसरे के लिए (4), और तीसरे के लिए (3) विकल्प बचेंगे। / The first element has (5) choices, the second has (4), and the third has (3).
Step 2
Why this answer is correct
कुल एकैकी फलन \(5\times4\times3=60\) होंगे। / Thus the number of one-one functions is \(5\times4\times3=60\).
Step 3
Exam Tip
एकैकी फलन गिनते समय बिना दोहराव के प्रतिबिंब चुनें। / For one-one functions, choose images without repetition.
हर (x) के लिए (f(x)=5), इसलिए अनेक निवेशों का समान प्रतिबिंब है और फलन एकैकी नहीं है। / For every (x), (f(x)=5), so many inputs have the same image and the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (5) के अलावा बहुत से मान हैं जो नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) has many values other than (5) that are not obtained.
Step 3
Exam Tip
स्थिर फलन बड़े सहप्रांत पर सामान्यतः न एकैकी होता है और न आच्छादी। / A constant function on a large codomain is generally neither one-one nor onto.
A. \(g\circ f\) एकैकी होगा/\(g\circ f\) will be one-one
Step 1
Concept
मान लें (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\))। / Suppose (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\)).
Step 2
Why this answer is correct
(g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))), और (g) एकैकी है, इसलिए (f\(a_1\)=f\(a_2\)); फिर (f) एकैकी होने से \(a_1=a_2\)। / Then (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))); since (g) is one-one, (f\(a_1\)=f\(a_2\)), and since (f) is one-one, \(a_1=a_2\).
Step 3
Exam Tip
दो एकैकी फलनों का संयोजन हमेशा एकैकी होता है। / The composition of two one-one functions is always one-one.
(f(x)=2x-5) रैखिक फलन है और ढाल शून्य नहीं है, इसलिए अलग-अलग (x) के लिए अलग-अलग मान मिलते हैं। / (f(x)=2x-5) is linear with non-zero slope, so distinct inputs give distinct outputs.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\frac{y+5}{2}\) वास्तविक है, इसलिए हर (y) का पूर्वप्रतिबिंब है। / For any \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\frac{y+5}{2}\) is real, so every real output is attained.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में रैखिक फलन (ax+b) में \(a\neq0\) हो तो \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर वह एकैकी और आच्छादी होता है। / In exams, remember that (ax+b) with \(a\neq0\) is both one-one and onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\).
A. ऐसा कोई वास्तविक (a) संभव नहीं है/No real (a) is possible
Step 1
Concept
किसी भी वास्तविक (a) के लिए यह द्विघात फलन है। / For any real (a), this is a quadratic function.
Step 2
Why this answer is correct
पूरे \(\mathbb{R}\) पर द्विघात फलन अपने शीर्ष के दोनों ओर समान मान दे सकता है। / On all of \(\mathbb{R}\), a quadratic takes equal values on opposite sides of its vertex.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह पूरे वास्तविक प्रांत पर एकैकी नहीं हो सकता। / Therefore it cannot be one-one on the entire real domain.
\(e^x\) बढ़ता है, इसलिए अलग आगतों पर अलग मान देता है। / \(e^x\) is increasing, so it gives different outputs for different inputs.
Step 2
Why this answer is correct
इसका कोई मान शून्य या ऋणात्मक नहीं होता, इसलिए यह \(\mathbb{R}\) को पूरा नहीं ढकता। / It never becomes zero or negative, so it does not cover all of \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
वही सूत्र अलग सहप्रांत पर अलग प्रकार का फलन बन सकता है। / The same formula can have different properties with a different codomain.
